新北师大版九下数学3.3垂径定理

3.3垂径定理第1页不要说成“圆直径”呦！圆对称性圆是轴对称图形吗？假如是,它对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？你是用什么方法处理上述问题?圆是轴对称图形.圆对称轴是任意一条经过圆心直线,它有没有数条对称轴.可利用折叠方法即可处理上述问题.●O第2页圆相关概念：弧、弦、直径圆上任意两点间部分叫做圆弧,简称弧.直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如圆弧ABC).连接圆上任意两点间线段叫做弦(如弦AB).●O经过圆心弦叫做直径(如直径AC).直径是圆中最大弦。AB⌒以A,B两点为端点弧.记作

,读作“弧AB”.AB⌒小于半圆弧叫做劣弧,如记作ABC⌒ABD大于半圆弧叫做优弧,如记作D直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧

注意：第3页问题1：垂直于弦直径有什么特点？

如图AB是⊙O一条弦.作直径CD，使CD⊥AB垂足M.(2)你能发觉图中有哪些等量关系?说说你理由.●O(1)下图是轴对称图形吗?假如是,其对称轴是什么?ABCDM└小明发觉AM=BM,AC=BC,AD=BD。他是这么想：⌒⌒⌒⌒连接OA,OB,则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.定理垂直于弦直径平分这条弦,而且平分弦所正确两条弧.第4页垂径定理垂直于弦直径平分这条弦,而且平分弦所正确两条弧.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒

AC=BC,⌒⌒

AD=BD.能够是直径，也能够是半径，还能够是过圆心直线或线段。第5页问题2

平分弦直径有什么特点？AB是⊙O弦（不是直径),作一条平分AB直径CD,交AB于点M..（2）你能发觉图中有哪些等量关系?说说你理由.●O（1）下图是轴对称图形吗?若是,对称轴是什么?CD●MAB平分弦

直径垂直于弦,而且平分弦所正确两条弧.垂径定理的推论（不是直径）连接OA,OB,在△OAM和△OBM中,∵OA=OB,OM=OM,AM=BM∴△OAM≌△OBM(SSS).∴∠AMO=∠BMO=900.∴点A和点B关于直径CD对称.∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.第6页垂径定理推论

假如圆两条弦相互平行,那么这两条弦所夹弧相等吗?提醒:这两条弦在圆中位置有两种情况:●OABCD1.两条弦在圆心同侧●OABCD2.两条弦在圆心两侧垂径定理推论

圆两条平行弦所夹弧相等.MN作直径MN，且MN⊥AB∴AM=BM⌒⌒又∵AB∥CD,∴MN⊥CD⌒⌒∴CM=DM∴AC=BD⌒⌒∴AM-CM=BM-DM⌒⌒⌒⌒圆弧加减第7页解这个方程，得R=545.例1、如图，一条公路转弯处是一段圆弧（即弧CD,点0是弧CD圆心），其中CD=600m，E为弧CD上一点，且OE垂直于CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路半径。EODCF解：连接OC，设弯路半径为Rm,则OF=(R-90)m。

∵OE⊥CD∴CF=CD=x600=300(m).由勾股定理得

OC²=CF²+OF²即R²=300²+(R-90)².答：这段弯路半径为545m第8页我来判：1、判断：⑴垂直于弦直线平分这条弦,而且平分弦所正确两条弧.（）⑵平分弦所正确一条弧直径一定平分这条弦所正确另一条弧.（）⑶经过弦中点直径一定垂直于弦.（ ）（4）弦垂直平分线一定平分这条弦所正确弧.（）√×√×第9页2.如图为一圆弧形拱桥，它跨度（即弧所正确弦长）为37.4m，拱高(即弧中点到弦距离)为7.2m，求桥拱所在圆半径。

⌒AODC解：连接AB,作CO⊥AB,交AB于点C,交AB于点D.⌒连接OA,OBB∵OC⊥AB,∴AD=AB=×37.4=18.7在Rt△ODA中，OD=R-7.2，OA=R，AD=18.7∴R2=(R-7.2)2+18.72∴R≈27.9m答：桥拱所在圆半径是27.9m第10页2、如图在⊙O中，AB为⊙O弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD.求证：△OCD为等腰三角形。E第11页挑战自我3、如图⊙O中，AB为弦，C为弧AB中点，OC交AB于D,AB=6cm,CD=1cm.求⊙O半径OA.解：∵C为弧AB中点，∴OC⊥AB,AD=AB=×6=3cm在Rt△AOD中，AD=3，OD=R-1，OA=R由勾股定理得：R2-(R-1)2=32解之得：R=5答：⊙O半径为5cm第12页4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE长.·ABCD0EFGH解：过点O作OM⊥AD,交BC于N.MN∴HM=MG=HG=×6=3同理EN=NF=EF=×10=5又∵AH=4∴在矩形ABNM中，BN=AM=AH+HM=7BE=BN-EN=7-5=2第13页垂径定理垂直于┗平分这条弦，而且平分弦所正确弧

弦直径在⊙O中，直径CD⊥弦AB∴AM=BM=AB⌒AC=BC⌒⌒AD=BD⌒谈收获第14页垂径定理的逆定理┗在⊙O中，直径CD平分弦AB∴CD⊥AB⌒AC=BC⌒⌒AD=BD⌒弦（不是直径）而且平分弦所正确弧平分直径垂直于弦，第15页垂径定理的逆定理弦