2025年安徽省合肥市高考数学二模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年安徽省合肥市高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈Z|x+1>0}，B={x||x+1|≤3}，则A∩B=(

)A.{−1,0,1,2} B.{−1,0,1} C.{0,1,2} D.{0,1}2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,2)，则复数5iz的虚部是(

)A.−1 B.1 C.−2 D.23.若空间中三条不同的直线a，b，c满足a⊥c，b⊥c，则a//b是a，b，c共面的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知向量e1=(1,0)，e2=(1,3)，设a=4e1A.π6 B.π4 C.π35.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过顶点A作C的一条渐近线的垂线，交yA.3 B.2 C.3 D.6.已知tanθtan2θtanθ−tan2θ=45A.925 B.35 C.17257.已知AB为圆锥PO的底面直径，O为底面圆心，正三角形ACD内接于⊙O，若PA=6，圆锥的侧面积为122π，则PA与BD所成角的余弦值为A.26 B.34 C.8.已知点A(−23,0)，C，D是⊙O：x2+y2=16与x轴的交点.点B满足：以ABA.43 B.8 C.12 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分(满分：100分)绘制如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率.记高一年级学生得分平均数的估计值为x，高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为y，z.从高一和高二年级各随机抽取一名学生，记事件M=“高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80分”，事件N=“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”，则(

)

A.x<z B.y>z C.事件M，N互斥 D.P(M)=P(N)10.将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π6A.f(x)与g(x)的图象关于直线x=−7π4对称

B.f(x)与g(x)的图象关于点(4π3,0)对称

C.当x∈(7π3,8π3)时，f(x)>g(x)11.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)f(1−y)+f(y)f(1−x)=2f(x+y)，f(0)=1，则(

)A.f(2)=1 B.∃x0∈R，f(x0)<0

C.f(x)的图象关于点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知△ABC为锐角三角形，且AB=5，AC=6，△ABC的面积为66，则BC=______．13.已知函数f(x)=|x−a|−a+1,x>1x2−2ax+3,x≤1的最小值为−1，则a=14.如图，在4×4的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1=b1=3，a2+a4=2b2，16.(本小题15分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都为2，∠A1AC=60°，M是AA1的中点，AC1⊥BM．

(1)17.(本小题15分)

已知函数f(x)=(x−1)ex−ax−b，曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y+2=0．

(1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的零点个数，并证明所有零点之和为18.(本小题17分)

已知抛物线Γ：x2=43y，⊙E：x2+(y−1)2=r2(0<r≤223)，点P在Γ上．

(1)求|PE|的最小值；

(2)设点P的横坐标为2，过P作⊙E19.(本小题17分)

当前，以大语言模型为代表的人工智能技术正蓬勃发展，而数学理论和方法在这些模型的研发中，发挥着重要作用.例如，当新闻中分别出现“7点钟，一场大火在郊区燃起”和“7点钟，太阳从东方升起”这两个事件的描述时，它们提供的“信息量”是不一样的，前者比后者要大，会吸引人们更多关注.假设通常情况下，它们发生的概率分别是p=0.0001和p=0.9999，用ln1p这个量来刻画“信息量”的大小，计算可得前者约为9，后者接近于0.现在，假设离散型随机变量X的分布列为P(X=xi)=pi，0<pi<1，i=1，2，…，m，则称H(X)=i=1mpiln1pi为X的信息熵，用来刻画随机变量X蕴含的信息量的大小．

(1)若X的分布列为P(X=x1)=p，P(X=x2参考答案1.C

2.A

3.B

4.C

5.D

6.C

7.A

8.B

9.AB

10.ACD

11.ACD

12.7

13.2或−2

14.57215.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，

由a2+a4=2b2，得2a1+4d=2b1q，即6+4d=6q…①，

由a1a3=b3，得3(3+2d)=3q2…②，

根据①②组成方程组，解得d=3q=3或d=−32q=0(舍去)，

故an=3+3(n−1)=3n，bn=3⋅3n−1=3n；

(2)由题意得anbn=3n3n=n3n−1，

设数列{anbn}的前n项和为Sn，则Sn=130+23+332+433+⋯+n3n−1…③，

两边都乘以13，可得13Sn=13+232+333+434+⋯+n3n…④．

由③−④，可得23Sn=1+13+132+133+⋯+13n−1−n3n=1−13n1−13−n3n=32−(n+32)13n，所以Sn=94−(12n+34)13n−1．

16.解：(1)证明：取AC的中点O，连接OB，OM，A1C，

因为M是AA1的中点，所以OM//A1C，

又因为三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都是2，

所以四边形ACC1A1为菱形，所以AC1⊥A1C，所以AC1⊥OM17.解：(1)因为函数f(x)=(x−1)ex−ax−b，

所以f′(x)=xex−a，

又因为曲线在点(0,f(0))处的切线方程为x+y+2=0，

所以f′(0)=k=−1f(0)=−2．

把x=0代入f′(x)，得f′(0)=0×e0−a=−a，

因为f′(0)=−1，所以−a=−1，即a=1．

又f(0)=(0−1)e0−a×0−b=−2，

所以b=1．

(2)证明：由第(1)知f(x)=(x−1)ex−x−1，f′(x)=xex−1，

令g(x)=f′(x)，

所以g′(x)=(x+1)ex，

当x∈(−1,+∞)，g′(x)>0，g(x)在(−1,+∞)递增；

当x∈(−∞,−1)，g′(x)<0，g(x)在(−∞,−1)递减，

又g(1)>0，g(0)<0，

所以存在唯一x0使g(x0)=0，即x0ex0=1．

当x∈(x0,+∞)，f′(x)>0，f(x)在(x0,+∞)递增；

当x∈(−∞,x0)，f′(x)<0，f(x)在(−∞,x0)递减，

所以f(x)≥f(x0)，

f(x0)=−x0−1x0<0，又f(−2)=1−3e2>0，f(2)=e2−3>0，

根据零点存在定理，f(x)在(−2,x0)和(x0,2)各有一个零点，共两个零点，

设x1是零点，f(x1)=(x1−1)ex1−x1−1=0，

经计算f(−x1)=(−x1−1)e−x1+x1−1=e−x1[(x1−1)ex1−x1−1]=0，

所以−x1也是零点，零点和为x1+(−x1)=0．

18.解：(1)设P(x0,y0)，则x02=43y0，又E(0,1)，

所以|PE|=x0