《空间中的点、直线与空间向量》导学案

空间中的点、直线与空间向量》导学案

2.能利用直线的方向向量解决两条直线所成的角问题.3.初步了解两条异面直线的距离的

定义.

I♦重点难点’

重点：点的位置向量与直线的方向向量的概念及其应用

难点：用直线的方向向量解决两条直线所成的角，判断两直线平行与垂直

♦知识梳理

1•点的位置向量、直线的方向向量

位置一般地，如果在空间中指定一点0,那么空间中任意一点P的位置，都

向量可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量

一般地，如果1是空间中的一条直线，V是空间中的一个非零向量，

方向

且表示V的有向线段所在的直线与1平行或重合，则称V为直线1的

向T

一个方向向量.此时，也称向量V与直线1平行，记作V〃1

♦学习过程

_______________________________________________________________________________

一、情境导学

在交通繁忙的路口，交警常常借助专用的手势，作为“语言”来指挥交通.在不同领

域有不同的“语言”，研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的“向量语言”

来

进行.同学们，你们知道是如何提炼的吗？提炼出来后又将如何运用呢？

1/12

二、探究新知

问题1：(1)如图所示的，四血体A—BCD中，怎样借助空间

向量来描述A,B,C在空间中是不同的点？

(2)一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中点的位置？

问题2：⑴如图所示的长方卷月比%中，设=v,如果只借助V,能不能

确定直线AB在空间中的位置？

(2)一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中直线的位置？

1•点的位置向量、直线的方向向量

位置一-般地，如果在空间中指定一点0,那么空间中任意一点P的位置，都

向量可以由向量唯一确定.此时,通常称为点P的位置向量

一般地，如果1是空间中的一条直线，V是空间中的一个非零向量，

方向

且表示V的有向线段所在的直线与1平行或重合，则称V为直线1的

1句H

一个方向向量.此时，也称向量V与直线1平行，记作V〃1

2/12

思考：空间一条直线的方向向量唯一吗？

2.空间中两条直线所成的角

设V.V分别是空间中直线I,I的方向向量，且I与I所成角的大小为e.

121212贝ye=<v,v>或e=n\v,v>.

1212

特别地，sin(?=sinvv,v>,cose=lcosvv,v>l：1_Llow,v>=-ov*v=0

12121212I2

1.已知直线a,b的方向向量分别是m=(Lk,l),n=(k,k+2,2),若a_Lb.

则k=.

3.两条异面直线的距离

一般地，如果1与1是空间中两条异面直线，Acl,^,AB±l,AB±L则称AB

121212

为1与1的公垂线段.并且空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一.两条异面

12

直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离思考：怎样在空间直角坐标系中求两

条异面直线的公垂线段的长度？提示：利用向量共线、向量垂直的条件建立方程组，求出公

垂线段对应的向量，准确找出公垂线段在图中的位置，运用向量求出公垂线段的长度.

例1.已知正方体4BCD-4匕GZ中,E为C[D]的中点.

3/12

求证：直线BDi与直线CE不平•行

解决直线的位置关系，可用直线对应的方向向量的坐标来刻画，对于此类问题应注意

先要进行宏观判断，再合班地选取坐标公式.

若直线1的方向向量u=(a,b,c),直线1的方向向量为u=(a,b,c).(注：

1111122222

下面的文，kWR).

1.如果1〃1,那么u〃uou=.4uo(a,b,c)G'S,b,c)：

121212111222

2.如果1_L1,那么u_Luou・u=0oaa%b+cc=0.

121212121212

跟踪训练1已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是

0

A.a〃c,b"cB.a〃b,a_Lc

C.a〃c,albD.以上都不对

例2如图，在三棱锥O-ABC中，OA,OB,OC两两垂直，E为0C的中点，口

OR=OC=2OA=2,求直线AE与RC所成角的余弦值的大小.

求解异面直线夹角方法,常用的就是建系后利用向量的坐标处理,除此之外还要注意其

他方法的要领.

(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解.这种方法灵活技

巧性强,强调对夹角定义的挖掘.

(2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点44和则AB与CD可分别为a,A的方

向向量，则cos0=；这一方法思路简单，不需构造，但计算量一般较大.

IABHCDI

4/12

运用向量法常用两种途径：

①基底法

在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧.在由公式

cosva,b>"h求向量a,b的夹角时,关键是求出a*b及lai与Ibl,一般是把a,b用基向量田附

表示出来,再求有关的量.

②坐标法

根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的坐标,利用坐标法求线线角，避免

了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单.

跟踪训练2如图，在三棱柱曲8〃仍中，平面OBBO_L平面OAB,Z00B=60o,

min

ZA0B=90°,且0B=00=2,0A=俞，求异面直线AB与A0所成角的余弦值的大

例3如图，，ABC和ABCD所在平面互相垂直，1AB=BC=BD=2,ZABC=ZDBC=12伊.

£产分别为AC,DC的中点.

求证：EF±BC.

证明两直线垂直的基本步骤

5/12

建立空间直角坐标系f写出点的坐标f求直线的方向向量f证明向量垂直f得到两

直线垂直.对于几何体为三棱锥的情况一定要注意建系的重要性，要使已知数据和所用的点

更多地落在坐标平面或坐标轴上为标准.本例中要充分抓住平面ABC和平面BCD互相垂直这

一条件.

跟踪训练3已知正三棱柱AffC-腕的各棱长都为1,“是底面上BC边的中点，N是侧棱CC上

的点，且CN='Z求证：AB1MN

B~MC

金题典例：如图，已知血力中，AB=AC=l,ZACD=90°,将它沿对角线AC折起，便

AB与CD成60°角，求B,D间的距离.

\_____7n

.达标检测

1.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直线1上，则直线1的一个方向向量是()

A.(2,2,6)B.(-1,1,3)C.(3,1,1)D.(-3,0,1)

2.设直线1,1的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m)，若1」一1,则m

1212

等于O

A.-2B.2C.10D.6

3.已知a,b是异面直线，A,BGa,C,〃AC_Lb,即/b,且AB=2,CD=1,则a,

b所成的角是.

6.12

4.已知正方体被刀ABCD中,E是棱CC上的动点，求证：AE±BD.

min

参考答案:

知识梳理

学习过程

问题1:一般地，如果在空间中指定一点0,那么空间中任意一点P的位置，都可以有向量丽

唯一确定，此时，0?通常称为点P的位置向量.特别地，空间直角坐标系中的任意一点都有

它的位置向量唯i确定，从而也就有它的坐标唯一确定.

问题2：一般地如果2是空间中的一条直线，V是空间中的一个非零向量，且表示V的有向线

段所在的直线与2平行或重合，则称v为直线L的一个方向向量，此时也称v与直线2平行,

记作vII/

2

/.解析：Ta_Lb,.°.m_Ln即nrn=0.[.k+k+2k+2=0.

即k+3k+2=0,.°.k=—2或k=-1.答案：一1或一2

例1.证明：以D为原点，力4,反I而।的方向分别为兀轴，y轴，z轴正方向，正方体的棱

长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，贝忸(1,1,0)，。土(0,0,1),C(0,

It0),f(o,1,)

2

所以阿=(-1,-1,1),^j=(0,I,)

2

壬一

又因为，工三，所以BD〕与CE不平行.

-i-i_L

因为而为直线的一个方向，压向量为直线CE的一个方向，向量，当时BD】IICE必有而川心'

由上可知直线与直线不平行

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跟踪训练1答案：C

例2解：(方法一)

%

I—

K

根据已知可得丽，莎，怎不共面.

且］OA\=1,\0B\=\0C\=2

“A-、OE=OB祝=OCP1=Q

又因为亦二西_0万.〃•二%-"?

2

所以\亦\=身况况_UJ)=2,|66T=(OC-OB)(OC-OB)=8

所以cos<AE,次>=题林J

\AEB^CQ

因此直线AE与BC所成角的余弦值的大小为电

3

解：(方法二)因为OA,OB,0C两两互相垂直.

所以能以0为原点，阳,丽，0。的方向分别

为兀轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示直角坐标

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系，山OB=OC=2OA=2.

可知A(l,0,0),8(0,2,0),E(0,0,I),C(0,0,2),

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所以AE=(-1,0,1),OE=(0,0,1),因此

所以cos<AE,BC>=AU<€1X21

府RllnrlV2xV⑵》22

因此直线AE与BC所成角的余弦值的大小为电

3

解：(方法三)设0B的中点为F,连接EF,AF.由E,F分别为OC,0B中点可知EF

为AOBC的中位线，从而EFIIBC.

因此直线AE与BC所成角的大小等于直线AE与EF所成角的大小.乂易知OA=OE=OF=1,

而目.OA,0E,0F两两垂直.

因止匕AE=EF=AF=V2.

所以AAEF是等边三角形，从而乙4吠电

3

因此直线AE与BC所成角的大小为庄

3

跟踪训练2解：以0为坐标原点，。月，西的方向为》轴，/鼬的正方向.建立如图所示的彩：

间直角坐标系.

则0(0,0,0),0/(0,1,V3),A(V3,o,o),A/(V3,1,V3),B(O,2,0).

.A,B=(—V3,1,—V3),o±A­(V3,—1,一V3).

…/cos达瓦

II

1(一、3I.一、,3)・(、_/3・一】，­、")1=1

V7XA77

例,3%脚总纯题起秋〃丽曲解的毓施铝驿面DBC内过点B作垂直于BC的直线为X轴,

11

10/12

BC所在直线为y轴.

11/12

在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

易得8(0,0,0),/(0,—l,V3),〃(V3,—1,易，C(0,2,0).

0,工,点),尸(瓦】，0)

所以丽?於，0,一於:，阮二(0,2,0).

22

则丽•反'所以丽，反'，即防_LBC.

跟踪训练3证明：设AB中点为0,作00〃AA.以0为坐标原点，0B所在直线为x轴,

II

比1所在直线为y轴，00所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

,0,0：,C：0,号,0：.由已知得方」,0,

Arro,也,'

,24z

♦:V为比中点，•••〃「，血,

44

(1,0,1),•••顾•石二一，小引旬.

'44

.•.劭力区，即Z也±W

金题典例：错解：

如图，因为ZZQ9~90。.

所以正•而P,同理正•丽~0.

因为月〃与切的夹角为60°.

所以亦与Xb的夹角为60°.

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因为8。=氏4+AC+CD.

所以/而=/丽，2+/正/2+俪〃丹丽•盘WCD+2ACC=3+2C0S<53、CD>=4.

所以/而/2即区〃间的距离为2.

错因分析：由异面直线AB与CD成60°角得到丽，丽所成的角为60°,这是错误的.混淆了

异面直线所成的角与向量的夹角的定义,从而致误.

向量的夹角与向量的方向有关系，且向量的夹角的范围为0<8"；异面直线的夹角与直线

的方向没有关系，异面直线的夹角的范围是0<《，.两者的范围不一样.

2

正解：因为刃刃=如。.

所以正♦而R,同理正•丽K.

因为月〃与09的夹角为60°.

所以丽与石的夹角为60°或120°.

因为BD="BA+AC+CD.

所以/而Q/芮/2〃元’卜”而，2+2