安徽省六安市裕安区2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

数学试题注意事项：1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1.的相反数为（）A.-3 B.3 C. D.2.下列计算错误的是（）A. B. C. D.3.2024年前三季度我国国内生产总值接近万亿元，其中万亿用科学记数法表示为（）A. B. C. D.4.如图，用一个平面截长方体，得到①和②两个几何体（它们除了位置不同，形状和大小均相同），则下列结论正确的是（）A.①和②左视图相同 B.①和②的主视图相同C.①和②俯视图相同 D.①和②的三视图均不相同5.对于一元二次方程根的情况，下列判断正确的是（）A.只有一个实数根 B.有两个相等实数根C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根6.若扇形的面积为，的长为，则该扇形的半径长为（）A.1 B.2 C.4 D.87.学校的数学探究社团分别以我国古代五位著名数学家祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶的姓名命名，随机分配小梦和小想两位同学加入这5个社团，他俩同时分到同一个数学探究社团的概率是（）A. B. C. D.8.如图，平行四边形中，对角线相交于点，点分别是的中点，下列条件中，不能判断四边形是菱形的是（）A. B. C.平分 D.9.已知实数a，b满足，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.10.如图，点在的边上，，设，，则关于的函数图象大致为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.计算：_____．12.一个正方形面积的范围是，且边长为整数，则的值为_____．13.正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，当时，的取值范围为_____．14.如图，两张正方形的纸片，的一个顶点重合，正方形纸片绕点旋转一定的角度，使得B，E，G三点在同一条直线上，与边相交于点．（1）若，则_____（用含的式子表示）；（2）若，，则的长为_____．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.先化简，再求值：，其中．16.观察下列等式，解答下列问题：①；②；③；④…（1）第⑤个等式_____；（2）猜想第个等式为_____（用含的式子表示），并证明．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，线段的两个端点均为格点（网格线的交点）．（1）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，画出线段；（2）画出线段关于点对称的线段；（3）在轴上标出一点，使得点在线段的垂直平分线上，写出点的坐标．18.某商场积极落实增收减支．具体目标是：今年总销售额比去年增加，总支出比去年减少．设该商场去年总销售额为亿元，总支出为亿元．（1）请用含，代数式填表：（不用化简）年份总销售额/亿元总支出/亿元去年今年（2）已知该商场去年的利润为2亿元．要确保今年的利润比去年增加1亿元，则该商场今年的总销售额和总支出分别为多少亿元？（注：利润总销售额总支出）五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.综合与实践：九年级学生去瞻仰革命烈士纪念碑，并测量纪念碑的高度．如图，他们在山坡下的点处测得纪念碑顶部的仰角，再沿方向前进到达坡脚点，测得点的仰角，纪念碑底部的仰角，求纪念碑的高度．（参考数据：，，，）20.如图，以四边形的边为直径作半圆与相切于点，与相交于点，连接，已知．（1）求证：；（2）若，，求的长．六、（本题满分12分）21.【项目背景】调查青山乡中青年农民（20~50周岁）去年的年收入，为乡政府制订下一年工作计划提供参考．班级同学分两组前往该乡开展抽样调查．第1组同学在该乡随机调查了10位中青年农民去年的年收入（单位：万元）：，，，，，，，，，．并计算出这位中青年农民去年的年收入的平均数为万元；第2组随机抽取该乡部分中青年农民（不同于第1组）进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理．绘制成如下统计表和不完整的统计图．并计算出他们去年的年收入的平均数为万元；该乡中青年农民去年年收入统计表组别去年年收入（单位：万元）ABCDE根据以上信息，完成下列项目任务：（1）第1组同学调查的10位中青年农民去年年收入的中位数是_____万元，众数是_____万元；（2）第2组同学调查的该乡中青年农民数是_____人，条形统计图中的值是_____；（3）求两个组同学调查的该乡中青年农民去年年收入的平均数，估计该乡3600位中青年农民去年年收入不低于该平均数的有多少人？七、（本题满分12分）22.平行四边形的两条对角线相交于点，延长至点，连接，分别交，于E，F两点，连接．（1）如图1，若四边形为菱形，求证：；（2）如图2，若，求的值；（3）如图3，延长至，使得，连接，若，，，求的长．八、（本题满分14分）23.已知抛物线（，，为常数，且）经过点．（1）若该抛物线经过另一点，求其对称轴；（2）若，设该抛物线顶点的纵坐标为，求的最小值；（3）若，该抛物线与轴的一个交点的横坐标为，当时，求的取值范围．

数学试题注意事项：1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1.的相反数为（）A.-3 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：的相反数为，故选：D．2.下列计算错误的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则逐项分析即可判断．【详解】解：A、，故此选项计算正确，不符合题意；B、，故此选项计算正确，不符合题意；C、，故此选项计算正确，不符合题意；D、，故此选项计算错误，符合题意；故选：D．3.2024年前三季度我国国内生产总值接近万亿元，其中万亿用科学记数法表示为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．据此即可求解．【详解】解：万亿，故选：A．4.如图，用一个平面截长方体，得到①和②两个几何体（它们除了位置不同，形状和大小均相同），则下列结论正确的是（）A.①和②的左视图相同 B.①和②的主视图相同C.①和②的俯视图相同 D.①和②的三视图均不相同【答案】A【解析】【分析】本题考查简单几何体的三视图，分别对比两个图形的三视图即可得到答案．【详解】解：A、①和②左视图都是一样的长方形，即①和②的左视图相同，选项符合题意；B、①和②的主视图都是梯形，但是上底和下底的长度不相等，且两腰的位置也是相反，故①和②的主视图不相同，选项不符合题意；C、①和②的俯视图都是长方形和中间一条线段，但是①中间是实线，②中间是虚线，故①和②的俯视图不相同，选项不符合题意；D、①和②的左视图相同，选项不符合题意；故选：A．5.对于一元二次方程根的情况，下列判断正确的是（）A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：即，，∴，∴方程有两个不相等实数根，故选：C．6.若扇形的面积为，的长为，则该扇形的半径长为（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】本题考查扇形面积公式，弧长公式，熟练掌握以上公式是解题的关键，根据题意可得，，即可求解．【详解】解：设扇形的圆心角为，依题意，，，解得：；故选：C．7.学校的数学探究社团分别以我国古代五位著名数学家祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶的姓名命名，随机分配小梦和小想两位同学加入这5个社团，他俩同时分到同一个数学探究社团的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了概率的计算，掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键．先根据题意列表，由表格得出所有等可能的结果数和符合题意的情况，再利用概率的计算公式即可求解．【详解】解：设这5个社团分别为，列表如下：由表格可知，一共有25种等可能的结果，其中同时分到同一个数学探究社团有5种情况，同时分到同一个数学探究社团的概率．故选：B．8.如图，平行四边形中，对角线相交于点，点分别是的中点，下列条件中，不能判断四边形是菱形的是（）A. B. C.平分 D.【答案】B【解析】【分析】由点E，F分别是OA，OC的中点得出OF=OE，证出四边形EBFD是平行四边形，添加AC⊥BD时，得出四边形BEDF是菱形，A正确；添加AC平分∠BAD，得出∠DAC=∠BAC，证出BE=DE，因此四边形EBDF是菱形，选项C正确；添加AB=AC，可证得BE=BF，则四边形EBDF是菱形，选项D正确；只有添加选项B不能判定四边形EBFD是菱形；即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵点E，F分别是OA，OC的中点，∴OE=OF=OA=OC，∴四边形EBDF是平行四边形，添加AC⊥BD时，∴四边形EBFD是菱形，选项A正确；添加AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=AB=BC，在和中，，∴（SAS），∴BE=DE，∴四边形EBFD是菱形，选项C正确；添加AB=BC时，∴∠BAE=∠BCF，点分别是的中点，四边形ABCD是平行四边形，在和中,，（SAS），∴BE=BF，∴四边形EBFD是菱形，选项D正确；只有添加选项B不能判定四边形EBFD是菱形；故选：B．【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定是关键．9.已知实数a，b满足，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了实数的概念、不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．由题意得，再将变形为，整体代入可得，最后利用不等式的性质即可得出答案．【详解】解：，，，又，，，．故选：A．10.如图，点在的边上，，设，，则关于的函数图象大致为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，等腰三角形的性质，勾股定理；过点作于点，分别在中，用勾股定理表示出，进而得出关于的函数的解析式，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，∵，且，∴；∵，∴，∴，，∴，∴；故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.计算：_____．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算．先计算出立方根，再计算减法，即可求解．【详解】解：，故答案为：．12.一个正方形面积的范围是，且边长为整数，则的值为_____．【答案】4【解析】【分析】本题考查了无理数的估算，根据题意得出正方形的边长范围为，即可求解．【详解】解：依题意，，又，∴整数；故答案为：．13.正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，当时，的取值范围为_____．【答案】或【解析】【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题、关于原点对称的点的特征，熟练掌握正比例函数和反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据正比例函数和反比例函数的性质，得出和关于原点对称，求出的值，从而求出正比例函数和反比例函数的解析式，再根据函数图象即可解答．【详解】解：正比例函数和反比例函数均关于原点对称，且与的图象相交于，，和关于原点对称，，，，，代入到，得，代入到，得，正比例函数为，反比例函数为，正比例函数和反比例函数都经过第二、四象限，当时，的取值范围为或．故答案为：或．14.如图，两张正方形的纸片，的一个顶点重合，正方形纸片绕点旋转一定的角度，使得B，E，G三点在同一条直线上，与边相交于点．（1）若，则_____（用含的式子表示）；（2）若，，则的长为_____．【答案】①.##②.##【解析】【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理；（1）由正方形可得，，即可得到，再在中利用三角形内角和求出即可；（2）连接交于，由正方形可得，，利用勾股定理求出，，最后根据求解即可．【详解】解：（1）∵正方形，，∴，，∴，即，∴，故答案为：；（2）连接交于，∵正方形，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，故答案为：．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.先化简，再求值：，其中．【答案】；【解析】【分析】本题考查了分式的化简与求值、分母有理化，熟练掌握分式的运算法则和分母有理化是解题的关键．先利用分式的运算法则化简式子，再代入的值到化简的式子计算即可．【详解】解：，代入，原式．16.观察下列等式，解答下列问题：①；②；③；④…（1）第⑤个等式为_____；（2）猜想第个等式为_____（用含的式子表示），并证明．【答案】（1）（2），证明见解析【解析】【分析】本题考查了数字变化规律、因式分解的应用，利用代数式正确表示规律是解题的关键．（1）观察前4个等式的规律，即可写出第⑤个等式；（2）观察前4个等式的规律，猜想得到第个等式为，再利用提公因式法分解因式即可证明．【小问1详解】解：由题意得，第⑤个等式为．故答案为：．【小问2详解】解：猜想第个等式为，证明如下：．故答案为：．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，线段的两个端点均为格点（网格线的交点）．（1）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，画出线段；（2）画出线段关于点对称的线段；（3）在轴上标出一点，使得点在线段的垂直平分线上，写出点的坐标．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析，点的坐标为【解析】【分析】本题考查了旋转变换、关于原点对称的点、垂直平分线的判定，正确作图是解题的关键．（1）分别画出点绕点顺时针旋转的对应点，再连接即可；（2）分别画出点关于点对称的对应点，再连接即可；（3）在轴上取点，利用勾股定理求出，得出点在线段的垂直平分线上，即可解答．【小问1详解】解：如图所示，线段即为所求：【小问2详解】解：如图所示，线段即为所求：【小问3详解】解：如图，在轴上取点，由图可知，，，，，，点在线段的垂直平分线上，如图所示，点即为所求，点的坐标为．18.某商场积极落实增收减支．具体目标：今年总销售额比去年增加，总支出比去年减少．设该商场去年总销售额为亿元，总支出为亿元．（1）请用含，的代数式填表：（不用化简）年份总销售额/亿元总支出/亿元去年今年（2）已知该商场去年的利润为2亿元．要确保今年的利润比去年增加1亿元，则该商场今年的总销售额和总支出分别为多少亿元？（注：利润总销售额总支出）【答案】（1）见解析（2）该商场今年的总销售额为亿元，总支出为亿元【解析】【分析】本题考查了列代数式、二元一次方程组的应用，理解题意正确列出代数式和二元一次方程组是解题的关键．（1）根据题意，用含，的代数式分别表示今年总销售额和总支出即可；（2）根据“去年的利润为2亿元”和“今年的利润比去年增加1亿元”，列出二元一次方程组，解出的值即可解答．【小问1详解】解：根据题意，填表如下：年份总销售额/亿元总支出/亿元去年今年【小问2详解】解：由题意得，，解得：，则，，答：该商场今年的总销售额为亿元，总支出为亿元．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.综合与实践：九年级学生去瞻仰革命烈士纪念碑，并测量纪念碑的高度．如图，他们在山坡下的点处测得纪念碑顶部的仰角，再沿方向前进到达坡脚点，测得点的仰角，纪念碑底部的仰角，求纪念碑的高度．（参考数据：，，，）【答案】纪念碑的高度为米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是借助仰角关系结合图形利用三角函数解直角三角形．根据题意得到，延长交于，然后根据三角函数的定义分别求得，即可得到结论．【详解】解：依题意，延长交于，如图∴在中，∴在中，∴∴∵∴，即解得：，则在中，∴∴答：纪念碑的高度为米20.如图，以四边形的边为直径作半圆与相切于点，与相交于点，连接，已知．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键；（1）连接，根据切线的性质和已知条件，得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证；（2）连接交于点，证明四边形是矩形，得出，设，则，勾股定理建立方程解得，进而根据勾股定理即可求解．【小问1详解】解：如图所示，连接∵是的切线，∴又∵∴∴又∵∴∵∴∴又∵∴∴小问2详解】解：如图所示，连接交于点∵是直径，∴，又∵∴∴四边形是矩形，∴，∵，∴，设，则，在中，在中，又，，∴∴，即解得：∴∴∴六、（本题满分12分）21.【项目背景】调查青山乡中青年农民（20~50周岁）去年的年收入，为乡政府制订下一年工作计划提供参考．班级同学分两组前往该乡开展抽样调查．第1组同学在该乡随机调查了10位中青年农民去年的年收入（单位：万元）：，，，，，，，，，．并计算出这位中青年农民去年的年收入的平均数为万元；第2组随机抽取该乡部分中青年农民（不同于第1组）进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理．绘制成如下统计表和不完整的统计图．并计算出他们去年的年收入的平均数为万元；该乡中青年农民去年年收入统计表组别去年年收入（单位：万元）ABCDE根据以上信息，完成下列项目任务：（1）第1组同学调查的10位中青年农民去年年收入的中位数是_____万元，众数是_____万元；（2）第2组同学调查的该乡中青年农民数是_____人，条形统计图中的值是_____；（3）求两个组同学调查的该乡中青年农民去年年收入的平均数，估计该乡3600位中青年农民去年年收入不低于该平均数的有多少人？【答案】（1），（2），（3）两个组同学调查的该乡中青年农民去年年收入的平均数万元，估计该乡3600位中青年农民去年年收入不低于该平均数的有人【解析】【分析】（1）根据中位数与众数的定义，即可求解；（2）根据条形统计图与扇形统计图，根据组的占比为，即可求解；（3）根据加权平均数的计算方法求得两组数据的平均数，进而根据样本估计总体，即可求解．【小问1详解】解：依题意，中位数为，众数为；故答案为：，．【小问2详解】解：依题意，，解得：，∴总人数为；故答案为：，．【小问3详解】解：两个组同学调查的该乡中青年农民去年年收入的平均数为第1组不低于万元的有人，第2组不低于万元的有人，（人）；答：两个组同学调查的该乡中青年农民去年年收入的平均数万元，估计该乡3600位中青年农民去年年收入不低于该平均数的有人．【点睛】本题主要考查了由扇形统计图求总量，频数分布表，中位数的定义，求一组数据的平均数，用样本估计总体等知识点，熟练掌握频数、平均数、中位数的概念及扇形统计图、频数分布表是解题的关键．七、（本题满分12分）22.