高考数学大一轮复习 第十一章 算法初步-人教版高三数学试题

第十一章算法初步、推理证明、复数

第一节算法与程序框图

［考情展望］1.考查算法的逻辑结构，重点考查循环结构与条件结构，考查写出程序的

运行结果、指明算法的功能、补充程序框图等基础知识.2.题型以选择题和填空题为主要考

查形式，题型灵活多样，难度中低档.

抓住2个基础知识点

一、算法与程序框图

1.算法

(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.

(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.

2.程序框图

程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.

二、三种基本逻辑结构

\2称

内人顺序结构条件结构循环结构

由依次执行的步骤组算法的流程根据条件是

从某处开始，按照一定的条件

成，这是任何一个算否成立有不同的流向,

定义反复执好某些步骤的情况，反

法都离不开的基本结条件结构就是处理这种

复执行的步骤称为循环体

构过程的结构

应用循环结构应注意的三个问题

①确定循环变量和初始值；

②确定算法中反复执行的部分，即循环体;

③确定循环的终止条件.

I【基础自测】I

1.阅读如图11—1—1的程序框图，若输入x=2,则输出的y值为（)

A.0B.1C.2D.3

图11-1-1

【答案】B

2.①算法可以无限的操作下去：

②算法的每一步操作必须是明确的、可行的；

③一个程序框图一定包含顺序结构；

④一个程序框图不一定包含条件结构和循环结构.

以上说法正确的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

3.阅读如图11—1一2所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）

A.3B.4

C.5D.6

图11-1-2

【答案】B

4.如图11—1—3所示的程序框图输出的S是126,则①应为

()

A.〃W5?B.〃W6?

C.启7?D.〃W8?

n=l,S=O

图11-1-3

【答案】B

感悟高考

5.（2013•山东高考）执行两次如图11—1—4所示的程序框图，若第一次输入的a的值

为-1.2,第二次输入的a的值为1.2,则第一次，第二次输出的〃的值分别为（）

A.0.2,0.2B.0.2,0.8

C.0.8,0.2D.0.8,0.8

【答案】C

（结束〕

I

/输入力/

Z输啊/

图11-1-4图11-1-5

6.（2013•课标全国卷I）执行程序框图11—1一5,如果输入的££[-1,3],则输出的

S属于()

A.[-3,4]B.[-5,2]

C.[-4,3]D.[-2,5]

【答案】A

突破掌握3个核心考向

考向一[194]利用程序框图求值

(1)(2013•安徽高考)如图11-1-6所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是

)

c25

A.7B，24

b

c.|D-T1

开始

S=0,i=1

S=2S+i

i=i+1

是I

/输出j/

I

1结束〕

图11—1—6图11-1-7

(2)(2014•浙江高考)若某程序框图如图11—1—7所示，当输入50时，则该程序运行

后输出的结果是

【答案】(DD(2)6

规律方法1L对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的

一个，不能同时执行两个分支.

2.利用循环结构表示算法，第•要确定是利用当型还是直到型循环结构：第二准确表

示累计变量；第三要注意从哪•步开始循环.

对点训练(1)(2013•北京高考)执行如图11—1—8所示的程序框图，输出的S值为

)

D则

A.1

987

/输出s/

J]

(5®

图11-1-8

(2)(2013•浙江高考)若某程序框图如图11—1一9所示，则该程序运行后输出的值等于

9

【答案】⑴C(2)-

考向二［195］程序框图的补充与完善

已知数列｛a｝中，石1=1,&+i=&+〃，利用如图11—1—10所示的程序框图计算该数

列的第10项，则判断框中应填的语句是()

A./?>10B.〃W10

C.〃<9D.

出加/

图11-1-10

【答案】D

规律方法21.熟悉框图的结构与功能是解决此类问题的关键.

2.解答此题可以采用类比归纳的方式求解，如通过计算该数列的第1项，第2项，第

3项，探寻〃与乩的关系，从而得出正确答案.

对点训练（1）（2014•重庆高考）执行如图11—1—11所示的程序框图，若输出左的值

为6,则判断框内可填入的条件是（）

k=9,s=l

k=k-l

图11-1-11

374

A.s>"B.s>=C.s>77I).s>[

□1U□

（2）（2013•江西高考）阅读如下程序框图11—1—12,如果输出/=4,那么空白的判断

框中应填入的条件是（）

图11-1-12

A.S<8B.S<9C.S<10D.S<11

【答案】（DC（2）B

考向三［196］基本算法语句

运行如下所示的程序,输出的结果是

a=\

b=2

a=a+b

PRINTa

END

【答案】3

规律方法31.本例主要考查程序框图中的赋值语句，输出语句.要注意赋值语句一般

格式中的“=”不同于等式中的“="，其实质是计算“=”右边表达式的值，并将该值赋

给“=”左边的变量.

2.解决此类问题关键要理解各语句的含义，以及基本算法语句与算法结构的对应关系.

对点训练运行如下所示的程序，当输入小人分别为2,3时，最后输出的勿的值为

INPUTa,b

IFa>bTHEN

m=a

ELSE

m=b

ENDIF

PRINTm

【答案】3

技能挖掘1大技法

易错易误之十八循环结构的两个关键点一一计数变量与累加变量

-------------[1个示范例]-------------------------------

执行如图11—1—13所示的程序框图，若输入x=3,则输出左的值是（）

A.3B.4C.5D.6

图11-1-13

【解析】第一次循环：x=3+5=8,k=\

第二次循环：x=8+5=13,k=2

第三次循环：x=13+5=18,k=3

第四次循环：/=18+5=23,仁4

第五次循环：＞=23+5=28,々=5；

此时满足条件输出k=5.

在确定最后输出的左值时，易出现认为4=4而出错.

---------------[1个防错练]-------------------

【防范措施】1.在解决循环结构问题时:一定要弄明白计数变量和累加变量.

2.读程序框图时，要注意循环结构的终止条件.

执行如图所给的程序框图，则运行后输出的结果是（)

A.3B.-3C.-2D.2

【解析】开始条件：s=0,了=1,(/W6)

i=l»/是奇数，可得s=O+l=l,

7=2,，是偶数，可得s=l—2=—1,

7=3,可得s=—1+3=2,

7=4,s=2-4=-2,

7=5,s=-2+5=3.

7=6,s=3—6=—3,7=7,输出s=-3.

【答案】B

课时限时检测（六十六）算法与程序框图

（时间：60分钟满分：80分）一、选择题（每小题5分，共30分）

1.（2013•广东高考）执行如图11—1—15所示的程序框图，若输入〃的值为3,则输

出s的值是（）

l=lyS=l

i=i+l束,

图11-1-15

A.1B.2C.4D.7

【答案】C

2.某程序框图如图11—1一16所示，若输出的S=57,则判断框内为（）

图11-1-16

A.Q4?B.A->5?

C.A>6?D.Q7?

【答案】A

3.阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间?万内，则输入

的实数x的取值范围是（）

A.（—8,—2]B.[—2,—1]

C.[—1,2]D.[2,+8)

/输出/(%)/

（结束）

1结束）

图11-1-17图11-1-18

【答案】B

4.（2013•天津高考）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出

〃的值为（）

A.7B.6C.5I）.4

【答案】D

5.某班有24名男生和26名女生，数据"，出，…,张是该班50名学生在一次数学学

业水平模拟考试的成绩，下面的程序用来同时统计全班成绩的平均数：儿男生平均分：M

女生平均分：倏为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的

相反数，那么在图11-1-19里空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的

/输出阴A/

SB

图11-1-19

，什H•什/

A->0?"FB.7<0?,J="50-

J/-fl,If

C-7<0?,力=丁D.7>0?,J=~50~

【答案】D

6.（2013•福建高考）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输

入某个正整数〃后，输出的S£（1（）,20）,那么〃的值为（）

A.3B.4

C.5D.6

图11—1一20图11—1一21

【答案】B

二、填空题（每小题E分，共15分）

7.（2013•湖北高考）阅读如图11—1—21所示的程序框图，运行相应的程序，若输入

加的值为2,则输出的结果＞=________.

【答案】4

8.下列程序执行后输出的结果是.

i=ll

S=1

DO

S=S*i

i=i-l

LOOPUNTILi<9

PRINTS

END

【答案】990

9.（2013•陕西高考）根据下列算法语句，当输入x为6（）时，输出y的值为

【答案】31

三、解答题（本大题共3小题，共35分）

10.（1。分）设计算法求与+/+/+…+赤焉;的值，并画出程序框图.

»人乙zAaj入qyyAiuu

【解】算法步骤：

第一步，令S=0,7=1.

第二步，若fW99成立，则执行第三步；否则，输出S,结束算法.

第三步，S=S+j3•

第四步，/=i+l,返I可第二步.

程序框图：

法一当型循环程序框图：

法二直到型循环程序框图:

/输出s/

x+2'xVO,

11.(12分)已知函数〃x)=«4x=O,

x~2'x>0.

(1)若F(x)=16,求相应x的值；

⑵画程序框图，对于输入的x值，输出相应的人力值.

【解】(1)当x<0时，f(x)=16,即(X+2)2=16,解得*=-6

当x>0时，/(x)=16,即(x—2尸=16,解得x=6.

(2)程序框图如图所示：

CW®

危)=(%+2)2

/输出加）/

图11-1-22

12.（13分）已知数列｛4｝的各项均为正数，观察程序框图11—1一22,若k=5,k=\0

Rin

时，分别有和$=亓

11乙1

试求数列｛a｝的通项公式.

【解】由程序框图可知，数列（&｝是等差数列，首项为句，公差为d

$c=1+■.1■.+■■■.+■1=—1（,-1---1-.-1-——―1+,•••.+1-------1--）\=一1/（1----1-）、.

&&aa+id3\a?&a3/&+ida&+1

当A=5时，S=（---）-^=—=-j^.

aiad独国11

/.ai<fc=11,即a(a+5o!)=11①

当衣=10时，5=(1--L)^=—=^Y，

clxcl\\acliZ1

/.aiaii=21,即a(a+10中=21②

由①，②联立，得a=l,d=2,

因此&=a+(〃-1)d=2〃-1.

第二节合情推理与演绎推理

［考情展望］1.考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论.2.考查演

绎推理，主要与立体几何、解析几何、函数与导数等结合.

抓住2个基础知识、

一、合情推理

1.归纳推理

(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全都对象都具有这些

特征的推理，或者由个别事卷概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).

(2)特点：由部分到整体、由个别到一般的推理.

2.类比推理

(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类

对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).

(2)特点：类比推理是由特殊到特绕的推理.

3.合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联

想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.

二、演绎推理

1.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称

为演绎推理」简言之，演绎推理是由一般到特缝的推理.

2.“三段论”是演绛推理的一般模式：

(1)大前提一一已知的一般原理；

(2)小前提一一所研究的特殊情况；

(3)结论一一根据一般原理，对特殊情况作出的判断.

I【基础自测】I

1.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是

假命题，推理错误的原因是

()

A.使用了归纳推理

B.使用了类比推理

C.使用了“三段论”，但推理形式错误

D.使用了“三段论”，但小前提错误

【答案】C

2.已知数列｛&,｝中,ai=l,时，&=a.-i+2〃-1,依次计算如国后，猜想

见的表达式是()

A.3/7-1B.4.^-3C.n-D.3'一

【答案】C

3.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2,则它们的面积比为1：4.类似地，

在空间中，若两个正四面体的校长的比为1：2,则它们的体积比为_______.

【答案】1：8

4.观察下列不等式：

1+悬

1+展+于+/〈下

•••

照此规律，第孔个不等式为.

【答案】1+炉+啜+下+m+m正

感悟高考

55

5.观察下列各式：a+6=l,/+力2=3,才+6=人」+〃=7,a+^=ll,则

+*()

A.28B.76

C.123D.199

【答案】C

6.(2013•陕西高考)观察下列等式：

(1+1)=2X1,

(2+1)(2+2)=22XlX3,

(3+1)(3+2)(3+3)=23X1X3X5,

•••♦•♦

照此规律，第〃个等式可为.

【答案】(〃+1)(〃+2)・・・(〃+n)=2〃XlX3X・・・X(2〃-1)

突破掌握3个核心考向

考向一［197］归纳推理

xX

设函数r(x)=言^(>>°)，且。(%)=/'(4)="7，当且〃22时，，6(x)=/［£

则E(x)=,猜想£(x)(〃£N*)的表达式为.

［曰案］7x+82"-1x+2,

规律方法11.解答本题的关键有两点：(D利用函数定义，准确求出E5)；(2)

发现各式中分母x的系数与常数项之间的关系.

2.归纳推理的一般步骤

(1)通过观察个别情况发现某些相同本质.

(2)从已知的相同性质中推出一个明确衣述的一般性命题.

对点训练(2013•陕西高考)观察下列等式：

12=1,

12-22=-3,

12-22+32=6,

12-22+32-42=-10,

照此规律，第〃个等式可为—

【答案】l2-22+3;-42+-+(-l)rt+1/72=(-l)^|/；

考向二［198］类比推理

八/)^~ma

已知数列｛a｝为等差数列，若%=热m=6(〃一加21,勿，〃£N"),则a^-=~----

nn-m

类比等差数列(a)的上述结论,对于等比数列｛4｝(4>0，〃£")，若比=e,风=d(n一42,

/〃，〃£N"),则可以得到.

规律方法21.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，

提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.

2.类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维的类比；等差与等比数列类

比；数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等.

对点训练在平面上，设儿、尿、儿是三角形力阿三条边上的面，尸为三角形内任一点,

〃到相应三边的距离分别为只，A,P,,我们可以得到结论：?+?+?=1.把它类比到空间,

nt,hbHe

则三棱锥中的类似结论为.

【答案】工+工+工+7=1

jiff/lbflcfid

考向三［199］演绎推理

/,+2

数列｛品｝的前n项和记为Sn,已知句=1,-二~F(〃eN*)，证明：

n

(1)数列:5］是等比数列；

(2)S+i=4a”.

【尝试解答】(1)•.,a+1=$十1—S”&+】=咛55,

・・・(〃+2)S=〃(S+LS),即〃5*=2(〃+l)S.

故｛£｝是以2为公比，1为首项的等比数列.(结论)

(大前提是等比数列的定义，这里省略了).

(2)由(1)可知弋7=1-X(〃22),

n-rln—i

/.5H-I=4(/74-1)•=4•--・S-1=4&(〃22).(小前提)

n—1n~1

又二•全=3S=3,$=句+生=1+3=4=4国，(小前提)

・•・对于任意正整数力都有5+产4&.(结论)

规律方法3演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决

问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略.

技能挖掘1大技法

易错易误之十九归纳推理不当

-----------------------[1个示范例]-------------------

(2013•湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数

1,3,6,10,…，第n个三角形数为~~今"一=1//+)〃.记第〃个左边形数为N5,4)(423),

乙乙乙

以下列出了部分左边形数中第〃个数的表达式：

三角形数3)=)/+)?,

正方形数M〃,4)="2,

3°1

五边形数》(〃,5)=-77"—~/7,

w乙

六边形数”(〃,6)=2/f一〃，

可以推测A)的表达式，由此计算M10,24)=.

【解析】由*(〃,4)=/九6)=24—〃，…，可以推测：当a为偶数时，.、'(/?,k)

于是"（〃，24）故Mi。,24）=11。102—10乂10=1000.

求解本题常犯以下两种错误：

一是不理解A)的含义；二是归纳不出当A为偶数时，A)的内在规律.

-----------------------[1个防错练]

【防范措施】(1)借助熟知的三角形数，先明确并(〃,3)的含义，再领会"(〃，4)的实

质.

(2)求解/¥(10,24)的关键在于从*(〃,4)及川(/7,6)中，探寻出力为偶数时，N(〃，外的表

达式，进而将〃=10,4=24代入求解便可.

传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过

如图11—2—1所示的三角形数：

将三角形数1,3,6,1C,…记为数列｛&｝,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组

成一个新数列｛力3可以推测：

(1)也(M2是数列｛a｝中的第项；

(2)b>k-\—________.!用在表不)

【解析】(1)由图可知为+】=&+(〃+1).

所以生一品=2,国-々=3,…，

累加得&-&i=2+3H--F〃，

即4=1+2+3+•••+〃=^^―

乙

当〃=4,5,9,10,14,15,19,20,24,25,…时，品能被5整除，

即星=&>,bi=amh；=a、5,&=续。，…，

所以6以=祗((衣£”).

所以b>Ol2=c?5xi006=W030.

i\k54—I

⑵由(1)可知物-尸氏-=gx5A(5A—1)=^~=——.

0kSA—1

【答案】(1)5030(2)-———

课时限时检测(六十七)合情推理与演绎推理

(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)

1.如图11—2—2是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照

此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是()

图11-2-2

ABCD

【答案】A

2.观察(V”=2x,(V)'=4e(cosx)1=—s:nx,由归纳推理可得：若定义在R

上的函数f(x)满足/'(-X)=f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(-*)=()

A.f(x)B.~f(x)

C.g(x)D.—g(x)

【答案】D

3.正弦函数是奇函数，f(x)=sin(，+l)是正弦函数，因此f(x)=sin(y+l)是奇函

数，以上推理()

A.结论正确B.大前提不正确

C.小前提不正确D.全不正确

【答案】C

4.(2014•安阳模拟)我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为

定值噂a，类比上述结论，在边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值

)

亚B半

A.3a4

D.平a

c.当

【答案】A

5.观察下列各式：7:=49,73=343,71=2401,则72°”的末两位数字为（）

A.01B.43

C.07I）.49

【答案】B

6.已知函数y=/tY）的定义域为〃，若对于任意的M,〃（乂工照），都有/f）＜

,M?"，则称了=/G）为〃上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为（）

A.y=log2XB.y=y[x

C.y=xD.y=x

【答案】C

二、填空题（每小题£分，共15分）

7.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：

①由“〃〃?=〃〃/"类比得到"a•b=b•a'；

②由“（加+〃）t=/nt+nt”类比得到“（a+8）,c=a,c+b•c”；

③由“fKO,mt=xt0m=x"类比得到"pWO,a,p=x•p=＞a=x'＞；

④由a\m*n\=m\•|n\"类比得到“a*b\=\a\,\b\n.

以上结论正确的是.

【答案】①②

8.已知经过计算和验证有下列正确的不等式:镉+、&＜2寸15,"1+旧1V2小,

«8+小+112-小＜2®,根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数如〃都成立的

条件不等式.

【答案】若正数如〃满足m+〃=20时，有近+近〈2如

9.（2013•安徽高考）如图11—2—3,互不相同的点4,4,…，儿，…和儿用，…，

房，…分别在角。的两条边上，所有4房相互平行，目.所有梯形/L8H+I/U】的面积均相等，

设OA„=an.若d=1,续=2,则数列｛&｝的通项公式是.

0

【答案】a,-^n~2

三、解答题(本大题共3小题，共35分)

10.(10分)观察下表：

1,

2,3

4,5,6,7,

8,9,10,11,12,13,14：15,

•••

问：(1)此表第〃行的最后一个数是多少？

⑵此表第刀行的各个数之和是多少？

(3)2013是第几行的第几个数?

【解】(1)•・•第〃+1行的第1个数是2",

・••第〃行的最后一个数是2"—1.

2L02"—1・2广1

(2)2/,-,+(2"f+D+(21+2)+•••+(2"—1)=-------------------=3-22^3-2°-2.

乙

101,

(3)V2=l024,2=2048,1024<2013<2048；

：.2013在第11行，该行第1个数是2m=1024,

由2013—1024+1=990,知2013是第11行的第990个数.

11.(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

®sin213o+COS217°-sin13°cos17°；

@sin'150+cosJ15°—sin150cos15°；

@sin2180+COS2120-sin18°cos12°；

@sin2(-18°)+COS2480-sin(-18°)cos48°；

@sin2(—25°)+COS255°-sin(-25°)cos55°.

⑴试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

【解】(1)选择②式，计算如下：

13

sin'150+cosJ150—sin150cos15°=1—~sin30°=~

(2)归纳三角恒等式sin2a+cos2(300-a)-sincos(30°一。)=；.

证明如下：

sin2a4-COS2(30°—a)—sinacos(30°—a)

1—cos2a,l+cos60°—2a/…,,….、

=---------+-----------------—sino(cos30coso+sin30sin°)

乙乙

=＜一4cos2a+!+J(cos60。cos2c?+sin60°sin2a)一省sinacosa—^sin2a

=)-Jcos2a+^+1cos2a+乎sin2a-乎isn2a-；(1-cos2o)

12.（13分）在Rt△45C中，ABA.AC,ADIBC于。,求证：表=表+》，那么在四面体

ABCD中,类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.

【证明】如图所示，由射影定理

A4=BD*DC,AE=BD・B3

Ad=B5DC,

.1_1

,'A方-BD・DC

BC_Bd

BD・BODO8。=仍-/C

乂初=力夕+力

.J__而+-__1_J_

••万二A百,力/=茄+茄•

猜想，四面体力比力中，孙AC.力〃两两垂直，4T1平面庞〃则士=白+与+右.

AnA/fACAD

证明：如图，连接虚并延长交S于尸，连接":

^ABVAC,ABLAD,

・・・/18_L平面ACD.

：.AB±AF.

在Rt/Vl即中，AEVBF,

・-L=-L+-L

AE~AB^Af^'

在口△/1切中，AFLCD,

••他144十〃'十力"

故猜想正确.

第三节直接证明与间接证明

［考情展望］1.以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程.数列知识为载体，考查

分析法、综合法和反证法的原理.2.结合具体问题考查学生运用上述三种方法解决问题的能

力.

本抓住2个基础知识点

一、直接证明

内容综合法分析法

利用已知条件和某些数学定义、公从要证明的结论出发,逐步寻求使它成

定义理、定理等，经过一系列的推理论证,立的充分条件,直至最后，把要证明的

最后推导出所要证明的结论成立结论归结为判定一个明显成立的条件

实质由因导果执果索因

框图

四日卜|。-@一,,」周一1一…

表示

^43一得到一个明显成立的条件

二、间接证明

反证法：假设原命题不成土(即在原命题的条件下,结论不成立)，经过正确的推理，最

后得出矛盾.因此说明假设错误,从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.

反证法中的“矛盾”所包含的层面:

⑴与已知条件矛盾；

⑵与假设矛盾；

(3)与定义、公理、定理矛盾：

(4)与事实矛盾.

I【基础自测】I

1.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()

A.三个内角都不大于60。

B.三个内角都大于6于

C.三个内角至多有一个大于60°

D.三个内角至多有两个大于60°

【答案】B

2.命题''对于任意用cos"。一sir?〃=cos2的证明：“cos'。-sin。=

（cos26—sir/0）（cos2伊+sin’，）=cos20—sin20=cos2夕”过程应用了（）

A.分析法

B.综合法

C.综合法、分析法综合使用

D.间接证明法

【答案】B

3.要证：/+9一1一才炉W0,只要证明（）

A.2瓶一1一步炉WOB.

«0

卜2

C.3—1—D.（才一1）（斤一1）20

乙

【答案】D

4.用反证法证明命题“如果那么时，假设的内容是

【答案】需忘赤

突破掌握3个核心考向

考向一[200]综合法

已知a,b,。为正实数，a+/)+c=l,求证：/+4+12；

O

【尝试解答】法一•・%+〃+0=1

・，・(a+6+o)2=3+〃+/4-2aZ?+2ac+2Z?c^a24-Z?24-<?24-c?24-Z>~+3+/+//+/=3(才

+Z?2+c2)

:.4+毋+/2；

法二设<?=-+a，/?=-+B,c=-+y.

JJJ

贝ij由a+b+。=1可知。+尸+/=0

・・・,+"d=G+"）+《+£）+《+y

i2

=-+T（a+£+y）+a4夕'+r2

JJ

=J+/+£'+y22；.

JJ

规律方法11.综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知（从题设到

结论）的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断（命题）出发，经过•系列

的中间推理，最后导出所要求证结论的真实性.

2.综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.

对点训练（2013•安徽高考改编）设数列｛,｝满足a=2,功+%=8,且对任意〃£N\

函数f{x）=（4一品+1+&42）x+d+icosx-a+2sinx满足产传）=0.

求证：数列｛&｝是等差数列.

【证明】由题设可得6（x）=&-a+1+&+2-&+isinx-&+2cosx.

对任意〃£N\f（万）=即一&+i+/+2—品+1=0,

即4+1一%一当卜2—4]，故｛a｝为等差数列.

考向二[201]分析法

【尝试解答】由已知及力0可知0<从1,

ba

要证，1++J-,

V]一〃

只需证也+a,y]\-b>1,

只需证1+a一6一位1,

Q—°]]

只需证a—b—仍>0即——>1,即7—>1.

anba

这是已知条件，所以原不等式得证.

规律方法21.对于无理不等式，常用分