初中数学自主招生难度讲义-9年级专题18圆的对称性

专题18圆的对称性

阅读与思考

圆是一个对称图形．

首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同

时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这

是圆特有的旋转不变性．

由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、

弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面

有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用．

熟悉以下基本图形和以上基本结论．

我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始

制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了

深深的烙印．

例题与求解

【例1】在半径为1的⊙O中，弦AB，AC的长分别为3和2，则∠BAC度数为_______．

（黑龙江省中考试题）

解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB与AC有不同位置关系．

由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问

题的解决．

【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB，CD，EF．如果AB+CD=EF，那么AB+CD

与EF的大小关系是（）

BD

F

AC

E

A．AB+CD=EFB．AB+CD>EF

C．AB+CD<EFD．AB+CD与EF的大小关系不能确定

（江苏省竞赛试题）

解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考．

【例3】⑴如图1，已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，

⊙O过A，D，E三点，求⊙O的半径．

⑵如图2，若多边形ABDEC是由等腰△ABC和矩形BDEC组成，AB=AC=BD=2，⊙O过A，D，

E三点，问⊙O的半径是否改变？

（《时代学习报》数学文化节试题）

AA

BCBC

OO

DEDE

图1图2

解题思路：对于⑴，给出不同解法；对于⑵，⊙的半径不改变，解法类似⑴．

等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个

从形式到结果依然完美的图形．

三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习．

【例4】如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC，D为BAC的中点，DE⊥AB于E．求证：

BD2-AD2=ABAC．

（天津市竞赛试题）

解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明．

D

A

E

C

B

圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直

线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等

或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧．

【例5】在△ABC中，M是AB上一点，且AM2+BM2+CM2=2AM+2BM+2CM－3．若P是线段AC

上的一个动点，⊙O是过P，M，C三点的圆，过P作PD∥AB交⊙O于点D．

⑴求证：M是AB的中点；

⑵求PD的长．（江苏省竞赛试题）

解题思路：对于⑴，运用配方法求出AM，BM，CM的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，

促成圆周角与弧、弦之间的转化．

A

M

P

O

CB

D

【例6】已知AD是⊙O的直径，AB，AC是弦，且AB=AC．

AA

AP

BCBC

BEE

C

OOO

F

GF

DDD

图1图2图3

⑴如图1，求证：直径AD平分∠BAC；

⑵如图2，若弦BC经过半径OA的中点E，F是CD的中点，G是FB的中点，⊙O的半径为1，

求弦FG的长；

⑶如图3，在⑵中若弦BC经过半径OA的中点E，P为劣弧上一动点，连结PA，PB，PD，PF，

PAPF

求证：的定值．

PBPD

（武汉市调考试题）

解题思路：对于⑶，先证明∠BPA=∠DPF=300，∠BPD=600，这是解题的基础，由此可导出下列解

题突破口的不同思路：①由∠BPA==∠DPF=300，构建直角三角形；②构造PA+PF，PB+PD相关线段；

③取BD的中点M，连结PM，联想常规命题；等等．

本例实质是借用了下列问题：

⑴如图1，PA+PB=3PH；⑵如图2，PA+PB=PH；

⑶进一步，如图3，若∠APB=α，PH平分∠APB，则PA+PB=2PHcos为定

2

PPP

00B

A3060060

300A

A

HBB

图1图2HH

图3

值．

能力训练

A级

1．圆的半径为5cm，其内接梯形的两底分别为6cm和8cm，则梯形的面积为_______cm2．

2．如图，残破的轮片上，弓形的弦AB长是40cm，高CD是5cm，原轮片的直径是________cm．

C

A

PB

（第4题图）

BA

3．如图，已知CD为半圆的直径，AB⊥CD于B．设∠AOB=α，则tan=_________．

BD2

（黑龙江省中考试题）

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=2，BC=1，若BC=1，若以C为圆心，CB的长为半径

的圆交AB于P，则AP=___________.（江苏省宿迁市中考试题）

5．如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA—AB—BO的路径运动一周.设OP长为

s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间的关系是（）

ssss

OtOtOtOt

ABCD

（太原市中考试题）

6．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AB=10cm，CD=6cm，

那么AC的长为（）

A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm

A

B

O

E

AB

CDAC

PFD

ECDFB

（第6题图）（第7题图）（第8题图）

7．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦．若AB=10cm，CD=8cm，那么A，B两点到直线CD的距离

之和为（）

A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm

8．如图，半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD垂直相交于点P，连结OP．若OP=1，求AB2+CD2

的值．（黑龙江省竞赛试题）

9．如图，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM于N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交

AM于点E．

⑴如果CD⊥AB，求证：EN=NM；

⑵如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE2=EF•ED；

⑶如果弦CD，AB的延长线交于点F，且CD=AB，那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；

若不成立，请说明理由．

（重庆市中考试题）

A

DF

O

E

BC

M

（第9题图）

1

10．如图，⊙O的内接四边形ABMC中，AB>AC，M是BC的中点，MH⊥AB于点H．求证：BH=

2

（AB-AC）．

（河南省竞赛试题）

A

HC

BM

（第10题图）

11．⑴如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC

1

于点G．求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的．

3

⑵如图2，若∠DOE保持1200角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC

1

的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的．

3

12．如图，正方形ABCD的顶点A，D和正方形JKLM的顶点K，L在一个以5为半径的⊙O上，

点J，M在线段BC上．若正方形ABCD的边长为6，求正方形JKLM的边长．

（上海市竞赛试题）

N

AD

O

J

BMC

KL

（第12题图）

B级

1．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，过A，B两点作CD的垂线，垂足分别为E，F．若AB=10，

AE=3，BF=5，则EC=__________．

AC

BD

ODE

AB

OP

ABC

ECDF

A′

（第题图）

1（第2题图）（第3题图）

2．如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在BC的中点A′上，若BC=5，则折痕在△ABC

内的部分DE长为________．（宁波市中考试题）

3．如图，已知⊙O的半径为R，C，D是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为960，BD的度

数为360．动点P在AB上，则CP+PD的最小值为__________．

（陕西省竞赛试题）

4．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（）

55517

A．2B．C．D．

2416

5．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆圆周上一点，M是AC的中点，MN⊥AB于N，则有

（）

1233

A．MN=ACB．MN=ACC．MN=ACD．MN=AC

2253

（武汉市选拔赛试题）

C

B

D

F

N

AAC

EOBOP

GD

（第6题图）（第7题图）

6．已知，AB为⊙O的直径，D为AC的中点，DE⊥AB于点E，且DE=3．求AC的长度．

7．如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的⊙O；对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点

为P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长．

（全国初中数学联赛试题）

8．如图，已知点A，B，C，D顺次在⊙O上，ABBD，BM⊥AC于M．求证：AM=DC+CM．

（江苏省竞赛试题）

B

C

M

O

AD

（第8题图）

9．如图，在直角坐体系中，点B，C在x轴的负半轴上，点A在y轴的负半轴上，以AC为直径的

圆与AB的延长线交于点D，CDAO，如果AB=10，AO>BO，且AO，BO是x的二次方程x2kx480

的两个根．

⑴求点D的坐标；

1

⑵若点P在直径AC上，且AP=AC，判断点(－2，10)是否在过D，P两点的直线上，并说明理

4

由．（河南省中考试题）

y

D

CO

x

B

PA

（第9题图）

10．⑴如图1，已知PA，PB为⊙O的弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，求证：AE=PE+PB．

⑵如图2，已知PA，PB为⊙O的弦，C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，问：AE，PE与

PB之间存在怎样的等量关系？写出并证明你的结论．

CD

APAP

EE

OO

BB

DC

图1图2

11．如图，已知弦CD垂直于⊙O的直径AB于L，弦AE平分半径OC于H．求证：弦DE平分弦

BC于M．(全俄奥林匹克竞赛试题)

C

HE

M

A

OLB

D

（第11题图）

12．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+CB，过D作AC的垂线交△ABC的外接

圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N．求证：MN为△ABC外接圆的直径．

M

OC

D

AB

N

（第12题图）

专题18圆的对称性

例115°或75°提示：分AB、AC在圆心O同侧、异侧两种情况讨论．

例2B

例3(1)解法一：如图，将正方形BDEC上的等边△ABC向下平移，使其底边与DE重

合，得等边ODE．∵A、B、C的对应点是O、D、E，∴OD＝AB，OE＝AC，AO＝BD．∵

等边△ABC和正方形BDEC的边长都是2，∴AB＝BD＝AC＝2，∴OD＝OA＝OE＝2．∵

△

A、D、E三点确定一圆，O到A、D、E三点的距离相等．∴O点为圆心，OA为半径，

∴该圆的半径为2．解法二：如图，将ABC平移到ODE位置，并作AF⊥BC，垂足为F，延长交DE

于H．∵△ABC为等边三角形，∴AF垂直平分BC，∵四边形BDEC为正方形，∴AH垂

△△

直平分正方形边DE．又∵DE是圆的弦，∴AH必过圆心，记圆心为O点，并设⊙O的半

3

径为r．在Rt△中，∵∠＝，∴AF＝AB·cos30°＝2×＝3，∴OH＝AF

2

ABFBAF30°

＋FH－OA＝3＋2－r．在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，∴(32r)2＋12＝r2，解

得r＝2．

(2)⊙O的半径不变，因为AB＝AC＝BD＝2，此题求法和(1)一样，⊙O的半径为2．

例4提示：BD2－AD2＝(BE2＋ED2)－(AE2＋ED2)＝(BE＋AE)(BE－AE)＝AB(BE－AE)，只需要证明

AC＝BE－AE即可．在BA上截取BF＝AC．连DF可证明△DBF≌△，则DF＝AD，AE＝EF．

例5(1)由条件，得(AM－1)2＋(BM－1)2＋(CM－1)2＝0，∴AM＝BM＝CM＝1．因此，M是AB中点，

DCA

且∠ACB＝90°．(2)由(1)知，∠A＝∠PCM，又PD∥AB，∴∠A＝∠CPD，∠PCM＝∠CPD，因此，

CDPM,CPMDCP，于是有DP＝CM＝1．

例6(1)连结BD、CD，∵AD是直径，所以∠ABD＝∠ACD＝90°，又∵AB＝AC，AD＝AD，∴ABD

≌ACD，∴∠BAD＝∠DAC，∴AD平分∠BAC．(2)连结OB、OC，则OA⊥BC，又AE＝OE，得AB

△

＝B△O＝OA＝OC，△AOB，△AOC都为等边三角形，连结OG，则∠GOF＝90°，FG＝2．(3)取BD

的中点M，过M作MS⊥PA于S，MT⊥PF于T，连AM，FM．∠BPM＝∠DPM＝30°，∠APM＝∠

1

FPM＝60°，则MS＝MT，MA＝MF，RtASM≌Rt△，RtPMS≌RtPMF．∴＝PM．∴PA

2

△FTM△△PS

PAPFPM13

＋PF＝2PS＝2PT＝PM．同理可证：PB＋PD＝3PM．∴为定值．

PBPD3PM33

3

A级1．49或72.853．14．5．C6．D7．D8．过O点作OE⊥AB于E，OF⊥

3

1

CD于F，连结OD，OA，则AE＝BE，CF＝DF，∵OE2＝AO2－AE2＝(4AB2)，OF2＝OD2－FD2＝

4

11111

4CD2，∴OE2＋OF2＝(4AB2)＋(4CD2)＝PF2＋OF2＝OP2＝12，即4AB2＋4CD2＝1，

44444

22714

故AB＋CD＝28．得x1＝－3(舍去)，x2＝，∴正方形JKLM的边长为.

55

110

B级1.26－3提示:作OM⊥CD于M，则EC＝(EF－CD).2.3.3R提示:设D'是D点关于

23

直径AB对称的点，连结CD'交AB于P，则P点使CP＋PD最小，∠COD'＝120°，CP＋PD＝CP＋PD'

＝CD'＝3R.

a2＋12＝r2

113517

4.D提示：如图：