专题12 菱形的性质与判定-针对训练（举一反三）（北师大版）（解析版）

专题L2菱形的性质与判定•针对训练

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）

1.（4分）（2021春•恭江区期口）如图，菱形中，对角线、8。交于点。，E为AD边中点，菱形A8CO

的面积为24,0A=3,则OE的长等于（）

713

D.——

【分析】依据菱形的性质以及勾股定理，即可得到A。的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质，即

可得出OK的长.

【解答】解：•・•菱形的对角线、8。交于点O,04=3,

.\AC=2AO=6,

•・•菱形ABCD的面积为24,

1

x6xBD=24,

2

・・・〃。=8,7）0=4,

又•••AC_L/3Q,

.*.AD=y/AO2+DO2=V32+42=5»

又YE为AO边中点，

：,0E=^AD=^,

故选：A.

【点睛】本题主■要考置了菱形的性质，解决问题的关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直平分.

2.（4分）（2020•南充模拟）如图，在△A8C中，点D是BC的中点,点E,尸分别在线段A。及其延长

线上，DE=DF.在下列条件中，使四边形厂是菱形的是（）

1

BC

A.EBIECB.AB1ACC.AB=ACD.BF//CE

【分析】首先证明四边形BECF是平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形，即可判断.

【解答】解：•:RD=DC,DE=DF,

:.四边形BECF是平行四边形，

要使得四边形B£C厂是菱形，对角线必须垂直，

只有时，°：BD=CD,

：,ADLBC,

・•・此时四边形是菱形，

故选：C.

【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定.等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用

所学知识解决问题，属于中考常考题型.

3.(4分)如图，己知菱形OABC的顶点0(0,0),C(2,0)且NAOC=60°,则菱形0AHe两对角

线的交点D的坐标为()

3\[3「1V3

A.(1,1)B.(一，—)C.(1,V3)D.(一,—)

2222

【分析】先求出点4坐标，由中点坐标公式可求解.

【解答】解：如图，过点A作AE_LOC于E,

2

•・•点。（0,0）,C（2,0）,

：・OC=2,

•・•四边形"CO是菱形，

：，OA=OC=2,AD=CD,

VZAOC=60o,AELOC.

・・・NOAE=3（r,

AOE=^AO=\,AE=V3OE=y/3,

・,•点A（1,V3）,

'：AD=CD,

3V3

，点D（二，—）,

22

故选:B.

【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，中点坐标公式等知识，灵活运用这些性质解决问

题是本题的关键.

4.（4分）（2021春•海淀区校级期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在••起，若重合部分构成的四边

形A8CO中，A8=3,AC=2,则四边形A8CO的面积为（）

A.4V2B.6V2C.8V2D.5

【分析】先证四边形A8C。是菱形，由勾股定理可求80,由菱形的面积公式可•求解.

【解答】解：过点A作AE_LCO于E,AF_L5C于凡连接4C,8。交于点O,

3

A

•・•两条纸条宽度相同，

：,AE=AF.

・：AB〃CD,AD//BC,

・•・四边形A8CO是平行四边形.

'：SOABCD=BC*AF=CD*AE.

又•・・AK=A/?.

:・BC=CD,

・•・四边形ABC。是菱形，

：,AO=CO=\,BO=DO,AC1BD,

：,B0=y/AB2-AO2==2A/2,

:,BD=，a,

・•・西边形ABCD的面积=生空=4V2,

故选：A.

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判断和性质以及勾股定理应用，证得四边形A8CQ

为菱形是解题的关键.

5.（4分）（2021•太和县模拟）如图，菱形A8CO的边长为10,对角线AC=16,点E、产分别是边C。、

BC的中点，连接七尸并延长与48的延长线相交于点G,则EG长为（）

A.13B.10C.12D.5

4

【分析】连接对角线BQ,交AC于点0,证四边形5O£G是平行四边形，得EG=3D,利用勾股定理求

出OD的长，80=20。，即可求出EG.

【解答】解：连接8Q,交AC于点0,如图：

•・•菱形"CO的边长为10,点E、尸分别是边C。、8C的中点，

：.AB//CD,AI3=BC=CD=DA=10,EF//BD,

■AC、4。是菱形的对角线，4c=16,

/.AC1BD,AO=CO=S,OB=OD,

又,：AB//CD,EF//BD,

：.DE//BG,BD//EG,

・•・四边形8DEG是平行四边形，

:・BD=EG,

在△co。中，DO=WD2_CO2=woo-64=6,

二.RD=2OD=12,

:・EG=BD=\2,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平

行四边形的性质和勾股定理是解题的关键.

6.（4分）（2020•旌阳区模拟）如图，在菱形A8CQ中，点E,尸分别在AB,C。上，且AE=C/，连接

EF交BD于息O,连接AO.若8c=25°,则N'QAD的度数为（）

C.65°D.75°

5

【分析】欲求NO4Q的度数，只需证得A0_L5。即可，即点0是菱形48C。对角线的交点；如图，连

接EC,A”,构造全等三角形△厂D4,MEC=AF,结合已知条件AE=b可以判定四边形AECF

是平行四边形，则其对角线互相平分，即科与AO平分，点。是菱形ABCO对角线的交点，所以AO_L

BD,由直角三角形的两锐角互余性质解答.

【解答】方法一：解：如图，连接EGOC,AF.

在菱形ABCZ)中，NEBC=NADF,/ADB=/DBC=25°,AB=CD,BC=DA.

'：AE=CF,

-AE=CD-CF,即BE=DF.

在.AEBC与AFDA中，

,BE=DF

Z.EBC=Z.FDA.

BC=DA

:•△EBCWAFDA(SAS)

：.EC=AF.

又AE=CF,

・•・四边形AEC尸是平行四边形，

/与AC平分，

.••在菱形AAC。中，AOA-BD,

・・・NOAO=90°-NAQ8=900-25°=65°.

方法二：解：•.•ABC。是菱形，AE=CF,

:.ABHCD,AB=CD,

:・BE=DF,ZOBD=ZODF,

在AOEB和△OF。中，

[LEOB=LFOD

\^OBE=&ODF

[BE=DF

:AOEBqAODFCAAS).

:.OB=OD,

；・AOLBD,

・・・NO4O=900-ZADB=90°-25°=65°.

故选：C.

6

【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证点0是菱形八8CO对角线

的交点.

7.（4分）（2021•龙湾区模拟）如图，在菱形48CD中，E是对角线4c上的一点，过点£?’乍切〃AO,

G/〃A8,点尸，G,H,/分别在AB,BC,CD,D4上.若4C=mNB=60°,则图中阴影部分的周长

为（）

C

A.2V5QB.4aC.2y/5aD.6a

【分析】根据菱形的性质可得出AB=BC,由N8=60°可得出AB=BC=AC=a,由FH〃AD,GI//AB,

可得四边形BFEG和四边形EHD/是平•行四边形,根据平行四边形对边相等的性质，进行计算即可得出

答案.

【解答】解：•・•四边形"C。是菱形，N8=60°,AB=BC.

：.AB=BC=AC=a,

又,：FH//AD,GI//AB,

・•・四边形BFEG和四边形EHDI是平行四边形，

；・FE=BG,FB=EG,EH=ID,EI=HD,

・•・阴影部分的周长=4尸+五£+曰+4/+EG+CG+C77+E”

=AF+BF+BG+CG+CH+HD+AI+ID

=AB+BC+CD+AD

=4〃.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了菱形及平行四边形的性质，合理应用相关性质进行计算是解决本题的关键.

8.（4分）（2020•望江县一模）如图，四边形A8CO是菱形，AB=6,NA8C=120°,点W,N是对角

7

线AC上的三等分点，若点。是菱形A5CQ边上的动点，则满足PM+PN=6的点。有（）

A.4个B.6个C.8个D.12个

【分析】先作点E关于人。的对称点连接E尸交人。与点P,求出PE+P产的最小值，再求出户与A

重合及P与D重合时PE+PF的值判断AD边上符合条件的P的个数，再根据对称性求解.

【解答】解：作点£关于A。的对称点£,连接石F交AQ与点P,连接A£,四，作垂直于AC于

点K,

VZ4BC=120°,

AZBAD=60°,ZDAC=^£BAD=30°,

♦：BD=AB=6,

1

：,D0=/。=3,

・・・4。=即=6,AO=V3BO=3A/3,AC=2AO=6>/3,

:.AE-EF-FC=1AC-2V3,

•・・4E=4E,N£7AE=2NOAO=60°,

•••△EAE为等边三角形，K为AE中点，KE=^AE=V3,

：,KE=V3KE=3,KF=KE+EF=36,

ffiRtAFKF't«,由勾股定理得，

EF=>JE'K2+KF2=6,

8

・・.PE+P”的最小值为6.

由对称性可知，每条边上都有一个点。符合条件,

故选：A.

【点睛】本题考查菱形与最值问题.熟练掌握求四边形中的最值问题为解题关键.

二.填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）

9.（4分）（2021•江西模拟）如图，在菱形4BC。中，NABC=60",AE上BC于点、E,交BD

于点F.若夕是菱形ABCO边上的一动点，当△AFP的面积是9百时，QP的长为6旧或或18.

【分析】由菱形的性质可求乙48。=/。8。=30°,AD//BC,由三角形的面积公式可求点P到4户的距

离为3百，即可求解.

【解答】解：VAS=6V3,ZABC=60°,AE1BC,

：.ZBAE=3O°,BE=1/4B=3V3,AE=y[3BE=9,

:,EC=36,

•・•四边形A4C。是菱形，

/.ZABD=ZCBD=3O°,AD//HC,

:・BE=6EF,BF=2EF,ZDAF=ZAEB=9O°,

：.EF=3,BF=6,

：.AF=6,

■:ZVIFP的面积是9V3,

・・・96=1xAFX点P到AF的距离，

・••点P到4/的距离为

・••点P与点8或点C重合，

当点户与点C重合，

:・PD=66

当点P与点〃重合时，

9

VZADB=30°,ND4F=9(T,

：,DF=2AF=\2,

/.PD=6+12=18；

当点P在4。上时，AP=3>/3,

/.PD=3y13,

综上所述：2。=6百或35后或18,

故答案为6V5或3遍或18.

【点睛】本题考杳了菱形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解

决问题是本题的关键.

10.（4分）（2021•河南四模）如图，在0ABe。中，点E,尸分别是A/3,CQ边上的点，且NADE=NC4F,

连接3。，EF.补充一个条件，可使四边形是菱形，这个条件是一BDLEF.

【分析】证/（ASA）,得出AE=CF,则BE=OF,证出四边形EBF。是平行四边形，由

BDLEF,即可得出四边形石BFO是菱形.

【解答】解:添加/,理由如下:

四边形ABCD是平行四边形.

:・AD=CB,NA=NC,AB//CD,AB=CD,

在△AOE和△C8b中，

4=z.C

AD=CB,

1/.ADE=乙CBF

:.MADE@XCBFCASA）,

：,AE=CF,

：.AB-AE=CD-CF,

即BE=DF,

又,：BE"DF,

・•・四边形EBFD是平行四边形，

■:BD1EF,

io

・•・四边形灰法。是菱形.

故答案为：BDVEF.

【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；热练掌握平行

四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.

H.(4分)(2021春•渝中区校级期中)如图，A(0,4),B(8,0),点C是x轴正半轴上一点，。是

平面内任意一点，若以4、B、a。为顶点的四边形是菱形，一点D的坐标为(5,4)或(心后，4).

【分析】当为菱形的对角线时，如图1,设菱形的边长为相，利用菱形的性质得到CA=AO=3C,

AD//BC,在RlZSAOC中利用勾股定理得到4之+(8-〃?)2=阳2,从而得到此时。点坐标；当4B为菱形

的边时，如图2,先利用勾股定理计算出A8,再根据菱形的性质得到BC=AB=4D=46,AD//BC,从

而得到此时。点坐标.

【解答】解：当AB为菱形的对角线时，如图1,设菱形的边长为〃7,

V4(0,4),B(8,0),

・・・QA=4,OB=8,

•・•四边形4BCO为菱形，

.\CA=AD=BC,AD//BC,

：•CA=CB—8-in9

在RIA40C中，42+(8-w)2=诡解得m=5,

:・D(5,4)；

当4B为菱形的边时，如图2,

AB=V42+82=4A/5,

•・•四边形ABCO为菱形，

：.BC=AB=AD=4VS,AD//BC,

:・D(4V5,4),

综上所述，。点坐标为(5,4)或(4V5,4).

故答案为(5,4)或(4V5,4).

11

【点睛】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形.也

考查了菱形的性质和坐标与图形.

12.（4分）（2021春•武昌区校级期中）如图，四边形A8CO是菱形，点N分别在AB,A。上，且

BM=DN,MG//AD,NF//AB,点、F,G分别在8C,CD1.,MG与N/7相交于点£.若NA=120°,

AB=a（a>0）,AB：MB=3：1,则四边形CFEG的面积是—a2.（用含a的式子表示）

—18-----

【分析】先证四边形CPEG是菱形，由面枳关系可求解.

【解答】解：如图，连接CE,AE,

•・•四边形A4CO是菱形，ZA=120°,

：,AI3//CD,AD//BC,AIi=BC=a,ZB=60°,

■:MGHAD,NF//AB,

：.AB//FN//CD,MG〃BC〃AD,ZB=ZEFC=60a,

12

・•・四边形EFCG是平行四边形，四边形ZM/GC是平行四边形，四边形QNFC是平行四边形，

:.DN=FC,BM=CG,

：.CG=CF,

・•・四边形CFEG是菱形，

:・EF=FC,

•••△EFC是等边三角形，

'：ABtMB=3：I,

EF=

・•・四边形CFEG的面积=2SaEFC=2x*x&）2=y|d2,

故答案为：

18

【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边二角形的判定，证明四边形CPKG是菱形是本题的关键.

13.（4分）（2021春•沙坪坝区校级月考）如图，在菱形A8CD中，AB=8,点E,尸分别在A8,4。上,

且AE=AF,过点E作EG//AD交CO于点G,过点F作FH//AB交BC于点H,EG与FH交于点O.当

四边形4E。尸与四边形CGOH的周长之差为12时，则AE的值为5.5.

【分析】根据菱形的性质得出AO〃3C,AB//CD,推出平行四边形48HRAEGD.GCH0,得出Ar=

FO=OE=AE^OH=CH=GC=GO,根据菱形的判定得出四边形4EOb与四边形CGOH是菱形，再解

答即可.

【解答】解：•・•四边形ABC。是菱形，

：,AD=BC=AB=CD,AD//BC,AB//CD,

yEG/ZAD,FH//AB,

:.四边形AEOF与四边形CG0H是平行四边形，

：.AF=OE,AE=OF,OH=GC>CH=OG,

*：AE=AF,

：.OE=OF=AE=AF,

13

'：AE=AF,

:.BC-BH=CD-DG,即OH=HC=CG=OG,

・•・四边形AEOr与四边形CGOH是菱形，

•・•四边形AE。尸与四边形CGO”的周长之差为12,

A4AE-4（8-AE）=12,

解得：AE=5.5,

故答案为：5.5.

【点睛】此题考杳菱形的性质，关键是根据菱形的判定得出四边形AEO厂与四边形CGO”是菱形.

14.（4分）（2020秋•锦州期末）如图，在菱形ABC。中，N3=45°,BC=2V3,E,尸分别是边C£）,

V6

BC上的动点，连接4石，EF,G,H分别为4E,石尸的中点，连接G〃，则GH的最小值为一.

—2—

【分析】连接A八利用三角形中位线定理，可知G〃=±3,求出A尸的最小值即可解决问题.

【解答】解：连接A凡如图所示：

•・•四边形ABCO是菱形，

：・AB=BC=2仃,

,:G,〃分别为AE,E尸的中点,

・・・G〃是的中位线，

：.GH=^AF,

当Ab_L8C时，A尸最小,G”得到最小值,

则NA尸B=90°，

VZfi=45°,

•••△ABF是等腰直角三角形，

.\AF=竽4B=孝x2>/3=V6,

・・・G”邛，

V6

即GH的最小值为

14

【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等樱直角三角形的判定与性质、垂线段最短等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

三.解答题（共6小题，满分44分）

15.（6分）（2021春•东台市月考）如图，在口ABC。中，点石、〃分别是A。、8C的中点，分别连接

DF、BD.

（1）求证：ZVIEBg△CFQ：

（2）当△ABO满足什么条件时，四边形EBb。是菱形，请说明理由.

【分析】（1）由SAS证明即可；

（2）由（1）得BF=DE,BF〃DE,则四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质

得8七=34。=。£即可得出结论.

【解答】（1）证明：•・•四边形48CQ是平行四边形，

・・・NA=NGAD=BC,AB=CD.

•・•点E、/分别是A。、BC的中点，

：.AE=DE=^4D,BF=FC=：BC.

：,AE=CF.

在与△CFO中，

AE=CF

Z.A=zC，

AB=CD

•••△AEBWACFD（SAS）；

（2）解；当△ABD满足/A8O=90°,四边形E3FD是菱形，理由如下;

15

由（1）得：BF=DE,BF//DE,

・•・四边形EBFD是平行四边形.

•••乙48。=90°,点£是的中点，

：,BE=^AD=DE,

・•・平行四边形是菱形.

【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜

边上的中线性质等知识；熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键.

16.（6分）（2021•平谷区二模）如图，在中，N4CB=90°,D,E分别是边AB,8c的中点,

连接。石并延长到点F,使EF=DE,连接CRBF.

（I）求证：四边形CF8O是菱形：

（2）连接AE,CF=V10,。尸=2,求AE的长.

【分析】（1）根据4E分别是边人从"C的中点，EF=DE,可以得到四边形。口"）是平行四边形,

再根据三角形中位线和44。4=90°，可以得到QELCB,然后即可得到结论成立；

（2）根据菱形的性质和勾股定理，可以得到AC和CE的长，然后根据勾股定理即可得到AE的长.

【解答】证明：（1）•・•点E为8C的中点，

：・CE=BE,

又,：EF=DE,

・•・四边形CFBD是平行四边形，

VD,E分别是边AB,BC的中点,ZACB=90°,

：,DE//AC.

・・・NO£4=NAC8=9（r,

即DFYCB,

・•・四边形CF8。是菱形：

16

(2)VD,E分别是边A5,BC的中点,

：,AC=2DE,

*：DF=2DE=2EF,DF=2,

・・・AC=2,EF=\,

VCF=<10,四边形CFOB是菱形，

；・NCEF=90°,

：,CE=y)CF2-EF2=J(V10)2-l2=3,

VZACE=90°,

：.AE=y/AC2+CE2=V224-32=V13,

即AE的长是45.

A

【点睛】本题考查菱形的判定与性质、勾股定理、三角形的中位线，解答本题的关键是明确题意，利用

数形结合的思想解答.

17.（8分）（2020秋•阳山县期末）如图，£和尸分别是菱形A3C。的边相和A。的中点，且A8=10,

AC=\2.

（1）判断△OEb的形状，并说明理由.

（2）求线段Ef的长.

【分析】（1）由菱形的性质得BC=CD,再证OE是△A8C的中位线，。尸是△ACO的中位线，得OE=^BC,

OF=^CD,得出OE=。产即可；

17

（2）由菱形的性质得0A=0C=%C=6,OB=OD,ACLBD,再由勾股定理得。8=8,则8。=208

=16,然后证M是△A8D的中位线，得所="。=8.

【解答】解•：（1）4OE/是等腰三角形，理由如下：

•・•四边形ABCO是菱形，

：.BC=CD,

,:E、F分别是4分AD的中点,

・・・OE是△ABC的中位线，是△AC。的中位线，

,OE=%C,OF=|CD,

・•.OE=OF,

•••△。£尸是等腰三角形；

（2）•・•四边形A38是菱形，

1

：.OA=OC=^AC=6,OB=OD,AC_LB。，

・・・N4OB=90°,

・•・OB=y/AB2-OA2=V102-62=8,

BD=2OB=16,

YE、产分别是4分AD的中点,

・•・）是△A3。的中位线，

：.EF=^BD=S.

【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和三角形

中位线定理是解题的关键.

18.（8分）（2020秋•会宁县期末）如图，在RtzMBC中，ZACB=90°,过点C的直线MV〃AB,。为

A/边上一点，过点。作。从L3C,交直线M/V于E,垂足为尸,连接C。、BE.

（I）求证：CE=A。；

（2）当。在人8中点时，四边形BECO是什么特殊四边形？说明你的理由.

N

D

18

【分析】（1）先求出四边形AQEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；

（2）求出四边形3ECO是平行四边形，求出。。=3。，根据菱形的判定推出即可;

【解答】（1）证明：・・・。£3_8。，

AZDFB=90°，

VZACB=90°,

；・NACB=NDFB,

：,AC//DE,

MN//AB,8|JCE//AD,

・•・四边形AOEC是平行四边形，

:.CE=AD：

（2）解：四边形3ECO是菱形，理由如下：

•・•£＞为A3中点，

:.AD=BD,

•：CE=AD,

:・BD=CE,

•：BD//CE,

/.四边形BECD是平行四边形，

•・・/4C4=90°,。为A8中点，

:.CD=BD,

・•・四边形8EC。是菱形.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生

运用定理进行推理的能力.

19.（8分）（2021春•香坊区校汲月考）在平行四边形ABC。中，点尸是A8上一点（不与A、B重合），

连接。尸交对角线4C于点E,连接BE.

（1）如图I,若NEBC=NEPA,EC平分NDEB,证明：四边形A8CO为菱形.

（2）如图2,时角线AC与8。交于点O,当。是人4的中点时，请直接写出与△A。夕面积相等的三角

形（其中不含以AQ为边的三角形）.

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DDC

图1图2

【分析】(1)证△。上0g△。上8(A45),得C〃=C8,即可得出结论；

(2)由平行四边形的性质得。4=OC,OB=OD,则AAOB的面积=Z\30C的面积=Z\C0。的面枳=,

△A3。的面积，由中线的性质得△AOP的面积=4OPB的面积=2Z\A8。的面积，进而得出结论.

【解答】(1)证明：•・•四边形48C。是平行四边形，

：,AB//CD,

：^EDC=ZEPA,

•:N