2024-2025学年新教材高中数学 第9章 解三角形 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 9.3 数学探究活动教学设计 新人教B版必修第四册

2024-2025学年新教材高中数学第9章解三角形9.2正弦定理与余弦定理的应用9.3数学探究活动教学设计新人教B版必修第四册学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容2024-2025学年新教材高中数学第9章解三角形9.2正弦定理与余弦定理的应用，包括正弦定理在解决实际问题中的应用，余弦定理在求解三角形边角关系中的应用，以及正弦定理与余弦定理在解决实际问题中的综合运用。9.3数学探究活动教学设计，引导学生通过探究活动，发现正弦定理和余弦定理的应用规律，提高学生分析问题和解决问题的能力。核心素养目标1.培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。

2.提升学生逻辑推理和数学建模的核心素养。

3.增强学生合作探究和数学思维的创新意识。学习者分析1.学生已经掌握的相关知识：

学生在进入本章节学习前，应已具备平面几何的基本概念，如角度、三角形、圆等，以及基本的三角函数知识，如正弦、余弦、正切等。此外，学生对直角三角形的性质和勾股定理应有较好的理解。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学的兴趣因人而异，但普遍对解决实际问题有较高的兴趣。学生具备较强的逻辑思维能力，能够通过观察、比较、分析等方法理解新知识。学习风格上，部分学生可能偏好直观教学，通过图形和实例来理解概念；而另一些学生可能更倾向于抽象思维，喜欢通过公式和定理推导来学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在应用正弦定理和余弦定理时可能遇到以下困难：一是理解定理的推导过程，二是正确应用定理解决实际问题，特别是当问题涉及多边形或不规则图形时。此外，学生在进行数学探究活动时可能面临如何选择合适的方法和步骤，以及如何有效沟通和协作的挑战。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，特别是新人教B版必修第四册的第9章内容。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如三角形图形、定理推导动画等，以帮助学生直观理解。

3.教学工具：准备直尺、圆规等基本绘图工具，以及计算器等辅助计算工具。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如设置分组讨论区，确保每个小组有足够的空间进行讨论和实验操作。教学流程一、导入新课（用时5分钟）

1.创设情境：展示一张实际生活中的三角形图片，如建筑物的屋顶、地图上的三角形区域等，引导学生思考三角形在现实中的应用。

2.回顾旧知：简要回顾直角三角形的性质和勾股定理，引出本节课要学习的正弦定理和余弦定理。

3.提出问题：提出与正弦定理和余弦定理相关的问题，激发学生的学习兴趣，如“如何求解不规则三角形的边长？”等。

二、新课讲授（用时15分钟）

1.正弦定理的应用：

-通过实例讲解正弦定理的推导过程，引导学生理解定理的内涵。

-以具体实例展示正弦定理在求解三角形边角关系中的应用，如求解三角形内角、边长等。

-分析正弦定理在实际问题中的应用，如测量建筑物高度、计算地图距离等。

2.余弦定理的应用：

-通过实例讲解余弦定理的推导过程，引导学生理解定理的内涵。

-以具体实例展示余弦定理在求解三角形边角关系中的应用，如求解三角形内角、边长等。

-分析余弦定理在实际问题中的应用，如求解不规则三角形的边长、角度等。

3.正弦定理与余弦定理的综合应用：

-通过实例展示正弦定理与余弦定理在解决实际问题中的综合运用，如求解不规则三角形的边长、角度等。

-分析正弦定理与余弦定理在解决实际问题中的优缺点，引导学生掌握不同情况下的选择方法。

三、实践活动（用时15分钟）

1.学生独立完成教材中的例题，巩固所学知识。

2.教师选取实际生活中的问题，让学生分组讨论，运用所学知识解决问题。

3.教师展示学生讨论成果，点评并总结。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.学生分组讨论正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的应用，如测量建筑物高度、计算地图距离等。

2.学生讨论如何选择合适的定理解决实际问题，如根据已知条件选择正弦定理或余弦定理。

3.学生讨论如何将实际问题转化为数学模型，并运用所学知识解决问题。

五、总结回顾（用时5分钟）

1.教师总结本节课所学内容，强调正弦定理和余弦定理的应用。

2.教师举例说明本节课的重难点，如定理的推导过程、实际问题的解决方法等。

3.教师鼓励学生在课后继续练习，巩固所学知识。

总用时：45分钟知识点梳理1.正弦定理：

-正弦定理的内容：在任意三角形中，各边的长度与其对应角的正弦值之比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC。

-正弦定理的应用：用于求解三角形的未知边长或角度，特别是在已知两个角和一个边或两个边和一个角的情况下。

2.余弦定理：

-余弦定理的内容：在任意三角形中，任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角余弦值的乘积的两倍，即a²=b²+c²-2bc*cosA。

-余弦定理的应用：用于求解三角形的未知边长或角度，特别是在已知两边和它们夹角的情况下。

3.正弦定理和余弦定理的关系：

-正弦定理和余弦定理在解决三角形问题时可以相互转换，根据已知条件选择合适的定理。

-在解三角形时，正弦定理适用于求解角度，而余弦定理适用于求解边长。

4.解三角形的基本步骤：

-确定已知条件：明确已知的边长和角度。

-选择合适的定理：根据已知条件选择正弦定理或余弦定理。

-进行计算：利用选择的定理进行计算，求解未知边长或角度。

-检查结果：检查计算结果是否合理，确保三角形的存在性。

5.应用正弦定理和余弦定理解决实际问题的实例：

-测量建筑物高度：利用地面测量的角度和已知距离，应用正弦定理计算建筑物的高度。

-计算地图距离：利用地图上的角度和实际距离，应用正弦定理或余弦定理计算两点之间的直线距离。

-解决不规则三角形的边长和角度：在已知部分边长和角度的情况下，应用正弦定理和余弦定理求解剩余的边长和角度。

6.数学探究活动：

-通过探究活动，引导学生发现正弦定理和余弦定理的应用规律，提高学生分析问题和解决问题的能力。

-探究活动可以包括：设计实验验证定理、分析特定情况下的定理应用、解决实际问题等。

7.教学重点和难点：

-教学重点：正弦定理和余弦定理的推导过程、应用方法、解决实际问题的能力。

-教学难点：正确选择定理解决实际问题、处理复杂问题的能力、数学思维和逻辑推理能力的培养。

8.课后练习和复习建议：

-学生应通过课后练习巩固所学知识，包括例题和习题的解答。

-复习时应重点回顾定理的推导过程、应用方法和解决实际问题的技巧。

-可以通过解决实际生活中的问题来加深对定理的理解和应用。教学反思与总结今天的这节课，咱们一起来探讨了高中数学中的解三角形，特别是正弦定理和余弦定理的应用。回顾一下，我觉得有几个地方挺有收获的，也有一些地方需要改进。

首先，我觉得在导入新课的时候，我采用了实际生活中的图片，这个方法挺不错的。学生们的兴趣一下子就被调动起来了，他们能更容易地理解数学与生活的联系。但是，我也发现，有些学生对于这个导入环节的反应不是很热烈，可能是由于他们之前对这方面的知识接触不多，所以需要更多的引导和解释。

接着，新课讲授部分，我尽量用简单易懂的语言讲解了正弦定理和余弦定理的推导和应用。我发现，学生们在理解定理的推导过程时有些吃力，尤其是余弦定理的推导，涉及到了二倍角公式，这个对他们来说是个挑战。所以，我在讲解时，特意花了些时间，用了几种不同的方法来帮助他们理解。

在实践活动环节，我设计了几个实际问题让学生们去解决，目的是让他们将理论知识应用到实际中去。这部分的反馈总体上是好的，学生们能够积极思考，尽管有些问题解决起来还是有点困难。不过，我发现有几个小组在讨论时有些混乱，不知道从哪里入手，这让我意识到在活动设计上可能还需要更细致的指导。

学生小组讨论的部分，我特别注重了三个方面的内容。首先是引导学生如何根据已知条件选择合适的定理，这是解决问题的关键。然后是帮助他们分析问题，将实际问题转化为数学模型。最后是鼓励他们合作，因为合作能帮助他们更好地解决问题。不过，我也注意到，有些学生在讨论时不太愿意发言，这可能是因为他们对自己的数学能力缺乏信心。

总体来说，这节课的教学效果还是不错的，学生们在知识、技能和情感态度方面都有所收获。他们在解决问题时更加自信，能够主动思考。但是，也存在一些问题，比如部分学生在理解定理推导过程时感到困难，小组讨论时的参与度不够，以及总结回顾时的细节处理不够到位。

针对这些问题，我打算在今后的教学中做以下几点改进：

1.在讲解定理推导时，我会采用更加直观和形象的方法，比如图形、动画等，帮助学生更好地理解。

2.在小组讨论环节，我会提前准备一些问题，引导学生有针对性地进行讨论，提高讨论效率。

3.在总结回顾时，我会更加注重细节的讲解，确保每个学生都能掌握关键知识点。

希望通过这次教学反思和总结，我能够更好地改进教学方法，帮助学生们在数学学习上取得更大的进步。课后作业1.**题目**：在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=45°，边AB=5cm。求边AC和边BC的长度。

**解答**：由正弦定理，我们有：

\[\frac{AC}{\sinA}=\frac{AB}{\sinB}\]

将已知条件代入，得到：

\[AC=\frac{AB\cdot\sinA}{\sinB}=\frac{5\cdot\sin30°}{\sin45°}=\frac{5\cdot\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}\approx3.54\text{cm}\]

同理，对于边BC，我们有：

\[\frac{BC}{\sinA}=\frac{AB}{\sinC}\]

由于∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-45°=105°，代入得到：

\[BC=\frac{5\cdot\sin105°}{\sin30°}=\frac{5\cdot\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{5\cdot(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}\approx4.12\text{cm}\]

2.**题目**：在△ABC中，边AB=10cm，∠B=60°，边BC=8cm。求∠A的度数。

**解答**：由正弦定理，我们有：

\[\frac{AB}{\sinC}=\frac{BC}{\sinA}\]

将已知条件代入，得到：

\[\sinA=\frac{BC\cdot\sinB}{AB}=\frac{8\cdot\sin60°}{10}=\frac{8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{10}=\frac{4\sqrt{3}}{10}\]

求解∠A，我们得到：

\[A=\arcsin\left(\frac{4\sqrt{3}}{10}\right)\approx53.13°\]

3.**题目**：在△ABC中，已知∠A=30°，∠C=90°，边AC=6cm。求边AB和边BC的长度。

**解答**：由正弦定理，我们有：

\[\frac{AB}{\sinC}=\frac{AC}{\sinB}\]

由于∠C=90°，sinC=1，代入得到：

\[AB=AC\cdot\sinB=6\cdot\sin60°=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{cm}\]

对于边BC，由于∠C=90°，BC是直角三角形的斜边，我们可以使用勾股定理：

\[BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=\sqrt{6^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{36+27}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}\text{cm}\]

4.**题目**：在△ABC中，已知∠B=30°，∠C=75°，边AB=5cm。求边AC和边BC的长度。

**解答**：由正弦定理，我们有：

\[\frac{AC}{\sinB}=\frac{AB}{\sinC}\]

将已知条件代入，得到：

\[AC=\frac{AB\cdot\sinC}{\sinB}=\frac{5\cdot\sin75°}{\sin30°}=\frac{5\cdot(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})}{\frac{1}{2}}=\frac{5\cdot(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2}\approx5.20\text{cm}\]

同理，对于边BC，我们有：

\[\frac{BC}{\sinB}=\frac{AB}{\sinA}\]

由于∠A=180°-∠B-∠C=180°-30°-75°=75°，代入得到：

\[BC=\frac{5\cdot\sin75°}{\sin75°}=5\text{cm}\]

5.**题目**：在△ABC中，已知∠A=45°，边AC=10cm，边BC=8cm。求边AB和∠B的度数。

**解答**：由余弦定理，我们有：

\[AB^2=AC^2+BC^2-2\cdotAC\cdotBC\cdot\cosA\]

将已知条件代入，得到：

\[AB^2=10^2+8^2-2\cdot10\cdot8\cdot\cos45°=100+64-160\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=164-80\sqrt{2}\]

求解AB，我们得到：

\[AB=\sqrt{164-80\sqrt{2}}\approx5.64\text{cm}\]

接下来，由正弦定理，我们有：

\[\frac{AB}{\sinB}=\frac{AC}{\sinA}\]

将已知条件代入，得到：

\[\sinB=\frac{AC\cdot\sinA}{AB}=\frac{10\cdot\sin45°}{5.64}=\frac{10\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{5.64}\]

求解∠B，我们得到：

\[B=\arcsin\left(\frac{10\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{5.64}\right)\approx60.26°\]课堂在教学过程中，我注重通过多种方式对学生进行评价，以确保教学目标的达成和学生能力的提升。

1.课堂评价：

-提问：在课堂教学中，我通过提问的方式检查学生对正弦定理和余弦定理的理解程度。例如，我会问：“谁能解释一下正弦定理的推导过程？”或者“余弦定理在解决什么类型的问题时最为有用？”通过这些问题，我能够了解学生对知识点的掌握情况，并及时调整教学进度。

-观察：在课堂上，我会注意观察学生的反应，包括他们的眼神、表情和参与度。例如，当我在讲解一个复杂的几何问题时，我会观察是否有学生举手想要尝试解答，或者是否有学生看起来感到困惑。这种观察有助于我了解学生的思维过程和情感状态。

-测试：为了更准确地评估学生的学习效果，我会在课堂上进行一些小测验，比如选择题或填空题。这些测验不仅能够检测学生对知识的记忆，还能够测试他们应用知识解决问题的能力。

2.学生小组讨论评价：

-评价标准：在小组讨论环