平行四边形的判定第2课时利用对角线判定平行四边形

初中数学八年级下册（BS版）陕西专版第六章平行四边形2平行四边形的判定第2课时利用对角线判定平行四边形目录CONTENTSA知识分点练B能力综合练C拓展探究练

知识点

对角线互相平分的四边形是平行四边形1.在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件一定能

判定四边形ABCD为平行四边形的是（

B

）A.

AD∥BC，AB＝CDB.

AO＝OC，BO＝ODC.

AD＝CB，AB∥CDD.

∠A＝∠B，∠C＝∠DB12345678910112.小玲在做平行四边形框架时，采用如下方法：将两根木条AC，

BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形.这种做

法的依据是

⁠.对角线互相平分的四边形是平行四边形

12345678910113.如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O.

若AC＝

10，BD＝6，则当AO＝

，DO＝

时，四边形ABCD是平行

四边形.5

3

12345678910114.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是

OB，OD的中点.求证：四边形AECF是平行四边形.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO.

∵E，F分别是OB，OD的中点，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形.1234567891011变式题5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝

CO，∠ABD＝∠CDB.

求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵∠ABD＝∠CDB，∠AOB＝∠COD，AO＝CO，∴△ABO≌△CDO，∴BO＝DO.

又∵AO＝CO，∴四边形ABCD是平行四边形.1234567891011

6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，添加下列条件后仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是（

A

）A.

AB＝CDB.

AB∥CDC.

OB＝ODD.

∠ADB＝∠CBDA12345678910117.已知△ABC（如图1），按图2、图3所示的尺规作图痕迹，不需借

助三角形全等就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（

B

）A.

两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.

对角线互相平分的四边形是平行四边形C.

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.

两组对边分别相等的四边形是平行四边形B12345678910118.如图，在四边形ABCD中，AD＝12，对角线AC，BD交于点O，

∠ADB＝90°，OD＝OB＝5，AC＝26，则四边形ABCD的面积

为

⁠.120

12345678910119.（教材P145习题T3变式）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交

于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，且AF＝CE，BH＝

DG.

求证：GF∥EH.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.

又∵AF＝CE，∴AF－OA＝CE－OC，即OF＝OE.

同理可得OG＝OH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴GF∥EH.

123456789101110.如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，EF过点O，分别交

AD，CB的延长线于点E，F，连接CE，AF.

（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO.

∵O为AC的中点，∴OA＝OC.

∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.

又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形.1234567891011（2）若AC平分∠BAE，AB＝6，AE＝8，求BF的长.（2）∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠EAC.

∵AD∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC＝6.∵四边形AFCE是平行四边形，∴CF＝AE＝8，∴BF＝CF－BC＝8－6＝2.1234567891011

11.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F为BD

上的两点，连接AE，AF，CE，CF.

[问题探究]（1）若BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形.解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC.

∵BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF.

又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形.1234567891011[拓展提升]（2）如果点E，F分别在DB和BD的延长线上，且满足BE＝DF，那

么（1）中的结论还成立吗？请说明理由.（2）成立.理由如下：∵BE＝DF，OB＝OD，∴BE＋OB＝DF＋OD，即OE＝OF.

又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形.1234567891011[变式应用]（3）如果AE∥CF，求证：四边形AECF是平行四边形.（3）证明：∵AE∥CF，∴∠AEO＝∠CFO.

∵∠AOE＝∠COF，OA＝OC，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.

又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形.1234567891011谢谢观看第4题变式变式1如图，平行四边形ABCD，E，F分别为AC，CA延长线上的

点，连接DE，DF，BE，BF，当CE＝AF时，求证：四边形BFDE是

平行四边形.证明：如图，连接BD交AC于点O.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC.

∵CE＝AF，∴OC＋CE＝OA＋AF，即OF＝OE，∴四边形BFDE是平行四边形.答案图变式2如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点

E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF，求

证：四边形ABCD是平行四边形.

变式3如图，小静在学习平行四边形时发现，在平行四边形ABCD

中，O为对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD于点E，

F，连接DE，BF，则四边形DEBF也是平行四边形.她的证明思路是：

利用平行四边形的性质得三角形全等，再利用平行四边形的判定定理，

从而使问题得以解决.请根据小静的思路