四川省自贡市2025届高三第二次诊断性测试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页四川省自贡市2025届高三第二次诊断性测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x||x−1|<2}，则A∩B=(

)A.{−1,0} B.{0,1} C.{−1,0,1} D.{0,1,2}2.设i为虚数单位，若z(1+3i)=2i，则|z|=A.1 B.2 C.2 D.3.已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为(

)A.13 B.23 C.324.若(2x−1)2025=a0A.−2 B.−1 C.1 D.25.若f(x)=ln(e2x+1)+axA.0 B.−1 C.−2 D.−e6.现有数字1，2，2，3，3，3，若将这六个数字排成一排，则数字2，2恰好相邻的概率为(

)A.112 B.14 C.297.已知sinαsinβ=−14，cosA.316 B.18 C.1168.已知a=2.303lnln2.303−(ln2.303)ln2.303，b=elnA.a>c>b B.b>c>a C.b>a>c D.c>b>a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，则(

)A.当a/​/b时，x=12

B.当|a+2b|=5时，x=1

C.当x=1时，a在b方向上的投影向量为310.设O为坐标原点，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，A.a2−b2=3

B.∠F1BF2=60∘

C.当△BF11.三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当△ABC内一点P满足条件：∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ时，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为布洛卡角.如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，点P是△ABC的布洛卡点，布洛卡角为θ，则(

)

A.当AB=AC时，PB2=PA⋅PC

B.当AB=AC且PC=2PB时，cosθ=255

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，且P(1<X≤2.5)=0.46，则P(X>2.5)=

13.设F1，F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，14.已知实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知数列{an}的前n项和Sn=n2(1)求{an}，(2)设cn=an,(n=2k−1)bn,(n=2k)(k∈N16.(本小题12分)某社区为推行普法宣传，举办社区“普法”知识竞赛.有A，B两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从该类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束;若回答正确则继续从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分; B类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分.设选手李华能正确回答A类问题的概率为p(0<p<1)，能正确回答B类问题的概率为p2(1)当p=45时，求李华先回答A类问题累计得分为(2)若李华先回答A类问题累计得分的期望大于先回答B类问题累计得分的期望，求p的取值范围．17.(本小题12分)已知函数f(x)=ex(1)若f(x)存在极小值，且极小值为−1，求a;(2)若f(x)≥g(x)，求a的取值范围．18.(本小题12分)

如图，在平面四边形ABCD中，△ABC是等边三角形，△ADC是等腰三角形，且∠ADC=90∘，现将△ACD沿AC翻折至△PAC，形成三棱锥P−ABC，其中P为动点．

(1)若AB=BP，求证：平面APC⊥平面ABC;(2)若∠PAB=45∘，记△ABC的重心为G，若AG=GE，求PE(3)求平面ABC与平面PBC夹角正切的最大值．19.(本小题12分)已知抛物线E:y2=2px(p>0)，过点G(−1,0)作E的切线，切点分别为P，Q(1)求E的方程;(2)设A，B为E上两点，C为线段AB的中点(C不在x轴上)，O为坐标原点，直线OC交E于点D，直线DA与直线OB交于点M，直线AO与直线DB交于点N．(ⅰ)设AB=2，求|OA+(ⅱ)求证：AB//MN．

参考答案1.D

2.A

3.B

4.D

5.B

6.D

7.D

8.C

9.AC

10.ACD

11.ABC

12.0.04

13.214.5915.解：(1)当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2+n2−(n−1)2+(n−1)2=n，

又n=1时，a1=S1=1，符合an=n，故an=n16.解：(1)设“答对A类问题”为事件M，“答对B类问题”为事件N，

当p=45时，能正确回答B类问题的概率为452+15=25+15=35，

因为M，N这两个事件是相互独立事件，

根据相互独立事件同时发生的概率公式P(MN)=P(M)P(N)=45×35=1225;

(2)设先回答A类问题累计得分为X，X的取值为0，40，100，

P(X=0)=1−p;P(X=40)=p(1−(p2+15))=p(45−p2);P(X=100)=p(p2+15)，

可得E(X)=0×(1−p)+40×p(17.解：(1)求导数，f′(x)=ex−a=0，则x=lna，

因为f(x)存在极小值，且极小值为−1，

所以f(lna)=elna−alna−1=−1，所以a=e，

经检验，a=e符合题意；

(2)由f(x)≥g(x)可得ex−ax−1≥xlnx，

因为x>0(lnx中x的定义域为x>0)，移项可得a⩽ex−xln x−1x在(0,+∞)上恒成立．

设ℎ(x)=ex−xlnx−1x(x>0)，则a⩽ℎ(x)min，

求导ℎ′(x)=ex(x−1)+1−xx2=(x−1)(ex−1)x2，

令ℎ′(x)=0，即(x−1)(ex−1)x2=0，

因为x2>0，ex−1>0(x>018.解：不妨设AB=2，由题意可知AC=BC=2，

又△ADC是等腰直角三角形，则△APC也是等腰直角三角形，

则AP=PC=2，

(1)取AC的中点为O，连接PO，OB，则OB=3，OP=1，

因为△ABC是等边三角形，△APC是等腰直角三角形

所以PO⊥AC，OB⊥AC，

若AB=BP=2，则有OB2+OP2=PB2，则PO⊥OB，

又PO⊥AC，AC∩OB=O，AC，OB⊂面ABC，

所以PO⊥面ABC，又PO⊂面APC，所以平面APC⊥平面ABC;

(2)若∠PAB=45∘，

由余弦定理可得BP=2+4−2×2×2×22=2，

又AP=PC=2，所以三棱锥P−ABC为正三棱锥，

又G为△ABC的重心，则PG为三棱锥的高，即PG⊥面ABC，

以G为原点，分别以GE，GP所在直线为y，z轴，建立空间直角坐标系，

因为AG=GE，则G为AE的中点，AG=2×32×23=233,PG=2−2332=63

所以P(0,0,63)，E(0,233,0)，A(0,−233,0)，B(1,33,0)，

PE=(0,233,−63)，PA=(0,−233,−63)，AB=(1,3,0)，

设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z)

则n·PA=0n·AB=0，即−233y−63z=0x+3y=0,

则平面PAB的一个法向量为n=(3,−1,2)，

设PE与平面PAB所成角为α，

则sinα=PE·nPE·n=4332·6=23，

所以PE与平面PAB所成角的正弦值为23;

(3)取O为AC的中点，则PO⊥AC，OB⊥AC，

PO∩OB=O，19.解：(1)设过点G的直线l：ky−1=x，

则ky−1=xy2=2px⇒y2−2pky+2p=0,

因为直线l与E相切，所以yP2=2p，

由对称性可知|yP|=|yQ|=2p，

所以|PQ|=22p=2⇒p=12，

所以E的方程为y2=x．

(2) ①设AB：ty+m=x(t≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立ty+m=xy2=x，