17.1　勾股定理（第2课时　勾股定理的应用）

1/717．1勾股定理第2课时勾股定理的应用在第1课时中，学生已经了解了勾股定理的历史和证明，并能熟练掌握勾股定理解决直角三角形已知两边求第三边的内容，本节课在此基础上学习运用勾股定理解决实际问题，将实际问题抽象成直角三角形这一模型，培养学生的转化思想和空间想象能力．【情景导入】伦敦克里斯蒂拍卖行曾贴出过如下的一个土地拍卖广告：如上图，有面积为560英亩的土地拍卖，土地共分为三个正方形，面积分别为74英亩、116英亩、370英亩．三个正方形恰好围着一个池塘，如果有人能计算出池塘的准确面积，则池塘不计入土地价钱白白奉送．英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题，你能解决吗？【说明与建议】说明：利用有趣的情景导入新课，使学生经历从现实生活中抽象出数学问题的过程，从而激发学生强烈的好奇心和求知欲．建议：提前布置任务，给学生实践的机会，从而引发学生思考解决设疑的方法，为新课的讲解做好铺垫．【置疑导入】如图，某海滨浴场岸边A处救生员发现海中的B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B，而是沿岸边自A处跑到离B最近的点C，然后从点C游向B.若救生员在岸边行进的速度是5m/s，在海中行进的速度是2m/s，请分析救生员的选择是否合理．【说明与建议】说明：设计实际问题情境，激发学生的学习兴趣，提高学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力，培养学生“用数据说话”的科学态度．建议：引导学生将题目中的实际问题转化到几何图形中，找出要求什么才能说明道理，然后分别求得两种不同情况下的数据，进行比较．允许学生通过小组合作的方式进行互助交流，教师及时进行鼓励，并择优展示．命题角度勾股定理的应用1．如今人们锻炼身体的意识日渐增强，但是发现少数人保护环境的意识仍显淡薄，应提醒注意．如图是某公园的一角，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ABC(∠ABC＝90°)，于是在草坪内走出了一条不该有的“捷径路AC”．已知AB＝30米，BC＝40米，他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路．第1题图第2题图2．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆5m处，发现此时绳子末端距离地面1m，则旗杆的高度为13m.(滑轮上方的部分忽略不计)3．如图，一只小鸟旋停在空中的点A处，点A到地面的高度AB＝20米，点A到地面点C(B，C两点处于同一水平面)的距离AC＝25米．若小鸟竖直下降12米到达点D(点D在线段AB上)，求此时小鸟到地面点C的距离．解：由题意，得∠B＝90°，∵AB＝20米，AC＝25米，∴BC＝eq\r(AC2－AB2)＝eq\r(252－202)＝15(米).∵AD＝12米，∴DB＝AB－AD＝20－12＝8(米).∴DC＝eq\r(DB2＋BC2)＝eq\r(82＋152)＝17(米).答：小鸟到地面点C的距离为17米．课题17.1第2课时勾股定理的应用授课人素养目标1.会用勾股定理解决简单的实际问题，体会数形结合的思想．2．会从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，体会数学来源于生活，又应用到生活中去．教学重点运用勾股定理解决实际问题．教学难点勾股定理的灵活运用．授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则(1)c＝eq\r(a2＋b2)；(2)a＝eq\r(c2－b2)；(3)b＝eq\r(c2－a2)．师生活动：教师提出问题，学生抢答．通过简单的提问，帮助学生回顾勾股定理，为学习新课做好准备．活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】《九章算术》是我国古代的一部数学专著，是“算经十书”中最重要的一种，它收录了246个与生产、生活实践有关的实际问题，是我国古代劳动人民智慧的结晶．在此书第九章“勾股”中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何(葭即芦苇，一丈等于十尺).这道题的意思是：有一个水池子，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向水池的一边，它的顶端刚好到达池边的水面，水深和芦苇的长度分别是多少尺？解：设芦苇的长度为x尺，则水深为(x－1)尺，由勾股定理，得52＋(x－1)2＝x2，解得x＝13.∴x－1＝13－1＝12.答：水深是12尺，芦苇的长度是13尺．这个问题是勾股定理的一个简单应用，那么它还有哪些应用呢？今天我们就来探索一下吧！利用古代数学问题引出本节课要研究的内容，使学生经历从现实生活中抽象出数学问题的过程，从而激发学生的强烈的好奇心和求知欲．活动二：实践探究、交流新知【探究新知】(教材第25页例1)一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？思考：(1)木板横着能否通过？(2)木板竖着能否通过？(3)在长方形ABCD中，AB，AC，BC，哪一条线段最长？师生活动：教师就此问题可引导学生从实际的角度去考虑，引导学生试试斜着通过门框．学习小组互相讨论、交流、补充、展示，注意过程要书写规范．(1)木板的宽是2.2m，大于1m，所以横着不能通过；(2)木板的宽是2.2m，大于2m，所以竖着不能通过；(3)AC＞BC＞AB.解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.AC＝eq\r(5)≈2.24.因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过．让学生能从实际生活的角度大胆去考虑，用生活经验和学过的知识去解答，从而想到斜着通过门框，也就是把实际问题转化为数学问题．活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例(教材第25页例2)如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？解：可以看出，BD＝OD—OB，在Rt△AOB中，根据勾股定理，得OB2＝AB2－OA2＝2.62－2.42＝1.OB＝1m．在Rt△COD中，根据勾股定理，得OD2＝CD2－OC2＝2.62－(2.4－0.5)2＝3.15.OD＝eq\r(3.15)≈1.77(m).BD＝OD—OB≈1.77－1＝0.77(m).所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m．【变式训练】如图，一架梯子AB斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处．保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处．测得顶端A距离地面的高度AO为2米，OB为1.5米．(1)求梯子的长；(2)若顶端C距离地面的高度CD比AO多0.4米，求OD的长．解：(1)在Rt△AOB中，AB2＝AO2＋OB2，∴AB2＝22＋1.52＝6.25.∴AB＝2.5米．答：梯子的长为2.5米．(2)由题意，得CD＝AO＋0.4＝2.4米，BC＝AB＝2.5米，∴BD2＝2.52－2.42＝0.49.∴BD＝0.7米．∴OD＝OB＋BD＝1.5＋0.7＝2.2(米).师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．1.应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力．2．通过运用勾股定理对实际问题进行解释，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质：数学来源于生活，并服务于生活．活动四：课堂检测【课堂检测】1．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的距离AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC＝1.2米)，感应门自动打开，则AD＝1.5米．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第1题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第2题图))2．一个有盖的盒子，长、宽、高如图中标注．若在盒中放一根细棒，则细棒的最大长度是17．3．如图是某设计师打造的一款项目的示意图，其BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26m，长方形CDEF是一木质平台的侧面示意图，测得CD＝1m，AD＝15m，求出AB段的长度．解：延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米．设BG＝x米，则BC＝(26－1－x)米．在Rt△BGC中，BG2＋CG2＝CB2，∴x2＋152＝(26－1－x)2，解得x＝8.∴BA＝BG＋GA＝8＋1＝9(米).答：AB的长度为9米．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批