云南省大理市重点中学中考适应性考试数学试题及答案解析

云南省大理市重点中学中考适应性考试数学试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色黑水的签字婚填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅第将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字第在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，实数-3、*、3、『在数轴上的对应点分别为N、尸、Q,这四个数中绝对值最小的数对应的点是（）

¥L

-3xo3y

A.点,WB.点NC.点〃D.点。

2.某班体育委员对本班学生一周锻炼（单位，小时）进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则咳班这些学生一周

锻炼时间的中位数是（）

A.10B.11C.12D.13

3.如图，两个同心圆（圆心相同半径不同的圆）的半径分别为6cm和女m,大圆的弦AB与小圆相切，则劣弧AB的长

为（）

（O

A.2ncmB.4ffcmC.dncmD.8ncm

4.一元二次方程V-2x=0的根是（）

A..q=0,Xj=—2B.X]=1,%=2

C.xy=l.x2=-2D.x,=0,^2=2

5.已知关于x的方程/+3x+a=0有一个根为-2,则另一个根为（）

A.5B.-1C.2D.-5

6.-3的相反数是（

33

7.如图，将函数（x-2）2+1的图象沿」轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1,.”），B（4,〃）平

移后的对应点分别为点1、B,.若曲线段A8扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）

A.)'=；(x-2)2-2B.)'=；(x-2)2+7

C.y=^(x-2)2-5D.y=^(x-2)J+4

8.一个正方形花坛的面积为7,”2,其边长为。加，则。的取值范围为（）

A.0<a<lB.Ka<2C.2<a<3D.3<a<4

9.用6个相同的小正方体搭成一个几何体，若它的俯视图如图所示，则它的主视图不可能是（）

10.全球芯片制造已经进入10纳米到7纳米器件的量产时代.中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微

观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米.数据0.000000007用科学记数法表示为（）

A.0.7xl0HB.7x10*C.7xl0'9D.7xlO'10

二、填空题（区大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.已知△ABC中，ZC=90%AB=9,cos4=-j,把AABC绕着点C旋转，使得点A落在点A，，点B落在点B，.若

点A，在边AB上，则点B、的距离为.

12.如图，。。的半径为正六边形AAC。"•内接于0。，则图中阴影部分图形的面积和为cm2（结

果保留k）.

13.若、=历-1,MX2+2X+1=.

3

14.如图，在菱形ABCD中，DE_LAB于点E,cosA=-,BE=4,则tanNDBE的值是.

15.如图，在扇形AOB中，ZA（）B=90\正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延

长线上，当正方形CDEF的边长为4时，阴影部分的面积为.

16.一元二次方程x（x-2）=x-2的根是.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图已知AABC,点D是AB上一点，连接CD：请用尺规在边AC上求作点P,使得△PBC的面积与ADBC

的面积相等（保留作图痕迹，不写做法）

AB

18.（8分）九年级学生到距离学校6千米的百花公园去春游，一部分学生步行前往，20分钟后另一部分学生骑自行车

前往，设工（分钟）为步行前往的学生离开学校所走的时间，步行学生走的路程为M千米，骑自行车学生骑行的路程

为心千米，＞＞八关于x的函数图象如图所示.

y（千米）

（1）求为关于r的函数解析式；

（2）步行的学生和骑自行车的学生谁先到达百花公园，先到了几分钟？

19.（8分）春节期间。小丽一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游.

租车公司：按日收取固定租金80元，另外再按租车时间计费.

共享汽车：无囿定租金，直按以租车时间（时）计费.

如图是两种租主方式所需费用“（元）、物（元）与租车时间x（时）之间的函数图象，根据以上信息，回答下列问题:

（1）分别求出十、户与、的函数表达式：

（2）请你帮助小丽一家选择合算的租车方案.

20.（8分）如图，在△ABC中，NC=9（F,NBAC的平分线交BC于点D,点O在AB上，以点O为圆心，OA为

半径的圆恰好经过点D,分别交AC、AB于点E.F.试判断直钱BC与€）0的位置关系，并说明理由；若BD=、％

BF=2,求。O为半径.

21.（8分）某水果批发市场香蕉的价格如下表

购买香蕉数(千克)不超过20千克20千克以上但不超过40千克■W千克以上

每千克的价格6元5734元

张强两次共购买香蕉50千克，已知第二次购买的数量多于第一次购买的数量,共付出264元,请问张强第一次，第二次分别

购买香蕉多少二克？

22.(10分)如图，AB为圆O的直径，点C为圆。上一点，若NBAC=NCAM,过点C作直线I垂直于射线AM,

垂足为点D.

(1)试判断CD与圆O的位置关系，并说明理由；

(2)若直线I与AB的延长线相交于点E,圆O的半径为3,并且/CAB=30。，求AD的长.

张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样的一个问题：如图1，在AAAC中，AB=AC,点P为边网1上任一点，过点

P作PRLAB,PEJ.AC,垂足分别为。，E,过点C作CF_LAB,垂足为凡求证：PD+PE=CF.

小军的证明思路是：如图2,连接AP,由△482与AACP面积之和等于△八8c.的面积可以证得：FD+PE=CF.

小俊的证明思路是：如图2,过点尸作?G_LCF,垂足为G,可以证得；PD=GF,PE=CG,«ljPD+PE=CF.

【变式探究］

如图3,当点P在BC延长战上时，其余条件不变，求证：PD-PE=CF；

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

I结论运用1

如图4,将矩形A8C。沿折叠，使点。落在点8上，点C落在点C”处，点尸为折痕上的任一点，过点。作

PC上BE、PH-BC,垂足分别为G、//,若A0=8,CF=3,求/YHP”的值：

［迁移拓展］

图5是一个航模的截面示意图.在四边形4//C。中，乃为4"边上的一点，EDA.AD,ECA.CB,垂足分别为。、C,

且AD・CE=O£SC,A8=2j万曲”，AD=3dm,80=历d,〃.M、N分别为人£、5E的中点，连接OM、CN,求

△DEM与ACEN的周长之和.

24.如图是根据对某区初中三个年线学生课外阅读的“海面丛书”、“科普常识”、“名人传记”、“其它”中，地再欢阅读

的一种读物进行随机抽样调查，并绘制了下面不完整的条形统计图和扇形统计图（每人必选一种读物，并且只能选一

种），根据提供的信息，解答下列问题：

（1）求该区抽样调查人数；

（2）补全条形统计图，并求出最喜欢“其它”读物的人数在扇形统计图中所占的圆心角度数；

（3）若该区有初中生14400人，估计该区有初中生最喜双读•'名人传记”的学生是多少人？

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

•.•实数.3,x,3,y在数轴上的对应点分别为V、N、P、Q,

.•.原点在点M与N之间，

•••这四个数中绝对值最大的数对应的点是点Q.

故选D.

2、B

【解析】

根据统计图中的数据可以求得本班的学生数，从而可以求得该班这些学生一周锻炼时间的中位数，本题得以解决.

【详解】

由统计图可得，

本班学生有："9+10+8+7=40（人），

该班这些学生一周锻炼时间的中位数是：11,

故选B.

【点晴】

本题考查折线统计困、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的中位数.

3、B

【解析】

苜先连接OC,AO,由切线的性质，可得OC_LAB,根据已知条件可得：OA=2OC,进而求出NAOC的度数，则圆

心角NAOB可求，根据弧长公式即可求出劣弧AB的长.

【详解】

•••大圆的一条弦AB与小圆相切,

.".OC1AB,

VOA=6,OC=3,

.*.OA=2OC.

.*.ZA=30S

:.NAOC=60”,

.•.ZA()B=120,

120x;rx6

...劣瓠AB的长=

18()

故选B.

【点an

本题考查切线的性质，弧长公式，熟练掌握切线的性质是解题关键.

4、D

【解析】

试题分析：此题考察一元二次方程的解法，观察发现可以采用提公因式法来解答此题.原方程可化为：x(x-2)=0,

因此工=0或x-1=0，所以x：=O,x：=2.故选D.

考点：一元二次方程的解法——因式分解法——提公因式法.

5、B

【解析】

根据关于x的方程妙+3x+a=O有一个根为-2,叮以设出另一个很，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，

本题得以解决.

【详解】

•・•关于x的方程/+3x+a=0有一个根为-2,设另一个根为m,

-2+m=--,

1

解得，m=-1,

故选B.

6、B

【解析】

根据相反数的定义与方法解答.

【详解】

解：一3的相反数为一(-3)=3.

故选：B.

【点an

本题考查相反数的定义与求法，熟练掌握方法是关键.

7、D

【解析】

•••函数＞=g(x-2『+l的图象过点A(1,m),B(4,加，

1,31,A

.,.m=-(l-2)+l=-,M=-(4-2)'+1=3,

3

：.A（1,一），B（4,3）,

2

过4作AC〃K轴，交“中的延长线于点C,则C（4,

2

：.AC=4-1=3,

•.■曲线段八8扫过的面积为9（图中的阴影部分），

：.AC*AA^3AA'-9,

：.AA'=3,即将函数y=；（x-2『+I的图象沿F轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象,

新图象的函数表达式是y=J（x-2y+4.

故选D.

8、C

【解析】

先根据正方形的面积公式求边长。,再根据无理数的估算方法求取值范围.

【详解】

解：•.•一个正方形花坛的面积为7〃』，其边长为am,

：.a=x/7

：。<用<3

则。的取值范围为：2Va<3.

故选：C.

【点睛】

此题重点考查学生对无理数的理解，会估算无理数的大小是解题的关键.

9、D

【解析】

分析：根据主视图和俯视图之间的关系可以得出答案.

详解：•••主视图和俯视图的长要相等，工只有D选项中的长和俯视图不相等，故选D.

点睛：本题主要考查的就是三视图的画法，属于基础题里.三视图的画法为：主视图和俯视图的长要相等；主视图和

左视图的高要相等；左视图和俯视图的宽要相等.

10、C

【解析】

本题根据科学记数法进行计算.

【详解】

因为科学记数法的标准形式为ax10"（1<|8|<10且n为整数）,因此0.000000007用科学记数法法可表示为7x|Q^,

故选C.

【点睛】

本题主要考察r科学记数法，熟练案握科学记数法是本题解题的关键.

二、填空题（江大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、4石

【解析】

过点C作C1I1AB于H,利用解直角三角形的知识，分别求出AH、AC、BC的值，进而利用三线合一的性质得出

AA，的值，然后利用旋转的性质可判定AACX-ABCB',继而利用相似三角形的对应边成比例的性质可得出BB，的值.

【详解】

解：过点C作CH_LAB于H,

•.•在RtAABC中，NC=90,cosA=-,

3

z\C=AB»cosA=6»BC=36,

2

在RtAACH中，AC=6,cosA=y,

:.AII・ACcosA=M,

由旋转的性质得，AC=AC,BC=B'C,

...△ACA'是等腰三角形，因此H也是AA'中点,

，AA'=2AH=8,

又•••△BCB，和AACA，都为等腰三角形，且顶角NAC/V和NBCB，都是旋转角，

.e.ZACA'=ZBCB',

.'.△ACA'^ABCB',

.ACAAm68

•,丽_丽印3后HB,

解得：BB=44.

故答案为：4石.

【点an

此题考管了解良角二角形、旋转的性烟、勾股定埋、等腹二角形的性加、相似二角形的判定与性朋，解答本题的关键

是得出△AC\'^ABCB'.

-i-

【解析】

连接OAQRQC,则根据正六边形ABCDEF内接于0O可知阴影部分的面积等于扇形OAB的面积,计算出扇形OAB

的面积即可.

【详解】

解：如图所示，连接OAQB.OC,

V正六边形ABCDEF内接于8

:.ZA()B=60\四边形OABC是菱形，

.,.AG=GC,OG=BG,ZAGO=ZBGC

••.△/XGO^ABGC.

/.△AGO的面积=△BGC的面积

•；弓形DE的面积=弓形AB的面积

,阴影部分的面积=弓形DE的面积+△ABC的面积

=弓形AB的面积+△AGB的面积+△BGC的面积

=弓形AH的面积+△AGB的面积4AAGO的面积

=扇形OAB的面积

360

=­71

6

故答案为J.

o

【点an

本题考查了扇形的面积计算公式，利用数形结合进行转化是解题的关键.

13、2

【解析】

先利用完全平方公式对所求式子进行变形，然后代入、的值进行计算即可.

【详解】

,**x=^2•1»

.•.x2+2x+l=(x+i)2=(72-1+1)2=2»

故答案为：2.

【点睹】

本题考查了代数式求值，涉及了因式分解，二次根式的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.

14、1.

【解析】

求出AD=AB,设AD=AB=5x,AE=3x,则5x-3x=4,求出x,得出AD=10,AE=6,在RtAADE中，由勾股定理求

DE

出DE=8,在RtABDE中得出lanZDBE=——，代入求出即可，

BE

【详解】

解：•..四边形ABCD是菱形，

.*.AD=ABf

3.

Vcos/\=—»BE=4»DE±AB.

5

.•.设AD=AB=5x,AE=3x,

则5x-3x=4,

x=l,

即AD=IO,AE=6,

在RtAADE中，由勾股定理得；DE=>J\O2-62=8,

DE8

在RlABDE中，tanZDBE=——=-=2,

BE4

故答案为：1.

【点暗】

本题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形的应用，关键是求出DE的长.

15、4JT-1

【解析】

分析：连结OC,根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积•三角形ODC的面

积，依此舛式计算即同求解.

详解：

连接OCT.•在扇形AOB中/AOB=90。，正方形CDEF的顶点C是A8的中点，

.,.ZCOD=45°,

.,.OC=V2CD=4V2,

・•・阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积

=-^X*X（4、/I）2--x4'=4n-l.

3602

故答案是：4;r-L

点睛：考查了E方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度.

16、1或1

【解析】

移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可得答案.

【详解】

X（X-1）=x-1>

X（X-1）-（X-1）=0

(x-1)(x-1)=0,

x-1=0>x-1=0,

xi=Lxi=L

故答案为：1或1.

【点睹】

本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键.

三、解答题（共8题，共72分）

17、见解析

【解析】

三角形的面积相等即同底等高，所以以BC为两个三角形的公共底边，在AC边上寻找到与D到BC距离相等的点即

可.

【详解】

作NCDP=NBCD,PI）与AC的交点即P.

【点睹】

本题考查了三角形面积的灵活计算，还可以利用三角形的全等来进行解题.

18、力=0.2尸4；（2）骑自行车的学生先到达百花公园，先到了10分钟.

【解析】

（1）根据函数图象中的数据可以求得关于八的函数解圻式；

（2）根据函数图象中的数据和题意可以分别求得步行学生和骑自行车学生到达百花公园的时间，从而可以解答本题.

【详解】

解：（D设工关于x的函数解析式是另=心'+公

20&+6=0肚=0.2

404+6=4’[/?=—4

即外关于x的函数解析式是,V2=0.2.V-4：

C2）由图象可知，

步行的学生的速度为：4+40=0.1千米/分钟，

，步行同学到达百花公园的时间为：6+0.1=60（分钟），

当义=8时，6=0.2r4,得.x=50,

60-50=10,

答：骑自行车的学生先到达百花公园，先到了10分钟.

【点睛】

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答.

19、U）yi=kx+80,y2=30x；（2）见解析.

【解析】

（1）设〉=Ax+80,将（2,110）代入求解即可：设以=〃%将（5,150）代入求解即可：

（2）分门=」2,”V）>,1yl三种情况分析即可.

【详解】

解：（1）由题奇，设yi=kx+80,

将（2,110）代入，得110=2k+80,解得k=15,

则yi与x的函数表达式为yi=15x+80；

设yj=mY,

将（5,150）代入，得150=5m,解得m=30,■

则”与x的函数表达式为y2=30x；

（2）由yi=y?得，15x+80=30x,解得x=牛：

由yiVyz得，15X+80V30X,解得

由>>>'2得，15x+80>30x,解得xV竽.

*5

故当租车时间涔小时时，两种选择一样；

当租车时间大于号小时时，选择租车公司合算；

当租车时间小于¥•小时时，选择共享汽车合算.

【点照】

本题考查了一次函数的应用及分类讨论的数学思想，解答本题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法.

20、(1)相切，理由见解析；(1)1.

【解析】

⑴求出OD//AC,得到ODJ_BC,根据切线的判定得出即可;

(1)根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可.

【详解】

(1)直线BC与。O的位置关系是相切，

理由是：连接,)D,

,.•()A=OD,

.,.ZOAD=ZODA,

,.AD平分NC'B,

•,.ZOAD=ZG\D,

.•.ZODA=ZCAD,

，OD〃AC,

VZC=90°,

.\ZODB=90°,即OD_LBC,

VOD为半径，

•••直线BC与OO的位置关系是相切；

(I)设。。的半径为R,

则OD=OF=R,

在RtABDO由由勾股定理得：OB=BD；+OD:,

即(R+l)HR&

解得：R=l,

即OO的半径是1.

【点睛】

此题考查切钱的判定，勾股定理，解题关键在于求出ODJ_BC.

21、第一次买14千克香蕉，第二次买36千克香蕉

【解析】

本题两个等量关系为：第一次买的千克数+第二次买的千克数=50：第一次出的钱数+第二次出的钱数=1.对张强买的

香蕉的千克数，应分情况讨论：①当0V\S20,y<40；②当0<烂20,y>40@当20VxV3时，则3VyV2.

【详解】

设张强第一■次购买香蕉xkg,第二次附买香蕉ykg,由题意可得0VxV3.

则①当0V、q。，00,则题意可得

1.v+y=50

16.1+5尸264'

(X=14

解得1)=3“6•

②当0Vx£20,y>40时，由题意可得

J.r+.y=50

(6犬+4尸264，

(x=3^

解得,(不合题意，舍去)

l.V=18

③当20VxV3时，则3VyV2,此时张强用去的款项为

5x+5y=5(x+y)=5x5O=3O<l(不合题意，舍去)；

④当20V\£40y>40时，总励量将大于60kg,不符合题意，

答t张强第一次购买香蕉14kg,第二次购买香蕉36kg.

【点腾】

本题主要考查学生分类讨论的思想.找到两个基本的等量关系后，应根据讨论的千克数找到相应的价格进行作答.

9

22、(1)CD与圆O的位置关系是相切，理由详见解析;⑵AD=1.

2

【解析】

(1)连接0C,求出OC和AD平行，求出OC_LCD,根据切线的判定得出即可；

(2)连接BC,解直角三角形求出BC和AC,求出ABCAs^CDA,得出比例式，代人求出即可.

【详解】

(1)CD与圆()的位置关系是相切，

理由是：连接0C,

ZOCA=ZC.\B,

VZCAB=ZCAD,

.,.ZOCA=ZC\D,

，OC〃AD,

VCDXAD,

.•.OC±（：D,

VOC为半径，

；.CD与圆O的位置关系是相切;

，NBCA=90。，

•；圆0的半径为3,

.,.AB=6,

,:NCAB=30。，

ABC=-AB=3,AC=>/3BC=3y/3,

2

VZBCA=ZCDA=90n,ZCAB=ZCAD,

.•.△CARS^DAC,

.ACAB

••---=----.

ADAC

.3币_6

••而一丽’

AD=—.

2

【点sn

本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点

进行推理是解此题的关健.

23、小军的证明：见解析；小俊的证明：见解析；【变式探究|见解析；|结论运用］PG+P//的值为1：［迁移拓展］（6+2，万）

dm

【解析】

小军的证明；连接A尸，利用面积法即可证得；

小俊的证明：过点/＞作尸G_LC，F,先证明四边形为矩形，再证明△PGCWZkCEP,即可得到答案：

［变式探究］小军的证明思路：连接AP,根据SA.C=5AA”-SMS,即可得到答案：

小俊的证明思路：过点C,作CG_L/）P,先证明四边形CF/JG是矩形，再证明ACCP注即可得到答案；

［结论运用］过点E作以2JLAC,先根据矩形的性质求出BF,根据翻折及勾股定理求出DC,证得四边形EQC。是矩

形，得出即可得到答案；

I迁移拓展I延长A。，8c交于点凡作B//L1F,证明得到FA=FB,设O〃=x,利用勾股定理求出x

得到8"=6,再根据NAO£=N8C£=90",且N分别为八£,8E的中点即可得到答案.

【详解】

小军的证明：

连接AP,如图②

图②

'：PDLAB,PE±AC,CFA.AB,

:,SA』"=SA<£，+$△八CP，

,：AB=AC,

：.CF=PI>+PE.

小俊的证明：

过点尸作PaLCH如图2,

VPD1.4B,CFA.AB,PGJ.FC,

:.ZCFD=ZTDG=/fGP=9（T,

四边形PD/G为矩形，

：.DP=FG,NDPG=90°,

.•.ZCGP=90°,

'：-PE±AC,

，NCEP=90。，

：.ZPGC=ZCEP,

7ZBI）P=Zl）PG=9n,

：.PG//AB,

:.，GPC=，B,

VAB=AC,

：.Z.B=ZACB,

：.ZGPC=ZECP,

在4尸。（?和4CEP中

ZPGC=NCEP

<NGPC=NECP,

PC=CP

.•.△PGC注△（•/?/»,

：.CG=PE.

：.CF=CG+FG=PE+PD；

I变式探究1

小军的证明思路：连接AP,如图③,

A

•；PD工AB,PEJ.AC,CFLAIi,

*'•SAABC=SAAtP-SAACP»

：.-ABxCF=-ABxPD--AOPE,

222

'：AB=AC,

；.CF=PD-喝

小俊的证明思路：

过点&作CG_LOP,如图③，

VPD1.4B,CFA.AB,CGLDP,

：.ZCFD=ZPDG=Z/X；C=90",

：.CF=GD,ZDGC=90°,四边形CFDG是矩形,

'JPELAC,

：.NCEP=90。，

/./CC；P=/CEP.

'：CG±DP,ABLDP,

：.ZCGP=ZBDP=90,

：.CG//AB,

:./GCP=/R,

"Ali=AC,

:./B=/ACB,

,:NACB=NPCE,

:.NGCP=NECP,

在ACGP和ACEP中，

NCGP=NCEP=9G

■ZGCP=ZECP,

CP=CP

:.△CGPWACEP,

：.PG=PE,

:.CF=DG=DP-PG=DP-PE.

I结论运用)

如图④

图④

过点£作£0_1_8(?,

•.•四边形A8CD是矩形，

：.AD=BC,ZC=Z4DC=90\

V4D=8,CF=y,

：.BF=RC-CF=AD-