2024-2025学年上学期高一数学北师大版期中必刷常考题之平面向量基本定理及坐标表示

第21页（共21页）2024-2025学年上学期高一数学北师大版（2019）期中必刷常考题之平面向量基本定理及坐标表示一．选择题（共5小题）1．（2025•聊城一模）已知角α∈（0，π），向量a→=（1，3），b→=（cosα，sinα），若a→A．2π3 B．π3 C．π42．（2025•临沂一模）在△ABC中，点D是AB的中点，点P在CD上，若AP→=λA．16 B．13 C．23 3．（2024秋•合肥期末）已知点M在平面ABC内，且对于平面ABC外一点O，满足OM→A．13 B．512 C．12 4．（2025•江西模拟）已知向量a→=（cosθ，1），b→=（﹣1，2sinθ）且向量a→A．2π3 B．5π3 C．35．（2025•延庆区模拟）已知向量a→=(1，2)，b→=(λA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•锦州期末）已知|OM→|=2，|ON→|=2，OM→与ON→夹角为π3，若|OP→|=2且OP→A．2 B．32 C．52 D（多选）7．（2024秋•白城校级期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且AF→=AD→+A．m=12 B．m=-12 C．n=（多选）8．（2024春•启东市校级期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知D，E分别在边AB，AC上，且△ABC的重心在DE上，又AD→=xAB→，AE→=yAC→，设∠A．1xB．S△ADESC．csinθ＝asin（B﹣θ）+bsin（A+θ） D．ccosθ＝acos（B﹣θ）+bcos（A+θ）三．填空题（共4小题）9．（2025•百色校级开学）已知向量a→=(5，2)，b→=(1，10．（2025•新余一模）已知向量a→=(1，-2)，b→=(-1，1)11．（2025春•济南月考）如图，在△ABC中，BD→=2DC→，AE→=mAB→，AF→=nAC→，m＞0，n＞0，若D12．（2025•红河州模拟）已知向量a→=（2，﹣1），b→=（λ，1），若a→∥b→，则实数λ四．解答题（共3小题）13．（2024秋•中山区校级期末）在△ABC中，点D为边AC上靠近A的三等分点，点M为形内一点．（1）如图，若点M满足5AM→=2AC→-BC（2）若点O为△ABC的外心，点M满足3OM→=OA→+OB→+OC→14．（2024秋•大连校级期末）已知e1→，e2→是平面内两个不共线的非零向量，AB→（1）求实数λ的值；（2）若e1→=(2（3）已知D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．15．（2024秋•沈阳期末）如图，在△ABC中，点P满足PC→=2BP→，O是线段AP的中点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点（1）若AF→=2（2）若EB→=λAE→

2024-2025学年上学期高一数学北师大版（2019）期中必刷常考题之平面向量基本定理及坐标表示参考答案与试题解析题号12345答案BBDDB一．选择题（共5小题）1．（2025•聊城一模）已知角α∈（0，π），向量a→=（1，3），b→=（cosα，sinα），若a→A．2π3 B．π3 C．π4【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】结合向量共线的性质，即可求解．【解答】解：向量a→=（1，3），b→=（cosα，sinα），则sinα=故tanα=α∈（0，π），则α=故选：B．【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．2．（2025•临沂一模）在△ABC中，点D是AB的中点，点P在CD上，若AP→=λA．16 B．13 C．23 【考点】平面向量的基本定理；平面向量的数乘与线性运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】由题意运用平面向量的线性运算法则，推导出CP→=(23-λ)CA→+λCB【解答】解：根据点D是AB的中点，可得CD→因为AP→=λAB→+13AC→解得CP→=（λ-23）AC→因为P、C、D三点共线，所以23-λ故选：B．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则、向量共线的条件等知识，考查了概念的理解能力，属于基础题．3．（2024秋•合肥期末）已知点M在平面ABC内，且对于平面ABC外一点O，满足OM→A．13 B．512 C．12 【考点】平面向量的基本定理．【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据空间共面向量定理的推论得到λ+【解答】解：因为OM→=λOA→+所以λ+16故选：D．【点评】本题考查空间共面向量定理的应用，属于基础题．4．（2025•江西模拟）已知向量a→=（cosθ，1），b→=（﹣1，2sinθ）且向量a→A．2π3 B．5π3 C．3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】利用向量相反的坐标表示求解即可．【解答】解：因为向量a→=(cosθ当cosθ≠0时，-1cosθ=2sinθ1＜0，解得sin2θ所以2θ=3π2+2kπ，θ=3π4+kπ，且经检验只有θ=当cosθ＝0时，sinθ＝±1，a→综上所述，θ可以是θ=故选：D．【点评】本题主要考查向量相反的坐标表示，属于基础题．5．（2025•延庆区模拟）已知向量a→=(1，2)，b→=(λA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】由向量平行的坐标表示即可求解．【解答】解：因为a→所以a因为(a→+所以﹣（1+μ）＝λ，所以λ+μ＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2024秋•锦州期末）已知|OM→|=2，|ON→|=2，OM→与ON→夹角为π3，若|OP→|=2且OP→A．2 B．32 C．52 D【考点】平面向量的基本定理；数量积表示两个平面向量的夹角．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】CD【分析】由题意将OP→=xOM→+yON→平方可得x2+y2【解答】解：由|OM→|=2，|ON→|=2，所以OM→因为|OP→|=2且OP→=xOM→+所以4=x2OM→2+y2ON即x2+y2+xy＝1，所以(x所以34(x+y)2≤1结合选项可得C，D符合题意．故选：CD．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，属于中档题．（多选）7．（2024秋•白城校级期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且AF→=AD→+A．m=12 B．m=-12 C．n=【考点】平面向量的基本定理．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【答案】AD【分析】直接利用向量的三角形、平行四边形法则求解．【解答】解：AF→=1=1∴m=12，故选：AD．【点评】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（多选）8．（2024春•启东市校级期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知D，E分别在边AB，AC上，且△ABC的重心在DE上，又AD→=xAB→，AE→=yAC→，设∠A．1xB．S△ADESC．csinθ＝asin（B﹣θ）+bsin（A+θ） D．ccosθ＝acos（B﹣θ）+bcos（A+θ）【考点】平面向量的基本定理；正弦定理．【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】对于A，设△ABC的重心为M，由题意可知，D，E，M三点共线，AM→=13AB→+13AC→，化简判断A；对于B，S△ADE=12×|【解答】解：对于A选项，设△ABC的重心为M，由题意可知，D，E，M三点共线，所以存在λ使得AM→=λ又AM→=23×12（AB化简得1x+1对于B选项，S△又因为AD→=xAB→，AE→=yAC→，即|AD|＝x|所以S△因为1x+1y=3≥21xy所以S△ADES△ABC对于C，D，因为BA→=BC→+又因为DE⋅DE→DE→所以c|所以ccosθ＝acos（B﹣θ）+bcos（A+θ），故D正确，C错误．故选：ABD．【点评】本题考查了三角形的面积公式、基本不等式和向量数量积公式，属于中档题．三．填空题（共4小题）9．（2025•百色校级开学）已知向量a→=(5，2)，b→=(1，【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】25【分析】先求出2a【解答】解：由a→=(5，又(2a所以9λ﹣（4﹣λ）＝0，解得λ=故答案为：25【点评】本题主要考查平面向量共线的性质，属于基础题．10．（2025•新余一模）已知向量a→=(1，-2)，b→=(-1，1)【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】12【分析】由向量线性关系的坐标运算及共线的坐标表示列方程求参数即可．【解答】解：由题设b→a→∴-2-3故答案为：12【点评】本题考查向量线性关系的坐标运算及共线的坐标表示等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（2025春•济南月考）如图，在△ABC中，BD→=2DC→，AE→=mAB→，AF→=nAC→，m＞0，n＞0，若D【考点】平面向量的基本定理；运用“1”的代换构造基本不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】3+22【分析】结合图形由平面向量的基本定理可得1m+2【解答】解：在△ABC中，BD→=2DC→，AE→=mAB→，AF→=nAC→，m＞0，即AD→∵D，E，F三点共线，∴13∴m+当且仅当m=2+1所以m+n的最小值为3+22故答案为：3+22【点评】本题考查的知识点：向量共线的充要条件，基本不等式的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．12．（2025•红河州模拟）已知向量a→=（2，﹣1），b→=（λ，1），若a→∥b→，则实数λ【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】﹣2．【分析】根据向量共线的坐标表示运算求解即可．【解答】解：因为a→∥b→，b→=（λ，1），a→=(2，-1)故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查向量共线的坐标表示，是基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•中山区校级期末）在△ABC中，点D为边AC上靠近A的三等分点，点M为形内一点．（1）如图，若点M满足5AM→=2AC→-BC（2）若点O为△ABC的外心，点M满足3OM→=OA→+OB→+OC→【考点】平面向量的基本定理．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）35（2）k=【分析】（1）延长AM至E使AE＝5AM，可以得到四边形ABEC是平行四边形，然后根据AC→=3AD→，所以S△（2）设MN→=λDN→，由BN→=【解答】解：（1）M是△ABC所在平面内一点，延长AM至E使AE＝5AM，因为5AM所以AB→连接BE，因为向量AB→和向量CE→则四边形ABEC是平行四边形，由于AC→=3AD又AE→=5AM在平行四边形中，S△ABC＝S△ABE，所以△ABM与△ABD的面积之比为S△（2）因为3OM→=设MN→=λDN→因为BN→=k所以BN=λ=λ=(2又BN→则有23λ+(1+所以k=【点评】本题考查平面向量的基本定理的应用，属中档题．14．（2024秋•大连校级期末）已知e1→，e2→是平面内两个不共线的非零向量，AB→（1）求实数λ的值；（2）若e1→=(2（3）已知D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．【考点】平面向量加减法的坐标运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）λ=（2）（﹣7，﹣2）（3）（10，7）．【分析】（1）首先表示出AE→，根据AE（2）直接由向量线性运算的坐标表示即可求解；（3）根据AD→【解答】解：（1）AE→因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得AE→即e1→+(1+因为e1→，e2→是平面内两个（2）BE→（3）因为A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以AD→设A（x，y），则AD→因为BC→=(-7，-2)即点A的坐标为（10，7）．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算、坐标运算，属于基础题．15．（2024秋•沈阳期末）如图，在△ABC中，点P满足PC→=2BP→，O是线段AP的中点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点（1）若AF→=2（2）若EB→=λAE→【考点】平面向量的基本定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；不等式．【答案】（1）45（2）3+22【分析】（1）根据向量的线性运算法则，推导出AP→=23AB→+13AC→，AO（2）根据题意，可得AB→=(1+λ)AE→，AC→=(1+μ)AF→，结合E、O【解答】解：（1）因为PC→=2BP因为O是线段AP的中点，所以AO→又因为AF→=23AC因为E、O、F三点共线，所以x3+14=1，解得x（2）因为EB→=λAE→(λ＞0)，AB→=AE→由（1）的结论，可知AO→=1因为E，O，F三点共线，所以1+λ3+1+μ6=1，即所以1λ当且仅当μ+1=2λ，即λ=4-22【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则、两个向量共线的条件、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．

考点卡片1．运用“1”的代换构造基本不等式【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2【解题方法点拨】在一些复杂的代数式问题中，结合已知条件中的和或积为常熟，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而构造均值不等式，简化问题．【命题方向】运用“1”的代换构造均值不等式时，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而应用均值不等式．已知实数x，y∈R+，且x+y＝4，求1x解：∵x＞0，y＞0，x+y＝4，∴1x+3y=∴1x+3故答案为：1+32．平面向量的数乘与线性运算【知识点的认识】（1）实数与向量a→的积是一个向量，记作λa→，它的大小为|λa→|＝|λ||a→|，其方向与λ的正负有关．若|λa→|≠0，当λ＞0时，λa→的方向与a→的方向相同，当λ＜当λ＝0时，λa→与a对于非零向量a、b，当λ≠0时，有a→∥b→⇔a（2）向量数乘运算的法则①1a→=a→；（﹣②（λμ）a→=λ（μ）a→=μ③（λ+μ）a→=λa→④λ（a→+b→）＝λ一般地，λa→+μb→叫做a→，b→的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果l→=λa→+3．平面向量的基本定理【知识点的认识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．4．平面向量加减法的坐标运算【知识点的认识】﹣向量加法：如果a→=(a1，﹣向量减法：如果a→=(a1，【解题方法点拨】﹣坐标运算：直接对向量的坐标分量进行加减操作，得出结果．﹣实际应用：用于解决如点的移动、向量差等问题．【命题方向】﹣向量运算的实际应用：考查向量加减法在实际问题中的应用，如几何问题中的位置计算．﹣坐标运算技巧：如何高效进行向量的坐标运算．向量a→，b→满足a解：由a→+b→=（﹣1，5），a得2b→=（﹣1，5）﹣（5，﹣3）＝（﹣6，所以b→=12（﹣6，2）＝（﹣5．平面向量共线（平行）的坐标表示【知识点的认识】平面向量共线（平行）的坐标表示：设a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则b→∥a→（a→≠0→）⇔x16．数量积表示两个平面向量的夹角【知识点的认识】我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量a→与b→不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ【解题方法点拨】例：复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为60解：zz=3+i3∴复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为故答案为：60°．点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（3，1）与向量（3，﹣1）的夹角．【命题方向】这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．7．正弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA=（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a