2025年高考数学必刷题分类：第8讲、幂函数与二次函数（学生版）

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第8讲幂函数与二次函数

知识梳理

1、幂函数的定义

一般地，yxa(aR)(a为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为

常数的函数称为幂函数.

2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数

①xa的系数为1；②xa的底数是自变量；③指数为常数.

(3)幂函数的图象和性质

3、常见的幂函数图像及性质：

1

函数yx231

yxyxyx2yx

图象

定义域RRR{x|x0}{x|x0}

值域R{y|y0}R{y|y0}{y|y0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在(，0)上单调在(，0)和

在R上单在R上单调递在[0，+)上单调

单调性递减，在(0，+)上(0，+)上单调递

调递增增递增

单调递增减

公共点(1，1)

4、二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：f(x)ax2bxc(a0)；

（2）顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)；其中，(m,n)为抛物线顶点坐标，xm为

对称轴方程.

（3）零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，其中，x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐

标.

5、二次函数的图像

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b

二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图像是一条抛物线，对称轴方程为x，顶点

2a

b4acb2

坐标为(,).

2a4a

（1）单调性与最值

bb

①当a0时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,]上递减，在[,)上

2a2a

b4acb2

递增，当x时，f(x)；

2amin4a

bb

②当a0时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]上递增，在[,)上

2a2a

b4acb2

递减，当x时，f(x)

2amax4a

（2）与x轴相交的弦长

当b24ac0时，二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图像与x轴有两个交点

M(x,0)和M(x,0)，|MM||xx|(xx)24xx.

112212121212|a|

6、二次函数在闭区间上的最值

闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.

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对二次函数f(x)ax2bxc(a0)，当a0时，f(x)在区间[p,q]上的最大值是M，

pq

最小值是m，令x：

02

b

（1）若p，则mf(p),Mf(q)；

2a

bb

（2）若px，则mf(),Mf(q)；

2a02a

bb

（3）若xq，则mf(),Mf(p)；

02a2a

b

（4）若q，则mf(q),Mf(p).

2a

【解题方法总结】

1、幂函数yxa(aR)在第一象限内图象的画法如下：

①当a0时，其图象可类似yx1画出；

②当时，其图象可类似1画出；

0a1yx2

③当a1时，其图象可类似yx2画出．

2、实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的实根符号与系数之间的关系

b24ac0

（）方程有两个不等正根b

1x1,x2x1x20

a

c

x1x20

a

b24ac0

（）方程有两个不等负根b

2x1,x2x1x20

a

c

x1x20

a

c

（3）方程有一正根和一负根，设两根为x,xxx0

1212a

3、一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的分布问题

一般情况下需要从以下4个方面考虑：

b

（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴x与区间端点的关系；（4）区间端点

2a

函数值的正负.

设为实系数方程2的两根，则一元二次2的

x1,x2axbxc0(a0)axbxc0(a0)

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根的分布与其限定条件如表所示.

根的分布图像限定条件

0

b

mx1x2m

2a

f(m)0

x1mx2f(m)0

0

b

m

2a

xxm

12f(m)0

0

在区间(m,n)

内

0

没有实根

x1x2m

或x1x2m

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0

b

m

2a

f(m)0

0

b

n

2a

f(n)0

f(m)0

f(n)0

f(m)0

f(n)0

在区间(m,n)

内

有且只有一个

实根

f(m)0

f(n)0

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在区间(m,n)0

b

内mn

2a

有两个不等实f(m)0

根f(n)0

4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.

（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题

——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中

点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴

处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中

点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.

（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及

区间端点函数值正负.

必考题型全归纳

题型一：幂函数的定义及其图像

【例1】（2024·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中）已知函数f(x)m22m2xm2

是幂函数，且在0，上递减，则实数m（）

A．1B．1或3C．3D．2

【对点训练1】（2024·海南·统考模拟预测）已知fxm2m5xm为幂函数，则（）．

A．fx在,0上单调递增B．fx在,0上单调递减

C．fx在0,上单调递增D．fx在0,上单调递减

【对点训练2】（2024·河北·高三学业考试）已知幂函数yfx的图象过点8,22，则

f9的值为（）

A．2B．3C．4D．9

1

【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）幂函数yxa中a的取值集合C是1,0,,1,2,3

2

的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（）

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1111

A．1,0,B．,1,2C．1,,3D．,1,2,3

2222

p

【对点训练】（·全国·高三专题练习）已知幂函数q（p,qZ且p,q互质）的

42024yx

图象关于y轴对称，如图所示，则（）

p

A．p，q均为奇数，且0

q

p

B．q为偶数，p为奇数，且0

q

p

C．q为奇数，p为偶数，且0

q

p

D．q为奇数，p为偶数，且0

q

【解题方法总结】

确定幂函数yx的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，

或为则被开方式非负.当0时，底数是非零的.

题型二：幂函数性质的综合应用

【例2】（2024·吉林长春·高三校考期中）已知幂函数fxm23m3xm1的图象关于

mm

原点对称，则满足a132a成立的实数a的取值范围为___________.

【对点训练5】（2024·全国·高三专题练习）下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②yx0

图象是一条直线；③若函数y2x的定义域是x|x0，则它的值域是y|y1；④若函数

11

y的定义域是x|x2，则它的值域是y|y；⑤若函数y=x2的值域是

x2

y|0y4，则它的定义域一定是x|2x2．其中不正确命题的序号是________．

1

【对点训练6】（2024·河南·校联考模拟预测）已知f(x)x2，g(x)()xm，若对

2

≥

x1[1,3]，x2[0,2]，f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围是_________.

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a

111

【对点训练】（·福建三明·高三校考期中）已知，2，，则实数

720241a1loga1

22

a的取值范围是___________

3x,xa

【对点训练】（·全国·高三专题练习）已知函数f(x)，若函数f(x)的值

820242

x,xa

域为R，则实数a的取值范围为__________．

1011

【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）不等式x21x20222x210的解集为：

_________．

1

110

【对点训练10】（2024·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数f(x)，

x

若fa1f82a，则a的取值范围是__________.

11

【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）已知2,1,,,1,2,3，若幂函数

22

fxx奇函数，且在0,上为严格减函数，则__________.

【解题方法总结】

紧扣幂函数yx的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这

里注意为奇数时，x为奇函数，为偶数时，x为偶函数.

题型三：二次方程ax2bxc0a0的实根分布及条件

【例3】（2024·全国·高三专题练习）关于x的方程x22(m1)xm2m0有两个实数

根，，且2212，那么m的值为（）

A．1B．4C．4或1D．1或4

【对点训练12】（2024·全国·高三专题练习）设a为实数，若方程x22axa0在区间(1,1)

上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）.

A．(,0)(1,)B．(1,0)

11

C．,0D．,0(1,)

33

【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）方程x2(m2)x5m0的一根在区间(2,3)

内，另一根在区间(3,4)内，则m的取值范围是（）

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1313

A．(5,4)B．,2C．,4D．(5,2)

33

【对点训练14】（2024·全国·高三专题练习）关于x的方程ax2a2x9a0有两个

<<

不相等的实数根x1,x2，且x11x2，那么a的取值范围是（）

222

A．aB．a

755

22

C．aD．a0

711

【解题方法总结】

结合二次函数f(x)ax2bxc的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参

数的不等式，从而解不等式求参数的范围.

题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题

【例4】（2024·上海·高三专题练习）已知fxax22bx4ca,b,cR.

(1)若f01，a2b0，解关于x的不等式fxa1x3；

21b

(2)若ac0，fx在2,2上的最大值为，最小值为，求证：2.

32a

【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx是定义在[2,2]上的奇函数，

x

且x0,2时，fx21，gxx22xm.

(1)求fx在区间2,0上的解析式；

(2)若对x12,2，则x22,2，使得fx1gx2成立，求m的取值范围.

【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx3x3x．

(1)利用函数单调性的定义证明fx是单调递增函数；

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2

(2)若对任意x1,1，fxmfx4恒成立，求实数m的取值范围．

【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)x22ax(a0)．

(1)当a3时，解关于x的不等式5f(x)7；

(2)函数y