高考数学向量及其运算 教案 教学设计

向量及其运算

教学内容：

向量及其运算二.教学要求：

1.理解向量（平面向量、空间向量）的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念，掌

握向量的加法、减法，掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。了解向量的基本定理,

掌握向量的数量积及其几何意义，了解用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直问题，理解直线

的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。

2.理解向量（平面向量、空间向量）的坐标的概念，掌握向量的直角坐标运算及两点间的距离

公式。

3.掌握线线的定比分点和中点坐标公式，并掌握平移公式。

二.知识串讲：

平面向量及其运算

（一）向量的基本运算

1.有关概念

（1）向量——既有大小又有方向的量叫做向量。

常用有向线段表示向量

'方向

向量二要素

［长度

->—>

（2）向量的模一有向线段的长度IA8I,也1

长度等于1的向量叫做单位向量，％=£

lai

—>—>——>

零向量0（0的方向不定），101=0

（3）共线向量（平行向量）一一方向相同或者相反的向量叫做平行向量或者共线向量。

（4）相等的向量•

长度相等rT方向相

同a=b

规定：0=0

向量可以在平面(或者空间)平行挪移而不变。

规定：零向量与任-一向量平行。

2.向量有二种形式(或者二种表示)

几何表示一一几何运算

代数表示一一代数运算

坐标表示<一一>坐标运算

3.向量的加法、减法与数乘

(1)向量的加法一三角形法则或者平行四边形法则

如图：

向量加法的多边形法则

->—>—>如图，求Q+Z?+C

(2)向量的减法：

一»——»——»一»..—•

a-b=a+(-b),即向量。加之Z?的相反向量。

(a—b的箭头指向被减向量)

长度14a1=121*\a\

方向：2>0时与Q同向

2Vo时与。反向>A,a〃a

->—>

4=0时，>1(1=0

-->-->-->-->

淤b〃a(a?0)o存在惟一实数刀使b=Aa

4.向量的运算法则(加、减、数乘)

—>—>—>

设向量a,b,c及实数人，“，贝U：

T丁=b+

a

—>—>—>—>—>—>

(2)(a+b)+c=a+(b+c)

—>——>——>

(3)(2+〃)。=Na+#。

--->--->--->--->

@2(a+b)=Aa+Ab

->--—>

⑤12(1=121.lai

TTTTTT

@la1-1b\<\a+b1<1a\+\b\

(此不等式表示三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，也称为三角不等式。)

5.平面向量基本定理(向量的分解定理)

e*,e?是平面内的两个不共线向量，那末对该平面内任一向量a,存在

惟一实数对4,知使得3=扃：+人2二

(这个定理表明：平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为惟一一对向量的

和。ex+22e2叫做向量ei,e?的线性组合，q,e?叫做表这一平面内所有向量的一组基底。

'①基底不惟一，关键是不共线、

、②基底给定，分解形式惟一>

应用：

设51,昴不共线，点P在直线A3上（即A、B、P三点共线）

一>一〉—>

<»OP=20A+JLlOBM2+//=1（2,//e7?）

（二）向量的坐标运算

1.在直角坐标系内，分别取与X轴，y轴同方向的两个单位向量了，了作为基

底，则该平面内任一向量3,有且惟独一对实数x,y,使得3=

称（尤，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a=（尤，y）,即为向量的坐标表

（如图，当把向量a的起点移至原点时，（x,y）是向量a=0A终点A的坐标，即A

（x,y）,x,y是向量a在x,y轴上的射影，与a相等的向量的坐标也相同。）

2.向量的坐标运算

巳知a=（明,yi）,b=（工2,光）,尢£R

—>—>—>—>—>—>

则：⑴Q+/?=(明i+yl/)+%1+丫2D

=(M+工2),+(ii+y2)j

=3+X2,y,+V2)

A

(2)a-b=(%］一心,为一光)，设A］/,yj,Bx2,y2j

BA=a-b=(x-x2,yx-y2)

IAB\=J(xi-xj+(M-无)2

(3)2a=4(X“)=(，，］

(三)平面向量的数量积

1.数量积的概念

—>—>—>—>—>—>

设向量0A=a,OB=b,ZAOB=0叫做向量a与b的夹角。记作

>,0°«a,b><180°

—>—>—>—>

⑴数量\a\・\bIcos。叫做Q与/?的数量积(或者内积)，记作a•b

,b上\工\,\bTcos«

(2)数量积的几何意义：

B

a•b等于a的模Ia1”在a」的方向上的射影Iblcos。的乘积。

2.数量积的运算法则

TaTTT0=0•a=0

(1)a•b=b•a,.

一)一>一>----»-»

⑵〃la)9b=从。・b)=a«(2Z?)(2G7?)

->一：T

(3)(a+b)•C+b•c

注数量积不满足结合律!

意：T

(b1.C)

•b)•'ca9

,/),b:

T/b=(^yj・G3光)=

3.重要性质

(1)设e是单位向量,0=<a,e>，贝I]e•a=a•e=\a\•cos0

__>—>—>—>、—>—>—>—>

(3)oab=1al・\b谶者。・b=-\a\・\b\

：a=2%(bR0)(4惟一确定)

=(X],为)=人(心，光)

0xx0

xy2-2yx=

(4)a=\a\29b\<\a\•\b\

与

⑸cos9=

\a\*\b\

（四）定比分点与平移

1.线段的定比分点

设当（.如乂），P2（.%光），分点P（x,》），设当，尸2是/上两点，尸点在/上且

——>——>——>

不同于《、P?若存在一实数刀使P「=2PP”贝以叫做P分有向线段《己所

成的比。（人〉0,P在线段片当内；人v°，F在税外）

-u1

X*竺X=S一—工

1+?,若P为PR中点，〈2

1+22

2.平移

->

PP=(h,k)由opecrp+pp

=>('<,•/)=(x，¥)+,，4)

x'=x+h

平移公式

y'=y+k

空间向量及其运算

1.空间向量的定义及加减法

（D空间向量的定义和平面向量一样，即具有大小和方向的量叫做向量。

空间向量也用有向线段表示，同向且等长的有向线段表示同一向量或者相等的向量。

（2）空间向量的加法、减法、数乘运算与平面向量运算一样，运算律相同。

如图，验证加法结合律。

2.共线向量与共面向量

(1)共线向量：a〃b(Z?±O)=Ab(2Gj?)

三点共线：/为经过点A且平行于已知非零向量3的直线，那末对任一点

—>—>—>—>

。，点P在I上的充要条件是存在实数f，满足OP=OA+ta(a叫/的方向

向量)

在I上取AB=a，贝U

—>—>—>—>—>—>—>—>—>

OP=0A+tABAOP=0A+t(OB-OA)=(l-z)0A+tOB

当、=-时，点P是线段A3的中点，贝U2

OF3=—(OA+^OB)—中点坐标公式2

应用：可用来证明三点共线或者两线平行。

(2)共面向量(即平行于同一平面的向量)

共面向量定理：a,b是不共线向量，则向量p与以，b共面

0存在实数对X,y,使p=Xa+yb

四点共面：

点P在平面内0存在实数对x,y,使MP=xMA+y-MB

—>—>—>—>

或者对空间任一定点。，vOP=0M+XMA+yMB

(OP=0M+x(OA-0M)+y(OB-OM)=x0A+y0B+(l-x-y)OM)

—>—>—>—>

0OP=x,0A+y•0B+z•OM(x+y+z=1)

应用：可用来证明四点共面。

3.空间向量基本定理

定理：如果三个向量3,~b,T不共面，那末对空间任一向量；，存在

一个惟一的有序实数组X,y,乙使p=xa+yb+zc

—>—>—>—>—>—>

其中｛。，b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，

(X,y,z)叫做向量p在基底｛。，b,c)下的坐标。

推论：设0、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在惟一的有序实数组x、y、

z,使

—>—>—>—>

OP=x•OA+y*OB+z.OC

如图，三棱锥O—ABC,M、N分别为0A、BC中点，点G在MN上，且使

MG=2GN,用基向量OA,

4.空间直角坐标系

则这个基底叫做单位

如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1,正交基底,

常用｛了，了，7｝表示。

k为坐标向量,

如图，为空间直角坐标系O-xyz,点。为原点，i,j,

任一向量a,则存在惟一的有序实数组（x,y,z），使

----------------a=xi+yj+zk

则（X,y,z）叫做向量a在空间直角坐标系中的坐标。

设0A=a,贝U(x,y,

5.向量的直角坐标运算

设3了二版卜g,如），则

a±b=(a.±b.,a2±b2,a3±Z?3)

2a=(*],*2,知3)(2cR)

(空间两向量的数量积与平面两个数量积相同)

->—>

a•b=+。2°2+°3°3

->—>

a/^boax=I/?],a2=Ab2，a3

->—>

。

一L/?=IaIb.+2a,2bo+3a„3b„=0

设A(M,>1,Z1),B(乂2,丫2，(％2一明，力一北，

即一个向量的坐标等于该向量的终点坐标减去起点

坐标。

AB=OB-0A

=6.夹角和距离

—>—>—>—>—>—>

(1)a,b的夹角记作<Q,b>,0<<tz,b><7i

设a=(%；,%,zj,b=(x2,y2,z2),PIU

~>II-------------------~»I---------

IQ1=Vq,3=JQ；+0；+0；,I»1=+&2+人;

->—>

a.'bab,+a2b2+a3b3

laiIZ?IJ"i,"2Jb]”+3,.2+奶

(2)距离公式

v,zi,B(%2,Vc>Z2),贝ij

A

IABI=x2-%!)2+(y2-Ji)2+(z2-zi)2

米若向量3上平面a,3叫做平面a的法向量。

【典型例题】

平面向量及其运算

例1.已知四边形ABCD的边AD与BC的中点分别为E、F.

T1TT

求证：EF=—(AB+DC)

2

证明一：连结EC、EB,则

T]TT]TT——

EF=-(EC+EB)=-[(ED+DC)+(EA+AB)]

->—>—>—>

又ED=-EA,ED+EA=Q

EF=-(DC+AB)

证明二：取BD中点O,连结EO,OF,则

TITTIT

EO=-AB,OF=-DC

22

^F^'to'+'OF=-(AB+DC)

说明：本题的证明中，运用定比分点向量式，中点公式或者三角形中位线性质。

例2.已知G是AABC的重心，求证：GA+GB+GC=0

—>->—>—>—>—>—>

分析：要证G4+G3+GC=0，只要证明GB+GC=-GA

B、、、、P

证明：以向量GB,GC为邻边作平行四边形GBEC,设D为BC中点，则

电+TGC=GE=2GD

又G为AA3C的重心，则GA=-2GD

-»-»

即2GD=-GA

•T.T-rGB+GC=-GA

TTTT

,.,GA+GB+GC=0

例3.已知OA,08不共线，OP=2-。4+日-OB

求证：A、P、B三点共线的充要条件是2+〃=1

思路分析：A、P、B三点共线即向量/〉，席共线，即AP=mAB

证明：必要性：

->->

若为、P、3三点共线，则存在实数m,使AP=mAB

即OP-0A=m(OB-0A)

OP=(1-m)0A+mOB

—>—>->—>—>

XVOP=AOA+/aOB,及OA、08不共线(由惟一性)

二人+//=1

充分性：

—>—>—>

若；1+〃=1,贝I]AP=OP-0A

—>—>—>

=(A0A+Ai0B)-0A

->—>

=(人-1).0A+以.0B

=-〃.0A+以•0B

=(0B—0A).以

->

”AB

->—>

LAP与A3共线，且它们都过点A,即A、B、P三点共线

—>—>—>—>—>—>—>—>

例4.已知Q,b都是非零向量，且a+3b与7a—5b垂直，a~4b与

—>—>—>—>

7a—2b垂直，求。与Z?的夹角。

~>>a.h

求a,b的夹角，即求cos9=------的值。

分析：\a\-\b\

解：由两向量垂直的充分必要条件得：

(a+3b).(7a—55)=0

(a—4b).(7a—2b)=0

Fa-4-2

7a+16ab-15b=0<21>

7a-30a/?+8Z?=0

<1>><2>两式相减，得2a9b=b

（注意：此时不能消去”？！）

—...Ff

代入〈1〉，得：a=b

：.\~t\=\~b\

—b

.aa.b21

••ccJs1一『

-T=12

\a\-\b\\b\2

...0=60。，即为向量。与b的夹角。

—>->-2—>->

说明：（1）解题过程中，由2a.b=b不能得2a=b,因为前者是实数等式，而后者是

向量等式。

（2）a仅仅是一种记号，并不表示平方运算，而是

-2—>->—>->->

a-a.a=\a\.\aIcos0°=lah

->->—>—>

同理，（a+Z?）2=Q+力12

例5已知Q=(1,2),b=(—2,n),Q与b的夹角是450

(1)求/?;

（2）若c与b同向，且c—a与Q垂直，求co

解.⑴由a.b=(1,2)(-2,n)=-2+2n

It?1=75,\b\=Ar)2+4

a.b2t2TlA/2

rcos45°=

V5.M+42

\a\-\b\

注意到-2+2〃>0,n>1

3n2-16«-12=0(2)

(舍)

b=(-2,6)

->T

⑵由⑴知：•b=10,IQ2=5

又c与力同向，故可设c=Ab(2>0)

->—>—>

又由c—a与。垂直

.*.2一检n6/石>=0

1

102

-C=Ab=(-1,3)

说明：第(1)问直接由已知转化为解方程求"；第(2)问，抓住“7与

~b同向”转化为求;I,避免设T的坐标，简化了运算。

，„„b!=(8s/?「gi»n/—3\\ka'+Q=V3Ia-kb\,

wrnkJO〃,OilnliCl),'

例6.已知a其中

k>0o

(1)用上表示a•b；

⑵求a•b的最小值，并求此时了，的夹角的大小。

—»—，—，.-------，—，

解.(1)要求用化表示a/UTb,而己知比。1=V3Ia-kb\

*

故将上式两边平方，得：比3+~?|2=(VN3-*；1)2

F-2——F—2a

即好。+b+2ka•b=3(a•k2b-2kaZ?)

F->2

TT(3-r)a+"J)ba.—sic

cosa,sina),b=(cos'',sin")

Fb=1

=1,

3-『+3]-1」+1__________________________________________________

7k-

(2),：k>0,:.k2+l>2k

A：2+12k1

----2—=—

4k-4k2

…1

：.a.b的最小值为一

2

a.b=Aa\.\b\,<x)s6,

/.—=1x1xcos0,3=60°

2

此时，3与?的夹角为60.

说明：与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子摆布两边平方，且有

_>_>_>__2_2_>_>_>_>\a+b\2=(a+b)2=a+2a.b+b=\a\2+\bh+2

a.b

例7.把函数y=log,(2x-1)+4的图象按向量a平移后，得到y=log^x)的图象，求3o

设日，。由平移公式｛y=E

解：

x=x'-hy=y-k

将之代入：y=log2(2x-l)+4

得：y-k=log2[2(x-/z)-1]+4

即y'=log?(2x'—2力-1)+4+*

由题设，该函数应为y=log2(2x')

f1

2/2+1=0/?=-

<2

4+k=0)*

K—4

arr"4

说明.运用待定系数法解方程组求出ci,本题也可以由y=Iog2(2x-1)+4,得y-4=log2

人x'=X——.Tf1A

*2•〃-U

[y=y—4

例8.线段枷的端点M35),N(-2,y),点P(1,1)在直线”上，且I芯1=21茄I,求点M和点

N的坐标。

PP

I___IL___I

MN

解.弟与宗的方向可能相同或者可能相反HTV.

--»--»--»--»

:.MP=2PNAMP=-2PN

—>—>—>—>

(1)当与PN同向时，2=2,即MP=2PN

1-5)=2(-2-1,y-1)

f1_x=-4-2

4=2y—2

：.M(J,5),N(-2,-1)

(2)当航与尿反向时，2=-2

由定比分点公式(也可以由以上方法)

X+S2)X[2)_

1+(-2)

5+(-2)y]

5),N(-2,3)

说明：注意由长度比转化为分比时，入的符号。不要将向量写成比的形式。

—>例9.已

知。+cosa,sina),b=(l-cos",sin/?),c=(1,0),

A

aG(0,]),Pc(7T,2i),o与c的夹角为0,b与c的夹角为。2,jl0—02=-,求

a—P的值。

6

解./ae(Q,兀)，/?£(",2i)

71

^-971

.a./3

..cos->0,sin一>022

Ia\—*T20a

+cosa)+-sina-2cosyA(l-cosyA)2+sin2[3=2siny

\b\=l"cl=l

T1,.°2a

c=1+cosa=2cos-

2

C=1Lcos=2sin

COSOcos—

cos%

IZH•Icl

..a

0,

—e

2

71

o,sin"=cos|只得：/371

由cos%=2'*2

空间向量及其运算

例10,求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两直线平行。

已知：直线OAL平面a,直线BDX平面a,。、B为垂足。

求证：OA/7BD

证明：以点。为原点，以射线OA为非负z轴，建立空间直角坐标系O—xyz,i,j,k为沿x

轴，y轴，z轴的坐标向量，设BD=(x,y,z)

—>—>—>—>

'：BD±a,BD±i,BD±j

BDi=(x,y,z)«(l,0,0)=X=0

BDj=(x,y,z)(„,1,0)=y=0

ABD=(Q,0,z)

:.BD=z~k

:.BD//

又知0、3为两个不同的点，：.BDIIon即BD/7OA

例11.如图,平行六面"ABCD-A"D,中,以顶点A为端点的三条棱长都等于1,且两两夹角都为

(1)求ACi的长;

(2)求ACi与平面ABCD所成的角。

->—>—>—>—>—>—>—>—>解.(1)AC]=AC+CC[=A5+AD+

CC1=A5+AZ)+AA]

由IA'GF=.(AB+AD?A筋一)

=12+12+12+2cos600+2cos600+2cos60°

=6

2'：AAAADAAB所成的角都是60。

...徵1在底面ABCD上的射影在ZBAD的平分线上

平面A]ACq±平ffiABCD

/GA。为AG与平ffiABCD所成的角

TT2tttt

\AC\-=AC=(A5+AD)•(A5+AD)=I2+I2+2COS600=3

在AAQC中，由余弦定理

...AC；+AC2-CC,2COSZC,AC=—i

2IACJ-'lACi*

2•V6•V3

2A2

/.ZC.AC=arccos----------

13

【摹拟试题】

一.选择题。

1.已知正方形ABCD边长为1,A3=a,BC=b,AC=c，则。+方+c的模等于()

A.0B.3C.2-72D.V2

2.判断下列各命题的真假：

(1)向量福的长度与向量弟的长度相等；

(2)向量a与方平行，则口与''的方向相同或者相反；

(3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

(4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

(5)向量房与向量是共线向量，则点A、B、C,D必在同一条直线上;

其中假命题的个数为()

A.2B.3C.4D.5

3.AABC中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB边上的中线，G是它们的交点，则下列等

式不正确的是()

T2TT1T

BG=—BEDG=-AG

A.3B.2

1T2T1T

—DA+—FC=—BC

C.CG=—2FGD.332

4.若向量a=(L1),(LT),c=(-1,2),则等于(

IT3->------L3->—ab

abA.22B.22

3、—J3Tl->——a+—

C.’a-2bD.22b

5.平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足

—>—>—>

OC=a0A+/30B其中a、0ER,a+”=1,则点c的轨迹方程是(

(

A.3x+2y-11=0B(x-l)?+(y-心5

D.x+2y-5=0

b=(6,2”1,2),若3〃则人与#的值分

6.已知向量。=(人+1,0,2勾

别为(

1

A.5B.5,2D-5,—2

7.设A(3,3,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M与C的距离等于()

V5353V53V13

A."TB.Tc.TD."T

二.填空题。

(1,2),b=(x,v=2a-b且，"V,则

8.若向量。

X=_________

—>—>—>—>—>—>—>

)是夹角为60。的单位向量，则a=2i+j,b=-3i+2j的夹角是

—>—>—>

10.已知.9b均为单位向量，它们的夹角为60。，那末\a+3b\=

->(2,—1)平移后得到图象F,则F对应的函数的解

y

析式为=

12,同时与向量。=。，2,1),b=(4,5,3)都垂直的单位向量是.

三.解答题。

13.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们之间的夹角均为120。。

—>—>—>

(1)求证：(。一■》)上C；

—>—>—>

(2)若\ka+b+c\>l(ke7?),求k的取值范围。

14.平面内有向量。人=(1,7),03=(5,1),OP=(2,1),点M为直线OP上的一个动点。

(1)当心•翊取最小值时，求的坐标；

(2)当点M满足(1)的条件和结论时，求cosZAMB的值。

15.如图的直三棱柱ABC-ABC,中AC=3C=1,ZACB=90°,&人=扼，求二面角A-AxB-C的

大小。

A

【试题答案】

选择题。

1.C

2.B

提示：其中(2),(4),(5)错。

3.B

4.B

5.D

提示:设0C=(x,y),又0A=(3,1),08=(-1,3)

a.OA9OB=(3a-/3,a+3〃)=(x,y)

,{x=3a-/3

\y=a+3/3

a=—(3x+y)

10v7

\

^=£(3y—x)

又a+"=1,•<x+2y—5=0

或者：由条件可知A、B、C三点共线。

6.A

7.C

二.填空题。

1

8.2

9.120°

提示：由也它=(2z+;4z+4zj+产

=4+4xlxlx——+1=7

2

->

Ia1=<7

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