高教出版社理论力学习题部分答案

静力学

1-3试画出图示各结构中构件AB的受力图

(b)

(C)(C)

1-4试画出两结构中构件ABCD的受力图

1-8在四连杆机构的ABCD的较链B和C上分别作用有力FI和F2,机构在图示位置平衡。

试求二力Fi和F2之间的关系。

解：杆AB,BC,CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。

解法1（解析法）

假设各杆受压，分别选取销钉B和C为研究对象，受力如图所示:

由共点力系平衡方程，对B点有：

Z&=0Fo-F^QCOS450=0

对C点有：

Z&=。F&?"cos30°=0

解以上二个方程可得:

七二牛尸2=1・63"

解法2（几何法）

分别选取销钉B和C为研究对象，根据汇交力系平衡条件,作用在B和C点上的力构成封

闭的力多边形，如图所示，

对B点由几何关系可知：

F?=FRCCOS45°

对C点由几何关系可知：

FRC=Acos30°

解以上两式可得：再二L63七

2-3在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB上作用有主动力偶M。试求A和C点处的约束

力。

解：BC为二力杆（受力如图所示），故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连线的

方向。曲杆AB受到主动力偶M的作用，A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲

杆AB保持平衡。AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）:

£M=0FA.7ibf/-sin(^+45°)-M=0

F=0.354—

Aa

其中：tan(9=-o对BC杆有：

3

FC=FH=FA=0.354^-0A,C两点约束力的方向如图所示。

2-4四连杆机构在图示位置平衡，已知0A=60cm,BC=40cm,作用在BC上力偶的力偶矩边=

1N-mo试求作用在0A上力偶的力偶矩大小曲和AB所受的力尸质。各杆重量不计。

解：

机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件,

点0,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。对BC杆有：

ZM=0^-BCsin30°-Af2=0

对AB杆有：FB=FA

对0A杆有：

M=0

XM]-FAOA=0

求解以上三式可得：M=3N•叫FAH=FO=FC=5Nf方向如图所示。

2-6等边三角形板ABC,边长为a,今沿其边作用大小均为F的力耳，/?，K，方向如图a,b

所示。试分别求其最简简化结果。

先将力系向A点简化得（红色的）：

FR=Fi+43Fj,MA=—Fak

方向如左图所示。由于户&_1而，，可进一步简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢不变,

其作用线距A点的距离d=无位置如左图所示。

4

2-6b

同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A点的力（绿色的），土矢为：FR=-2Fi

其作用线距A点的距离4=走。，位置如右图所示。

4

简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果？

2-13图示梁AB一端砌入墙内，在自由端装有滑轮，用以匀速吊起重物D。设重物重为P,AB

长为/,斜绳与铅垂方向成。角。试求固定端的约束力。

法1

解：

整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向

右为x轴正向，竖直向上为y轴正向，力偶以逆时针为王）：

FB$

Z%=0+FBX=0

2Fy=0FSy-P-Pcosa=0

选梁AB为研究对象，受力如图，列平衡方程:a

2&=oFALFBX=O

=0FAy~FBy=°

2用4=0MA-FBy-l=O

求解以上五个方程，可得五个未知量乙“匕，‘尸以‘0"0八分别为:

乃卜=/氏=_Psina（与图示方向相反）

K，=b8,y=?（l+cosa）（与图示方向相同）

〃A=P（l+cos。）/（逆时针方向）

法2

解：

设滑轮半径为R.选择梁和滑轮为研究对象，受力如图，列平衡＞

“人工+Psina=0

26=°

M-P(l-R)-Pcosa(l-/?)-Psina

E^=°A

求解以上三个方程，可得FAX，匕，，“人分别为：

心.丫=-Psina（与图示方向相反）

%，=P（l+cosa）（与图示方向相同）

MA=P（l+cos«）/（逆时针方向）

2-18均质杆AB重G,长/,放在宽度为a的光滑槽内，杆的B端作用着铅垂向下的力凡

如图所示。试求杆平衡时对水平面的倾角。。

解：

选AB杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程:

乙MA—ODcosa2

2尸产二°N［）coscz-G-F=0

求解以上两个方程即可求得两个未知量其中:

I

2(F+G)^p

a=arccos[

(2F+G)l'

未知量不一定是力。

2-27如图所示，已知杆AB长为/，重为P,A端用一球较固定于地面上，8端用绳索CB拉

住正好靠在光滑的墙上。图中平面408与。户夹角为。，绳与轴Ox的平行线夹角为°,

3

已知a=0.7〃z,c=0.4/n,tana=二,夕=45",P=200N。试求绳子

4

的拉力及墙的约束力。

解：

选杆AB为研究对象，受力如下图所示。列平衡方程：

P—rtanfr—cos9•c—FsinG-cfana=0

Z%=。2wen/>rc

用c=Q6N

P-a-F-c-FsinOa=0七二100N

z%=。BBC

由2尸丫二°和WZ二。可求出尸修尸小平衡方程ZM二°可用来校核。

思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个？

2-29图示正方形平板由六根不计重量的杆支撑，连接处皆为钱链。已知力户作用在平面

BDEH内,并与对角线80成45"角，OA=A。。试求各支撑杆所受的力。

解：

杆1,2,3,4,5,6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。选板ABCD

为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程：

^-COS45°=06=（）

ZMAO=°-6cos45°-a-Fcos45°cos45°•«=0

2（受

拉）

.M8”=0-%cos45°a-Ffycos450-a=0=——F

2（受

压）

=0%-6/+/^cos450•«-Fsin450a=02（受

压）

户1万

CD=。

£MF1•a+-a-Fsin450-a=0（受

拉）

ZMBC=。F^a-COS450-A=0民=0

本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。类似本题

的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避免

求解联立方程。

2-31如图所示，欲转动一置于V形槽中的棒料，需作用一力偶，力偶矩M=15OON・C”7。

已知棒料重o=400N,直径0=25cm.试求棒料与v形槽之间的静摩擦因数人。

解：

取棒料为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：

（）

F,+/9COS45-/V2=0

F-psin450+7V,=0

NK=。2

IX=。（FX^F2）--M=0

补充方程：

F'=fN

五个方程，五个未知量£,可得方程:

2M.我-桓.p.D.人+2M=0

解得Ai=0.223,/52=4.491。当启=4491时有：

N\=詈1呵〈°

^2（14-/j2）

即棒料左侧脱离v型槽，与题意不符，故摩擦系数八"。？23。

2-33均质杆AB长40cm,其中人端靠在粗糙的铅直墙上，并用绳子CD保持平衡，如图所

示。设“C=15c〃2,AO=25cm,平衡时a角的最小值为45"。试求均质杆与墙之间的静

摩擦因数,。

解：

当a=45°时，取杆AB为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：

F一7sin。=0

v

F+Tcos。—p=0

s

______八§

Tcos。•ACCsina-TsmO-ACcosa-p----sina=0

2

附加方程:FS=fsFN

四个方程，四个未知量Ev，吊，了，£,可求得力二0・646。

2-35在粗糙的斜面上放着一个均质棱柱体，4,4为支点，如图所示。若A3=3C=AC,

人和B干斜而间的静摩擦因数分别为和＜2.试求物体平衡时斜面与水平面所形成的最

大倾角ao

解：选棱柱体为研究对象，受力如图所示。假设棱柱边长为a,重为P,列平衡方程

rFM-a-Pcosa•—+Psina—=0

M-0

.八NB22A/3

，

—

—M-0

TI,8-Fv&,a+Pcosa-+Psina-^==0

F3附

・-2273

LK

+FB-Psina=0

如果棱柱不滑动,则满足补充方程"=3A时处于极限平衡状态。

=

“8f$2^NB

V

解以上五个方程,可求解五个未知量6耳小品，尸其中:

亚人十九)

tana=

⑴

当物体不翻倒时O,则:

a<60°⑵

即斜面倾角必须同时满足(1)式和(2)式,棱柱才能保持平衡。

3・1048工。和。七三杆连接如图所示。杆OE上有一插销”套在杆AC的导槽内。试求在水

平杆DE的一端有一铅垂刀尸作用时，杆AB所受的力。设4。=DB,DH=HE,BC=DE,

杆重不计。

解：

假设杆AB,DE长为2a。取整体为研究对象，受力如右图所示,

2>c=0F^y-2t/=0

皈，二。

取杆DF.为研究对象.受力如图所示，列平衡方程：

a-F-a=0F[)y=F

=2F

0FDX

取杆AB为研究对象,受力如图所示，列平衡方程：

£Fy=0后1，+/小，+尸件=0

“»"一/（与假设方向相反）

2>A=。FDxa+FBx'2a=^

口84二一/（与假设方向相反）

-f7Ax•2a-A，”0

&X二一尸（与假设方向相反）

3.124民4仁4。和8（7四杆连接如图所示。在水平杆A8上作用有铅垂向下的力尸。接触

面和各钱链均为光滑的，杆重不计，试求证不论力尸的位置如何，杆AC总是受到大小等于

产的压力。

解：

取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

ZMc=0FD-b-Fx=0

取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：尸0

=°FBb-Fx=O

FB=­F

b

杆AB为二力杆，假设其受压。取杆AB和AD构成的组合体为研究对象，受

列平衡方程：

2加£二0（FR+FD）T+F.，-X）_FAC・；=U

解得=命题得证。

注意：销钉A和C联接三个物体。

3・14两块相同的长方板由较链C彼此相连接，且由钱链A及B固定，如图所示，在每一平

板内都作用一力偶矩为M的力偶。如忽略板重，试求较链支座A及8的约束力。

解：

取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，

因此有：

=0MA（FB）-M+M=0

即弓必过A点，同理可得匕必过B点。也就是&和F"是大小相等,

方向相反且共线的一对力，如图所示。

取板AC为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

!>c=0

FASin45°-a-FAcos45°b-M=0

解得：

吊=』1"■（方向如图所示）

3・20如图所示结构由横梁A3,和三根支承杆组成，载荷及尺寸如图所示。试求A处的约

束力及杆1,2,3所受的力。

解：

支撑杆1,2,3为二力杆，假设各杆均受压。选梁BC为研究对象，受力如图所示。其中均

布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa,作用在BC杆中点。列平衡方程：

B=07*3sin450.a-2qaa-M=0

氏=血i-（一M+2网）（受压）

a

选支撑杆销钉D为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程:

£久=0E-Ecos45°=0

Fj=—+2qa（受压）

a

一七一七在（受拉）

Z4=osin45°=0F2=-（—+2）

选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

YFV=0FX+FCOS45°=0F^=-（—+2qa）（与假设方向相反）

X3a

例

ZPy-0^Ay+%+乃sin45°-P-4qa=0FAy=P+a

=0MA+7*2-a-P2a-4qa•2。+丹sin45°3a-M=0

MA=4q〃2+2Pa-M（逆时针）

3-21二层三较拱由和EG四部分组成，彼此间用较链连接，所受载荷如图所

示。试求支座A8的约束力。

解•:g-

选整体为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：

EMA-o

F^y-2a—F2a=0F^y=F

EMO

8--F^-2a—F-2a=0F^=-F

Zyy

今=O

尸Ar十尸丛十尸=°（1）

由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象，作用于其上的力汇及

受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得:

口叵口

Fp=----卜

2。

取CEB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

=。

•a+Fgy•。一生sin45°-a=0^Bx=

代入公式（1）可得：

「F

FAX=--

FB.

3・24均质杆A3可绕水平轴A转动，并搁在半径为，•的光滑圆柱上，圆柱放在光滑的水平面

上，用不可伸长的绳子AC拉在销钉A上，杆重16N,AB=3f\AC=2ro试求绳的拉力

和杆A8对销钉A的作用力。

\//rAx

解：

取杆AB为研究者豪7饰r量必依力如思厮示。列平衡方程：

23=0M.百一P^cosi60°=0..

N]=6.9n3o(zN)

Z"二0/加-州5抽60°=()FA.X=6(N)

£Fy=0F^,+N\cos600-」P=0%=12.5(N)

取圆柱C为研究对象，受力如图所示。列平彳衡方程：

WX=。Nicos300-Tcos3Cl°=0T=6.93(N)

注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体;为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对

销钉的作用力。

3-27均质杆/W和BC完全相同，A和B为8?链连接，C端靠在粗糙的墙上，如图所示。设

静摩擦因数£二0353。试求平衡时夕角的；范围。

解：

取整体为研究对象，设杆长为L,重为P,Q9力如图所示。列平衡方程：

p

yM、=0F.-2Lsin^-2P--cos^=0FM=-------

=八八2八2tang

(1)

取杆BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

±MB=0K/Usine+P*|cose-EZ.cos6=()Fs=P

(2)

E'JA

尸砂

N'

ACF

F<FN1

补充方程：$一*

将(1)式和(2)式代入有:tan"”,即0K10%

2

3・30如图所示机构中，已知两轮半径量R=10c〃?，各重P=9N,杆AC和AC重量不计。

轮与地面间的静摩擦因数人二02,滚动摩擦系数5=O.lcvn.今在杆中点加一垂直力

F。试求：平衡时尸的最大值％ax：

当尸=Enax时，两轮在。和£点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩。

解：

取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

JE心=oJFSD-FSE=（）

|EF.y=°\FND+FNE-F_2P=0

由题可知，杆AC为二力杆。作用在杆BC上的力有主动力产，以及B和C处的约束力七

取轮A为研究对象，受力如图所示，设'4的作用线与水平面交于F点，列平衡方程

FSD•R_M。=0

=o(FND-F),R-MD=0

取轮B为研究对象,受力如图所示，设盘的作用线与水平面交于G点,

EMB=0M£—FSE•R=o

1>G=。ME+(P—FNE),Rtan<9=0

解以上六个方程，可得：

13

FND=P+不FNE=P+'F

FSD=FSE=:尸MD==；FR

4,4

若结构保持平衡，则必须同时满足：

MD&5FND,ME^BFNE,FSDW"FND,FSEfsFNE

即：

R-5A-3bi-fs\-3fsR-5

因此平衡时产的最大值A®=6%,此时：

FSD=FSE=0.091(N)M[)=ME=0.91(Ncm)

3・35试用简捷的方法计算图中所示桁架1,2.3杆的内力。

解：

由图可见杆桁架结构中杆CF,FG,EH为零力杆。用剖面SS将该结构分为两部分，取上面

部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

2>c=o

—/sin。一FH=0用=-31.3（受拉）

F?+Fjcos。一%二06=41.67（受压）

3-38如图所示桁架中，A8COEG为正八角形的一半，4E,GC,G8各杆相交但不连接。

试求杆4c的内力。

解•：假设各杆均受压。取三角形BCG为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：

=0FCD=/（受压）

一9J+」

其中：2+拒，解以上两个方程可得：户*•=6586/（受压）

3・40试求图中所示桁架中杆1和2的内力。

解：

取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:

ZMA=OF8-2a-F-2a-F-3a=0FB=2.5F

用截面S-i殳力如图所

示。列平衡方程：

7

=0F-a+F-a-F-3a=0F,二一/（受拉）

B26

=*"（受拉）

Z&=02F_F「F?=0F,

6

4-1力船垂地作用于杆AO上,A°=68O,CO|=5DOi9在图示位置上杠杆水平，杆。。与

。石垂直。试求物体M所受的挤压力户”的大小。

解：

1.选定由杆OA,O.C,DE经成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的主

动力为F，FM。

2.该系统的位置可通过杆OA与水平方向的夹角0完全确定，有一个自由度。选参数,为

广义坐标。

3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆0A有一个微小的转角阴，相应的各点的虚

位移如下：

3r

SrA=OA^f&卫=百豆•阳，C=0x0d0

=Q\D♦dB,,3r力=

代入可得：&人=

4.由虚位移原理汇"（片）=°有:

F^rA-FM•5%=（30/一加）加后二0

对任意雕工。有：FM=^F,物体所受的挤压力的方向竖直向下。

4-4如图所示长为/的均质杆A-其A端连有套简，乂可沿铅垂杆滑动。忽略摩擦及套筒重

量，试求图示两种情况平衡时的角度°。

解：4a

1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。

2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角e完全确定，有一个自由度。选参数e为广义

坐标。

由几何关系可知：

杆的质心坐标可表示为:

=-------------------------cos^

3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB逆时针旋转一个微小的角度〃，则质心

C的虚位移：

&C=-----------+-sin<9-6^

si"2

4.由虚位移原理汇刖（e）=°有:

一P•&c=-P(-------^―+—sin<9)宓=0

sin"2

对任意&9H。有：

--------------F—sin<9=0

sin"2

即杆AB平衡时：

0=arcsin(-^-)3

解：4b

1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。

2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角e完全确定，有一个自由度。选参数e为广义

坐标。

由几何关系可知：

R

ZA=-----------

sin0

杆的质心坐标可表示为：

RI八

----------------cost/

cSing2

3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB顺时针旋转一个微小的角度必，则质心

C的虚位移：

R

cos。•必-4-—sin0•30

sin26?2

4.由虚位移原理\"（耳）=°有:

-P=一尸（——cos夕+,sin。）彭=0

sin292

对任意49大。有：

---------=-cos3H—sin夕=0

sin26^2

即平衡时夕角满足：2RcosJ-/sin3e=0。

Cl

4-5被抬起的简化台式打字机如图所示。打字机和搁板重p,弹簧原长为5,试求系统在e角

保持平衡时的弹簧刚度系数值。

解：

1.选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力耳，入，且月=八,将弹簧力视

为主动力。此时作用在系统上的主动力有石，鸟，以及重力产。

2.该系统只有一个自由度，选定J为广义坐标。由几何关系可知：

z4=z^=62-sin<9

3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移加，则质心的虚位移为：

SZQ=应4=5ZB=acosO-60

/c•夕

/=2asm一0八

弹簧的长度2,在微小虚位移四下：

况=accsJ♦68

2

4.由虚位移原理\"(6)=°有：

/□

P•8zc-F2S/=(Pa-cosd-F2a-=()

=k(J2asin———)

其中22,代入上式整理可得：

[2尸cos。一Z：67(2sin0—cos—)ly(^<9=0

由于aw。，对任意刈工。可得平衡时弹簧刚度系数为：

.2Pcos6?

k=----------------------百

a(2sin夕—cos—)

4-6复合梁AD的一端砌入墙内，B点为活动较链支座，C点为较链，作用于梁上的力

£=5ZMF2=4KV，K=3AN,以及力偶矩为M=2&N-〃z的力偶，如图所示。试求固

定端4处的约束力。

解:

解除A端的约束，代之以《心，入门"A,并将其视为主动力，此外系统还受到主动力

F{7F2,F^M的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移X八，％和梁AC的转角0为

广义坐标。

1.在不破坏约束的前提下给定一组虚位移"八#°，为八=°，9=°,如图所示。由

虚位移原理工瓯（耳）=°有：

FAx=O

对任意及A*。可得：=0

2.在不破坏约束的前提下给定一组虚位移&A=°，》A=°，丽=°,如下图所示。

由虚位移原理£区"（百）一0有：

由几何关系可得各点的虚位移如卜:

=»3==:今八

代入⑴式：

（_7%,+耳+；己—行+：/）,柒4=0

对任意血工0可得：外=4（"）,方向如图所示。

3.在不破坏约束的前提下给定一组虚位移及八=°，今入=°，初如上图所示。

由虚位移原理工*（耳）=°有：

—M八•»F、♦6y+F-6y—F-Sy4-M•^3—0

x22x3⑵

有几何关系可得各点的虚位移如下：

砌=28cp»3=力C=3&P

30=B(p今2=母=(ip

代入(2)式：

C-MA+2巧+乃一3入+")仔=0

对任意6。工°可得：M八=个"〃1),逆时针方向。

4・7图示结构上的载荷如下：q=2kN，n；力F】=4kN；力Fz^kN,其方向与水平成

60”角；以及力偶，其力懦矩为M=18ZN-〃2°试求支座处的约束力。

解：

解除B点处的约束，代之以力心，并将其视为主动力，系统还受到主动力片，

的作用，如图所示。在不破坏约束的前提下，杆AC不动，梁CDB只能绕C点转动。系统有

一个自由度，选转角夕为广义坐标。给定虚位移加，由虚位移原理£.(月)=°有:

FB•SrBcos45°+A7•6J+乃•@笃cosl50°一八今3=。

(1)

各点的虚位移如下：

5rB=672•用今2=9•宓»3=3•9

代入⑴式整理可得：

9A/3

(6FB+M三一3巧)母=0

对任意Mx。可得：复=18.6(4%),方向如图所示。

2.求固定端A处的约束力

解除A端的约束，代之以尸叱尸2rM八，并将其视为主动力，系统还受到主动力

居，闻的作用.系统有三个自由度，选定A点的位移x2乃和梁AC的转角夕为广

义坐标。

2a.求又

在不破坏约束的前提下给定一组虚位移届八"°，⑦'A=°，彭=°,此时整个结构平移，如

上图所示。由虚位移原理2*(耳)=°有：

F4r,&A+再•&2cos1200=0②

各点的虚位移如下：

&]=&2=&A

代入(2)式整理可得：

—巧一。s&A》"。

F

对任意及人工°可得：AX=2(",方向如图所示。

2b.求仁

在不破坏约束的前提下给定一组虚位移&A=O,X0,9=0,此时梁AC向上平

移，梁CDB绕D点转动，如上图所示。由虚位移原理Z"(5)=°有：

FAy^yA-乃.»3+&e'2cos30°-MM=()八

,(3)

各点的虚位移如下：

为2=»3M==<aA

2236

代入⑶式整理可得:

Ici

（FAy一万&+~F2一5“）,冷〃=°

对任意风会0可得：/=3.8(XJV),方向如图所示。

2c.求知人

在不破坏约束的前提下给定一组虚位移&八=°，⑦〜=°，数工°，此时梁AC绕A点转

动，梁CDB平移，如上图所示。由虚位移原理笈)=°有：

—MA,B9+/*],&■]+/*2,cosl200=0(4)

各点的虚位移如下：

物=3do杰2=&C=6箔

代入⑷式整理可得：

(-MA+3Fl-3F2)^=0

对任意加工。可得：肛=-24伏M〃z),顺时针方向。

4.8设桁架有水平力K及铅垂力尸2作用其上，且AD=DC=CE=BE=DK=KE,

a=30"。试求杆1,2和3所受的力。

解：

假设各杆受拉，杆长均为a。

1.求杆1受力

去掉杆1,代之以力身，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角夕为广义坐标，如

上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK形状不变，绕A点转

动，因此有际上AD,“AK,且：

=a-dO3伏—\f3a•SO

滑动支座B处只允许水平方向的位移，而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向，故B点不动。

三角形BEK绕B点旋转电上BE,且：

^rE=Bp=69

对刚性杆CD和杆CE,由于防-LCDy3rE_LCE,因此西7=°。由虚位移原理

汇汕（e）=o有：

（巧+勺）•而CQS600+6左cos60°=0

代入各点的虚位移整理可得：

（g+2弓）口箔=0

P、=一五

对任意加工0可得：2（受压）。

2.求杆2受力

去掉杆2,代之以力己，系统有一个自由度，选BK与水平方向的夹角夕为广义坐标，如

上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆AK绕A点转动，因此有

^±AKf且：

SrK=yf3a•SO

同理可知B点不动，三角形BEK绕B点旋转外,耳石，且：

5rE=。•题=^rD=a

杆AD绕A点转动孤±ADf由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方向如图

所示，且：

=a、SO

同理可知%=°。由虚位移原理£m（月）=°有：

7*1•6ri）cosl20°+Py•血）cosl50°+Fh'^rKcos120°=0

代入各点的虚位移整理可得：

（g+2行生）a彭=0

一巫

对任意eX。可得：-6（受压）。

3.求杆3受力

去掉杆3,代之以力G,系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角9为广义坐标，如

上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK绕A点转动，

砌）±AD,^rK±AK且：

=V3cz-SO

同理可知B点不动，S7'BE,且：

5力=§9—a■密6丫c~0

由虚位移原理£附（耳）=°有：

Fx•e>rDcos60°+F^3rEcosl500+八•风cosl20°=0

代入各点的虚位移整理可得：''

（F]一20七）々诩=0

P

对任意9工0可得：36（受拉）。

4・12杆长2b,重量不计，其一端作用铅垂常力尸，另一端在水平滑道上运动，中点连接弹

簧，如图所示。弹簧刚度系数为匕当y=0时为原长。不计滑块的重量和摩擦，试求平衡

位置）'，讨论此平衡位置的稳定性。

解：

F大小和方向不变，常力也是有势力。取杆和弹簧构成的系统为研究对象。该系统为保守系

统，有一个自由度，选夕为广义坐标，如图所示。取e=。为零势能位置，则系统在任意

位置的势能为：

V=%单+Vp

19

=—k（b——F（2b—2/?cos（9）

=；加（1—cos。/-2Fb（\—cos。）

dV

=0

由平衡条件de可得:

6伙伙l-cos0）—2尸]sin，=0

有：sin0=O和左/1一。。5夕）一2尸=0

7F

即：9=0和cos〃=l--------

kb

也就是：y=0和v=二dF（kb—尸）两个平衡位置。

k

为判断平衡的稳定性，取势能V的二阶导数：

d2V

------=（kb-2F）〃cos£—k?2cos2^

d02

当。=0时，

之卫=-2Fbv0,即y=0时是不稳定立衡。

de2,

oF

当cos。=1-----时，

kb

2

dV=、F(kb-F)

dO1

由卜式可知：

1.当cos9=l-?且姑,尸时,等>0即）,[/（kb—F）是稳定平衡位置:

kb

2.当cosO=l—?且妨《尸时,禄W0即y=,F（kb—尸）是不稳定平衡位置。

kb

4-15半径为，•的半圆住在另一半径为R的半圆柱上保持平衡，如图所示。试讨论对无滑动

的滚动扰动的稳定性。

解：

取半在为।•的半圆柱为研究对象，圆心为

Co半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个

半圆心连线与y轴夹角0为广义坐标。作用在

半圆柱上的主动力为重力，系统为保守系统，

如图所示，其中〃=生。由于半圆柱作纯滚

3冗

动,有:

加=%⑴

取坐标原点为零势能位置，则半圆柱在任意位

置的势能为：

4尸

V=mgzc=mg[{R+r)cos6?-----cos(/?+J)]

3九

代入(1)式有：

,r/c、八4r,R+r八、、

VT=r)cos/9-----cos(------9)]

3兀r

dV1I"

=mg(R+r)f---sin(------9)一sin9]

~ae3兀r

由平衡条件把=o可得。=o为平衡位置。势能V的二阶导数:

de

d2V、14(R+厂),R+rA、4

-----=mg(7?+r)[cos(。)一cos〃]

d。-3"---------