专题05 三角函数、解三角形（二模好题汇编解析版）

专题05三角函数及解三角形

基

本题型1任意角的三角函数

题题型2三角变秒

型题型三角函数的图像与性质

三角函数及解三角形3

分题型4解三角形

类题型5新定义问题

|题型

01|任意角的三角函数

一、单选题

I.（2024山西省吕梁二模）已知角a的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边经过点（一则

tana——

I6）

B6

A.一6C.

33

【答案】A

【分析】根据三角函数的定义可得tana=-立,

即可利用和差角公式求解，或者根据特殊角得

3

a=¥+2kK,kwZ,代入求解.

6

71

tana-tan一

【详解】方法一；由角a终边经过点卜百」），可得tana=-----»所以tana----------------6=-技

,---------71

36/I+tanatan

6

故选:A.

方法二：角。终边经过点（-G」），故为a第二象限角，=则。=朗+2也,左€2,

tan半=一瓜

则（ana

故选:A.

2.（2024浙江省天域全国名校协作体二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、

1

余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数810=，正割函数

tan0

sec<9=------,余割函数esc夕，正矢函数wsine=l-cos。，余矢函数伙vcosg=l-sin。.如图角。始

cosOs】nO

边为大轴的非负半轴，其终边与单位圆交点/）,A、8分别是单位圆与X轴和y轴正半轴的交点，过点P作PM

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垂直x轴，作PN垂直了轴，垂足分别为“、N,过点A作4轴的垂线，过点“作y轴的垂线分别交。的终

BS、N8为有向线段，下列表示正确的是()

B.cscO=PS

C.cot0=BSD.sec=NB

【答案】C

【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知sinO=MQ,cos0=OM,tan<9=AT,然后结合新定义简单

计算内判断各个选项.

【详解】根据题意，易得\OMP:YOAT:YSBO:7PNO,

对干A,因为l-cos"=1—QW=M4,BPv^rsin0=MA,故A错误;

对于B,根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得‘csc°二焉=焉=器=器=。5'故B错误;

1I

对于C,cot®==BS,故C正确;

tan0tanZ.OSB

对于D‘根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得sec,=春=备=岩=岩=。7,故D错误.

故选：C.

【点睹】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似

三角形相似比求解，注意有向线段.

3.(2024新疆乌鲁木齐地二模)已知角a(0°va<360。)终边上A点坐标为(sin310o,cos310。)，则。=()

A.130°B.140°C.220°D.230°

【答案】B

【分析】先确定角a的终边所在的位置,再根据诱导公式及商数关系即可得解.

【详解】因为sin3100v0,8s310°>0,

所以角。的终边在第二象限,

cos3100_cos(360°-50°)cos50°

又因为lana=

sin3100sin(360°-50°)-sin50°

cos(140°-90°)sin140°,

=-------------------r=----------=tan140,

-sin(140°-90°)cos140°

ja00<a<360°,

所以。=14()。.

故选：B.

4.(2024福建省莆田二模)已知角々的顶点为坐标原点，始边与工轴的非负半轴重合，把它的终边绕原点

逆时针旋转角夕后经过点停|)如夕，,匹(。和，贝Usina=(

）

63

A.3B.史D.

656565

【答案】A

【分析1根据同角三角函数关系求得sin/7,cos月的值，再结合正弦两角差公式即可得sina的值.

【详解】因为=所以12“=与空="，则sin/Jujos/?,

1212/cosp1212

又sin?6+cos2/?=l,所以cos?/=空，由夕」0,弓得cos/7=”，则sin/?=j

169\)13I3

(43、34

由题意可知角a+尸的终边经过点不三，则sin(a+/)=w，cos(a+/)=w，

所以sina=sin[(a+/7)-/7]=sin(a+尸)cos°-cos(a+//)sin/7=-x--—x—=—.

51351365

故选:A.

二、多选题

5.(2024浙江省温州二模)已知角々的顶点为坐标原点，始边与工轴的非负半轴重合，尸(-3,4)为其终边上

一点，若角夕的终边与角2a的终边关于直线y对称，则()

A.cos（冗+a）=]B./=2E+]+2a(丘Z)

八07

C.tan/?=——D.角△的终边在第一象限

24

【答案】ACD

【分析】

根据三角函数的定义，可求角。的三角函数，结合诱导公式判断A的真假；利用二倍角公式，求出2a的三

角函数值，结合三角函数的概念指出角21的终边与单位圆的交点，由对称性确定角/终边与单位圆交点，

从而判断BCD的真假.

【详解】因为先。的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点。(-3,4),

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3

所以：|。"=5,所以sina=不cosa5-所以cos（兀+a）=-cosa=£,故A对;

又sin2a=2sinacosa=2xgx［一《=一=

7

cos2a=cos*a-sin*a=——-—

I5）⑶25

所以2a的终边与单位圆的交点坐标为：（一得，一|^}

因为角4的终边与角力的终边关于直线）'=一4对称，所以角£的终边与单位圆的交点为（2屋4，原7、，

所以tan/二三，且夕的终边在第一象限，故CD正确；

24

又因为终边在直线》=一1的角为：E-：MeZ,角力的终边与角尸的终边关于丁=一不对称，

4

所以等g=E一：=〃=2E一5-加（ZeZ）,故B错误.

故选：ACD

三、填空题

6.（2024广东二模）如图，在平面直角坐标系上Qy中放置着一个边长为I的等边三角形RS,且满足依与

x轴平行，点A在x轴上.现将三角形以笈沿x轴在平面直角坐标系”3,内滚动，设顶点P（xy）的轨迹方程

是y=/（"，则/（x）的最小正周期为;），=/（力在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积

为一

J'A

Ox

【答案】3生十直

34

【分析】根据题设条件可得?的轨迹（如图所示），再根据轨迹可得/6）的周期和相邻零点间H勺图象与x轴

所围区域的面积.

【详解】设P（p,

如图，当三角形248沿式轴在平面直角坐标系X。〉内滚动时,

开始时，P先绕A旋转，当8旋转到用时，尸旋转到耳，此时q（p+l,

然后再以用为圆心旋转，旋转后P旋转到巴，此时鸟（p+。,。）,

当三角形再旋转时，P不旋转,此时A旋转到人,

当三角形再旋转后，必以外为圆心旋转，旋转后P旋转到6,

点P从开始到时是一个周期，故)，=/(可的周期为MN=3,

如图,分坛为y=相邻两个零点,

y=〃x)在［r勺0］上的图像与x轴围成的图形的面积为:

、12冗八石2兀J5

2x—x-x1+-x12=—+—.

23434

【点睛】方法点睛：以图形旋转为背景的函数问题，应该通过前几次的旋转得到周期性，再在•个周期内

讨论对应的函数性质即可.

7.(2024山东省部分学校金科大联考二模)在平面直角坐标系中，角〃的始边与x轴非负半轴重合，终边

经过点(-32),则sin(a+"=.

【答案】一也/-1近

1414

【分析】先利用角a的终边所经过的点求出sina,cosa,再求sin(a+5).

【详解】因为角〃的始边与x轴非负半轴重合，终边经过点卜6,2),

所…二,2①",一

所以仙声7，广由7；

.兀.兀J7

=S1H6ZCOS—+cos<zsin—=----

3314

故答案为：一也

14

I

题型02|三角变换

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一、单选题

sin2夕

（辽宁二模）数学试题）已知,则cos(2a+/?+gJ=(

1.2024,2tana=2)

乙）sin^+sin/7

AG

CID

2-4-4

【答案】B

sin2#2sina2cos尸

【分析】由2tana=，进而可得sina+sinasin/?=cosacos/?,再根据

sin"J得cosa1+sin/

两角差的余弦公式化简求出％夕的关系，即可得解.

【详解】因为2lana=.K

sinp+sinp

,2sina2sin/7cos/72cos/?

J力以一~~丁〃一~77,

cosasinp+sin^p1+sinp

所以sina+sinasin0=cosacos/5,

所以sina=cosacos£-sinasin/=cos(a+/?),

所以COS--a=cos(<z+/7),

\乙

itn

因为a.夕w0,—j,所以另一。60,—j,a+匹（0,加），

22

所以3-。=。+夕，所以2a+4=3,

5兀x/3

所以cos(2a+P+W=cos—=-----

62

故选：B.

2.(2024青海省西宁大通二模)已知tana+tan£=5,cosacos/?=，^iJsin(a+/7)=()

A.\B-Ic-i

【答案】C

sinacos/7+cosasin/7_

【详解】因为tana+lan〃=--------------------------=J

cosacos夕

又cosorcos/7=—,

6

所以sinacos/?+cosasin尸=sin(«+/?)=5cos6zcos/?=—,

6

故选C.

3.（浙江省杭州市2024届高三下学期4月教学质量检测数学试题）在.58C中，已知

sin4._cosA

------=nsinc,ncosC.tanIA+j=-3,贝lj〃二(

sinB------------cosB

A.无解B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】由tan(A+；J=-3可得tanA=2,进而得到tanA=tanB-tanC=2,借助三角形内角和与两角和的

正切公式可得tanA+tanC=2,设tan8=/,有产-2f+2=0,可得该方程无解，故不存在这样的〃.

【详解】由"A+：卜甘黑=-3,即tanA=2,则8sAm

sinA.「cosA「

rh=nsinC,-----=ncosC,知COSCH0,

sinB--------cosB

[an/A

则-——=tanC,则tan4=tanB•tanC=2,

tanB

tanB+tanC

Xtan=tan(7r-B-C)=-(an(B4-C)=­=lan8+tanC

1-tanBtanC

故tan8+tanC=2,设tan3=1,则tanC=2—f,

有«2-r)=2,KPr-2r+2=0»A=4-8=-4<0,

即该方程无解,故不存在这样三角形，即〃无解.

故选：A.

4.(2024浙江省天域全国名校协作体二模)己知cos(a+0cos/-cosacos(/7+y)=g,则

sinasin(/7+y)-sin(a+/7)siny=()

A.—B.—C.-D.-

6363

【答案】B

【分析】根据余弦两角和公式将cos(a+Q+y)展开成角a+〃与/的两角和形式与。与夕+y的两角和形式,

建立等式关系结合已知等式即可得结论.

【详解】因为cos(a+0+y)=cos(a+/7)cos/一sin(a+/7)siny,

乂cos(a+〃+/)=cosacos(£+y)-sinasin(/?+y),

所以83(0+77)以拈/一$m(0+//六而产=00$<7<：0$(//+7)—$11125亩(//+/),

因为cos(a+〃)cos/—cosacos(/?+y)=],

则sinasin(/?+y)-sin(a+〃)siny=cosacos(〃+y)-cos(a+0cosy=-g.

故选：B.

5.(2024山西省天一名校二模)已知sinasina+三=cosasin；=Tt一a,则tan2。一三

)

k6；13JI4J

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B百

A.&C.2-75D.2+G

3

【答案】C

【分析】先根据已知结合两角和差的正弦公式及二倍角公式化简，求出tan勿，再根据两角差的正切公式即

可得解.

n

[详解]由sinasin|a+^-\=cosasin——a

13

.,1.y/31.

sin-a+—sinacosa=——cos2-a——sinacosa，

222

a-sin，a)=sinacosa,所以立(：0$20=’512々，

即11

722

所以tan2a=6,

c冗x/3-1

所以tan2a——i-----j=—=2-x/3.

4jl+x/3xl

故选：C.

6.（2024浙江省宁波二模）若a为锐角，sin«=|,则sin（a+?=（）

44+3x/3D4-373「3+4。、3-4>/3

A.-----H.------C.------D・-----

10101010

【答案】A

3

【分析】根据同角关系得cosa=：,即可由和差角公式求解..

43

【详解】。为锐角，sina=《，故cosa=g,

所以si/a+A=Lsina+38sa」」+立△二生

I3J22252510

故选:A

7.(2024河南省新乡一中二模)已知sin(130°+a)=2cos2008sa,则tan(a+45Q)=()

A.-2+6B.2-73C.2+6D.-2-石

【答案】A

【分析】根据3拘（130。+。）=4叱150。+（口—20。）］及28520。85。=85（。+20。）+85（。-20。）将己知化简,

再根据辅助角公式结合余弦函数的性质求出々，再根据两角和的正切公式即可得解.

【详解】sin(l30°+a)=sin[l50°4-(a-20°)]

=^cos(a-20°)-^sin(a-20°),

2cos20°cosa=cos(a+20°)+cos((z-20°),

|大I为sin(l30°+a)=2cos20°cosa,

ic

所以—cos(a-20°)sin(a-20°)=cos(a+20°)+cos(a-20。)，

1Ji

所以一5cos(a-20°)-sin(a-20°)=cos(a+20°)»

艮|Jcosfl20°+(a-20°)]=cos(a+20°),艮|Jcos(KX)0+a)=cos(tz+20°),

所以100。+a=2+20。+七360。或100。+。+。+20°=&-360。，kwZ,

所以攻=-60。+左180。次€2,

故lana=tan(-60°+A:180°)=-G,

所以tan(a+450)=亍等=6—2.

故选：A.

【点睛】方法点睛：给值求值的方法：

(1)直接法：当已知两个角时，所求角一般表示为两个角的和或差的形式；

(2)常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，我们把这种代换称之为常值

代换，其中要特别注意的是“1”的代换，如Jsi/a+cos?。，l=tan£,l=sinf等，1、&更、；、变

42322

等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用；

(3)角的代换：将未知角利用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的方法就是角的代换，常见

的有：

a=1a+P)-B,a=a=：[(0+/7)+(0一/)]=：[(0+尸)一(4一。)],

^^二("介仁—力，a+乃=(2a+/)Y,

2a=(a+/)+(a-,)，2/?=(a+,)_(a_,)等.

8.(2。24湖北省七市州二模)若"信,"协=言/则sin(2a4卜()

A4在+7口4>/6-74&+7石D4--7G

r\•-----------O・---------C.

18181818

【答案】D

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【分析】首先根据公式…=总化解条件等式，再结合二倍角和两角差的正弦公式，即可化解求值.

sina_costz

【详解】由条件等式可知,

cosa3-sina

整理为3sina=sin2a+cos2a=1,贝ijsina=g,

D(兀兀1I-----2>/2

又a6，coscr=V1-sin-a=------>

122；3

.।o4v/2■»7

所以sin2a=2sinacosa=2x-x-——=——-,cos2a=l-2sin2a=-,

3399

所以sin(2a-=sinlacos-coslasing

4>/217x/34夜-7石

=-----x-------x----=--------------.

929218

故选：D

9.（2024安徽省池州二模）已知sin/+cos/?=E，匹（0,外，则tan（夕+：）=（

)

A.7B.-7C.-D.--

77

【答案】D

【分析】由sin夕+cos〃=（可求am/,再由两角和的正切可求tan[〃+：

【详解】因为sin/7+cos/7=1.Ae（。，兀），故$宿〃+85：;/7+2$而夕85〃=4,

故2sin〃cos/7=-1^vO,而0式0,兀），故尸,n,故sin夕：>0,cos尸<0,

、,49743

而(sin/y-cos/)-=—,故sin£-cos4=一，所以sin〃=-,cos〃=一一,

25555

4f八%)2

tan/?=--,故tan/?+-=—厂二包一

311十才1

故选：D.

10.（2024辽宁省鞍山六中二模）已知a,〃均为锐角，sina=3sin/?cos（af+/?）,则tana取得最大值时,

lan(a+0的值为()

A.0B.GC.1D.2

【答案】D

【分析】先利用sina=sin（a+4-4）展开变形，可得tan（a+〃）=4tan/7,再利用lan尸=tan（o+尸-a）展

开变形，将tana用tan(a+0表示出来，利用基本不等式求最值及等号成立条件即可.

【详解】sin«=sin+/7-/?)=sin(a+/7)cos^-cos(a+/?)sin^=3sin尸cos(a+尸),

则sin(a+08s尸=4sin/7cos(a+/7),

tan(«+/?)-tana

所以12111(£+/?)=41@11/7=412»1(0+夕—0)=4乂

1+tan(«+/?)tana

3tan(a+/?)3

-rtana

tan2(a+〃)+4

整理得tan(a+⑶+——----r

l/)lan(a+0

因为a,夕均为锐角，且3sin6cos(a+/?)=sina>0,即8s(a+尸)>0,

所以tan(a+/?)>(),

4I4^

4

当且仅当3(a+夕卜嬴再邓、即tan(。+夕)=2时等号成立,

3

一tana=-------------------------

所以tan(«+/?)+——7-----r

'tan(a+/?)

所以lana取得最大值时，tan(a+0的值为2.

故选：D.

/\

71

cos—+a(、

11.(2024吉林省白山二模)若一”一^=3,则tan(2a-：卜()

cos——a

14

A.—7B.7C.—D.一

77

【答案】B

【分

根据两角和与差的余弦公式和同角三角函数的基本关系求得iana=-g,然后利用二倍角的正切公式求得

4

tan2a=-"再根据两角差的正切公式求解即可.

cosa-sincr1-tanan

【详解】因为-----=3故iana=-/,

cosa+sina1+tana

第II页共79页

1、

2x

2tana4

贝ijtan2a=2>

l-taira3,

1-

tan-2a-tanR-

.fc7C1

故lan2a—4r

,c7C,4

4J1+tan2atan—1——

43

故选：B.

⑵（河南省新乡二模）已知；

23cos",则cos36=()

ATB-Ac-4D-i

【答案】A

7Is

【分析】根据题意，求得cos26=—二,sin2e=3,结合cos30=cos（26+。），代入即可求解.

816

7

【详解】因为cos6=’,可得cos26=2cos'。一1=,sin2=1-cos2/9=—,

4816

则cos36=cos(26+6)=cos26cosB—sin2。sin夕=(2cos?6—1)cos6—2sin?9cos6,

71cl5111

—x——2x—x—=-----

8416416

故选：A.

13.（2024广东省广州市天河区二模）已知、Qsina+cosa=±2vav2,则cosa=（）

536

A3+4x/3B.三越

1010

r36+4D.处

1010

【答案】B

【分析】根据辅助角公式求得sm（a+t）=|'结合角的范围可得8s继而利用两角差的余弦

公式，即可求得答案.

【详解】因为瓜ina+cosa咚

故2sin(a+F)=2,则sin(a+：)=g,

6565

=15兀7171兀4

而二<a<.—<a+—<TI,故cos(a+：)=-=,

362665

...兀、兀.兀、兀・/兀n、.兀n

故cosa=cos(a+—)——=cos(«+—)cos—+sin(«+—)sin—

66666666

525210

故选：B

兀2兀I，河七3'几、

14.（2024浙江省绍兴二模）已知xw,彳，则tan2x+-\=（）

6T3o6；

A.3ci94

D.—

77

【答案】B

【分析】首先得Jo，g），进一步由sin<W]=。有cos1-外=。，结合二倍角公式、商数关系以及

6V2；I6J5k6；5

诱导公式即可求解.

【详解】因为xe所以"一仁,（。』）

又因为干沁、a,所以8s1用总

从而sin23一；24

325

所以tan|2x+*卜

故选：B.

15.（2024东北三省四城市联考二模）已知ae（O,兀），且sin”+cosa=：,则tan2〃=（）

J

A12R122424

A.-13.------C.--U.--------

7777

【答案】C

根据="结合冗）可得〃与进而可得

【分析】sina+cosfl4«0,siM,costana,tan2”.

△则（）

【详解】sina+cosasina+cosa*=l+2sinacos«=—,

525

12

即sinAcos«=-----,

25

又因为〃€（0,九），故sina>0,cosa<0,

497

故（sina-cos4y2=l-2sin^cose/=—,因为ae—,71,则sina-cos4=w,

2

1434

结合sin。+cosd=一可得sina=—,cosa=--,则tana=—

5553

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8

_2tana324

kbtan2〃=--------；­-----r=—

讽l-tan2a4]7•

故选：C

16.（2024河北省石家庄二模）已知aw（0,],且cosa-：）=2cos2a,则ian（a+：）=（）

A.J3B.45C.D.Vil

【答案】D

【分析】根据题意，由正弦的二倍角公式代入计算可得sin(：-a)=；,再由同角三角函数的平方关系与商

关系，即可得到结果.

..兀——

【详解】因为目cosa——=2cos2a,

l4j

由题意知

,所以cos：+a\_

144

故选：D

17.（2024湖南省岳阳二模）己知〃eZ,sin与+a）+cos彳—a=：,则（）

I，/I2）5

A1

A.cosa+sina=一

3

B.cosor+sina=-—

8

C.sin2a9-

D.sin2a=—

9

【答案】C

【分析】分类讨论并利用诱导公式对sin+a)+cos(g-a)=；进行化简，再利用同角三角函数关系式、

倍角公式的逆用求得sin2a.

【详解】设AeZ

mt

①〃=4攵时，sin—+a+cos=sin(2E+a)+cos(2E-cr)=sina+cosa=-

2)3

〃兀mt71£

②〃=44+1时，sin一+a+cos,a-sin2kn+—+a+cos2E+--a-cosa+sina

I2,~222r

(mt

③〃=4k+2时，sin—+a+cosa-sin(2kn+n+«)+cos(2ht+it-«)=-sinGf-cosa=

【22v

此时cosa+sina=一；

mt+C0s(j]=f3Af3A1I

④〃=必+3时,——+asin2E+—兀+a+cosIku-^—n-a=-sina-cosa=-

2I2J223

此时cosa+sina=--

3

综合①②③④，可以排除A、B,

sina•cosa)-=sin2a<cos2a+2sinacosa=sin2a»cos2aFsin2a=1+sin2a=-

79

Q

所以sin勿=-§,

故选：C.

18.（2024湖南衡阳二模）已知7Tcos（2a+芸8

=~Mtana=()

4

B.；

A-7C.2D.4

【答案】A

【分析】利用诱导公式，二倍角公式,和同角三角函数基本关系，结合角的取值范围，可求角的正切值.

【详解】由cos12a+]」=sin2a」

\乙）1717

82sin(zcosa82tana8.1

所以2sinacosa=—=>—=>-----；—=——=lana=4或tana=—.

17sin%+cos?a17I+lan2a174

又aw0,-jj,所以Octanavl.

所"

故选：A

二、填空题

19.(2024山西省晋城二模)已知tana=2tanQ,sin(a+/?)=-,则sin(/-a)=

4

【答案】-看

【分析】由tana=2ian尸切化弦可得sinocos"=2cosasin/?,结合两角和差公式分析求解.

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【详解】13%tan«=2tan/?,即包巴=空电一，可得sinecos夕=2cosasin/7,

cosacos/?

又因为sin(a+力)=sinacos/7+ccsasinp=3cosasin/3=—,可得cosasin/?=—,

12

所以sin(7?-a)=cosasin/-sinacos£=-cosasin0=一五.

故答案为：-5.

1乙

20.(2024河北邯郸二模)正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所

示的五角星中，以ABC,。,E为顶点的多边形为正边边形，设NC4O=a,则

cosa+cos2a+cos3a+cos4(7=,cosacos2acos3acos4a=.

【答案】0-^T/0.0625

10

【分析】由正五角星的性质，求得NCAO=a=36,进而根据诱导公式及二倍角公式计算即可.

【详解】正五角星可分割成5个3角形和1个正五边形，五个3角形各自角度之和180

正五边形的内角和180x(5-2)=180x3=540；每个角为?=1()8,

三角形是等腰三角形，底角是五边形的外角，即底角为180°-108°=72。，

三角形内角和为180，那么三角形顶角，即五角星尖角180-72x2=36,

即NCAO=a=36.

cosa+cos2a+cos3a+cos4a=cos36+cos72+cos108+cosl44

=cos36+cos72+cos(l80-72)+cos(180-36)

=cos36+cos72-cos72-cos36=0,

cosacos2acos3acos4(7=cos36cos72cosl08cos144=(cos36cos72)

2sin36-cos36-cos720sin72cos72_sin144_1

因为cos367cos72"=

2sin362sin364sin364

I

所以

cosacos2acos&7cos4a=T6

故答案为：o；—.

Io

21.（2024年山东二模考）已知sina=3,且a