新结构题型第19题100题（含详细解析）

新结构题型第19题精选100题

1.对于数列力：6,a2M3(aeN/=1,2,3),定义"变换将数列力变换成数列8：乙也也，

其中4=|%-旬。=1，2),且。=%一闻.这种“T变换”记作8=7(4),继续对数列8进行“T

变换”，得到数列。2/刍，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束.

(1)写出数列力：3,6,5经过5次“丁变换”后得到的数列：

⑵若6MM3不全相等，判断数列4外,。2M不断的“7变换”是否会结束，并说明理由；

(3)设数列力：2020,2,2D24经过R次"变换”得到的数列各项之和最小，求左的最小值.

x"=ax+by

2.在平面直角坐标系中，利用公式)y=cx+4，①(其中a,b,%"为常数)，将点

P(xj)变换为点P(fj')的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该

-ab\\ah\

变换公式①可由%b,C,"组成的正方形数表cd唯一确定,我们将cd称为二阶

矩阵，矩阵通常用大写英文字母A,…表示.

(1)在平面直角坐标系xQy中，将点P(3,4)绕原点O按逆时针旋转三得到点/(到原点距离

不变)，求点产的坐标；

⑵如图，在平面直角坐标系X。歹中，将点尸(入h)绕原点O按逆时针旋转。角得到点户(；'/')

(到原点距离不变)，求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；

/\

(3)向量丽=(x,y)(称为行向量形式)，也可以写成:，这种形式的向量称为列向量，线

-一(X1/)YxA,

性变换坐标x公式①可以表示为：，卜(a』，则称，是二阶矩J阵(ab,}与向量(x}

⑺"d)\y)uJI。d)⑺

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的乘积，设A是一个二阶矩阵，庆，万是平面上的任意两个向量，求证：A(m+n)=Am-^An.

3.已知集合力={123「..,〃},其中4,4,…，4都是A的子集且互不相同，记M=4

的元素个数，%=(4c%)的元素个数(幻e{1,2,…，〃小i<力.

⑴若〃=4,4={1,2},4={1,3}，心=心=1,直接写出所有满足条件的集合4;

⑵若〃=5,且对任意都有为>(),求机的最大值；

(3)若〃>7M43("1,2,…，机)且对任意都有％=1,求m的最大值.

4.对于函数y=/(x),xsl,若存在/J,使得/(%)=%,则称％为函数/*)的一阶不

动点；若存在使得/(/(%))=.%,则称。为函数/(')的二阶不动点；依此类推，可

以定义函数/*)的〃阶不动点,其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定

点"，函数"X)的坏动点”和,•稳定点”构成的集合分别记为A和8,即力=付/(戈)=巾

5={x|7W))=x}.

⑴若/(x)=/(x>0)，证明：集合力={N/(x)=x}中有且仅有一个元素；

⑵若/(x)=(a+l)x」+驾讨论集合8的子集的个数.

xe

5.我们知道，二维空间(平面)向量可用二元有序数组(q,%)表示；三维空间向盘可用三

元有序数组(4,%,%)表示.一般地，〃维空间向量用〃元有序数组(％,%，…，％)表示，其中

即(k=1.2称为空间向量的第〃个分量，*为这个分量的下标.对于〃(〃23)维空间向

量3M2,…M”),定义集合力(〃?)={川4=〃?,太=1,2,….记力(，〃)的元素的个数为

(约定空集的元素个数为0).

(1)若空间向量师生，。3M4M5，。6，。7,4)=(6,3,2,5,3,7,5,5],求力⑸及何⑸|；

—/、111

(2)对于空间向量(〃—).若砌+闲+…+匹/〃,求证：乜小{1,2r,〃},

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若j工九则qwQ,；

(3)若空间向量(q,。2M3,…，%)的坐标满足4(4-2+4T)="｝，Q=。2=1,当〃23时，求证:

，+嬉+…+/>2/_[%.

6.帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正

整数〃?，〃，函数〃x)在x=0处的上小〃]阶帕德近似定义为：…

1+P1X+…

且满足：/(0)=/?(0),，⑼=*(0),/"(0)=*(0),……，尸)(O)=RE(O),注：

/”(x)=C，〃(x)=[/"(x)]',/⑷3=[广(川，/⑸(戈)=[/丑)]’,……

已知函数〃x)=ln(x+l).

⑴求函数/(x)=ln(x+l)在x=0处的[1』阶帕德近似K(x),并求lnl.1的近似数(精确到

0.001)；

(2)在(1)的条件下：

①求证：77*<1；

ln(x+1)

②若5+1R(x)«l-cosx恒成立，求实数小的取值范围.

IZ/

7.已知集合S"=｛x|x=(x"2,…占)丙w｛0,1｝/=1,2,…,〃)(?>2),对于力=(6,外,…,％),

4=佃也,…也)eS”，定义A与6之间的距离为"4团二七|《W|.

/=1

⑴已知力=(11,1,。)€邑，写出所有的8eS“使得448)=1；

⑵已知/=(11,…,1)£S“，若48eS”，并且4(/,彳)=4(/、4)=〃£〃，求或48)的最大值;

(3)设集合。口反，/>中有个元素，若尸中任意两个元素间的距离的最小值为/,求

证："?工2"-川.

8.(。,与表示正整数%6的最大公约数，若｛演,々,…，毛｝口｛1,2,…,〃"伏刈€N'),且

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Vxe"],.,…(x,m)=l,则将々的最大值记为8(加)，例如：9⑴=1,*(5)=4.

⑴求8(2),奴3),e(6)；

(2)已知(加,〃)=1时,9(mw)=(P(in)9(〃).

(i)求0(6")；

(ii)设2=3仪；)一1，数列⑻的前〃项和为如证明：春

9.有穷数列生，…，4。?>2)中，令5(〃国)=%,+。0+|+—+。/14〃4夕44〃，4£1<),

⑴已知数列-32-1,3,写出所有的有序数对(〃国)，且〃<9,使得S(p,g)>0；

⑵已知整数列勺m，…为偶数，若S(»,〃/।=满足：当i为奇数时，

5(i>-/+l)>0；当i为偶数时,S亿〃-i+l)<0.求㈤+同+…+同的最小值;

⑶已知数列生，生，…以满足5(1,〃)〉。，定义集合力={心。+1,〃)>0/=1,2产-1}.若

彳={中2,…,乙}卜£河)且为非空集合，求证：S(l,〃)>%+%+~+%.

10.对正整数〃此3,〃26,设数列力：《必，…M，qe{0』}(i=l，2,…,〃).8是〃?行〃列的数阵,

b”表示8中第i行第7列的数，4e{0,1}(/=1,2,…刈;八1,2,…川，且B同时满足下列三个

条件：①每行恰有三个1;②每列至少有一个1;③任意两行不相同.记集合

{i|ad+/％+…+。也=。或3/=1,2「・,/»}中元素的个数为藤.

「111000、

⑴若4:1」」,0,0,0,8=101100，求K的值；

,0001I1,

⑵若对任意P，”{1,2，…川(〃<4),8中都恰有〃行满足第P列和第4列的数均为1.

①8能否满足力=3广？说明理由；

②证明：犬之工(〃2-4〃).

24'/

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11.已知函数卜=/(外与了=或外有相同的定义域。.若存在常数4(〃€R),使得对于任意

的再e。，都存在々C。，满足/(x.)+g(x2)=a,则称函数丁=g(x)是函数y=f(x)关于a的

“S函数”.

⑴若/(x)=lnx,g(x)=e\试判断函数J，=g(x)是否是y=/(x)关于。的“S函数”，并说明

理由；

(2)若函数y=/(x)与y=g(x)均存在最大值与最小值，且函数y=g(x)是y=/*)关于。的

“S函数"，歹=/")又是少=g(x)关于。的“S函数”，证明：[/a)]min+[ga)]max=。；

(3)已知g(x)=G,其定义域均为[0,4.给定正实数/,若存在唯一的明使

得y=gM是y=/(x)关于。的“s函数”，求,的所有可能值.

12.在平面直角坐标系中,两点尸(西,必),。(々,必)的“曼哈顿距离”定义为|再-彳2|+|必-必|,

记为IIP0II,如点尸(1,-2),0(-2,-4)的“曼哈顿距离”为5,记为"211=5.

⑴若点尸(。,2),“是满足||尸。||42的动点。的集合，求点集M所占区域的面积；

⑵若动点P在直线y=x-2上，动点。在函数)，=<f的图象上，求IIP0II的最小值；

⑶设点户(“力)，动点。在函数)，=2/卜«-2,2])的图象上，||。。||的最大值记为.“(〃/),

求M(a力)的最小值.

13.设有〃维向量不二岫+%"+…+。也为向量值和5的内积,

当[讥町=(),称向量口和B正交.设S“为全体由T和1构成的〃元数组对应的向量的集合.

⑴若。=:,写出一个向量5,使得忖同=0.

4

⑵令〃=｛艮刃艮FGSJ.若meB,证明：加+〃为偶数.

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(3)若〃=4,/'(4)是从S,中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足［无可=0,猜

测/(4)的值，并给出一个实例.

14.对于函数y=/'(x),=XGD2,设若怎，X2GD,且*±七,

皆有)—,/a)1<小(』)-g(丫2)|1>⑴成立，则称函数N=/")与尸或丫)“具有性质

⑴判断函数/(x)=F,xe［l,2］与g(x)=2x是否"具有性质“⑵”，并说明理由；

(2)若函数八幻=2+.*,)€(。』］与?(幻」“具有性质/7(/)”，求f的取值范围；

X

(3)若函数/(x)=-V+21nx-3与y=g(x)”具有性质〃⑴“，且函数y=g(x)在区间(0,+功上

x~

存在两个零点X］,*2，求证x；+x；>2.

15.法国数学家加斯帕尔・蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空

间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定

义：给定椭圆C：=\(a>h>0),则称圆心在原点。，半径是店方的圆为“椭圆C

//b2

的伴随圆'，已知椭圆5+*=l(a>b>0)的一个焦点为产(夜,0),其短轴的一个端点到焦

点户的距离为6.

(1)若点A为椭圆。的''伴随圆"与x轴正半轴的交点，8,。是椭圆C的两相异点，且BZ)_Lx

轴，求方.瓦的取值范围.

⑵在椭圆。的“伴随圆”上任取一点夕，过点P作直线4,4,使得4,，2与椭圆C都只有一

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个交点，试判断4,4是否垂直？并说明理由.

16.我国南北朝时期的数学家祖冲之(公元429年-500年)计算出圆周率的精确度记录在

世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫(公元1540年-1610年)用一生精力计算出了圆

周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新.例如：我们很容易能

利用计算器得出函数J("=e'+x(e=2.71828…)的零点飞的近似值，为了实际应用，本题

中取。的值为057.哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，

内部建造了一条智能运货总干线G,其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为

g(x)=Infx-2—!-1其在x=2处的切线为心现计划再建一条总干线

<xo)

C2:y=c^,其中，〃为待定的常数.

注明：本题中计算的最终结果均用数字表示.

(1)求出4的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线G上的点不在直线4的

上方；

(2)在直角坐标系中，设直线g),计划将仓库中直线4与4之间的部分设为隔

离区，两条运货总干线G、分别在各自的区域内，即曲线上的点不能越过直线4,求

实数机的取值范围.

17.卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列.以比利时的数学家欧仁查

理卡特兰(1814-1894)命名.历史上，清代数学家明安图(1692年-1763年)在其《割圜

密率捷法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰.有中国学者建议将此数命名为,'明安图

数''或"明安图•卡特兰数卡特兰数是符合以下公式的一个数列：

。”=。0%」+%%-2+~+。小即且检=1.如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰

数.卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数.比如：

在一个无穷网格上，你最开始在(0,0)上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一

格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到(〃,〃)，03?有多

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少种不同的合法路径.记合法路径的总数为a

（1）证明”是卡特兰数;

（2）求”的通项公式.

18.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折

纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）

步骤1：设圆心是E,在圆内异于圆心处取一点，标记为产；

步骤2：把纸片折叠，使图周正好通过点八

步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；

步骤4：不停重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕.

已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点尸到圆心E的

距离为2百，按上述方法折纸.

⑴以点巴E所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的桶圆C的标准方程；

⑵设椭圆C的下顶点为小过点。作两条互相垂直的直线乙，4,这两条直线与椭圆C的

另一个交点分别为必，N,设4的斜率为左依工。），△OMN的面积为工当面＞7时，求左

的取值范围.

19.五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游

客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直

线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一

步会随机选择向前行走或句后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰

好回到初始位置，则视为胜利.

（1）若小明设定机器人一共行走4步,记机器人的最终位置与初始位置的距离为X步，求X的

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分布列和期望；

⑵记P/YN'）为设定机器人一共行走万步时游戏胜利的概率，求并判断当i为何值时,

游戏胜利的概率最大；

（3）该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置,

才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是

求助正在读入学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将〃个0和

〃个I排成一排，若对任意的在前女个数中，（）的个数都不少于1的个数，则满

足条件的排列方式共有C1-C祟种，其中，C”-C祟的结果被称为卡特兰数.若记，为设定

机器人行走2i步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的化，有

20.黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之

--它与函数/（工）=三（x>0,s>l,s为常数）密切相关，请解决下列问题.

（1）当1csM2时，讨论/（X）的单调性；

⑵当s>2时；

①证明/'（X）有唯一极值点；

②记/（x）的唯一极值点为g（s）,讨论巨（s）的单调性，并证明你的结论.

21.在信息论中，炳（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息煽

、信源煽、平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件、样本或特征.（烯最好

理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的炳越大）来自信源的另一

个特征是样本的概率分布这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更

多的信息.由于一些其他的原因，把信息（燧）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.

事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）

就是这个分布产生的信息量的平均值（即埔）.端的单位通常为比特，但也用Sh、nat、Hart

计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例

如，投掷一次硬币提供了iSh的信息，而掷，〃次就为位.更一般地，你需要用位来

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表示一个可以取〃个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的精，引入到信

息论，因此它又被称为香农滴.而正是信息炳的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯・

麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变

量4所有取值为1,2,…,，J定义4的信息熔"©=-1/叫心(£4=1,，=1,2「、〃).

/=1J=!

(1)若〃=2,试探索J的信息烯关于片的解析式，并求其最大值;

(2)若[=2=白，k=2[*=2,3,•••,〃)，求此时的信息炳.

22.，・费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三

角形内求作一点，使其与比三角形的三个顶点的距离之和最小意大利数学家托里拆利给

出了解答，当“8c的三个内角均小于120。时，使得408=/8OC=NCQ4=120。的点。即

为铸马点；当有一个内角大干或等干120。时，最大内角的顶点为铸马点.试用以上知

识解决下面问题：已知08C的内角4氏。所对的边分别为db,c,且

cos24+cos2C-cos2/l=1

⑴求A；

⑵若儿=2,设点。为ABC的费马点，求苏.而+万定+1刀；

(3)设点P为的费马点，|PA|+|PC|=/W|,求实数/的最小值.

23.给定正整数〃22,设集合〃={&。=(/"2,…人)山«04}，4=12i,〃}.对于集合河中

的任意元素£=(占,与，…，与)和/=(乂，必，…，”)，记夕•/=王必+々为+L+5儿.设力q",且

P，i=j，

集合力={%|%=(%$2,…,L),i=l,2,….}对于A中任意元素6,%,若

覃打，

则称A具有性质“〃,〃).

(I)是否存在集合A具有性质7(2,1),若存在，请写出A的表达式，若不存在，请说明理由;

⑵判断集合力={(1,1,0),(1,。1),(0,1,1)}是否具有性质7(3.2)?若具苞求的值；若

不具有，请说明理由；

(3)是否存在具有性质r(4,p)的集合A?若存在，请找出来；若不存在，请说明理由.

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24.人类对地球形状的认识经历了漫长的历程.古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又

认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到

1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实.其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，

发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符.地

球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面

「5+4+:=1（。>0/>0,（?>（^,这说明椭球完全包含在由平面工=±。/=±/）,2=±°所

a~b~c~

围成的长方体内，其中4,瓦。按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴.某椭球

面与坐标面Z=0的截痕是椭圆E:5+/=1.

⑴已知椭圆E+g=l（4%>0）在其上一点。&2。）处的切线方程为华+罂=1.过椭圆

a'b~a

上的左焦点片作直线/与椭圆£相交于48两点，过点4〃分别作椭圆的切线，两切线交于

点求“8M面积的最小值.

（2）我国南北朝时期的伟大科学家祖唯于5世纪末提出了祖晅原理：“寻势既同，则积不容

异”.祖晅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两

个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相

等.当6=c时，椭球面「围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用咀瞄

原理求该椭球的体积.

25.罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国

数学家米歇尔・罗尔于1691年提出的.它的表达如下:如具函数r（M满足在闭区间连续,

在开区间（口」））内可导，且"a）=/（b）,那么在区间（。,力）内至少存在一点〃?，使得八利）=0.

⑴运用罗尔定理证明：若函数/⑴在区间[。肉连续，在区间（。泊）上可导，则存在与£（%力），

使得/'（%）=织二3.

b-a

（2）已知函数/（幻=xhu,g（x）=-外+1,若对于区间。,2）内任意两个不相等的实数,

都有Ifa）-（小）>1g（x）-g（w）成立,求实数b的取值范围.

（3）证明：当p>L〃22时，有:田一.]・

ir〃一1（〃-1）〃

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26.布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并

构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹・布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲

就是:对于满足一定条件的连续函数"X),存在实数%,使得我们就称该函数为

“不动点”函数，实数％为该函数的不动点.

⑴求函数/⑴=2、+x-3的不动点；

⑵若函数g(x)=ln.v-6有两个不动点知占，且玉<々，若.马一王工2,求实数/)的取值范围.

27.牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法比如,

我们可以先猜想某个方程/(x)=0的其中一个根「在x=x°的附近，如图6所示，然后在点

(-%，/(%))处作/(戈)的切线，切线与x轴交点的横坐标就是王，用士代替。重复上面的过

程得到巧；一直继续下去，得到怎，芍，…，血.从图形上我们可以看到玉较•。接近人

工较须接近广，等等.显然，它们会越来越逼近二于是，求，•近似解的过程转化为求七，若设

精度为。，则把首次满足卜“-ZT|<£的毛称为厂的近似解.

⑴试用牛顿迭代法求方程/(力=0满足精度£=0.5的近似解(取且结果保留小数

点后第二位)；

(2)若/(x)+3/+6x+5+〃c'«0对任意、eR都成立，求整数。的最大值.(计算参考数值：

135ls

门2.72,e«3.86,e«4.48,1.3532s2.46,1.35221.82)

28.对数列｛“〃｝,规定｛△〃〃｝为数列｛〃〃｝的一阶差分数列，其中-4〃(〃匕『)，

规定为｛〃/”的二阶差分数列，其中△为川=△0〃+/-△wiGW).

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(1)数列｛的｝的通项公式外=〃2试判断｛△〃〃｝,｛△?刖｝是否为等差数列，请说

明理由？

(2)数列｛加｝是公比为g的正项等比数列，且忙2,对于任意的〃都存在〃PM,使

得求g所有可能的取值构成的集合；

(3)各项均为正数的数列｛<?〃｝的前〃项和为S”,且△2”?=0,对满足小+“=2%,胆切的任

意正整数〃?、〃、k,都有。〃如〃，旦不等式恒成立，求实数/的最人值.

29.定义：如果函数y=/(x)和y=g(x)的图像上分别存在点〃和N关于X轴对称，则称

函数y=/'(x)和)，=g(x)具有c关系.

2

(1)判断函数f(x)=log2(8x)和g(x)=log：是否具有c关系；

⑵若函数/(x)=ag和g(x)=-x-l不具有C关系，求实数a的取值范围；

(3)若函数/(力=疣、和g(x)=msinx(mvO)在区间(0,%)上具有C关系,求实数〃，的取值范

围.

30.已知整数叽〃之3,集合*“=｛(%62,…,z)l.”｛0』｝,i=l,2「・,〃｝,对于王中的任意两

个元素力=(%,%一•,《)〃=佃也,…也)，定义力与4之间的距离为446)=5>,也|.若

/-I

4,4，一，4£匕且4(4,4)=1(4,4)=・一=44』，4),则称是4,4「・，4„是¥,,中的一

个等距序列.

⑴若4=(i,o,o,o),4=5i,o,o),4=(01,1,0),4=(o,i,Li：,判断4,4,4,4是否是七中的

一个等距序列？

(2)设4B,c是工中的等距序列，求证：〃(4。)为偶数；

⑶设4,4,…,4是4中的等距序列，且4=辿曰，4="0厂,0),d(/4)=5.求

6个I6个0

m的最小值.

31.帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个

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正整数〃〃，函数/⑴在>0处的［，，，川阶帕德近似定义为：R“湍：妥，

且满足：/(0)=7?(0),r(0)=R'(0),/"(0)=/?"(0>・・，/小)(0)=心叫0).已知

f(x)=ln(x+1)在x=0处的［1,1］阶帕德近似为R(x)=—.注：

1+Ar

,ru)=［/r(x)］;.r(x)=(4u)=，(幻］,/%)=『心)］：…

⑴求实数。，b的值;

(2)求证：(x+6)/^j>l：

I

/1X-t/［\x+-

(3)求不等式i+l<e<|l+l2的解集，其中c=2.71828….

IX)\X)

32.若数列｛〃“｝满足：a”G｛O,l｝,〃€N,且q=l,则称｛%｝为一个X数列.对于一个X数

列｛%｝,若数列也｝满足:4=1,且/*=等&〃cN\则称也｝为｛q｝的伴随数列.

(1)若X数列｛%｝中，。=1，。3=0，%=1,写出其伴随数列出｝中4也也的值；

(2)若｛4｝为一个X数列，也｝为｛%｝的伴随数列

①证明：”｛q｝为常数歹「是"｛4｝为等比数列的充要条件；

②求打。23的最大值.

33.若存在常数，，使得数列｛%｝满足矶-的必…(=，(〃之1,〃cN),则称数列｛。〃｝为

，，”(，)数列，二

(1)判断数列：1,2,3,8,49是否为''"(1)数列”，并说明理由；

(2)若数列｛4｝是首项为2的“”⑺数列”,数列也｝是等比数列,且｛%｝与也｝满足

Sa；=w2a3…&+log?b,,求，的值和数列也｝的通项公式；

J-I

⑶若数列｛%｝是''〃⑺数列“，S”为数列｛〃”｝的前〃项和，/>1,/>0,试比较In勺与%-1

的大小，并证明e，

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34.设N=/(x)是定义在R上的函数，若存在区间回和与£(〃力)，使得J，=/(x)在［%%］

上严格减，在［X。向上严格增，则称歹=/(x)为“含谷函数”，％为“谷点”，可称为y=/(x)

的一个•'含谷区间”.

(1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：

(i)y=2|x|,(ii)y=x+cosx.

(2)已知实数加>0,y=V—2x-是含谷函数，且［2,4］是它的一个含谷区间，求机

的取值范围；

(3)设〃均eR,h(x)=-x4+pxy+qx2+(4-3p-2q)x.设函数y=〃(x)是含谷函数，［a,可是

它的一个含谷区间，并记的最大值为"〃,<7).若/瑁)4力(2),且刈1)工()，求的

最小值.

35.设数阵4=即％,其中。11,q2，。21，。22e{l，2,3,4,5,6}.设

5={',62，.r,}。{1,2,3,4,5,6},其中q<e2cL<q,/eN'且Jw6.定义变换以为“对于数阵

的每一行，若其中有人或M,则将这一行中每个数都乘以-1;若其中没有A且没有-大，则

这一行中所有数均保持不变“(£=4勺，…，，)"(4)表示''将4经过窗变换得到4,再将4

经过气变换得到4,…以此类推，最后将4」经过能变换得到4.记数阵4中四个数的和为

以4).

(\3、

⑴若4=,N,S={1,3},写出4经过以变换后得到的数阵4,并求小4)的值；

(36)

(\3、

⑵若4=aS=k，e”q},求［(儿)的所有可能取值的和；

(36)

⑶对任意确定的一个数阵4,证明：1(4)的所有可能取值的和不超过-4.

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a

\b、c}%、

36.已知4=&,%,%,〃)和数表4=%bic2di,其中q,〃,q，4wN'(，=0,l,2,3).若

“Acyd”

数表A满足如下两个性质，则称数表A由4生成.

①任意iw{0,l,2},《+|-q,%*,q+]-q，4+1-4中有三个一1,一个3；

②存在Aw{l,2,3},使勺也©虫中恰有三个数相等.

’5666、

⑴判断数表力=4559是否由4=(6,7,7,3)生成；(结论无需证明)

13848)

⑵是否存在数表A由为=(6,7,7,4)生成？说明理由；

(3)若存在数表A由4=(7,12,3,4)生成，写出4所有可能的值.

37.离散对数在密码学中有重要的应用.设〃是素数，集合X={1,2,…,p-1},若

z/,vey,/neN,记〃gi，为〃酎除以P的余数，为小除以P的余数；设QtX,

…,两两不同，若。"⑻…,p—2}),则称〃是以。为底。的离散对数,

记为〃=iog(P)A

(1)若〃=11,4=2,求QP-LA；

⑵对叫孙W{°，1，…,P-2},记见㊉为叫+叫除以P-1的余数(当叫+加2能被P—1整除

时，叫㊉%=0).证明：log(p)u(Z)0c)=log(p)ab©log(p)ac,其中6,ceX；

(3)已知〃=log(p)».对xwX,Ae{l,2,…,p-2},令必=/◎,%=工③心®.证明：

x=必®V®.

38.若有穷数列力：卬,。2,…,q(〃>4)满足：q.+a“+j=c(cwRj=1,2,…,〃)，则称此数列具

有性质E.

⑴若数列A:-2,外的，2,6具有性质E,求a2ta3fc的值；

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⑵设数列力具有性质玲，且＜…＜明,〃为奇数，当卬勺时，存在正整

数3使得叫-4=%,求证：数列4为等差数列；

(3)把具有性质C,且满足|七*t+%1=〃？(AeN'kwg,用为常数)的数列/构成的集合记

作[(〃,/〃).求出所有的〃，使得对任意给定的见C,当数列力£7；(〃,〃?)时，数列力中一定有

相同的两项，即存在%=。/(博川4，，4〃).

39.给定正整数NN3,已知项数为小且无重复项的数对序列A：(内,必),(七,为),…,(％为)

满足如下三个性质：①4、c{l,2,…,N},且x尸K(^=l,2,…,〃?)；②的+l=j;(/=l,2,---,w-l)；

③(〃国)与(9，P)不同时在数对序列A中.

⑴当N=3,加=3时,写出所有满足石=1的数对序列A；

(2)当N=6时，证明：m＜13；

⑶当N为奇数时，记〃，的最大值为T(N),求7(N).

40.若存在与£。使得/(x)4/(・％)对任意xw。恒成立，则称/为函数/(》)在。上的最大

值点，记函数/(x)在。上的所有最大值点所构成的集合为M

(l)S/(x)=-x2+2x+l,Z)=R,求集合M；

(2)若f(x)=(2；“、Z)=R,求集合”;

(3)设”为大于1的常数，若/(x)=x+〃sinx,O=[0,/)],证明，若集合必中有且仅有两个元

素，则所有满足条件的人从小到大排列构成一个等差数列.

41.已知。：片,生,…，应为有穷正整数数列，且可＜%W…〈4,集合X={T0,l}.若存

在七cX1=l,2,…使得占q+X2%+…+须4="则称，为二-可表数,称集合

T={/1/=芭丹+工242+.一+占4，芍£%/=1,2「0%}为左一可表集.

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⑴若k=10,q=2"/=l,2/、3判定31,1024是否为"-可表数,并说明理由;

(2)若｛1,2,…/｝<7,证明：〃4?；

⑶设q=3'T,j=1,2,…,k,若｛1,2,--,2024｝口7'，求〃的最小值.

42.对于函数)，=/(丫),丫£RJ=g(丫),丫二力2及实数加，若存在5£。"小二2，使得

/(x1)+g(x2)=w,则称函数/(X)与g(x)具有R关联”性质.

⑴若/(x)=sinx与g(x)=cos2K具有"关联”性质，求力的取值范围；

⑵已知。>0,/(x)为定义在R上的奇函数，且满足；

①在。2刈上，当且仅当“件，/*)取得最大值1；

②对任意xeR,有f(a+x)+f(a-x)=0.

求证：M=5mh+/(%)与.)，2=85心一/(外不具有“4关联”性.

43.已知数列4：%%，L,4为有穷正整数数列.若数列4满足如下两个性质,则称数列力为/〃

的左减数列:

①q+%+…+*=〃？;

②对于19<jWn,使得《>%的正整数对(切)有k个.

(1)写出所有4的1减数列；

(2)若存在m的6减数列，证明：，〃>6；

(3)若存在2024的々减数列，求左的最大值.

44.悬链线的原理运用丁悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过适当建立坐标系,

悬链线可为双曲余弦函数凶(x)二笥二的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：

①sinh+cosLyl,②和角公式：cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny,③导数：

(sinx)=cosx,定义双曲正弦函数s/?(x)="立

(cosx)=-sinx,

⑴直接写出M(X),H(x)具有的类似①、②、③的三种性质(不需要证明);

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⑵若当x〉0时，M(x)＞，7X恒成立，求实数。的取值范围;

(3)求/(工)=M(力一(:。5工一产的最小值.

45.在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图

所示的光滑曲线。：J=/(x)上的曲线段薪，其弧长为演，当动点从力沿曲线段初运动

到8点时，％点的切线乙也随着转动到8点的切线乙，记这两条切线之间的夹角为A8(它

等于"的倾斜角与。的倾斜角之差).显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就

越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义欠=丁为曲线段々的平

△s

均曲率；显然当8越接近4即As越小，K就越能精确刻画曲线。在点力处的弯曲程度，

因此定义K=!!飞石=；~/(若极限存在)为曲线C在点力处的曲率.(其中

i+y2)2

分别表示y=/(x)在点力处的一阶、二阶导数)

(I)求单位圆上圆心角为60。的圆弧的平均曲率;

(2)求椭圆工+『=1在处的曲率;

4

(3)定义*3=芋4为曲线)，=/(')的''柯西曲率”.已知在曲线/(x)=x-x上存在

(i+y)

两点P(X，/(xJ)和。伍,/伍))，且RQ处的“柯西曲率”相同，求在+区的取值范围.

46.若无穷数列｛《,｝的各项均为整数.且对于ViJeN,都存在A＞九使得

%-%一勺，则称数列｛《,｝满足性质P.

(1)判断下列数列是否满足性质P,并说明理由.

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①〃”=〃，，？=1,2,3,…；

②"=〃+2,77=1,2,3,....

(2)若数列｛叫满足性质P,且％=1,求证：集合卜cN1%=3｝为无限集;

(3)若周期数列｛4｝满足性质P,求数列｛4｝的通项公式.

47.如果函数〃(x)的导数9")=/(工)，可记为尸(x)=J/(x)dx.若/。)之0,则

£/(x)tZr=F(b)-F(a)表示曲线y=f(x),直线x=a,x=6以及x轴围成的“曲边梯形”的

面积.

⑴若/(x)=Rdx,且/1)=1,求**);

JX

TTpa

(2)已知0<a<5，证明：acoscc<£cosxc/x<a,并解释其几何意义;

(3)证明：:费I+cos,+J+cosg+7-nn2五.

1+cos——<----,WGN.

n7t

48.给出下列两个定义：

I.对于函数y=/(x),定义域为。，且其在。上是可导的，若其导函数定义域也为。，则称

该函数是“同定义函数”.

II.对于一个“同定义函数,了二/(主)，若有以下性质：

①ra)=g(/(x))；②/(x)=M/'(x))，其中产g(Oj'二〃(x)为两个新的函数，y二/(x)

是y=/(x)的导函数.

我们将具有其中一个性质的函数歹二/(x)称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数

y=/(x)称之为''双向导函数"，将y=g(x)称之为“自导函数

⑴判断函数y=tanx和y=lnx是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质

①，则写出其对应的“自导函数”；

(2)已知命题P：y=/(x)是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题

q:/(x)=ka\keR,a>0,，/1).判断命题P是^的什么条件，证明你的结论；

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⑶已知函数/(》)=(/

①若/(X)的“自导函数”是y=X,试求。的取值范围;

②若a=/，=l,且定义/(x)=e'/(x)-g&+弱，若对任意吐口,2卜巨0,打，不等式/(x)4c

恒成立，求c的取值范围.

49.多元导数在微积分学中有重要的应用.设V是由(Jb,J..等多个自变量唯一确定的因

变量，则当。变化为。+曲时，N变化为y+Ar,记lim8为V对。的导数，其符号为半.

和一般导数一样，若在(4,%)上，已知案＞0,则J'随着。的增大而增大；反之，已知崇＜0,

则y随着。的增大而减小侈元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加

性：".+为)=半+%;②乘法法则：啦凶=月皿+,5；③除法法则：

dudadudadada

(月港-Yf)；④复合法则：誓乎记y=e'+L21nx-J——ex-a.

2

d"y2

(e=2.7182818…为自然对数的底数)，

(1)写出，和J的表达式；

axda

(2)已知方程P=0有两实根外,七，七〈当.

①求出。的取值范围；

②证明**M)＞0,并写出内+9随。的变化趋势.

da

50.对于