高考数学 数列（79题）难题专项训练 文

年高考数学（文）难题专项训练：数列

1.（年四川成都市高新区高三4月月考，10,5分）若数列E｝满足

q=73.%「2心=2.-6'则当可取最小值时〃的值为（)

A.8或9B.9C8D.7或8

2.（年湖北七市高三4月联考，9,5分）如右图，一单位正方体形积木，平放于桌面上，并且在其上方放置

若干个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的

中点，如果所有正方体暴露在外面部分的面积之和超过8.8,则正方体的个数至少是（）

A.6B.7C.8D.10

3.（年北京海淀区高三第二次模拟，8,5分）若数列a:满足：存在正整数r,对于任意正整数〃都有

"一=4成立，则称数列为周期数列,周期为r.已知¥数列满足qm（w>0）.

则下列结论中错误的是（）

A,若外=%则例可以取3个不同的值

B.若加0则数列制二是周期为3的数列

c.vrw、•且rz2,存在m是周期为r的数列

D.正，EQ且附22,数列是周期数列

4.（湖北黄冈市高三三月质量检测.g,5分）等差数列,“，前〃项和为c,已知

+20I3(4,G-I)=I.(q*-1)'+2013(^-1)=-1/^

R

AS”=2013,0g>。皿B，S3ML201B.qQQg<

=

^3>u>a]00b°，5皿j=-2013.01001Vq加

v）

5.（浙江绍兴一中高三十月月考,7,3分）已知定义在R上的函数f（x）：R（x）满足川」=“'，且

g（x）

/'□）#…八i）g'（l）,f'若有穷数列（（njv））的前n项和等于则n

g（l）K（-l）2g（n）32

等于（）

A.4B.5C.6D.7

6.（北京东城区高三模拟，8,5分）定义：F，x,y）=yX（x>o,y>O）,已知数列

｛%｝演足：凡（〃£、•），若对任意正整数小都有4>a<（左W、,）成立，则出的值为（)

1r89

(A)-(B)2(C)-(D)-

298

7.（河南省毕业班模拟，11,5分）已知E.0分别是双曲线？2（a>0.b>0）的左、右焦点,P为

双曲线上的一点，若4FFFL90。，且aFF艮的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（）

A.2B.3C.4D.5

8.（江西,8,5分）数列｛aj的通项a,=n2・cos?竽sin?号）其前n项和为Sn,则S初为（）

A.470B.490C.495D.510

9.（年河南十所名校高三第二次联考J6,5分）设数列,1是等差数列数列他）是等比数列，记数列｛.｝,

1卜｝的前n项和分别为§,1.若as=bs,a5=bs,且SLS5=4(Tg—Ti),则=

4+4

10.（年广东省广州市高三4月综合测试，13,5分）数列;0；的项是由1或2构成,且首项为1.在第《个

1和第］个1之间有21_|个2,即数列：“；为：1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2.1,记数

列的刖〃项和为9

U.（北京海淀区高三11月月考，14,5分）数列中，如果存在q,使得“q一且q成立

（其中422.Aw、'），则称q为13；的一个峰值.

（I）若&=-3/+11〃，则卜4的峰值为；

（II）若&=〃，且不存在峰值，则实数，的取值范围是

12.（安徽合肥高三第二次检测，14,5分）设函数）的最大值和最

X.t-Xr+/1.n//-2

V=~;----------（X€-------WN）

3

小值分别为4和“，且也-⑹S.=|q|+|j|+g♦…+|q|=

13.(河南高三模拟，16,5分)某数表中的数按一定规律排列，如下表所示,从左至右以及从上到下都是无限的.

此表中，主对角线上数列1,2,5,10,17,…的通项公式&尸.

111111

123456

1357911

147101316

159131721

♦••••••••♦♦♦♦・♦•••

14.(四川，16,4分)记[x]为不超过实数x的最大整数.例如，[2]=2,[1.5]=1,[-0.3]=T.设a为正整数,

数列｛xj满足x.=a,X"「:抑nENl现有下列命题：

①当a=5时，数列｛xj的前3项依次为5,3.2;

②对数列｛xj都存在正整数k,当n>k时总有x产xj

③当n》l吐xn>%5-l;

4对某个正整数k,若Xk.Gxk,则x卜=[、而].

其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)

15.(江苏，10,5分)将全体正整数排成一个三角形数阵:

1

23

456

78910

1112131415

根据以上排列规律，数阵中第n(n23)行的从左至右的第3个数是.

16.(湖南，15,5分)将正△ABC分割成n2(n22,nEM)个全等的小正三角形(图1,图2分别给出了n=2,

3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于^ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当

数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列.若顶点A、B、C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点

上的数之和为f(n),则有f(2)=2,f(3)=，…，f(n)=.

图1图2

17.(湖南，16,5分)对于nWN*将n表示为『团秋旺小乂2k%a2X2卜当i=0时，a=1,

当iWiWk时，ai为。或1.记I(n)为上述表示中&为0的个数(例如：1=1X2°,4=1X22+0X2l+0X20,故

127

1(1)=0,1(4)=2),贝IJ(1)1(12)=;(2)£2"n)=.

n=l

18.(江苏，13,5分)设l=aWazW…其中a1，a3,a5,a?成公比为q的等比数列，a2,a«,女成公差

为1的等差数列，则q的最小值是.

19.(上海，12,4分)已知函数f(x)=sinx+tanx.项数为27的等差数列｛即｝满足a0£传,引，且公差dWO.

若f：aj+f(a2)+-+f(327)=0,则当k=时，f(ak)=0.

20.(湖南，15,5分)将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的0T三角数表.从上在下

数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1

的是第行;第61行中1的个数是

第1行11

第2行101

第3行1111

第4行10001

第5行110011

21.(北京，14,5分)某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下:第k棵树种植

Xk=Xk-i+L5[T管＞T偿)],

在点PKxk,yj处，其中xE,y>=l,当k22时,yk=yk.1+T(^j-T(^j.

T(a)表示非负实数a的整数部分，例如T(2.6)=2,T(0.2)=0.按此方案，第6棵树种植点的坐标应

为；第2008棵树种植点的坐标应为.

22.(湖北，15,5分)已知数列瓜｝满足:ai=m(m为正整数)，an..=M为偶数若出勺，则m所有可

3an+l,当°为奇娄

能的取值为.

23.(湖南，15,5分)若数列6,)涉足:对任意的n£N*,只有有限个正整数m使得a£n成立，记这样的m

的个数为⑸)",则得到一个新数列｛(备)｝例如,若数列⑸｝是1,2,3,…，n,…，则数列｛⑸)，是

0,1,2,…，n-1,….已知对任意的nEN*,&=r,贝*=,((an)*)*=.

24.(安徽省皖南八校高三第三次联合考试21,14分)已知Sn为数歹上村的前n项和，ai=a(atN・).

=

Snkan*i01£旷.上£可且常数卜满足0<|k|<1.

(I)求数列｛aJ的通项公式；

(II)对于每一个正整数m,若将数列中的三项a.“，aw,按从小到大的顺序调整后，均可构成等差数

列，且记公差为&,试求k的值及相应d0的表达式(用含m的式子表示)；

(III)记数列｛&｝(这里&是⑵中的&的前m项和为％=&+&+…+&.问是否存在a,使得TK90对

SWN•恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由.

25.(年安徽省皖南八校高三第三次联考，20,13分)已知椭圆E：-^^^=Ha>b>

ab

为椭圆的两个焦点，“为椭圆上任意一点，且|岬UKKLIMI构成等差数列，点玛(c.o)到直线

人工=《的距离为3。

(I)求椭圆£的方程；

(II)是否存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆，恒有两个交点4A且而_L而？若

存在，写出该圆的方程；若不存在，请说明理由

（ITI）在（II）的条件下，求证：工77土不。为定值.

26.（湖北黄冈市高三三月质量检测，22,14分）设/（r）=F_0（x+|）-

（I）若〃0对一切NeR恒成立，求”的最大值，

（,1）设—山）♦巴’且g加.Mw/x,5）是曲线”小）上任意两点'若对任意的

〃与“，直线AB的斜率恒大于常数用，求切的取值范围；

（川）求证：r

r+3-4...^（2/1-ir<—（2wf（w€Af*）

e-l

27.（北京海淀区高三三月模拟题，20,13分）设小幻」为平面直角坐标系上的两点，其中

iON.wZ。令=»=3-卜/若加上固卜3，且|帖卜|的,0，则称点8为点1的

“相关点”，记作：8x（村已知匕（""）（3°eZ）为平面上一个定点，平面上点列优;满足：

尸="?1），且点’的坐标为（xQ,j其中j=L2.3，.…〃・

（I）请问：点？的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写

出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；

（II）求证：若/，与户重合，〃一定为偶数；

（川）若外（1.0〉且4100，记寸•求丁的最大值•

'一乙'

）

28.（重庆市高三九校一月联合诊断考试，21,12分）设数列的前“项和为$,满足

S.=a..「2・“+l.5wN,）且

（I）求，，的值；

（II）求数列jt的通项公式；

（川）设数列W1的前〃项和为了，且"证明：对一切正整数〃，都有：

**"二0二-2

29.:北京海淀区高三11月月考，20,14分）已知数集/…<…<4.〃22）具有

性质P:对任意的人（2J4n）,~i.i（\<i<j<n）,使得生巴成立.

（I）分别判断数集3,4｝与｛L2,3.6｝是否具有性质P,并说明理由；

（II）求证:凡42al....aK（n-2）;

（III）若4=72,求数集,4中所有元素的和的最小值.

30.（四川省米易中学高三第二次段考，21,10分）设为数列仙」的前〃项和，对任意的〃cN.,都有

$广（洸+1）-?MQM/W为常数，且6>0）.

（1）求证：数列｛%｝是等比数列；

（2）设数列（%｝的公比4二/㈣，数列同满足“-〃也-/（如）,（。）2tMM）,求数列卜」的通项公式；

（3）在满足（2）的条件下，求数列的前〃项和7；.

31.（浙江绍兴一中高三十月月考,22,10分）已知各项均为正数的两个数列｛0.）和gJ满足：

Qn+bn*._

a»i=A,

九+a片，

（I）设以1=1+”次.仁，求证：⑴妃=1+（药；⑵数列｛（红）.｝是等差数列，并求出其

azVanan

公差；

（II）设一、①3，nwN:巨M：是等比数列，求a和瓦的值.

“・

32.（广东省海珠区综合测试，19,14分）已知等差数列1；满足卬=5必_2小=3又数列区产:3

日/

地-%=0（〃wV）

（D求数列1b｝的通项公式；

⑵若数列1b｝的前〃项和分别是§.丁，且5.（27；4-3）求数列上产前"项和“；

n

⑶若“劣对一切正整数"恒成立，求实数〃7的取值范围.

•>9log（r-（m>0.1）

4

(2012北京东城区高三模楸，20,14分)对于数列｛4｝5=1,2,…：?M),令"为斗%.....%中

的最大值，称数列｛2｝为｛aj的“创新数列”例如数列2,1,3,7.5的创新数列为2，2,3,7.

7,定义数列｛q｝：q,c,,C3,…,《是自然数1，2,3，…，阳(冽＞3)的一个排列〃

33.

(I)当加=5时，写出创新数列为3,4，4,5，5的斫有数列｛cj;"

(II)是否存在数列｛cj，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列,)，若不存在，请说

明理由*

34.(福建省毕业班质量检测，20,M分)设函数〃1)的图象是由函数、「］的

八9^(x)=cos2x4-V3sinxcosx-

■

图象经下列两个步骤变换得到：

(1)将函数0"的图象向右平移T个单位，并将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数方.)

12

的图象；

(2)将函数及力的图象上各点的纵坐标缩短为原来的1倍(横坐标不变)，并将图象向上平移

1个单位，得到函数“X)的图象.

(I)求八门的表达式；

(II)判断方程”以的实根的个数，证明你的结论；

(III)设数列5：满足外=0,°|=/(。)，试探究数列俗：的单调性，并加以证明.

35.(北京海淀区期末练习，20.1?分)将一个正整数〃表示为ai+a?+a/rwAO的形式，其中

"阵*，j=1,2,…。且勺4a,4・・・44记所有这样的表示法的种数为/(〃)(如4=4,4=1+3,4=2+2,

4=1+1+2,4=1+1+1+1,故八4)=5

(I)写出.3),“5)的值，并说明理由；

(II)对任意正整数〃，比较〃”4］、与1的大小，并给出证明；

八,三加).加.2)］

(川)当正整数〃26时，求证：/(〃)24八13,

36.(安徽合肥高三第二次检测，19,13分)已知数列心：满足［=］4=5.〃22时，a=5。-6a,

(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

(«J

(2)试比较"与27.I的大小，并说明理由.

37.(江西省南昌市第二次模拟，21,14分)

(1)已知等差数列｛a』的前n项和为Sn,若m+n=s+t(m,n,s,tEN*,且mHn,sWt),证明:$一§§.

(2)注意到(1)中弓与n的函数关系,我们得到命题：设抛物线xJ2py(p>0)的图像上有不同的四点A,B,C,

D,若X”XB,XC,XD分别是这四点的横坐标,且不+x产XC+XD,则AB〃CD.判定这个命题的真假,并证明你的

结论.

(3)我们知道椭圆和抛物线都是圆锥曲线，根据(2)中的结论，对椭圆；:提出一个有深

-7♦=l(o>b>G)

ab'

度的结论，并证明.

38.(天津十二区县联考.19,14分)已知数列忖1的首项勺■■3,前〃项和为s，且

2^+11设=bgj（a・+l）.”

■♦I

(I)判断数列5+R是否为等比数列，并证明你的结论；

(II)设J"，证明：.；

(III)对于(I)中数列｛〃J,若数列y[满足/■](%、("M)(〃c、)在每两个/，与/「之间都插

入2?(*.|,23・・・左6犷)个2,使得数列I/；变成了一个新的数列％丫(,£、・)试问：是否存在正

整数〃八使得数列“1的前，〃项的和7匿=2011?如果存在，求出用的值；如果不存在，说明理由.

39.(湖南，19,12分)已知数歹IJ｛a｝的各项均为正数,记

,

A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+***+an*i,C(n)=a3+a<i+**+a<l.2,n=l,2,

⑴若&=1,az=5,且对任意nEN：三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列求数列⑸｝的通项公式；

(2)证明:数歹U｛&｝是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意n£N,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比

为q的等比数列.

40.(大纲全国，22,12分)函数f(x)=x'-2x-3.定义数列｛x“｝如下：Xi=2,x““是过两点P(4,5)、Q,(xrl,f(x,J)

的直线PQ,与x轴交点的横坐标.

⑴证明：2WXm“<3;

(2)求数列｛%｝的通项公式.

41.(浙江.21.15分)已知数列｛aJ中的相邻两项o.n-1,a%是关于x的方程x2-(3k+2k)x+3k-2k=0的两个

根，且a2kWa2k(k=l,2,3…)

(I)求ai,a3,a3,a7;

(ID求数列陵｝的前2n项和SG；

(III)记f(n)=%1包叫3)T<i)@<i)丸(」)巴…q)_ln±2)_

""忙十刃,八

5’2[sinnaia2a3a4a5a6•

求证.

42.(四川,21,12分)已知函数f(x)=X2-4,设曲线y=f(x)在点(x0，f(x„))处的切线与x轴的交点为

(xm,0)(nEN),其中心为正实数.

(I)用Xn表示Xml；

(II)求证:对一切正整数n,XzWxJ勺充要条件是

(III)若xi=4,记备=lg胃,证明数列｛aj成等比数列，并求数列儿的通项公式.

43.(安徽，21,14分)某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金.数目为由，以

后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此，历年所交纳的储备金数目a,aZ,…是一个公差为d的

等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固

定年利率为r(r>0).那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a(1+r)二第二年所交纳的储备

金就变为aKl+r)『I….以L,表示到第n年末所累计的储备金总额.

(I)写出L与Tg(nN2)的递推关系式；

(II)求证：Tn=X+B「，其中凡｝是一个等比数列，｛B6是一个等差数列.

44.(北京，20,13分)对于每项均是正整数的数列A:ai,a?,…，①，定义变换「，L将数列A变换成数列

Ti(A；:n,ai-l,a2-l,,,,,a„-l.

对于每项均是非负整数的数列B：b,必bn,定义变换Tz,T,将数列B各项从大到小排列，然后去掉所

有为零的项，得到数列TKB);又定义

5(B)=2(512bzl…।mb,)山0矽…ib.

设A是每项均为正整数的有穷数列,令k产TzCG均))(k=0,1,2,-).

(I)如果数列A。为5,3,2,写出数列由，由；

(II)对于每项均是正整数的有穷数列A,证明:S(TF每)=S(A);

(III)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0,存在正整数K,当k2K时，S(AkJ=S(Ak).

45.(湖南，18,12分)数列｛aj满足a】=l,a2=2,a„Hl+cos?墨%+sin号n=l,2,3,—.

(I)求Mab并求数列(a4的通项公式；

(II)设b产学3S„=b,+b2+-+bn.证明：当n26时，|Sn-2|d

46.(天津，22,14分)在数列｛a』与(b』中，a1=l,bi=4,数列｛aj的前n项和S。满足nS”「(n+3)Sn=0,2an>i

为b0与脸］的等比中项，nGN*.

(I)求助,th的值；

(ID求数歹IJ｛等与｛bj的通项公式;

a

(III)设T.=(T)%!+(-1)a2b2+…+一)„bn,nGN*.

证明：|，|<2n：n23.

Hn+c,an<3,

47.(上海，21,18分)已知以④为首项的数列出｝满足a.产.

于*3.

(I)当由=1,c=l,d=3时，求数列凡｝的通项公式；

(II)当0<a3,c=l,d=3时,试用a1表示数列｛a｝前100项的和SM

(III)当0<a4(m是正整数)，c*,正整数d23nl时，求证:数列a$a3.2-^»a9n成等比

数列当且仅当d=3m.

48.(湖南，21,13分)对于数列｛uj,若存在常数M〉0,对任意的nEV,恒有

IUnH-Un|+|Un-Un-1|+…+|U2-UiWM,则称数列｛llj为数列.

(I)首项为1,公比为q(|q«)的等比数列是否为B-数列?请说明理由；

(II)设出是数列｛xj的前n项和.给出下列两组论断：

A组:①数列｛4是B-数列，②数列｛x,｝不是B-数列；

B组:③数列｛SJ是B-数列，④数列｛SJ不是B-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并

证明你的结论；

(III)若数列5｝、｛bj都是B-数列.证明:数列｛&>｝也是B-数列.

4

49.(四川，22,14分)设数列⑸｝的前n项和为5”对任意的正整数「，都有源=5541成立，记b产黄(n

(I)求数列化』的通项公式：

(II)记c产b—nEM),设数列&｝的前n项和为T“，求证:对任意正整数n,都有1号

(III)设数列化力的前n项和为&.已知正实数X满足:对任意正整数n,RnWNn恒成立，求X的最小值.

50.(陕西，22,12分)已知数列｛x』满足XL；,尸蓊*,nEN*.

(I)猜想数列｛X2n｝的单调性，并证明你的结论；

(II)证明：L「Xn|W据产

51.(上海，23,18分)已知瓜｝是公差为d的等差数列，｛bj是公比为q的等比数列.

(I)若a“=3n+l,是否存在叭kEN1有4,+a*4?请说明理由；

(II)找出所有数列｛4,｝和瓜｝,使对一切nEN*,智王”并说明理由；

(III)若a尸5,d=4,b尸q=3,试确定所有的p,使数列｛斯｝中存在某个连续p项的和是数列｛b“｝中的一项，请

证明.

52.值庆,21,重分)在数列｛a｝中,&=1,产can+d”・(2n+l)(nGN*),其中实数cWO.

(I)求｛a“｝的通项公式；

(II)若对一切kWN•有aGa2k-1，求c的取值范围.

53.(天津,22,14分)在数列｛4｝由a尸0,且对任意kEN*,,3a*成等差数列，其公差为d,.

(I)若dk=2k,证明a?”aa”,a-；：成等比数列(k£N");

(II)若对任意k千M,aa,a—a—成等比数列,其公比为明

(i)设SW1,证明｛3｝是等差数列；

(ii)若az=2,证明系2n-£¥w2(n22).

Nk=2ak

54.(四川,21,12分)已知数列｛时｝满足a=0,铀=2,且对任意m,nWN"都有a*i+a2nT=2%E+2(m-n)

(I)求a.%as：

(ID«bn=a2n,I-a2n-1(neir),证明：依｝是等差数列；

(III)设a=(a#「a“)qFqWO,n€N*',求数列｛cj的前n项和S“.

-

55.(湖北，19,13分)已知数列｛aj的前n项和为Sn,且满足:ai=a(aK0),an.i=rSn(n^N,rGR,r#T).

(I)求数列｛肃的通项公式;

(ID若存在k£W,使得Sk”Sk,Sx成等差数列，试判断:对于任意的mEN*,且m22,a,“，a”即是否

成等差数列，并证明你的结论.

56.(广东，20,14分)设b>0,数列iaj满足a1=b,a"骂为(n22).

(I)求数列L｝的通项公式；

(II)证明：对于一切正整数n,备忘£+1.

57.(江苏，20,16分)设M为部分正整数组成的集合，数列｛a｝的首项ai=l,前n项的和为Sn,已知对任

意的整数k£M,当整数n>k时，Sn.k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立.

(I)设乂=｛1｝,a2=2,求痣的值;

(II)设旧｛3,4｝,求数列｛%｝的通项公式.

58.(北京，20,13分)若数列A“:a1，a2,…，a0(n22)满足|ak「aj=l(k=l,2,•••,n-1),则称A0为E

数列记S(An)=ai+a2+—+a„.

(I)写出一个满足a产好0,且S(AJ〉0的E数列A5;

(ID若a产12,n=2000,证明:E数列A0是递增数列的充要条件是an=2Oil;

(III)对任意给定的整数n(n22),是否存在首项为0的E数列A”使得S(A.)=0?如果存在，写出一个满

足条件的E数列如果不存在，说明理由.

59.(_t海22,18分)已知数列｛a“｝和｛b,j的通项公式分别是a<、=3n+6,bn=2n+7(nGN').将集合海|x=a,n

WM)U｛x|x=bn,nEN・｝中的元索从小到大依次排列，构成数列5c2,…，g，….

(I)写出Cl,C2,C3,C«；

(II)求证:在数列kJ中、但不在数列(EJ中的项恰为十，而…，…；

(III)求数列｛cJ的通项公式.

60.(全国I,22,12分)已知数歹ij｛&｝中a=2,a.尸(&-1)⑸+2),n=i,2,3,….

(I)求｛an｝的通项公式；11

(II)若数列｛喝中瓦=2,beg：：：n=l,2,3,—,证明:&<匕±由川n=l,2,3,….

61.(江苏,20,16分)已知｛%｝是等差数列，伪｝是公比为q的等比数列,a,=bba2=b2^a..记S.为数列瓜｝

的前n项和.

(I)若bk=a«(m,k是大于2的正整数)，求证:Sk】=(mT)a1;

(ID若b尸aMi是某个正整数)，求证:q是整数，且数列｛b.｝中的每一项都是数列｛a“｝中的项；

(III)是否存在这样的正数q,使等比数列(b/中有三项成等差数列?若存在，写出一个q的值，并加以说明;

若不存在，请说明理由.

62.(重氏21,12分)已知各项均为正数的数列3｝的前n项和S.满足SOI,且6s产(a#)3+2),n

(I)求｛an｝的通项公式；

(II)设数列｛bj满足①(2匕1)=1,并记I为｛bj的前n项和，求证:31\+1>1。82(%+3),nGN;

63.(山东，19,12分)将数列｛a.｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:

31

a2a3

a.ia.sa«

a?a8aHa1。

••••••

记表中的第一列数句,a2,aba：,…构成的数列为｛bj,b,=a,=l.S0为数列依｝的前n项和，且满足

小茗l(n》2).

(I)证明数列｛士｝成等差数列，并求数列｛况｝的通项公式；

(II)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.

当a后-自时，求上表中第k(k23)行所有项的和.

64.(天津，22,14分)已知等差数列⑸｝的公差为d(dWO),等比数列｛b』的公比为q(q>l).设

S产ab+a2b2+・・・+anb”T产a】b「a2b2+・・・+(T)"Abn,nWN：

(I)若a尸bi=l,d=2,q=3,求S?的值；

(ID若E=l,证明：(l-q)S2n-(Hq)”产典上◎，nEM;

1-q

(III)若正整数n满足2WnWq,设k1，k2,…，k0和L,k,…，In是1,2,•••»n的两个不同的排列,

aaaaaa

c1=k1bi+k2b2+—+knbn,c2=l1bi+l2b2+—+lnb,„证明:C1KC2.

65.(重庆，21,12分)设m个不全相等的正数a2,a,(m^7)依次围成一个圆圈.

(I)若m=2009,且ai,a2,•••,ai侬是公差为d的等差数列，而ai,a?叫a?蝮，…，aioo«是公比为q=d

的等比数列;数列aba2,…，如的前n项和Sn(nWm)满足:S：j=15,S2(09=82007+12a),求通项aJnWm);

(II)若每个数a0(nWm)是其左右相邻两数平方的等比中项，求证:a什…+ati+a齐…+a»maia2…a..

66.(北京，20,13分)已知数集人=⑼，如…，aj(1—…Q2)具有性质P:对任意的i,

j(l.WjWn),a冏与茶数中至少有一个属于A.

(I)分别判断数集｛1,3,4｝与｛1,2,3,6｝是否具有性质P,并说明理由;

a1+a?+…+a(,

(II)证明：a=l,且LJf

aa、a

l'2''n

(HI)证明：当n=5时,a,»a2,a3,ab成等比数列.

67.(全国I,22,12分)已知数列｛九｝中，a)=l,a”尸eg.

(I)设c=[,d=+，求数列(b.J的通项公式；

(ID求使不等式a“<an水3成立的c的取值范围.

68.(天津，20,14分)已知数歹lj｛aj与｛bj满足04+%+La.2=0,壮=5±^11_",nEN*,且a尸2,a2=4.

(I)求as,a<,(的值;

(II)设cn=a2n-i+a2nH,nGN*,证明｛c」是等比数列；

(III)设Sk=az+a,+…+a2k,kEN*,证明.

2n

69.(四川，20,12分)设d为非零实数，a„=^[C；d+2C2d+...+(n-l)O"'+nC；；d](n£N*).

(I)写出a”a2,a)并判断｛aj是否为等比数列.若是，给出证明;若不是，说明理由；

(II)设bn=ndan(nGN*),求数列依｝的前n项和Sn.

70.(上海，20,18分)若有穷数列a1，a2,…，a/n是正整数)，满足a尸①，a2=an-i,—,an=a)BPai=an-i-i(i

是正整数，且IWiWn),就称该数列为“对称数列”.

(I)已知数列匕｝是项数为7的“对称数列”，且)b2,b3,b,成等差数列，b,=2,(=11,试写出｛bj的

每一项；

(II)已知｛cj是项数为2kT(正整数k'l)的“对称数列”，且Ck,cm,…，C2kT构成首项为50,公差为

-4的等差数列，记数列9.｝的前2k-l项和为Sa-.,则当k为何值时，Sa取到最大值?最大值为多少？

(III)对于给定的正整数m>l,试写出所有项数不超过2m的“对称数列”，使得1,2,2；…，不，成为数

列中的连续项；当m〉l500时，试求其中一个数列的前2008项和Sz*

71.(江苏，】9,16分)(I)设防闻…，a”是各项均不为零的n(n24)项等差数列，且公差dWO.若

将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列.

(D当n=4时，求m的数值；

(ii)求n的所有可能值.

(II)求证:对于给定的正整数n(n24),存在一个各项及公差均不为零的等差数列b,b”…，b“，其中任

意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.

72.(湖北，19,13分)已知数列｛&｝的前n项和5产-超6产25为正整数).

(I)令b"=2"a”求证数列(b/是等差数列，并求数列｛aj的通项公式；

(II)令c产叫“Wcf.+a,试比较1；与熊的大小,并予以证明.

73.(江苏，19,16分)设各项均为正数的数列｛aj的前n项和为S”.已知2a2=a+a3,数歹心游；｝是公差为d

的等差数列.

(I)求数列｛8｝的通项公式(用n,d表示)；

(II)设c为实数，对满足m+n=3k且:nWn的任意正整数叫n,k,不等式S.+S)c&都成立，求证:c的最大

值为与

74.(江西，22,14分)证明以下命题：

(I)对任一正整数a,都存在正整数b,c(b<c),使得a；b：,2成等差数列；

(II)存在无穷多个互不相似的三角形△“，其边长a“，b“，c,为正整数且afb：,，成等差数列.

75.(湖南，21,13分)已知An(a“，b„)(n-M)是曲线产e,上的点，a产a,S0是数列｛aj的前n项和,且

满足:S%3n23n+S：i，aJO,n=2,3,4,•••.

(I)证明：数歹“窖卜>2)是常数数列；

(II)确定a的取值集合M,使aEM时，数列｛aj是单调递增数列；

(III)证明：当a£M时，弦A“Ae(n£N)的斜率随n单调递增.

76.(陕西，22,12分)已知各项全不为零的数列｛aj的前k项和为Sk,且&=%海卜心£心，其中a=L

(I)求数列｛&｝的通项公式;

(II)对任意给定的正整数n(n去2),数列｛人｝满足驷=磐&=1,2,…，n-1),b.=l.求E+儿+…+b”.

2

77.(广东，21,12分)设p,q为实数,a,B是方程--px+q=O的两个实根.数列｛xj满足“p,x2=p-q,

Xn=pXn-i-cix„-4n=3,4.•••).

(I)证明：Q+B=p,aB=q；

(ID求数列｛xj的通项公式；

(HI)若p=l,q=；,求｛x“｝的前n项和Sn.

78.(陕西，22,14分)已知数歹lj｛aj的首项由4，a2广嘉n=l,2,….

(I)求E.｝的通项公式；

(II)证明:对任意的x>0,工2仁*)n=l,2,•••;

(III)证明:a〕+a2+…+a。-5

n+71T

79.(江西,22,14分)各项均为正数的数列｛小｝,a产a,a2=bf且对满足m+n=p+q的正整数叫n,p,q都

右_ap+aq

(l+an)(l+ap)(l+aq)*

(I)当a=2,b=g时，求通项a,;

(II)证明:对任意a,存在与a有关的常数，，使得对于每个正整数n,都有:WanW人.

答案

1.A2,A3.D4.B5.B6.C7.D8.A

9.工

13

10.36；3981

!”।

11.(I)io；(II)或M+、且〃22}

In2I1M—)

n

iQ

,s10w-2w\(w<3)

*12/-10川+24(”24)

13.n-2n+2

14.①©③

15.日里

16.¥；^(n+l)(n+2)

17.(1)2(2)1093

18.逃

19.14

20.2-1;32

21.(1,2);(3,402)

22.4,5,32

23.2;n2

24.(1)二S.u=Z.tM).

此两式相减，得S.—$7=--以，化简得—=詈%(jiZZacAfy

又.