高二数学选择性必修二同步检测试卷与答案解析

高二数学选择性必修二同步检测试卷全套

（4.1数列的概念》同步检测试卷

注意事项：

本试卷满分100分,考试时间45分钟，试题共16题.答卷前，考生务必用0.5亳米黑色签

字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、单选题

1.下列说法正确的是（）

A.数列1,3,5,7与数集｛1,3,5,7｝是一样的

B.数列1,2,3与数列3,2,1是相同的

C.数列［1+，］是递增数列

n

（T）"

D.数列，是摆动数列

n

2.已知数列工，2,3.…，则0.96是该数列的（）

234〃+1

A.第20项B.第22项C.第24项D.第26项

3.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x等于（）

A.11B.12C.13D.14

4.已知数列｛阖的通项公式an=log〃D（n+2）,则它的前3（）项之积是（）

A.1B.5C,6D.1%3+脸32

55

5.己知递减数列｛aj中，a_=kn（k为常数），则实数k的取值范围是（）

A.RB.（0,+a）C.（一8,0）D.（-8,0］

6.数歹ij｛aj中，an=-n2+lln,则此数列最大项是（）

A.第4项B.第6项C.第5项D.第5项和第6项

7.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步

为：

第一步：构造数列1,--①

234n

第二步：将数列①的各项乘n,得到数列（记为）ai,a2,a3,a„.

则n22时，ae2+a2a3H---l-an-ian=()

A.nB.(n—I)，C.n(n—1)I),n(n+1)

8.由1,3,5,…，2n—1,…构成数列⑸},数列{bj满足bi=2,当n22时，bn=abn-i,

则从的值是()

A.9B.17C.33D.65

二、多选题

9.（多选）一个无穷数列W的前三项是1,2,3,下列可以作为其通项公式的是（）

A.a„=nB.a.=n3-6n2-12n—6

6

C.a„=—n2——n+lD.a1—

22n2-67z+11

10.（多选）数列｛R｝：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利

数学家列昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从

第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列｛FJ的前n项和为S”，则下列结论正确的

是（）

=

A.一1B.=—1C.S2VJ9==FZ021-1D.Sa019F2020-1

11.已知数列｛2｝的前4项为2,0,2,0,则该数列的通项公式可能为（）

为奇数

B.4=(—1严+1

2,〃为偶数

D.an-COS(7?-1)7T+1

12.“太极牛两仪,两仪牛四象.四象牛八卦……”大衍数列,来源干《乾坤谱》中对《易

传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统

文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，

曾经经历过的两仪数量总和,从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…….记

大衍数列为｛〃”｝,其前n项和为则（）

1505

A.%)=220B.—十—+—+H-----=----

aa

。35i。20211011

C.§23=2156D.。2++〃6+…+。48=9800

三、填空题

13.已知数列｛备｝的通项公式an=19-2n,则使4>0成立的最大正整数n的值为

u

14.已知数列｛aj的通项公式an=--,则an•必卜】•ani2=________.

n+\

15.数列⑸｝的前n项和为若S.+SnT=2n—l（n22）,且Sz=3,则a1+a3的值为

16.如图（1）是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是如如

图（2）的一连串直角三角形演化而成的，其中0AI=AA2=A2A3=〜=A?A8=1,如果把图⑵中

的直角三角形继续作下去,记0A”的2,…，的n,…的长度构成数列｛匹｝,则此数列的通项

公式为&=________.

四、解答题

17.已知数列｛4｝的前n项和Sfl=32〃-/+1,

（1）求数列｛?｝的通项公式；

（2）求数列｛。〃｝的前多少项和最大.

18.在数列｛〃”｝中，4“二-2〃2+9〃+3.

（1）T07是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？

（2）求数列中的最大项.

19.数列｛aj满足a产1,anM+2anan.-an=0.

（1）写出数列的前5项；

（2）由（1）写出数列｛&｝的一个通项公式；

（3）实数上是否为这个数列中的一项？若是,应为第匚项？

20.已知数列[9犷二%?-2.

9〃T

(1)求这个数列的第10项；

(2)卫98是不是该数列中的项，为什么？

101

(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；

(]2、

(4)在区间内有无数列中的顶？若有，是第几项？若没有，说明理由.

(33J

21.已知函数f(x)=x-L.数列⑸｝满足f(aj=-2n,且为＞0.求数列｛a｝的通项公式.

X

22.已知数列｛aj的通项公式为加=93£(),则这个数列是否存在最大项？若存在，请

求出最大项；若不存在，请说明理由.

答案解析

一、单选题

1.下列说法正确的是()

A.数列1,3,5,7与数集｛1,3,5,7｝是一样的

B.数列1,2,3与数列3,2,1是相同的

【答案】D

【解析】数列是有序的，而数集是无序的，所以A,B不正确；选项C中的数列是递减数列;

选项D中的数列是摆动数列.

2.已知数列工，2,2..…，则0.96是该数列的()

234n+1

A.第20项B.第22项C.第24项D.第26项

【答案】C

【解析】由二/7一=().96,解得n=24.

〃+1

3.在数列1,1,2,3,b,8,x,21,34,55中，x等于（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】C

【解析】观察数列可知，后一项是前两项的和，故x=5+8=13.

4.已知数列｛&｝的通项公式an=logg)(n+2),则它的前30项之积是()

1「唱吗

AR16n13+132

55

【答案】B

n

【解析】ai,a2•a3........aso=log23Xlog34Xlogj5X•••Xlog3i32=log232=1og22=5.

5.已知递减数列｛aj中，an=kn(k为常数)，则实数k的取值范围是()

A.RB.(0,+R)C.(一8,0)D.(一8,o]

【答案】C

【解析】an+1—an=k(n+l)—kn=k<0.

6.数列｛*｝中,an=-nJ4-lln,则此数列最大项是()

A.第4项B.第6项C.第5项D.第5项和第6项

【答案】D

【解析】①=-n?+1ln=—一,

・.・n£N+,・•.当n=5或n=6时，柒取最大值.故选D.

7.我国占代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步

为：

第一步：构造数列1,--①

234n

第二步：将数列①的各项乘n,得到数列(记为)ara2,a3,an.

则n22时，aia?+a2a3~l----Fa„-ia„=()

A.n2B.(n—I)，C.n(n—1)I),n(nd-1)

【答案】C

2

【解析】由题意得ak=—.k>2时，ak-ia=八"…..*.n>2时,a】az+a2a3

kk(k-\)k

++…+

+…+an-ian=n'2J-3;"1〃)=n(n—1).故选C.

8.由1,3,5,…,2n-l,…构成数列｛aj,数列｛bj满足b1=2,当n由2时,bn=abn->,

则人的值是()

A.9B.17C.33D.65

【答案】C

【解析】Vbn=cibn-）,/.bi=ab）=a2=3,b3=ab2=a3=5,b4=ab3=a5=9,b5=abi=a9=17,

bs=ab5=ai7=33.

二、多选题

9.（多选）一个无穷数列｛*｝的前三项是1,2,3,下列可以作为其通项公式的是（）

A.a„=nB.3<,=^3—6n2—12n—6

C.an=­n2——n+1D.--------

22H2-6H+11

【答案】AD

【解析】对于A,若an=「，则a[=l,a2=2,a3=3,符合题意；对于B,若an=n'—69一

12n+6,则ai=-11,不符合题意；对于C,若须1n+l,当n=3时，a3=4=^3,

22

不符合题意；对于D,若ae=f--——，则&=1,a2=2,a3=3,符合题意.故选A、

D.

10.（多选）数列｛FJ：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利

数学家列昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从

第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列｛R｝的前n项和为柞，则下列结论正确的

是（）

==

A.S$=F?—1B.S$=SG-1C.S2O19p2021—1D.S2019^2020—1

【答案】AC

【解析】根据题意有FLFn7+F-（n?3）,所以SJ-FI+FZ+FLI+R+FZ+FLI-FJ+FZ

+Fa-1=F.1+F:-1=F5-1,S.I=F.14-S3=F-.+F5-1=F6-1,S5=Fs4-S4=F5+F6-l=F7-l,…,

所以S?019=「202】-1.故选A、C.

11.已知数列｛4｝的前4项为2,0,2,0,则该数列的通项公式可能为（）

0,〃为奇数

Aci—<

.”12,〃为偶数B.4=(—1严+1

C.a=2sin—D.a=COS(H-1)^-+1

n“2n

【答案】BI)

【解析】因为数列｛%｝的前4项为2,0,2,0,

选项A：不符合题设；

1

选项B：q=(-1)°+1=2,tz2=(―I)+1=0,

4=(-1)2+1=2,%=(-1)3+1=(),符合题设;

JT

选项C：,=2sin—=l,a2=2sinn=0,

&二2sin包=-2不符合题设;

2

选项D：6/1=cosO+1=2,«2=cos^-+1=0,

ay-cos2,r4-1=2,a4=cos3^+1=0,符合题设.故选：BD.

12.“太极生两仪，两仪生四象，四象生八圭I……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易

传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统

文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，

曾经经历过的两仪数量总和,从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…….记

大衍数列为{2},其前n项和为S”,〃€N‘，则（）

C.S23=2156D.。2++。6+•••+。48=9800

【答案】BCD

【解析】根据数列前10项依次是Q2,4,8,12,18,24,32,40,50,・♦・,

则奇数项为：--—

22222

22426282102

偶数项为：—---，----，----，-----

22222

„2-1,

-----,（〃为奇数）

2

所以通项公式为4

三,5为偶数）

2

对于A,〃2G=-^-=200,故A错误；

11I1

对于B,—+—+—+­••+——

。3a5为”2021

2222

=F—+——+F—十…+-----；—

32-152-172-120212-1

J\111

2----1-----1-----F…-I-----------

12x44x66x82020x2022

If11i111、11505

故正确;

21244620202022J220221011B

・

对于C,S23=（4+6+一％3）+（生+%+.一+〃22）

_12+22+32+..«232-12

—9

2

由产+22+3，+…/='（〃+1）（2〃+1）,

6

1f23（23+l）|46+I））

所以邑3二=二——~r------12=2156,故C正确;

对于D,%+------1■048

=2xl+2x4+2x9+…+2x242=202+2?+…24?）

=2.也把幽竺%800,故D正确.

6

故选：BCD

三、填空题

13.已知数列｛a,｝的通项公式%=19—2n,则使机>0成立的最大正整数n的值为

【答案】9

19

【解析】由3n=19-2n>0,得水一.・・・n£N”,・・.nW9.

2

14.已知数列｛aj的通项公式an=----,则4•an+i・％+2=

n+\

【答案］—

〃+3

■n-7-2-+---1•--n---+--2--------n---

【解析】an-an+1-an+2=------

7?+1n+2〃+3〃+3

15.数歹ij｛aj的前n项和为若Sn+SnT=2n-l(n22),且Sz=3,则ada3的值为.

【答案】-1

【解析】VSn+Sn-i=2n-l(n^2),令n=2,

得S?+Si=3,由Sz=3得ai=Si=O,

令n=3,得S$+S2=5,所以S3=2,

则aa=S3—Sz=-1,所以ai+a：3=0+(-1)=-1.

16.如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如

图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中0A1=A1A2=A2A3=-=A7A8=l,如果把图⑵中

的直角三角形继续作下去,idOA.,0A2,…，0人，…的长度构成数列｛aj,则此数列的通项

公式为a=_______.

【答案】G

【解析】因为OA】=1,0A：=A/2,OA3=J5,…，OAW=6,所以al=l,a?=也,

a3=5/3，…，an=4n.

四、解答题

17.已知数列｛4｝的前n项和S〃=32〃―/+1,

(1)求数列｛?｝的通项公式；

(2)求数列｛4｝的前多少项和最大.

【解析】(1)当〃=1时，q=S=32-1+1=32；当时，

^=^-^-1=(32/2-«2+1)-[32(,7-1)-(«-1)2+11=33-2/2；

32,n=1

所以：cC；

33-2n,n>2

（2）0S„=32/1-/?2+1=-（/?2-32n）+1=-（/?-16）2+257；

所以前16项的和最大.

18.在数列｛qj中，二-2〃2+9〃+3.

（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？

（2）求数列中的最大项.

【解析】（1）令。“=-107,-2/?2+9/7+3=-107,2H2-9H-110=0,

解得〃=10或〃=一£（舍去）.所以%=—107

（n\2I（）5

（2）CL=-2〃~+9/2+3=-2H---H------»

I4J8

由于“wN*，所以最大项为%=13

=

19.数列｛aj满足a1=1,an*ian0.

（1）写出数列的前5项；

（2）由（1）写出数列｛&｝的一个通项公式；

（3）实数!是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？

【答案】（1）见解析（2）6/„=—（3）50

2/2-1

【解析】（1）由己知可得4=1,%=；,&=；,a5=~-

（2）由（1）可得数列的每一项的分子均为1,分母分别为1,3,5,7,9,…，所以它的

一个通项公式为a=——.

n2〃一1

（3）令士二」一，解得〃=50,故与是这个数列的第50项.

992n-\99

9n2-9n+2

20.已知数列〈

9/?2-1

（1）求这个数列的第10项；

（2）一98是不是该数列中的项，为什么？

101

(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；

(12、

(4)在区间内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由.

\33)

Qn~—9〃+2

【解析】(1)设」=f(n)=」;

9〃2—1

(3〃-1)(3〃-2)_3”2

(3〃-1)(3〃+1)-3〃-1

28

令n=10,得第10项a1o=f(10)=—

31

⑵令吐2=里，得9n=300.

3〃+1101

此方程无正整数解，所以〜98不是该数列中的项.

101

3/?-2_1_3

(3)证明:

3〃+13〃+1

且n£N*,AO<1-—<1,

3714-1

•••(KaXL・,•数列中的各项都在区间(0,1)内.

(4)令1<an=3〃—2/

-------\—

33〃+13

7

，?>6,

3n+l<9n—6,

9n—6<6〃+2,8

〃<3'

\214

・•・当且仅当n=2时，上式成立，故在区间一，一内有数列中的项，且只有一项为a?=—.

(33)7

21.已知函数f(x)=x—L.数列｛aj满足f(aj=-2n,月.an>0.求数列｛aj的通项公式.

X

【解析】,:f(x)=x——,.'.f(an)=an——,

%4

=-

*.*f(an)2n..*.an~—=_2n,即a；+2naL1=0.

Cln

—22

/.an=n+yjn+\.Va),>0»/.an=y/n+1—n.

22.已知数歹U｛aJ的通项公式为&尸^8£V)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请

求出最大项；若不存在，请说明理由.

【解析】存在最大项.理由:a尸,22_32_9_42_52_25

S2---；--1»S3---：----»di----：--1»S5---：-----»….

222258242532

_5+1)2、,2〃5+1)21\2

•・•当n23时,14-1<1,

2用了一2"2<n)

Aan+I<an,即n23时，｛&｝是递减数歹U.

,9

又,.,aKas,a2〈a3,aas=一

n8

9

.••当n=3时，23=N为这个数列的最大项.

8

《4.2等差数列》同步检测试卷

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题.答卷前，考生务必用0.5亳米黑色签

字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、单选题

1.在项数为2n+l的等差数列中，所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n

等于（）

A.9B.10C.11D.12

2.数列⑸｝为等差数列，它的前n项和为S,“若Sn=（n+1）2+A,则入的值是（）

A.-2B.-1C.0D.1

3.已知等差数列瓜｝的前n项和为S“，若。*二日方+生⑻。^，且A，B,C三点共线（该

直线不过点0）,则S加等于（）

A.100B.101C.200D.201

4.若数歹U｛&｝的前n项和为Sn=r?-4n+2,则|ai+|az|+…+aio|等于（）

A.15B.35C.66D.100

5.设数列｛&｝是等差数列,若ai+a3+a$=105,22+34+御=99,以Sn表示｛a｝的前n项和,

则使出达到最大值的。是（）

A.18B.19C.20D.21

6.设等差数列⑸）的前n项和为S0，S.T=-2,6=0,Sn+1=3,则m等于（）

A.3B.4C.5D.6

7.现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么

剩余钢管的根数为（）

A.9B.10C.19D.29

8.已知命题:“在等差数列｛aj中,若4az+&o+a（〉=24,则S”为定值”为真命题，由于

印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为1）

A.15B.24C.18D.28

二、多选题

9.设等差数列｛aj的前n项和为Sn,公差为d.已知aa=12,S>2>0,a«），则（）

A.a（i>0B.——<d<—3

7

C.SWO时，n的最小值为13D.数列《二4中最小项为第7项

■.已知等差数列｛aj的前n项和为若S?=a"则（）

A.a>4-a3=0B.a3+a5=0C.*=，L）.&=b5

11.等差数列｛4｝是递增数列，满足%=3%,前〃项和为S“，下列选项正确的是（）

A.d〉0B.q<0

C.当〃=5时S〃最小D.S〃>0时〃的最小值为8

12.在等差数列｛〃/中每相邻两项之间都插入人（ZEN’）个数，使它们和原数列的数一起

构成一个新的等差数列｛〃｝.若凡是数列｛4｝的项，则k的值可能为（）

A.1B.3C.5D.7

三、填空题

13.已知等差数列｛aj中，Sn为其前n项和，已知S3=9,a§+a5+a6=7,则Sg—Sfi=.

14.己知数列｛aj的前n项和Sn=i?-9n,第k项满足5VakV8,则k=______.

15.若数列｛aj是等差数列,首项右<0,a.+aQO,a?©•a2水0,则使前n项和S<0的最

大自然数n是.

16.已知等差数列｛%｝的公差公0,前n项和为入，且&a3=45,S.=28.

⑴则数列E｝的通项公式为a..=；

⑵若b,尸丛（c为非零常数），且数列｛bj也是等差数列，则，=________.

n+c

四、解答题

17.若等差数列｛aj的首项a】=13,d=-4,记Tn=|a14-|a2|4--HaJ,求Tn.

18.在等差数列｛aj中,aio=23,a25=-22.

⑴数列｛a,｝前多少项和最大？

⑵求｛|a“|｝的前n项和S,.

19.已知数列瓜｝的前n项和为S”数列｛aj为等差数列，ai=12,d=-2.

(1)求工,并画出｛Sj(lWnW13)的图象;

⑵分别求5｝单调递增、单调递减的n的取值范围，并求⑸｝的最大(或最小)的项;

(3)6』有多少项大于零？

20.已知等差数列⑸｝的前n项和Sn=rf—2n,求aa+as—ai+as+a6.

i13

21.设S“是数列｛a“｝的前n项和且n£N*,所有项a>0,且S,尸一a：十一小一二.

424

(1)证明：｛aj是等差数列；

(2)求数列｛①｝的通项公式.

22.求等差数列｛4n+l｝(LWnW200)与｛6m-3｝(lWmW200)的公共项之和.

答案解析

一、单选题

1.在项数为2n+l的等差数列中，所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n

等于()

A.9B.10C.11I).12

【答案】B

奇,165_774-1

【解析】..s■+1/.n=10,故选B.

•画--

s偶〃n~

2.数列｛a,｝为等差数列，它的前n项和为若Sn=(n+1)2+"则X的值是()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】等差数列前n项和S”的形式为SxaY+bn..••人=-1.

3.已知等差数列瓜｝的前n项和为S“，若。*=4。4+生00。3，且A，B,C三点共线(该

直线不过点0),则S须等于()

A.100B.101C.200D.201

【答案】A

【解析】由A,B,C三点共线得ai+azoo=l,

••S200------(ai+a2oo)=100.

2

4.若数列｛a｝的前n项和为Sn=f?—4n+2,则|ai+|a21T--Fa»)|等于()

A.15B.35C.66D.100

【答案】C

_i„_1

【解析】易得an=1'-'

2n-5,n>2.

a1|=1,I&21=1,I1=1,

令a>0则2n—5>0,・・・n23.

IaiI4-18214-----FIa)o|

=1+1+aa+…+aio

=2+(S.O-S2)

=2+[(102-4X10+2)-(22-4X24-2)]=66.

5.设数列｛4,｝是等差数列,若ai+ao+aoulOS,m+出+如=99,以S“表示｛&,｝的前n项和,

则使Sn达到最大值的门是()

A.18B.19C.20D.21

【答案】C

【解析】Vai+a3+a5=105=3a3,

35>

a2+a.i+a6=99=3ai,

**•a1=331

••d=a.i-a3=-2,

/.an=a34-(n—3)d=41—2n,

令a“>0,A41-2n>0,

An<20.

6.设等差数列｛aj的前n项和为S“，S,T=-2,6=0,Sn+1=3,则m等于()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】a«=Sm—Sn-1=2,aa+l=Sn+l—Sm=3,所以公差d=1-1,由Sn=‘

2

=0,得ai=-2,所以a„=-2+(m—1)•1=2,解得m=5,故选C.

7.现有20()根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么

剩余钢管的根数为()

A.9B.10C.19D.29

【答案】B

【解析】钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1,

逐层增加1个.，钢管总数为：1+2+3+…+n=""I).

2

当n=19时，Si9=190.当n=20时，S2o=21O>2OO.，n=19时，剩余钢管根数最少，为10

根.

8.已知命题：”在等差数列｛册｝中,若4a2+aH)+a,》=24,则S”为定值”为真命题，由于

印刷问题，括号处的数模糊不清•，可推得括号内的数为1)

A.15B.24C.18D.28

【答案】C

【解析】设括号内的数为n,则4a2+m+@(a=24,

即6a1+(n+12)d=24.

又因为S“=Uai+55d=11⑶+5d)为定值，

所以由+5d为定值.

所以四2=5,解得n=18.

6

二、多选题

9.设等差数列｛aj的前n项和为Sn,公差为d.已知心=12,Sl2>0,a7<0,则()

A.女〉0B.——<d<—3

7

C.SWO时，n的最小值为13D.数列中最小项为第7项

【答案】ABCD

61+12

【解析】依题意得a3=a【+2d=12,ai=12—2d,S)2=^X12=6(a6+a7).

2

而a7<0,所以aQO,ai>0,d<0,A选项正确.

a7=%+6d=12+4d<0,

且"4=+5d=12+3d>0,

4+%=2q+1Id=24+7d>0,

24

解得一一<d<一3,B选项正确.

7

由于S[3="x13=13a7<0,而Si2>0,所以Sn<0时，n的最小值为13.由上述分析可知,

2

nW[1,6]时,an>0,n27时,an<0；当n£[l,⑵时，Sn>0,当n213时，SWO.所以当

V

[7,12]时，^<0,Sn>0,-^<0,且当n£[7,12]时，履|为递增数列，和为正数且为递减数

%

S

列，所以数列4」｝中最小项为第7项.故选A、B、C、D.

10.已知等差数列｛④｝的前n项和为若S7=a」，则（）

A.ai+a3=0B.aj+a5=0C.S3=SjD.Sj=S5

【答案】BC

【解析】由S?=---6=7a：=aq,得a=0,所以a）+a5=2aq=0,S3=Si,故选B、C.

2

11.等差数列｛4｝是递增数列，满足%=3%,前〃项和为S〃，下列选项正确的是（）

A.J>0B..<0

C.当〃=5时2最小D.S〃>0时〃的最小值为8

【答案】ABD

【解析】由题意，设等差数列｛%｝的公差为4,

因为劣=34,可得q+64=3（4+4"）,解得4二一3”,

又由等差数列｛4｝是递增数列，可知d>0,则4<0,故A、B正确；

因为S,,=〈，产+（%—'）〃=〃2-V〃，

2222

_ld_

由〃=___2_=工司,知，当〃=3或4时S“最小，故C错误，

一-"d~~2

令S”=+〃2一告”>0,解得〃（0或〃，7,即s“>。时〃的最小值为8,故D正确.

乙乙

故选：ABD.

12.在等差数列｛可｝中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起

构成一个新的等差数列圾｝.若为是数列｛4｝的项，则k的值可能为（）

A.1B.3C.5D.7

【答案】ABD

【解析】由题意得：插入个数，则q=4，%=4+2,%=b”+3，。4=%-4…

所以等差数列｛〃.｝中的项在新的等差数列｛2｝中间隔排列，且角标是以1为首项，k+1为

公差的等差数列，所以巴二4+5-1）"+1），

因为4是数列｛〃.｝的项,

所以令1+(〃-1)(%+1)=9,neN'kwN",

当〃=2时，解得％=7,

当〃=3时，解得〃=3,

当〃=5时，解得上=1,

故k的值可能为1,3,7,故选：ABD

三、填空题

13.已知等差数列｛aj中，Sn为其前n项和，已知$3=9,ai+a5+as=7,则Sg—S«=_

【答案】5

【解析】VS3,S,T,S»—Ss成等差数列，而S3=9,S6-S3=a<4-a54-a6=7,.,.S9-S6=5.

14.已知数列｛aj的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5Vak<8,则k=.

【答案】8

S](〃=D,

【解析】•・•&

・・・an=2n-10.由5V2k-10V8,得7.5VkV9,又k6N*,，k=8.

15.若数列｛aj是等差数列，首项aWO,a须+脑。0,&2（（3•a2W<0,则使前n项和SWO的最

大自然数n是.

【答案】405

【解析】由<1203H-3204>0知ai+a〃06>0,即解06>0,又由a1〈0且a203,a2M<0,知a203<0,az（H>0,

所以公差dX）,则数列｛aj的前203项都是负数，那么2a勿3=&+注水0,所以S做<0,所以

使前n项和Sn<0的最大自然数n=405.

16.已知等差数列⑸｝的公差d>0,前n项和为Sn,且a2a3=45,S,=28.

⑴则数列⑸｝的通项公式为a„=________；

（2）若bn=3—（C为非零常数），且数列｛bn｝也是等差数列，则。=.

n+c

【答案】(l)4n—3(2)--

2

><

【解析】(l)・・・S.i=28,.・・(,[4)=28,a,+a,=14,a2+a3=14,

2

又Ta2a3=45,公差d>0,

/•a2^a：o，a2=5,a：«=9,

一+”=5,解得『二1，

a}+2d=9,[d=4,

••a<i=4n-3.

C?G2

(2)由(1),知$1=21?-n,b=——=———-,

tln+cn+c

bi=——,b2=$,b：i=".

l+c2+c3+c

又•・•{bj也是等差数列，

.\bi+b3=2b2,

H|J?X6_115

2+c\+c3+c

解得c=-L(c=()舍去).

2

四、解答题

17.若等差数列数J的首项a】=13,d=-4»记Tn=a】+&I+…+|aj,求Tn.

【解析】Vai=13,d=-4,Aa<l=17—4n.

当nW4时,£=扇|+|a|+・・・+|冬|

=ai+a2H-----Fan

=naH----------d=13n+-----------X(—4)

22

=15n—2n2；

当n25时，Tn=|a/+|a,|+…+|aj

=(aj+as+as+ai)—(as-Fae+^^+an)

=S|—(Sn—Si)=2S«—Sr.

=2x(13tl)x4_(i5n_2n2)

2

=2n2-15n+56.

\5n-2n2(n<4),

••Tn="

2n~-15/?+56(/?>5).

18.在等差数列｛8｝中，aw=23,a25=-22.

(1)数列｛aj前多少项和最大？

⑵求｛|a/｝的前n项和Sn.

q+9d=23,,q=5(),

【解析】⑴由《。1+24〃=-22,待“

d=—3,

Aan=ai4-(n—l)d=­3n+53.

53

令&00,得n<一，

3

・•・当nW17,n£N*时，an>0；

当n218,n£N*时，an<0,

・•・｛aj的前17项和最大.

(2)当nW17,n£N*时,

2

a1|+|a2|+-+|an|=a1+a2+-+an=na1+~0d=--n+—n

222

当n218,n£N♦时,

ISi|+|aa|+,,,4-Ian|

=ai+a2+,,,+ai7—ais—ai9—•••

=2(ai+a?H-----Fai?)—(ai+azd-----Fan)

(3-103口

=2——x17-+——xl7

[2222

3103…

—n2------n+884.

22

--n2+n,n<17,/?GN*,

Sn=,22

3i()3

-n2----/?+884,/?

122

19.已知数列｛aj的前n项和为杆，数列｛aj为等差数列，ai=12,d=-2.

⑴求Sn,并画出｛S3（lWnW13）的图象;

⑵分别求区,｝单调递增、单调递减的n的取值范围，并求｛SJ的最大（或最小）的项;

（3）｛SJ有多少项大于零？

【解析】（DS尸nadd=12n+的二»X（-2）=-i?+13n.图象如图.

22

\

TT1：

(2)Sn=-n24-13n=-f/?--+,nEN*,

I2)4

・••当n=6或n=7时，8最大;当lWnW6时,{Sj单调递增;当n27时,{SJ单调递减.{Sj

有最大值，最大项是S6,S7,S6=S；=42.

⑶由图象得{SJ中有12项大于零.

20.已知等差数列{aj的前n项和$>,=/-2n,求az+aa—ai+as+aG.

【解析】VS„=n2-2n.

・•・当n22时，an=Stl—Sri-i

=n2-2n—[(n—I)2-2(n—1)]

=n-2n-(n-l)2+2(n-l)=2n-3,

a2+a3-a.i+as+ao

=(a24-a6)+(aa+a5)-a」

=2aJ4-2al—a«=3ai

=3X(2X4-3)=15.

ii3

21.设Sn是数列{aj的前n项和且nWN，所有项an>0,且Sn=—a：+—心一一.

424

(D证明：瓜}是等差数列；

(2)求数列{aj的通项公式.

117

【解析】(1)证明：当n=l时，a)=Si=-a!+—ai——,解得a1=3或a1=一1(舍去).当

424

n>2时，

a=Sn—Sn-i=—(a^+2a—3)—