2025年高考数学必刷题分类：第57讲、直线的方程（学生版）

第57讲直线的方程

知识梳理

知识点一：直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角

若直线l与x轴相交，则以x轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l重合所成的角

称为直线l的倾斜角，通常用，，，表示

（1）若直线与x轴平行（或重合），则倾斜角为0

（2）倾斜角的取值范围[0，)

2、直线的斜率

设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为ktan

（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的

2

（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率

（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广

（与直线方程相联系）

（4）k越大，直线越陡峭

（5）倾斜角与斜率k的关系

当k0时，直线平行于轴或与轴重合；

当k0时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k的增大而增大；

当k0时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k随的增大而减小；

3、过两点的直线斜率公式

yy

，，21

已知直线上任意两点，A(x1y1)，B(x2y2)则k

x2x1

（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．

（）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为

2x1x2AB90°

4、三点共线．

两直线AB，AC的斜率相等→A、B、C三点共线；反过来，A、B、C三点共线，则直

线AB，AC的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．

知识点二：直线的方程

1、直线的截距

若直线l与坐标轴分别交于(a，0)，(0，b)，则称a，b分别为直线l的横截距，纵截距

（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要

顾名思义误认为与“距离”相关）

（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线

2、直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式yy1kxx1不含垂直于x轴的直线

斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线

yyxx

11

两点式不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)

y2y1x2x1

xy

截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线

ab

AxByC0

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

(A2B20)

3、求曲线（或直线）方程的方法：

在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：

（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直

接法则需找到两个点，或者一点一斜率

（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线

方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）

4、线段中点坐标公式

若点，的坐标分别为，，，且线段的中点的坐标为，，则

P1P2(x1y1)(x2y2)P1P2M(xy)

x1x2

x

2

，此公式为线段PP的中点坐标公式．

yy12

y12

2

5、两直线的夹角公式

k2k1

若直线yk1xb1与直线yk2xb2的夹角为，则tan.

1k1k2

必考题型全归纳

题型一：倾斜角与斜率的计算

例1．（2024·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知是直线x2y30的倾斜角，则

π

2sinsin

4的值为（）

cos2

4454535

A．B．C．D．

331520

例2．（2024·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）已知直线l的一个方向向量为

ππ

psin,cos，则直线l的倾斜角为（）

33

ππ2π4π

A．B．C．D．

6333

例3．（2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）经过A(1,3),B(3,3)两

点的直线的倾斜角是（）

A．45B．60C．90D．120

变式1．（2024·全国·高二专题练习）如图，若直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3，则（）

A．k1k3k2B．k3k1k2

C．k1k2k3D．k3k2k1

变式2．（2024·全国·高二专题练习）直线y3x3的倾斜角为（）

A．30B．60C．120D．150

变式3．（2024·全国·高二课堂例题）过两点A4,y，B2,3的直线的倾斜角是135°，则y

等于（）

A．1B．5C．1D．5

变式4．（2024·高二课时练习）直线l经过A2,1，B1,m2mR两点，那么直线l的斜

率的取值范围为（）．

A．0,1B．,1C．2,1D．1,

1

变式5．（2024·全国·高三专题练习）函数f(x)x3x2的图像上有一动点，则在此动点处

3

切线的倾斜角的取值范围为（）

3ππ3π

A．0,B．0,,π

424

3ππ3π

C．,πD．,

424

【解题方法总结】

yy

正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式k12，根据该公

x1x2

式求出经过两点的直线斜率，当x1x2,y1y2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90，求斜

率可用ktan(90)，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢

记“斜率变化分两段，90是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切

函数在0,,上的图像来认识．

22

题型二：三点共线问题

k

例4．（2024·全国·高二专题练习）已知三点(2,3),(4,3),5,在同一条直线上，则实数k的

2

值为（）

A．2B．4C．8D．12

例5．（2024·辽宁营口·高二校考阶段练习）若三点A0,8，B4,0，Cm,4共线，则实

数m的值是（）

A．6B．2C．6D．2

例6．（2024·重庆渝中·高二重庆复旦中学校考阶段练习）若三点M（2，2），N（a，0），

11

Q（0，b），（ab0）共线，则的值为（）

ab

11

A．1B．1C．D．

22

变式6．（2024·全国·高三专题练习）若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则

a＝（）

25

A．1±2或0B．或0

2

252+5

C．D．或0

22

【解题方法总结】

斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，

即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．

题型三：过定点的直线与线段相交问题

例7．（2024·吉林·高三校考期末）已知点A1,3,B2,1.若直线l:ykx21与线段

AB相交,则k的取值范围是（）

1

A．kB．k2

2

11

C．k或k2D．2k

22

例8．（2024·高三课时练习）已知点M2,3和N3,2，直线l:yaxa1与线段MN相

交，则实数a的取值范围是（）

33

A．a或a4B．4a

44

33

C．a4D．a4

44

例9．（2024·全国·高三专题练习）已知A2,0，B0,2，若直线ykx2与线段AB有

公共点，则k的取值范围是（）

A．1,1B．1,

C．0,1D．,11,

变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知点A2,3,B3,2，若直线axy20与线段AB

没有交点，则a的取值范围是（）

5445

A．,,B．,

2332

5445

C．,D．,,

2332

变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知直线xay2a0和以M3,5,N4,2为端点的

线段相交，则实数a的取值范围是（）

A．a1B．1a1

C．a1或a1D．a1或a1或a0

变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知A2,3，B3,2，直线l过点P1,1且与线段AB

相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）

33

A．k4或kB．4k

44

143

C．k或kD．k4

434

变式10．（2024·全国·高三对口高考）已知点P1,1,Q2,2，若直线l:xmym0与PQ的

延长线（有方向）相交，则m的取值范围为．

变式11．（2024·全国·高三专题练习）已知A(1,2),B(2,4)，点P(x,y)是线段AB上的动点，

y

则的取值范围是.

x

变式12．（2024·全国·高三专题练习）Px，y在线段AB上运动，已知A2，4，B5，2，

y1

则的取值范围是.

x1

【解题方法总结】

一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点

Ax1,y1,Bx2,y2,Px0,y0PxlP

的任一直线l的斜率为k，则当l与线段AB不相交时，k夹在kPA与kPB之间；当l与线段AB

相交时，k在kPA与kPB的两边．

题型四：直线的方程

例10．（2024·全国·高三专题练习）过点1,2且方向向量为(-1,2)的直线的方程为（）

A．2xy40B．xy30

C．x2y30D．x2y30

例11．（2024·全国·高三专题练习）过点A1,4的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该

直线方程为（）

A．xy30B．xy50

C．4xy0或xy50D．4xy0或xy30

y6

例12．（2024·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）对方程2表示的图形，下列

x3

叙述中正确的是（）

A．斜率为2的一条直线

1

B．斜率为的一条直线

2

C．斜率为2的一条直线，且除去点（3,6）

1

D．斜率为的一条直线，且除去点（3,6）

2

变式13．（2024·全国·高三专题练习）经过点P(1,0)且倾斜角为60的直线的方程是（）

A．3xy10B．3xy30

C．3xy30D．x3y10

1

变式14．（2024·全国·高三专题练习）方程yaxa0表示的直线可能是（）

a

A．B．

C．D．

变式15．（2024·全国·高三专题练习）已知过定点直线kxy4k0在两坐标轴上的截距都

是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（）

A．x2y70B．x2y70C．2xy60D．x2y60

ac

变式16．（2024·全国·高三专题练习）若直线l的方程yx中，ab0，ac0，则

bb

此直线必不经过（）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知直线l的倾斜角为60，且l在y轴上的截距为1，

则直线l的方程为（）

33

A．yx1B．yx1

33

C．y3x1D．y3x1

【解题方法总结】

要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方

程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式．

题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题

例13．（2024·全国·高三专题练习）若一条直线经过点A2,2，并且与两坐标轴围成的三

角形面积为1，则此直线的方程为．

例14．（2024·全国·高三专题练习）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的

正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为.

例15．（2024·全国·高三专题练习）已知直线l的方程为：2mx12my43m0．

(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；

(2)过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l1的方程．

变式18．（2024·全国·高三专题练习）直线l过点M(1,2)，且分别与x,y轴正半轴交于A、B

两点，O为原点.

(1)当AOB面积最小时，求直线l的方程；

(2)求OA2OB的最小值及此时直线l的方程.

变式19．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，直线l过定点P3,2，且

与x轴的正半轴交于点M，与y轴的正半轴交于点N.

（1）当PMPN取得最小值时，求直线l的方程；

（2）求△MON面积的最小值.

变式20．（2024·北京怀柔·高二北京市怀柔区第一中学校考期中）已知直线l经过点P2,2，

O为坐标原点．

(1)若直线l过点Q2,0，求直线l的方程，并求直线l与两坐标轴围成的三角形面积；

(2)如果直线l在两坐标轴上的截距之和为8，求直线l的方程．

变式21．（2024·高二单元测试）已知直线l过点P4,3，与x轴正半轴交于点A､与y轴正

半轴交于点B.

（1）求OAB面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）；

（2）求PAPB的最小值及取得最小值时l的直线方程.

变式22．（2024·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习）过点M(4,3)的动直线l交x轴的正

半轴于A点，交y轴正半轴于B点.

（Ⅰ）求OAB(O为坐标原点)的面积S最小值，并求取得最小值时直线l的方程.

（Ⅱ）设P是OAB的面积S取得最小值时OAB的内切圆上的动点，求

222

uPOPAPB的取值范围.

变式23．（2024·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知直线l：

kxy12k0．

（1）求l经过的定点坐标P；

（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B．

①AOB的面积为S，求S的最小值和此时直线l的方程；

②当PAPB取最小值时，求直线l的方程．

2

变式24．（2024·河南郑州·高二宜阳县第一高级中学校联考阶段练习）已知直线

l:kxy23k0经过定点P．

(1)证明：无论k取何值，直线l始终过第二象限；

11

(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，当|PA||PB|取最小值时，求

23

直线l的方程．

变式25．（2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知直线l过定点P2,1，

且交x轴负半轴于点A､交y轴正半轴于点B．点O为坐标原点．

（1）若AOB的面积为4，求直线l的方程；

（2）求OAOB的最小值，并求此时直线l的方程；

（3）求PAPB的最小值，并求此时直线l的方程．

【解题方法总结】

（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与

截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”

之说．

（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以

根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过

这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或

两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法

求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．

题型六：两直线的夹角问题

例16．（2024·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）直线x3y20与直线

3x2y1所成夹角的余弦值等于

例17．（2024·高三课时练习）直线x2y20与直线3xy20相交，则这两条直线的

夹角大小为.

例18．（2024·上海宝山·高三统考阶段练习）已知直线l1:2xy0,l2:3xy10，则l1与l2

的夹角大小是.

11

变式26．（2024·重庆·高考真题）曲线y2x2与yx32在交点处切线的夹角

24

是．（用弧度数作答）

变式27．（2024·全国·模拟预测）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为xy20与

x7y40，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为．

变式28．（2024·全国·高三专题练习）两条直线l1:3xy30，l2:x3y10的夹

角平分线所在直线的方程是．

【解题方法总结】

k2k1

若直线yk1xb1与直线yk2xb2的夹角为，则tan.

1k1k2

题型七：直线过定点问题

例19．（2024·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知直线l1:xmy10过

22

定点A，直线l2:mxym30过定点B，l1与l2相交于点P，则PAPB．

例20．（2024·全国·高三专题练习）已知实数a,b满足a2b1，则直线ax3yb0过定

点.

例21．（2024·陕西咸阳·统考二模）直线ykxke恒过定点A，则A点的坐标为．

变式29．（2024·辽宁营口·高二校考阶段练习）直l的方程为kxy2k10kR，则该

直线过定点．

变式30．（2024·上海宝山·高二统考期末）若实数a、b、c成等差数列，则直线ax+by+c=0

必经过一个定点，则该定点坐标为.

【解题方法总结】

合并参数

题型八：轨迹方程

例22．（2024·全国·高三对口高考）在平面直角坐标系中，已知ABC的顶点坐标分别为

A2,3、B1,1、C5,1，点P在直线BC上运动，动点Q满足PQPAPBPC，求点

Q的轨迹方程．

例23．（2024·安徽蚌埠·统考三模）如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C

的坐标分别是3,0、1,3，点D是线段AB上的动点.

(1)求AB所在直线的一般式方程；

(2)当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程.

例24．（2024·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）如图，已知点A是直线l1:x2y10

上任意一点，点B是直线l2:x2y40上任意一点，连接AB，在线段AB上取点C使得

2CA3BC.

(1)求动点C的轨迹方程；

(2)已知点P4,2，是否存在点C，使得PC3？若存在，求出点C的坐标；若不存在，

说明理由.

变式31．（2024·全国·高三专题练习）已知A1,1，B2,1，动点M与A，B两点连线的

斜率分别为kMA、kMB，若kMA2kM