2025北京朝阳高三一模数学试题及答案

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学试卷2025.3(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题40分和非选择题110分(1)已知集合A={x||x|<2},集合B={x|0≤x≤2},则A∩B=(2)设复数z=1+i的共轭复数为z,则z·z=8(6)已知曲线C:mx²-ny²=1,则“n>m>0”是“C为焦点在x轴上的双曲线”的高三数学试卷第1页(共6页)(7)已知sinα+sinβ=0,cosα+oonβ-√3,则cos(α-β)=((8)某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示.这条河两岸所在直线L,L₂互相平行，桥DE与河岸所在直线垂直.休闲公园的形状可视为直角三角形，它的三个人口分别设在直角三角形的顶点A,B,C处，其中入口A点(定点)在桥DE上，且A到直线L,L₂的距离分别为h₁,h(h₁.h,为定值),人口B,C分别在直线L₂,L上，公园的一边AB与直线L₂所成的锐角∠ABD为α,另一边AC与AB垂直设该休闲公园的面积为S(α),当α变化时，下列说法正确的是_(8题图)(D)若且,则S(α₁)=S(α₂)(10)n位同学参加学校组织的某棋类单循环制比赛，即任意两位参赛者之间恰好进行一场比赛.每场比赛的计分规则是：胜者计3分，负者计0分，平局各计1分.所有比赛结束后，若这n位同学的得分总和为150分，且平局总场数不超过比赛总场数的高三数学试卷第2页(共6页)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。(11)函数的定义域为以F为圆心，IFMI为半径的圆与抛物线C的准线的位置关系是.(场若存在a,b,c∈B(a≠b),使得f(a)=f(b)=c,则c的一个取值为环纪年.比如某一年为甲子年，则下一年为乙丑年，再下一年为丙寅年，以此类推即丙子年，以此类推.已知2025年是乙巳年.则2025年之后的首个己巳年 年.(用数字作答)(15)在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是底面A₁B₁C₁D₁内的动点，给出列四个结论：①IPA+PCl的最小值为2;②IPAI+IPCl的最小值为6;③IPI+IPCI的最大值为1+3;④IPAI²+IPCI²的最小值为3.其中所有正确结论的序号是(16)(本小题13分)AB//CD,AB=2,AD=CD=1,E为线段AB的中点.(Ⅱ)若平面A₁ABB₁⊥平面A₁ADD₁,A₁A=2,求平面A₁ABB₁与平面A₁C₁E夹角的余弦值.(17)(本小题13分)(Ⅱ)已知,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长.条件①:心●条件②:AB边上的高为心●条件③:注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.(18)(本小题14分)一地进行研学旅行.研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行高一高二高三满意236一般226568不满意116232择去B地的概率；小关系.(结论不要求证明)(19)(本小题15分)已知椭圆E(a>b>0)的右焦点为F(1,0),离心率(I)求椭圆E的方程；(Ⅱ)过点M(4,0)作直线I与椭圆E交于不同的两点A,B.设,直线BC与直线x=1交于点N,求证：直线AN的斜率为定值.(20)(本小题15分)(Ⅲ)若函数f(x)有3个不同的零点，求a的取值范围.(21)(本小题15分)(i<j).使得s,a,+5.,a..+…+s,-1.1},则称Q为连(I)判断Q₁:1,3,2和Q₂:4,2.4是否为连续可归零数列?并说明理由；(Ⅱ)对任意的正整数i,记v(i)=max{v∈Nli=u·2°,u∈N'},其中maxS表示数集S中最大的数.令a,=2²-(i=1,2,…,7),求证：数列Q:a,a₂.….a,(Ⅲ)若Q:a₁,a₂,…,a,的每一项均为不大于k(k∈N')的正整数，求证：当n≥2k(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学试卷参考答案2025.3(11)(0,1)(12)(0,1);相切(13)-3;4(答案不唯一)三、解答题(共6小题，共85分)(16)(本小题13分)因为AB=2,CD=1,E为AB的中点，又AB//CD,所以四边形AECD为平行四边形.所以EC//AD,EC=AD.所以A₁D₁//EC,A₁D₁=EC.所以四边形A₁ECD₁为平行四边形.所以A₁E//D₁C.又因为A₁EC平面C₁CDD₁,D₁CC平面C₁CDD₁,(Ⅱ)因为AA₁⊥平面ABCD,又因为平面A₁ABB₁⊥平面A₁ADD₁,平面A₁ABB₁∩平面A₁ADD₁=AA₁,ADC平面A₁ADD₁,所以AD⊥平面A₁ABB₁.所以AB,AD,AA₁两两垂直，则D(0,1,0),B(2,0,0),A₁(0,0,2),C₁(1,1所以E(1,0,0),EA₁=(-1,0,2),A₁Ci=(1,1,0)因为AD⊥平面A₁ABB₁,所以AD=(0,1,0)是平面A₁ABB₁的法向量.设平面A₁C₁E的法向量为n=(x,y,z),即令x=2,则y=-2,z=1.于是n=(2,-2,1).设平面A₁ABB,与平面A₁C₁E夹角为0,则(17)(本小题13分)又因为C∈(0,π),所以sin(π-C)=sinC≠0.所以又因为,所以,所以选条件②:因为c=1,AB边上的高,所以又因为,所以所以因为,所以又,所以a²+b²=-3,不符合题意.(18)(本小题14分)事件D:抽取的3人中至少有2人选择去B地.选择去B地的总数为2+2+1=5,所以P(A₁)可估计:抽取的100名学生中高二年级学生总数为18+6+6+3+5+2=40,选择去B地的总数为3+5+2=10,所以P(A₂)可估计抽取的100名学生中高三年级学生总数为15+6+3+6+8+2=40,选择去B地的总数为6+8+2=16,所以P(A₃)可估计因为D=C₂UC₃=A₁A₂A₃UA₁A₂A₃UA₁A₂A₃所以抽取的3人中至少有2人选择去B地的概率可估计为(19)(本小题15分)…由△=(-32k²)²-4(4k²+3)(64k²-12)>0,得,即所以直线AN的斜率为定值-1.…………15分(20)(本小题15分)设函数h(x)=ax²+(2a-2)x+a.所以h(x)≥0,即f'(x)≥0.所以函数f(x)在区间[1,+]上单调递增.(Ⅲ)函数f(x)的定义域为(0,+○),②当时，由(Ⅱ)可知函数f(x)在区间(0,+)上单调递增，f'(x),f(x)的情况如下：x+0一0+↗因为f(1)=0,所以1为f(x)的一个零点.所以存在唯一实数t₁∈(0,1),使得f(t₁)=0.所以存在唯一实数t₂∈(1,+),使得f(t₂)=0.所以函数f(x)有3个不同的零点.(21)(本小题15分)取s₁=1,s₂=-1,s₃=1,则s1a₁+所以数列Q₁是连续可归零数列.数列Q₂不是连续可归零数列，理由如下：因为s₁,s₂,s∈{-1,1}是奇数，故2s₁+S₂+2s₃是奇数，所以2(2s₁+Sz+28₃)≠0.因为s₁,s₂∈{-1,1}是奇数，故2s₁+s₂是奇数，所以2(2s₁+S₂)≠0.所以数列Q₂不是连续可归零数列.………………4分(Ⅱ)因为1,3,5,7是奇数，故v(1)=v(3)=v(5)=v(7)=0,所以a₁=a₃=a₅=a₇=2²-⁰=4.因为v(2)=v(6)=1,所以a₂=a₆=2²-¹=2.因为v(4)=2,所以a₄=2²-²=1.所以数列Q:4,2,4,1,4,2,4.因为s;,si+1,…,s;={-1,1}(1≤i<j≤7),所以s₁a;+S:+1a+1+…+s;a;与a;+ai+1+…+a;奇偶性相同.所以a;+ai+1+…+a;为奇数.当(i,j)取(1,2),(1,3),(2,3),(5,6),(5,7),(6,7)时，