天津市南开区2025届高三下学期质量监测（一）数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页天津市南开区2025届高三下学期质量监测（一）数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,A=2,4,6,8,B=3,6,9A.3,9 B.2,4,8 C.1,3,5,6,7,9 D.1,2,4,5,6,7,82.设x,y∈R，则“x2+y2>0”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.设a=log0.63,b=0.6A.b<c<a B.a<c<b C.b<a<c D.a<b<c4.如图是由一组实验数据得到的散点图，以下四个回归方程类型中适合作为y与x的回归方程类型的是(

)

A.y=ax+b B.y=ax2+b C.y=a5.已知fx=2ax⋅A.−1 B.0 C.1 D.26.把函数y=fx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π3个单位长度，得到函数y=gx的图象，且y=gx的图象关于点π4,0A.fx=sinx2−7π12 7.已知函数fx=logaax−1a>0,a≠1在2,+∞A.12,1 B.0,1 C.128.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，P是线段A1A.2:5 B.1:2 C.1:3 D.1:69.设双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右顶点分别是A1A.62 B.213 C.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.i是虚数单位，若复数z=1+i2−aia∈R为纯虚数，则a=11.若x−2xn的展开式的二项式系数和为32，且x12.已知圆M:x2+(y−4)2=1与抛物线C:y2=2pxp>0的准线相切于点E,F为13.有编号分别为1,2,3的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是

；从第3个盒子中取到白球的概率是

．14.在▵ABC中，AB=2,AC=6,∠BAC=2π3，若点M为BC的中点，点N满足AN=12NC，点P为AM与BN的交点，用AB和AC表示BN=

15.已知fx=4−x，若方程2x2+1−fx三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.在▵ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=26(1)求边b的长；(2)求sinB(3)求cos2C−2π17.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD,PA⊥PD,PA=PD，AB=1,AD=2,AC=CD=5,M为棱AP上一点，且(1)求证：BM//平面PCD；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)求平面PCD与平面ABC夹角的余弦值．18.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过0,−1,(1)求E的方程；(2)过点−4,0，斜率不为0的直线l与椭圆交于A,B两点，点C−1,1，直线AC与x轴交于P，与y轴交于M，直线BC与x轴交于Q，与y轴交于N.若3S▵CMN=19.已知公差大于0的等差数列an的前n项和为Sn，且S3=9,(1)求an的通项公式及S(2)记bm为an在区间a2m,2am+1(i)若Tn+S(ii)设cn=a20.已知函数fx=(1)求曲线y=fx在点e,f(2)若fx<0在区间0,a上恒成立，求实数(3)若方程fx=m−1x2+xm∈R参考答案1.A

2.B

3.D

4.C

5.C

6.C

7.A

8.D

9.C

10.−2

11.−80

12.213.23

；14.13AC−AB15.416.(1)因为sinB=2sinC由余弦定理可得cosA=b2解得c=2，故b=4．(2)由cosA=−14及A∈由正弦定理asinA=解得sinB=(3)由(2)得sinC=12所以sin2C=2所以cos=

17.(1)取DA中点O，连接OC,OP，因为AC=CD,PA=PD，所以OC⊥AD,OP⊥AD．又面PAD⊥面ABCD，OP⊂面PAD，面PAD⊥面ABCD=AD，所以OP⊥平面ABCD．以O为原点，OC,OA,OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P所以PD=设n=x,y,z为平面PCD的一个法向量，则n令x=1，则y=−2,z=2，从而n=因为AP=4AM，所以BM=因为BM⋅n=0，所以BM⊥n，又BM⊄平面PCD(2)设PB与平面PCD的夹角为θ，则sinθ=(3)显然，平面ABC的一个法向量为OP=设平面PCD与平面ABC夹角为φ，则cosφ=

18.(1)设E的方程为mx2+n将0,−1,3,1故E的方程为x2(2)依题意，设直线l:x=ty−4,Ax联立x=ty−4x2+4y2则Δ=(−8t)2−48t2直线AC:y−1=y1−1令x=0，则M0,令y=0，则P−由3S▵CMN=S▵CPQ整理得3t−3因为t2>12，所以3t所以直线l的斜率为27

19.(1)设等差数列an的公差为d依题意，S3=3aa2+32将①代入②得d2+3d−10=0，因为d>0，解得所以an(2)(i)令a2m≤2n−1<2am+1所以bm=22m所以Tn又Sn=n由Tn+S因为46所以n的最大值为5．(ii)由(i)知cn=34×设Mn则14①−②得34所以Mn因为cn所以i=1n综上，21

20.(1)f′x=1x−2x+1所以e,fe处的切线方程为y−1−e(2)f′x当x∈0,1时，f′x>0；当x∈所以fx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，则f(x若fx<0在区间0,a上恒成立，则a的取值范围为(3)由fx=m−1若fx=m−1x2两式相减得lnx2−不妨设gx=ln所以gx在1,+∞上单调递增，此时gx>g所以lnx