重难点05五种数列通项求法（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）教师版

重难点05五种数列通项求法（核心考点讲与练）

题型一：公式法求数列通项

一、单选题

1.（2022•北京•二模）已知｛4｝为等差数列，首项《=2,公差"=3,若〃“+%+2=28,则〃=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】首先求出通项公式，再代入得到方程，解得即可；

【详解】解：因为首项4=2,公差1=3,所以4=q+（〃一l）d=3〃—1,

因为。+。理=28,所以（3/-1）+3（〃+2）—1=28,解得〃=4

故选：D

2.（2022.河南•方城第一高级中学模拟预测（文））已知S“为公差不为0的等差数列｛4｝的前"项和.若q=1,

邑，S9成等比数列，则/=（）

A.11B.13C.23D.24

【答案】C

【分析】设出公差，利用航，邑，，成等比数列，列出方程，求出公差，求出答案.

【详解】设等差数列｛为｝的公差为/0）,

因为豆，邑，Sg成等比数列，

所以（3q+3d）［=4（9a,+36”）,

化简得"=0（舍去）或d=2q=2,

所以%=4+15=23.

故选：C

3.（2022•陕西西安•三模（理））“中国剩余定理''又称"孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙

子算经》卷下中的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之

剩二问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照

从小到大的顺序排成一列，构成一个数列14,29,44,…，则该数列的项数为（）

A.132B.133C.134D.135

【答案】C

【分析】先得到新数列14,29,44,…是首项为14,公差为15的等差数列，求出通项公式，解不等式求

出数列的项数.

【详解】由题意得：新数列14,29,44,…是首项为14,公差为15的等差数列，

设新数列为｛%｝，则通项公式为q=14+15（〃-1）=15〃-1,

13

令15〃-142022,解得：〃4134正，

因为〃eN*,所以这个数列的项数为134.

故选：C

4.（2022•新疆•三模（文））已知数列｛q,｝是以1为首项，3为公差的等差数列，也｝是以1为首项，3为公

比的等比数列，设%=4,7；=q+G+…+c”（〃eN*）,当（<2021时，〃的最大值为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】先求出进而得到C.，由分组求和得7；=李（3"-1）-2〃，由北“-7；>。判断出｛7,｝为递增数

列，计算出7；<2021,7；>2021即可求解.

【详解】由题意知：。“=1+3（〃-1）=3"—2也=3"T,%=%=%T=3-3"T-2=3"-2,

3（1-3”）3/\

<=3—2+32—2+・・・+3'?—2=-^^—2〃=5・（3"—1）一2〃，

又&「（，=|.（3向一1）一2（〃+1）-|・（3"—1）+2〃=3'向一2>0,

故｛<｝为递增数列，又"=|X（36-1）-2*6=1080,7；=?（37_1）_2乂7=3265,

故当7,<2021时，〃的最大值为6.

故选：C.

5.（2022・浙江绍兴•模拟预测）已知数列｛（｝的前〃项和5,满足若存在〃?，丘N,,

使得&>a,向，则实数4的取值范围是（）

A.（0,1）B.（-co,0）u（l,+oo）

C.（l,+8）D.（O,l）U（l,^）

【答案】A

【分析】利用%=s“-Si求通项公式为=一（/_1+1,判断出数列｛4｝不单调，只需工＜0,即可求得.

VA—1）A-1

【详解】因为数列｛«„）的前«项和S“满足S“=4%+〃（义工0,〃eN*）,

所以当〃=1时，有E=/lq+l"=l不合题意；所以久用，解得：二；

1—71

J1

当〃之2时，ci=Aa-Xa_+1,2^1,解得：a=---a_一~--

nnnxnA—1nxA—1

22

设“"+X=F（”"T+X）'解得：X=-1,可得：«„-!=—

X—1A—1

所以｛«„-1｝是公比为*7,首项4-1=:J的等比数列，

A—11—/I

所以4一1=（合）（含「所以％T£）+i.

经检验，a.=-Q2]]+1对〃=1也成立.

若存在肛&sN*,使得4＜4+1，勺＞。,e，则数列｛叫不单调.

只需工＜。，则｛q｝正负项交替出现，符合题意，此时0”＜1.

当。〈工＜1时，〃"=_（/_]+1单调递增，不符合题意；

当工＞1时，q=+1单调递减，不符合题意；

A-lIA-1；

综上所述：0v/l＜l.

故选：A

二、多选题

6.（2021•广东・高三阶段练习）已知反为等差数列｛〃〃｝的前〃项和，G+S5=-18,〃6=一㈤，则（）

A.an=2n~9B.卬7=2〃-7

C.Sn=n2~SnD.Sn=n2~6n

【答案】AC

【分析】利用等差数列的前"项和公式以及通项公式求出首项与公差进而可以求出结果.

2

【详解】因为《+S5=6%=T8,所以q=-3.又4=3,所以q=-7,d=2,则a“=2〃-9,Sn=n-8H.

故选：AC.

7.(2022.全国•高三专题练习)我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和鸳马发

长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；弩马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎

驾马，九日后二马相逢其大意为今有良马和鸳马从长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前

一天多走13里；弩马第一天走97里，以后每天比前一天少走0.5里.良马先到齐国，再返回迎接弩马，9天

后两马相遇.下列结论正确的是()

A.长安与齐国两地相距1530里

B.3天后，两马之间的距离为328.5里

C.良马从第6天开始返回迎接鸳马

D.8天后，两马之间的距离为377.5里

【答案】AB

【分析】A.设良马第"天行走的路程里数为与，弩马第"天行走的路程里数为以，求出良马和弩马各自走

的路程即得A正确；

B,计算得到3天后，两马之间的距离为328.5里，即可判断B正确；

C,计算得到良马前6天共行走了1353里＜1530里，故C不正确；

D,计算得到8天后，两马之间的距离为390里，故D不正确.

【详解】解：设良马第几天行走的路程里数为鸳马第w天行走的路程里数为么，则

4=193+13(〃-1)也=97-g(〃-l)6wN”,l釉9).

a«n

良马这9天共行走了9x193+二x号x上=2205里路程，

野马这9天共行走了。wI2qy里路程，

9x97+------——-=855

2

故长安与齐国两地相距些『电=1530里，A正确.

3天后，良马共行走了3x(193+13)=618里路程，弩马共行走了3x(97-1=289.5里路程，故它们之间的距

离为328.5里，B正确.

良马前6天共行走了6x1936+x5/x—13=1353里＜1530里，故良马行走6天还末到达齐国，C不正确.

良马前7天共行走了7x193+土+，=1624里＞1530里，则良马从第7天开始返回迎接鸳马，故8天后，

两马之间的距离即两马第9天行走的距离之和，由为+4=193+13x8+97+（-g）x8=390,知8天后，两

马之间的距离为390里，故D不正确.

故选：AB

8.（2021・福建师大附中高三期中）各项均为正数的等比数列｛叫的前”项积为力,，若公比"1,则

下列命题正确的是（）

A.若£=如则必有兀=1B.若7；=",则必有。是7“中最大的项

c.若则必有看＞4D.若则必有

【答案】ABC

【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式、等差数列的前〃项和公式，以及等比数列的性质，逐项分

析，即可求解.

【详解】由等比数列伍“｝可知%由等比数列｛见｝的前〃项积结合等差数列性质可知：

n（n-l）

7；=4a2yLq=qqg.q/L4尸=4"/…=布尸

7

对于A,若其f，可得即。。=1,...几=4%91=（4,26）3=[,故A正确；

对于B,若[=7；,可得q4g*=l,即qg¥=],又4＞1,故”1,又可知%OA1=1,利用等比数

列性质知%4=%为=1，可知线故刀是T“中最大的项，故B正确；

对于C,若（＞小则a%1—即常＜1,又《＞0,则”1,可得熹=%=。0＜4”1,故7；＞（，

故C正确；

对于D,若"＞小则痴＜1,圣=%=。/，无法判断其与T的大小关系，故D错误.

'5

故选：ABC

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式及等差数列前”项和公式，以及等比数列的性

质的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和性质及等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，

着重考查了学生的推理与运算能力，属于较难题.

9.(2021•江苏南通•高三期中)在数列｛4｝中，已知%心，…，4。是首项为1，公差为1的等差数列，

限叫I，…钊是公差为d"的等差数列,其中〃eN*,则下列说法正确的是()

A.当1=1时，％)=20B.若%=70,则d=2

C.若4+42+L+，。=320,则1=3D.当0<“<1时，«10(n+1)<-^-

1-U

【答案】ACD

【分析】利用等差数列的通项公式可判断A；利用已知条件结合等差数列的通项公式可判断B：利用等差数

列的求和公式可判断C；利用等比数列求和公式可判断D.

【详解】对于A,当d=l时，/=1,可知数列｛4｝是首项为1,公差为1的等差数列，所以

4O=1+(2O—1)X1=2O,故A正确；

对于B,由已知为=10,即),勺,…,陶)是公差为d的等差数列，则%)=10+10”，

…，&是公差为d2的等差数列，贝IJ030=10+10"+10/=70,即/+[_6=0,解得：[=2或d=—3,

故B错误；

x|10+J++10Jx

对于C,a,+a2+L+^o=^y^0+^0lQ=320,解得：d=3,故C正确；

对于D,4O(“+D=1O+1O"+1O屋+L+104"=10±W-<U-,故D正确；

\-d\-d

故选：ACD

三、填空题

10.(2022•河南洛阳•三模(文))设各项为正数的等比数列｛q｝的前〃项和为s“，且4=1,S,=2S2+1,

贝!«J4=.

【答案】8

【分析】设公比为q(g>o),依题意得到方程，求出q,即可得解；

【详解】解：依题意设公比为q(g>0),由S3=2SZ+I,即S3-S2=S?+1,即％=邑+1,

所以=4+qg+l,即g2_q_2=0,解得q=2或g=T(舍去)；

所以q=44'=8；

故答案为：8

11.(2022.江西景德镇.三模(文))已知数列｛4“｝和正项数列也｝,其中qH，》)且满足〃,cos4=f-1,

数列｛%｝满足c,z=gc“，其中c.=2sina,-l.对于某个给定4或〃的值，则下列结论中：①仿e专±1；

②q«T,0)；③数列｛c“｝单调递减；④数列｛a｝单调递增.其中正确命题的序号为.

【答案】①②④

【分析】根据/w(g,乃)得—1<空、0,结合勿>0,解得任得垦1<瓦<1,"I判断①；

2bn22

根据0<sina,,<l,正二1<么<1,得得一可判断②；

2

求出%=q《3严，利用>°恒成立，可判断③；

22

由dcosq,=〃；-l,c,=dsina,-l得(%+1)2=汇-&-1)2,(cn+1+1)=^+,-(Z>;+l-I),两式相减得

(%-£,)(%+c“+2)=(%-%,根据%>c,，结合T<c“<0,b;,<\,可得%>%可判

断④.

【详解】依题意有为€(*乃)，所以-l<cosa“<0,所以T<『<0,

又包>。，所以-"<片一1<0,解得或二1<6<1,所以史二即4故①正确；

22I2J

因为可€。,勿)，所以0<sina“<l,又避二！<“<1,

所以0<b“sina“<1,所以0<c“+l<l,所以所以-l<q<0,g|Jc,e(-l,0),故②正确；

因为％=J•(；)"'且q<0,所以g*-%=c/(g)"-c「(g)”T=—.($">0,所以c3>c“恒成立，所以数列

匕,｝单调递增；故③不正确；

由bncosa„=b；,-\得cosan=与二1,由％=bnsin%-1得sinan=室i,

b„h-

222

所以cosan+sinan=(^^-)+=1,

所以(％+1)2=〃；一S；-I)：

所以(J+。=痣-(密-I)：

两式相减得(C.+1+l)2-(C“+1)2=%-[(%T)2-S；-I)2]，

所以(--%)(c向+%+2)=%-汇+b：-2)=闻「嫡(3-摩「脸,

由③知，匕J递增，所以C,M-C”＞0，又％+|+&+2＞-17+2=0,

所以(c„+i-cn)(c„+l+%+2)＞0,

因为明＜1,所以23＜1，所以照＜2,

所以3-瓦「照＞0,所以*-肥＞0,所以痣＞6；,乂也｝为正项数列，所以%＞以恒成立，

综上所述，数列也｝单调递增.故④正确.

故答案为：①②④.

［点睛】关键点点睛:判断数列［b„］的单调性时,利用平方关系式消去sina„和cosa“得至I］(%+1)2=b：-

是解题关键.

四、解答题

12.(2022•河北保定•二模)已知公差为2的等差数列｛《,｝的前〃项和为S“，且邑=16.

(1)求｛4｝的通项公式.

(2)若勿,数列｛4｝的前〃项和为T,，证明

anan+23

【答案】⑴%=2〃-1(2)证明见解析

【分析】(1)利用等差数列求和公式求出首项，从而求出通项公式；(2)裂项相消法求和证明不等式.

4x3

(1)由题意，得J=仞+=，2=16,

解得：4=1，

故q=l+2(〃-l)=2〃-l.

(2)证明：因为〃=-----=正~祐二K=)

a,4+2(2〃-1)(2〃+3)4\2n-12〃+3J

所以Z.=4+%+%+…+0

=-I1T----------------I=------------1------

4(32〃+12n+3)34(2〃+12〃+3>)

因为-{-----1-----]>0,

4(2“+12n+3)

所以谓.

13.(2022.福建龙岩.模拟预测)已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，/+6=18,S6=48.

(1)求｛«,,｝的通项公式;

(2)设。“=疯1扬7数列｛〃｝的前“项和为[，证明：当〃N3,〃eZ时，4叶>%.

【答案】⑴氏=2〃+1；(2)证明见解析.

【分析】(1)根据题中条件列出关于q和d的方程组，解出4和d,根据等差数列通项公式即可求明;

(2)分母有理化。，裂项相消即可求看，当“23,“eZ时，证明2看一疯>0即川.

[2a,4-6d=1814=3

(1)由题可知，Je解得1。，••应=2〃+1；

[6q+15d=48[d=2

二2=2一

-+J2"+3+J2〃-12

=][(\/5—1)+(—y/i)+(V9—y/5)+••.+(J2n+1—J2〃—3)+(J2n+3—>j2.n—1)]

Tn=g[j2〃+l+j2〃+3-l-l],

•.-n>3,/ieZ,.也-疯=>/2〃+3-1-艮2-百>0,

14.(2022•陕西•西安中学模拟预测(文))记S,为等比数列｛a,,｝的前〃项和，且公比q>1,已知。?=4,S?=14.

(1)求｛《,｝的通项公式；

(2)设2=%+(/1-1)〃，若也｝是递增数列，求实数4的取值范围.

[答案](l)a„=2"(2)(-l,-N0)

【分析】(1)利用等比数列通项公式和前〃项和公式的基本量进行运算即可.

(2)｛〃｝是递增数列，利用2川-2>0恒成立即可求解.

⑴；等比数列｛4｝中，“2=4,邑=14,q>\

4

：.-+4+4q=14,解得q=2或।;(舍)，

Q2

n2

：.an=4-2-=2".

,,+,

(2)由仇=a,+(/l_l)〃=2"+(；l_l)“，W^,1+I=2+(A-1)(M+1),

+

则%-bn=2"'-2"+A-\=2"+A-\,

因为也｝是递增数列，所以〃向-2>0,故2"+2-1>0,即2>1—2",

因为｛1-2"｝是递减数列，所以该数列的最大项是

所以2的取值范围是(-1,内).

15.(2022.山东临沂.模拟预测)等比数列｛q,｝中，％,电，生分别是下表第一、二、三行中的某一个数,

且q,%，附中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行3210

第二行6414

第三行9818

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵若数列｛2｝满足：2=a.+(-l)ln%,求数列｛〃｝的前2〃项和$2“.

【答案】⑴4=23i⑵S2“=9"-l-2〃ln2-(2〃2-〃)ln3

【分析】(1)先得到4=2,%=6,a,=18,求出公比，从而求出等比数列的通项公式；(2)求出

b„=a„+(-l)ln«„-2-3"-1+(-l)ln2-3"-',分组求和得到S“=3"-l-ln2n-32,从而求出工.

(1)由题意知：(=2,电=6,%=18,

因为｛4｝是等比数列，所以公比为3,

所以数列｛%｝的通项公式a.=2•3”T.

⑵因为b„=+(-l)lnan=2.3"T+(-l)ln2.3^,

所以

(

S“=4+%+L+bn=(4+42_------na,,)-(111611+Ina2H—Inrz,,)=————-In(a,a2?--an)

1—3

'/»(/»-1)、

=3,,-l-ln(2n-lx31x32x...x3,-,)=3,,-l-ln2"-3-8,

\7

f2n(2n-l)\

所以$2"=3"'—1-In22n-32=9"-l-2〃ln2-(2〃2—")ln3.

\/

题型二：Sn和an关系法求数列通项

一、单选题

1.(2022•四川・内江市教育科学研究所三模(理))已知等比数列｛4｝的公比为q,前〃项和为3.若

25+1

4=2邑+1,«4=3>贝Ug=()

A.3B.2C.-3D.-2

【答案】A

【分析】将题中两等式作差可得出4-4=2%，整理得出为=3%，由此可计算出4=包的侑，

a3

【详解】将等式％=2Sz+l与〃4=3§3+1作差得〃4一。3=2%,二.4=3%,

因此，该等比数列的公比4=幺=3,

生

故选：A.

2.(2022.福建三明.模拟预测)已知数列｛4｝的前〃项和为S“，若2S,,+4M=2〃2(〃€N"),且%m=4048,

则4=()

A.-8B.-3C.-2D.8

【答案】B

【分析】先由E,求凡,判断出｛4-2(〃-1)｝从第二项起为公比为一1的等比数列，得到

a„=(-2a,).(-l)，，-2+2(H-l),代入〃=2022即可解出火.

【详解】因为2s“+ae=2〃2①，

所以当”=1时，有21+。2=2,即2q+“2=2.

当“22时,有2S,i+q=2（〃一I）?②，

22

①-②得:2Sn-2Sn_｝+a„+1-=2n-2（n-1）,所以%+a“=4〃-2,

即4+1-2〃=一[4一2（”—1）],

所以｛q,-2（”-1）｝从第二项起为公比为-1的等比数列.

所以=°,即42+2（n-l）.

因为2q+%=2,所以％=2-2卬，所以a,,=（_2q）・（-l）"2+2（〃-1）.

20

所以a2c22uGZaJI-l）"-2+2（2022-1）=4048,解得：q=3

故选：B

3.（2022・四川•内江市教育科学研究所三模（文））设S“为数歹1」｛%｝的前〃项和.若S“=〃2-〃+a,贝lJ“a=0”

是“2%=%+4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】用定义法，分充分性和必要性分别进行讨论.

【详解】因为加为数列｛4｝的前”项和，且S“=〃2-〃+a,

所以当〃=]时，4=S[=/_]+a=a；

当“22时，=S"一S"_|="-“+a-[（"-l『_（〃_i）+a]=2“一2：

\a,n=\

所以4=,、”

[2n-29n>2

22

充分性：当。=0时，所以生=邑—号=22-2—（1—1）=2；a4=54-53=4-4-（3-3）=6；

4=与一羽=6?-6—（52—5）=10.满足2%=的+必，所以充分性满足；

[a,n=\,

必要性：由。"二]G。、。可得：々2=2,。4=6,4=1。，符合2。4=。2+。6，但是不能推出a=0.明以必

[2n-2,n>2

要性不满足.

故“a=0”是“2%=%+&”的充分不必要条件.

故选：A

二、多选题

4.(2022•山东临沂•模拟预测)设数列｛《,｝的前〃项和为S,,,已知2s,=3"+3.数列圾｝满足=1(^4,,

贝IJ()

3,"=1,

A.an

C.数列也｝的前〃项和[=*弗"

1Z4,j

D.数列也｝的前八项和£=枭亮二

1Z4-J

【答案】AC

【分析】根据S,与。”的关系，即可求出见,利用错位相减法即可求出数列｛4｝的前〃项和7“，据此，逐个

选项判断即可得出答案.

【详解】对于A,因为2s“=3"+3,所以，当〃=1时，2sl=24=6,得4=3,

3

当〃之2时，ail=S„-S^="~^'=3"-',经检验，当〃=1时，不符合4=3"",

所以，.故A正确；

[3,Z7>1.

11

.-»«=1

对于B,因为。也=bgM，得a=f=3,故B错误；

%二,在2

3"T

对于c数列也｝的前〃项和式=4+&+4+...+2=；+„+1+...+舒①,

=压+?+1+(+…+展②，所以‘①一②得,

n-1132H+1

—T„=1F1X(——H-+...d-)----------=1-----------------=1X----------------------=-----------------

3〃9332333“々3"923"92(93〃J3"182.3〃

北=3一沼，故C正确，D错误:

1Z4•j

故选：AC

5.（2022.江苏江苏.三模）已知各项都是正数的数列｛%｝的前〃项和为S“，且S“二会+小，则（）

A.代｝是等差数列B.S„+5„t2<2Sn+1

C.%>a“D.5„—^->lnn

%

【答案】ABD

【分析】对于A,求出a｝,再将4转化为S.,即可证明，

对于B,利用A的结论求出S,,,再利用基本不等式，即可证明.

对于C,求出々<4，即可判断正误，

对于D,构造函数〃x）=x-g-21nx,即可判断正误

c41

【详解】a\=S\=^+2af解得：S=4=l

〃一2时，“2

整理得:S-

故｛S；｝是等差数列，选项A正确；

S；=S；+〃T=〃，则S“=4，S“+S“+2=«+J〃+2<+2=2J"+1=2s，用,选项B正确；

a2=S2-S]=y/2-1<a],选项C错误；

令f(x)=x-1-21nx,x>l,/'(x)=("-,120

/(x)在［L+oo)递增，/(x)>/(l)=0,则/(6)=y-9-ln〃W0

即S”-：21n〃，选项D正确；

故选：ABD.

三、填空题

6.（2022・辽宁•二模）若数列｛q｝的前〃项和5“=七’，则其通项公式为

n

0,n=l

【答案】«„=

—,n>2,/?eN-

n—n

S,n=l

【分析】根据4=Jnc、0,即可解出.

S,-S,i，〃N2

【详解】当〃=1时，％=工=0；

当〃22时，4=5“-5,1=n!—」1-2H—彳2=一[一，当〃=1时，不满足上式，所以,

nn-\n-n

0,n=l

1、〜..

—Z---,72>2,«GNKT

n-n

0,n=1

故答案为：a„—'1

------,M>2,/2GN

n-n

7.（2022・安徽•模拟预测（理））已知数列｛q｝满足1+?+§+—+3=2",则

352/24-1

q+%+…+。“=

【答案】（2〃一1>2"+1

【分析】在题干条件卜.求出q=（2〃+l）2"T,进而用错位相减法求和.

【详解】1+产+…+E①，

1+幺+&+..・+，1工=21②

352〃一1

两式相减得：E'T

所以q=（2〃+l）2"T,经检验符合要求.

则5“=4+%+■••+%

贝i]S.=3+5x2+7*22+9x2'+…+（2〃+l）2"T③,

2s“=3x2+5x22+7x23+9x24+…+（2〃+1）2"④,

,2_,〃+1

③-④得：-S,,=3+22+2'+24+…+2"-（2〃+1）2"=3+—^-----（2«+1）2"

1—2

所以S“=（2〃-l）-2"+l

故答案为：（2〃-1卜2"+1

8.（2022•山东淄博•模拟预测）设等差数列也｝的前"项和为S"，若S”z=-3,S„,=-2,Sm+l=0,则

in=.

【答案】4

【分析】先利用4，S“关系式，求出公差，进而用通项公式和求和公式得到方程组，求出旭=4.

【详解】由题意得：am=Sm-Sm,,=-2+3=1,am+1=Sm+I-Sm=0+2=2,

则等差数列的公差d==2-1=1,

则4,=4+（加一1）1=4+（机-1）=1,Sm=的+加31）=—2,

解得：机=4或m=-1（舍去）.

故答案为：4

9.（2022•四川绵阳•三模（理））已知数列｛q｝的前〃项和为S“，若4=3,。用=S“+5,贝匣=.

【答案】123

【分析】由已知，根据给的4”=S“+5,通过〃=1,计算出的,〃22得到“之间的关系，然后构造等

比数列，得到数列｛4｝的通项公式，然后求和即可.

【详解】由已知，4=3,a“+|=S"+5①，

当”=1时，4=d+5=q+5=8,

当〃22时，a“=S,i+5②，

①一②得：〃向整理得：«„+1=2«„,即方=2（"*2）,

所以数列｛%｝是以外=8为首项，公比为2的等比数列，所以

2-2+

an=a2.2"-=8.2"=2"'（nW2,”wN*）,

[3,〃=1

所以生小卜向〃N2〃€N*，

所以$5=3+（23+24+2$+2$）=123.

故答案为：123.

四、解答题

10.（2022•福建泉州•模拟预测）记数列｛。，｝的前n项和为S”.已知q=1,.

从①%+2=4;②4+1+〃“=4"；③S"=叫川一〃（"+1）中选出一个能确定｛凡｝的条件,

补充到上面横线处，并解答下面的问题.

⑴求｛4｝的通项公式：

（2）求数列｛（-1）"0｝的前20项和T2Q.

【答案】（1）4=2〃-1（2）210

［分析］（1）选①时，出未知，故数列的偶数项不确定，无法求解;选②,变形为%-（2〃+1）=-［q-（2”-3，

且q-（2xl-l）=q-l=0,从而求出%=2〃-1；选③：禾I」用S”与的关系式得至必用-q=2,利用等差数

列求出通项；⑵在第一问的基础上,求出（一1广电1+（-1户52*=（2力-（2"1）2=401,从而分组进

行求和.

⑴选①：。"2_%=4，

只能说明数列｛4｝的奇数项和偶数项分别构成等差数列，已知4=1，数列的奇数项可以确定，但々未知，

故数列的偶数项不确定，因此数列｛/｝不确定，题设的两个条件均无法求解，

选②：。“+|+。”=4〃，

由“向+4=4〃得：a,向-（2〃+1）=-［«„-（2/1-1）］,

因为4=1,所以4-（2xl-l）=4-1=0

故。“一（2〃-1）=0,即

选③：S,=刚,用一"（"+1）

251

由S,,=也,用一〃5+1）得：«2~=i=>故的=3

当〃22时，S“_|1）〃，

两式相减得：«„+,=2,

又因为4=2满足a"”-4=2,

综上：对所有的〃wN*,均有4,+1-q=2,

所以｛为｝为首项为1,公差为2的等差数列，

故4=2"-1

⑵由(1)知:a„=2/2-1,

所以四山=〃(1+2〃7)=R

〃22

故(-1)3$21+(T户S2k=(2左)'一(2左一1)2=4「一1，

所以7^0=(―$+$2)+(―S3+S4)+…+(―S19+5。)=3+7+…+39=---=210

11.(2022.湖南.长沙一中一模)已知数列｛/｝的前"项和为S"，4=1,S向=2S“+〃+l.

(1)证明：数歹£%+1｝为等比数列；

IW

(2)在％和4+(&N,)中插入后个数构成一个新数歹lj｛c,J：%,b、,a2,b2,b3,a,,b4,b5,b6,a4,

其中插入的所有数依次构成数列也｝,通项公式年=(-1)"2n.求数列｛&｝的前30项和七.

【答案】⑴证明见解析(2)223

【分析】(1)由已知S向=2S“+〃+l及％=1,求得/=〃+1(〃21)的递推关系，从而可证也+1｝为等比

数列得；

(2)插入“个数构成一个新数列｛%｝,则数列｛%｝的前30项和4包含了数列｛«„｝的前7项及数列他,｝的

前23项，采用分组求和法求解即可.

(1)由题意,当"=1时，$2=21+2,

得4+4=2q+2,解得生=3.

当“22时，S“M=25.+〃+1,①

S”=2S,i+”,②

①-②得4用=〃+1("22),

因为。2=3=2〃[+1,

所以4+1=2%+1(〃21).

则申+l=2a„+2=2(a„+l),

：q+1=2*0,：.^^-=2

4,+1

所以｛4+1｝是以4+1=2为首项，2为公比的等比数列.

(2)由(1)知%+1=2",an=2"-i.

在数列匕｝中，项的之前(含出)共有1+2+3+4+5+6+7=28<30,

所以数列£｝的前30项中包含了数列｛4｝的前7项及数列帆｝的前23项，

所以4o=4+。2T--卜四+济+b2T---F%

=2,-l+22-l+---+27-l+(-2+4-6+8----46)

=^i^J-7+[-2+(-2)xll]=223■

12.(2022.广东•三模)已知数列｛%｝的前〃项和S“，a,=1,an>0,anan+l=4S„-i.

⑴计算％的值，求｛4“｝的通项公式;

⑵设bn=(-1)"a„afl+1,求数列｛2｝的前〃项和T..

2rr+2n,n=2k,keN

【答案】（1）3,/=2〃-1（2）北=

-In1-2n+\,n=2k-\,k&K

【分析】（l）赋值即可求出的，利用%与S”的关系可求得｛4“｝的递推关系，进而求出（2）对"分奇偶讨

论，当〃为偶数时.，采用并项法求和，当〃为奇数时，Tn=Tn_y-anan.,

（1）当，?=1时，q/=4q-l,解得的=3

由题知的=4S"-1①

4+4+2=4S向-1②

由②-①得%（*-%）=他用,

因为%>0,所以%+2-%=4

所以数列｛/｝的奇数项是以4=1为首项，以4为公差的等差数列；偶数项是以外=3为首项，以4为公差

的等差数列；

当〃为奇数时，4=1+（一-1卜4=2〃-1

当〃为偶数时，4=3+-1卜4=2〃-1所以风｝的通项公式4=2"-1.

⑵山（1）可得a=（-1）"（2〃-1）（2"+1）.

当”为偶数时，

T„=~ata2+%%一/%++…+（T）'%,/褊=4（-4+6）+4（一生+丹）+•..+%+%+i）

g（3+2〃-l）

=4（%+%+・一+。“）=4^-------------=2〃（〃+1）

当〃为奇数时，

当"=1时，工二一3

当〃23时，

T_T—（3+2n-3）

2

“一«-|-n«+i=42------------（2n-l）（2n+l）^-2n-2n+l

经检验，1也满足上式，

所以当〃为奇数时,T„=-2n2-2n+l

综上，数列也｝的前〃项和片〔2”,厂犷,

-2〃+1,〃=2攵-eN

13.（2022.内蒙古呼和浩特,二模（理））从①4+4+…+4=2""-2,®Sn=2a„-2,这两个条件中选择

一个补充到下面问题中，并完成解答.

问题：已知数列｛4｝的前〃项和为S”，且_____，他,｝为等差数列，4=1,b2,a2,%成等差数列.

（1）写出所选条件的序号，并求数列｛q｝、｛〃｝的通项公式；

（2）若％=p+］）］og,4，求数列｛%｝的前〃项和

n

【答案】（1）4=2"，b„=n.（2）7；=—

n+1

【分析】（1）选择条件①和②，都是利用S,与。”的关系先求出数列｛对｝的通项，再求出等差数列的公差即

得他,｝的通项公式：

（2）利用裂项相消法求解.

n+

⑴解:选择条件①：由题意知：ai+a2+-+a„=2'-2,

即5“=2”“_2,

当〃=1时，q=£=2,

当〃220寸，%=S,,-S,i=2""-2"=2",适合〃=1.

综上数列｛4｝的通项公式为«„=2".

选择条件②：由题意知：S„=2an-2.

当〃=1时，q=2q-2解得q=2,

当〃N2时，S„=2an-2,

S"-i=2a“_|-2,

，a“=S"-S"T=2a“-2a,T,

整理得。=2的,

二数列｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

。”=2”•

•.•%,%，％为等差数列，

2a2=4+%=8,

又•••数列｛，｝为等差数列，设公差为“且仇=1.

b2+b6=2b4=2佃+3")=8,

解得4=1,

所以等差数歹£d｝的通项公式为2=1+(〃T)=".

(2)解：由(1)知，a“=2：b„=n,

]_]2__1

n

(n+l)log22n(n+l)nn+\

二(=q+，2+…+c”

・F=n+%\

14.(2022・湖南师大附中二模)已知数列｛4｝的前〃项和为S“，S,,=24-2(〃wN)

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若包=log“.2，则在数列｛2｝中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数

列？若存在，请举例写出此三项；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)q=2"(2)存在，"=!，仇=?，

236

【分析】(D先求出4,再当〃22时，由5,=24,-2("€")，得S“T=2”“T-2,两式相减整理可得

4=2%(n>2),从而可求出其通项公式,

(2)由(1)得b“=L然后可得4=(