2025年高考数学必刷题分类：第1讲、集合（教师版）

第1讲集合

知识梳理

1、元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：和.

（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn图）.

（4）常见数集和数学符号

数集自然数正整数集整数集有理数实数集

集集

符号NN或ZQR

N

说明：

①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何

一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合A{1,2,3,4,5}，可知1A,在该集合中，

6A,不在该集合中；

②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出

现的.

集合A{a,b,c}应满足abc.

③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合A{1,2,3,4,5}和B{1,3,5,2,4}是同

一个集合.

④列举法

把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.

具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，

再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

2、集合间的基本关系

（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都

是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作

AB（或BA），读作“A包含于B”（或“B包含A”）.

（2）真子集（propersubset）：如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称

集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）.读作“A真包含于B”或“B真包含A”.

（3）相等：如果集合A是集合B的子集（AB，且集合B是集合A的子集（BA），

此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作AB.

（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的

子集，是任何非空集合的真子集.

3、集合的基本运算

（1）交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B

的交集，记作AB，即AB{x|xA,且xB}．

（2）并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B

的并集，记作AB，即AB{x|xA,或xB}．

（3）补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集

合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即且．

AUACUACUA{x|xU,xA}

4、集合的运算性质

（1）AAA，A，ABBA．

（2）AAA，AA，ABBA．

（），，．

3ACUAACUAUCUCUAA

【解题方法总结】

（1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n1个，非空子集有

2n1个，非空真子集有2n2个．

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．

（）．

3ABABAABBCUBCUA

（）．

4CU(AB)(CUA)(CUB),CU(AB)(CUA)(CUB)

必考题型全归纳

题型一：集合的表示：列举法、描述法

例1．（2024·广东江门·统考一模）已知集合A1,0,1，Bm|m21A,m1A，则

集合B中所有元素之和为（）

A．0B．1C．－1D．2

【答案】C

【解析】根据条件分别令m211,0,1，解得m0,1,2，

又m1A，所以m1,2，B1,2,2，

所以集合B中所有元素之和是1，

故选：C．

例2．（2024·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合A和B，我们把集合

x∣xab,aA,bB记作AB.若集合A0,1,B0,1，则AB中元素的个数为

（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【解析】A0,1,B0,1，则AB0,1,1，则AB中元素的个数为3

故选：C

例3．（2024·全国·高三专题练习）定义集合ABxyxA且yB.已知集合

A2,4,6，B1,1，则AB中元素的个数为（）

A．6B．5C．4D．7

【答案】C

【解析】根据题意，因为A2,4,6，B1,1，

所以AB1,3,5,7.

故选：C.

【解题总结】

1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

题型二：集合元素的三大特征

例4．（2024·北京海淀·校考模拟预测）设集合M2m1,m3，若3M，则实数

m=（）

A．0B．1C．0或1D．0或1

【答案】C

【解析】设集合M2m1,m3，若3M，

3M，2m13或m33，

当2m13时，m1，此时M3,4；

当m33时，m0，此时M3,1；

所以m1或0.

故选：C

例5．（2024·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合A1,a,b，Ba2,a,ab，若AB，

则a2023b2022（）

A．1B．0C．1D．2

【答案】A

a21a2b

【解析】由题意AB可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集

abbab1

a1a1

合互异性，可知a1，解得a1(舍)，和(舍)，所以a1，b0，则

b0b1

a2023b2022(1)2023020221，

故选：A

例6．（2024·北京东城·统考一模）已知集合Axx220，且aA，则a可以为（）

3

A．－2B．－1C．D．2

2

【答案】B

【解析】∵x220，∴2x2，∴Ax|2x2，

3

可知2A,A,2A，故A、C、D错误；1A，故B正确.

2

故选：B

【解题方法总结】

1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。

2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的

关系。

题型三：元素与集合间的关系

例7．（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知Ax∣x2ax10，若2A，且3A，

则a的取值范围是（）

．5．510．510．10

A,B,C,D,

223233

【答案】B

【解析】由题意，222a10且323a10，

510

解得a，

23

故选：B

例8．（2024·吉林延边·统考二模）已知集合A=xax2-3x+2=0的元素只有一个，则实数

a的值为（）

99

A．B．0C．或0D．无解

88

【答案】C

【解析】集合A有一个元素，即方程ax23x20有一解，

2

当a=0时，A=xax23x+2=0=x3x+2=0=，符合题意，

3

当a0时，ax23x20有一解，

9

则98a0，解得：a，

8

9

综上可得：a=0或a，

8

故选：C.

x2y2

例9．（2024·全国·高三专题练习）已知集合Ax,y1,xZ,yZ，则A中

42

元素的个数为（）

A．9B．10C．11D．12

【答案】C

【解析】由椭圆的性质得2x2,2y2，

又xZ,yZ,

所以集合A=2,0,2,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1

共有11个元素.

故选：C

【解题方法总结】

1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N*的区别．

2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数，是还是．

题型四：集合与集合之间的关系

例10．（多选题）（2024·山东潍坊·统考一模）若非空集合M,N,P满足：

MNN,MPP，则（）

A．PMB．MPM

．．ð

CNPPDMpN

【答案】BC

【解析】由MNN可得：NM，由MPP，可得MP，则推不出PM，

故选项A错误；

由MP可得MPM，故选项B正确；

因为NM且MP，所以NP，则NPP，故选项C正确；

由可得：ð不一定为空集，故选项错误；

NMMpND

故选：BC.

k1

例11．（2024·江苏·统考一模）设Mxx,kZ，Nxxk,kZ，则（）

22

A．MNB．NMC．MND．MN

【答案】B

11

【解析】因为xk2k1，因为kZ，

22

所以集合N是由所有奇数的一半组成，

而集合M是由所有整数的一半组成，故NM.

故选：B

例12．（2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知集合Ax|x2x120，

Bx|x23mx2m2m10}，若“xA”是“xB”的必要不充分条件，则实数m的取

值范围为（）

．．．5．5

A3,2B1,3C1,D2,

22

【答案】C

【解析】由题意集合Ax|x2x120[3,4]，

Bx|x23mx2m2m10}{x|(xm1)(x2m1)0}，

若m>2，则2m1m1，此时B(m1,2m1)，

因为“xA”是“xB”的必要不充分条件，故BA,

2m14

5

故m13,2m；

2

m2

若m2，则2m1m1，此时B(2m1,m1)，

因为“xA”是“xB”的必要不充分条件，故BA,

m14

故2m13,1m2；

m2

若m2，则2m1m1，此时B，满足BA,

综合以上可得5，

m1,

2

故选：C

例13．（2024·广东茂名·统考二模）已知集合Axx1，Bx2xa0，若AB，

则实数a的取值范围是（）

A．2,B．2,C．,2D．,2

【答案】A

a

【解析】集合Axx1x1x1，Bxx.

2

a

要使AB，只需1，解得：a2.

2

故选：A

【解题方法总结】

1、注意子集和真子集的联系与区别.

2、判断集合之间关系的两大技巧：

（1）定义法进行判断

（2）数形结合法进行判断

题型五：集合的交、并、补运算

例14．（2024·广东广州·统考二模）已知集合Axx3n2,nN，B6,7,10,11，

则集合AB的元素个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解析】因为Axx3n2,nN，B6,7,10,11，则AB7,10，

故集合AB的元素个数为2.

故选：B.

1

例15．（2024·河北张家口·统考二模）已知集合Ax|x24x0，Bx|0，

3x

则（）

痧RARB

A．2,3B．3,4C．,23,D．,34,

【答案】C

1

【解析】Ax|x24x0x|2x4，Bx|0x|x3，

3x

即A2,4，B,3，

所以，ð，ð，

RA,24,RB3,

所以，

痧RARB,23,.

故选：C.

例16．（2024·广东·统考一模）已知集合M{x∣xx20},N{x∣x10}，则下列

Venn图中阴影部分可以表示集合{x∣1x2}的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】xx200x2,x10x1，

选项A中Venn图中阴影部分表示MN0,1，不符合题意；

选项中图中阴影部分表示ð，符合题意；

BVennMMN[1,2)

选项中图中阴影部分表示ð，不符合题意；

CVennNMN(,0]

选项D中Venn图中阴影部分表示MN,2，不符合题意，

故选：B

例17．（2024·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经

典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来

精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观

看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有

26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开

国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了

的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.

【答案】3

【解析】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开

国大典》三

支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，

观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有

214638(人)，

因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有234739(人)，

因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有2667310(人)，

因此，至少看了一支短视频的有3467891047(人)，

所以没有观看任何一支短视频的人数为50473.

故答案为：3

【解题方法总结】

1、注意交集与并集之间的关系

2、全集和补集是不可分离的两个概念

题型六：集合与排列组合的密切结合

例．（·全国·高三专题练习）设集合，定义：集合

182024Xa1,a2,a3,a4N

*，集合，集合

Yaiajai,ajX,i,jN,ijSxyx,yY,xy

x

Tx,yY,xy，分别用|S|，|T|表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成

y

立的是（）

A．|S|6B．|S|16C．|T|9D．|T|16

【答案】D

【解析】不妨设，则的值为

1a1a2a3a4aiaj

，

a1a2,a1a3,a1a4,a2a3,a2a4,a3a4

显然，，所以集合中至少有以上个元素，

a1a2a1a3a1a4a2a4a3a4Y5

不妨设，

x1a1a2,x2a1a3,x3a1a4,x4a2a4,x5a3a4

则显然，则集合中至少有个元素，

x1x2x1x3x1x4x1x5x2x5x3x5x4x5S7

所以|S|6不可能，故排除A选项；

其次，若，则集合Y中至多有6个元素，则2，故排

a1a4a2a3|S|maxC61516

除B项；

对于集合T，取X{1,3,5,7}，则Y{4,6,8,10,12}，此时

12123344555563

T,,,,,,,,2,,,,,,,3，|T|16，故D项正确；

35235453643252

xxx

对于选项而言，，则i与j一定成对出现，xij，所

Cij,xixj110

x

jxixjxi

以|T|一定是偶数，故C项错误.

故选：D.

例19．（2024·全国·模拟预测）已知集合A，B满足AB1,2,3，若AB，且A&B，

B&A表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（）

A．9B．4C．27D．8

【答案】C

【解析】当A时，集合B可以为{1,2,3}；

当A{1}时，集合B可以为{2,3},{1,2,3}；

当A{2}时，集合B可以为{1,3},{1,2,3}；

当A{3}时，集合B可以为{1,2},{1,2,3}；

当A{1,2}时，集合B可以为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}；

当A{1,3}时，集合B可以为{2},{1,2},{2,3},{1,2,3}；

当A{2,3}时，集合B可以为{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}；

当A{1,2,3}时，集合B可以为,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.

故满足题意的“AB互衬对”个数为27.

故选：C

例20．（2024·北京·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知集合A满足：①AN，

②x,yA,xy，必有xy2，③集合A中所有元素之和为100，则集合A中元素个数

最多为（）

A．11B．10C．9D．8

【答案】B

【解析】对于条件①AN，②x,yA,xy，必有xy2，

若集合中所有的元素是由公差为2的等差数列构成，例如0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20，

集合中有11个元素，

又

02468101214161820110100,02468101214161890100

则该集合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合A中元素个数最多不能超过

10个，

故若要集合A满足：①AN，②x,yA,xy，必有xy2，③集合A中所有元

素之和为100，最多有10个元素，

例如A0,2,4,6,8,10,12,15,18,25.

故选：B.

【解题方法总结】

利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思

想方法

题型七：集合的创新定义

例21．（2024·全国·校联考模拟预测）对于集合A,B，定义ABxxA，且xB．若

A{x|x2k1,kN}，B{x|x3k1,kN}，将集合AB中的元素从小到大排列得

到数列，则（）

ana7a30

A．55B．76C．110D．113

【答案】C

【解析】因为A1,3,5,7,9,11,,B1,4,7,10,13,16,19,22,25,，

所以，所以．相当于集合中除去

AB3,5,9,11,15,a721ABA

*形式的数，其前项包含了个这样的数，所以．

x6n5nN4515a3089

则，

a7a30110

故选：C.

例22．（多选题）（2024·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一

直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”

来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理

数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分

割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足MNQ，MN，

M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称M,N为戴德金分割.试判断下列选项

中，可能成立的是（）

A．Mxx0,Nxx0是一个戴德金分割

B．M没有最大元素，N有一个最小元素

C．M有一个最大元素，N有一个最小元素

D．M没有最大元素，N也没有最小元素

【答案】BD

【解析】对于A，因为Mxx0,Nxx0，MN{x|x0}Q，故A错误；

对于B，若MxQ|x0,N{xQ|x0}，则满足戴德金分割，

此时M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；

对于C，若M有一个最大元素，设为a，N有一个最小元素，设为b，则ab，

则MxQ|xa,NxQxb，而(a,b)内也有有理数，

则MNQ，故C错误；

对于D，若MxQ|x2，N{xQ|x2|，

则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确，

故选：BD

例23．（2024·湖北·统考二模）已知X为包含v个元素的集合（vN*，v3）．设A为

由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元

素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称X,A组成一个v阶的Steiner三元系．若

X,A为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为_____________．

【答案】7

【解析】由题设，令集合X{a,b,c,d,e,f,g}，共有7个元素，

所以X的三元子集，如下共有35个：