专题103 平行线的性质-重难点题型（举一反三）（沪科版）（解析版）

专题10.3平行线的性质•重难点题型

【沪科版】

。*甲一反三

【知识点平行线的性质】

1两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.

2两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.

3两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.

【题型1两直线平行同位角相等】

【例1】（2021春•环江县期末）如图，a//b,Zl=60°,则N2的大小是（）

A.60°B.80°C.100°D.120°

【解题思路】根据同位角相等，两直线平行即可求解.

【解答过程】解：如图:

因为Zl=60°,

所以/3=Nl=60°.

因为N2+N3=180°,

所以N2=180°-60°=120°.

故选：D.

【变式1-1]（2021秋♦长沙期中）如图，点。，石分别在的边曲，BC上,过B4上的点

F（位于点、D上方）作尸G〃BC,若NAFG=42°,则NOEB的度数为（）

D

A.42°B.48°C.52°D.58°

【解题思路】根据R7〃BC,得NOBE=N4/G=42°,由。得NBZ)E=90°,由NOEB=180°

-"BE-N"北即可解答.

【解答过程】解〈FGHBC,4FG=42°,

：・NDBE=NAFG=42°,

'：DEYAB,

••・NBQE=90°,

JNOEB=1800-ZDBE-ZBDE

=180°-42°-90°

=48°.

故选:B.

【变式1-2］（2021春•萝北县期末）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果Nl=65°,那么

N2的度数为（）

【解题思路】利用平行线的性质可得/3的度数，再利用平角定义可得N2的度数.

【解答过程】解：•・力〃力,

/.ZI=Z3=65°,

VZ4=90°,

AZ2=180°-90°-65°=25°,

故选：C.

b

【变式1-3］（2021•临沐县模拟）如图，已知48〃CO,NA=56°,NE=18°,则NC的度数是（）

【解题思路】设AE与CO交于点。，由A4〃CO,利用“两直线平行，同位角相等”可得出/。0£的

度数，再利用三角形内角和，即可求出NC的度数.

【解答过程】解：设4E与CQ交于点。，如图所示：

AZDOE=ZA=56a.

•：ZDOE=ZC+ZE,ZE=18°,

：,ZC=ZDOE-ZE=56°78°=38°.

故选：D.

【题型2两直线平行内错角相等】

【例2】（2021春•宁阳县期末）如图，C7）是/AC8的平分线，NACB=82°,NB=48°,DE//BC.求

NKOC和N8OC的度数.

【解题思路】山平分线的性质可得N8CO的大小，又由平行线及三角形内角和定理可得/EDC和NBOC

【解题思路】根据平行线的性质，可以得到若要使人与/2平行，则N1和/2相等，再根据/2的度数和

图形中原来N1的度数，从而可以得到若要使人与12平行，则人绕点。至少旋转的度数.

【解答过程】解：若人与/2平行，

则N1和N2相等，

VZ2=42°,

AZ1=42°,

・•・若要使人与/2平行，则人绕点。至少旋转的度数是80°-42°=38°,

故选：4.

【变式2-3]（2021•中原区校级开学）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）

如图，已知：CD平分NAC8,AC//DE.CD//EF,求证：EF平分/DEB.

证明：・・・CO平分NAC3（已知），

・・・NDCA=/DCE（角平分线的定义），

f：AC//DE（已知），

：.ZDCA=（ZCDE）,

・・・NOCE=NCOE（等量代换），

'：CD//EF（已知）,

AZDEF=ZCDE（两直线平行，内错角相等）,

ZDCE=ZBEF（两直线平行，同位角相等）,

・•・/DEF=/FEB（等量代换）.

1・EF平分NDEB（角平分线的定义）.

【解题思路】根据平行线的性质和平行线的判定及等量代换等来完成解答即可.

【解答过程】证明：・・・C。平分NACB（已知），

・・・NDC4=NOCE（角平分线的定义），

VAC//DE（已知），

・・・NOCA=NCOE（两直线平行，内错角相等），

：,ZDCE=ZCDE（等量代换），

\*CD//EF（己知）,

・・・NOE/=NCOE（两直线平行，内错角相等），

NDCE=/FEB（两直线平行，同位角相等），

:.NDEF=/FEB（等量代换），

・・・石/平分/OEB（角平分线的定义）.

故答案为：ZDCE：NCDE,已知，NDEF,两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；Z

DEF；NFEB；角平分线的定义.

【题型3两直线平行同旁内角互补】

【例3】（2021春•椒江区期末）如图，AB//CD,AB//GE,ZB=110°,ZC=100°.N8F。等于多少

度？为什么？

【解题思路】由八得CD//GE,根据两直线平行，同旁内角互补得到/B+N8/G=180°,

NC+NCPE=180°,而NB=U0",ZC=100°,可以求出N8FG和NCPE,最后可以求出N8FC.

【解答过程】解.：NBFC等于30度,理由如下：

'：ABUGE,

•••N8+/3/G=180°,

VZfi=110°,

AZfiFG=180°-110°=70°,

•:AB"CD,AB〃GE,

:‘CD"GE,

・・・NC+NCFE=180°,

VZC=100°.

/.ZCFE=180°-100°=80°,

・・・N8尸C=180°-ZBFG-ZCF£=180°-70°-80°=30°.

【变式3-1]（2021秋•北陪区校级期末）如图，AB//CD,CD//EF.Zl=Z2=60°,NA和NE各是多

少度？它们相等吗？

【解题思路】先根据人8〃CO得出NA的度数，再由求出NE的度数，进而可得出结论.

【解答过程】解：・.・AB〃C。（已知），

AZA=180°-Zl=I80°-60°=120°（两直线平行，同旁内角互补）.

*：CD//EF（已知），

/.ZE=1800-Z2=180a-60°=120°,

；・NA=NE.

♦NA和和七都是120度,它们相等.

【变式3-2]（2021•怀宁县模拟）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条

【解题思路】直接利用平行线的性质以及含有30°角的直角三角板的特征进而得出答案.

【解答过程】解：如图：

C

根据题意得N2=60°,Zp=85°,

•••/2=60°,Zl+Z2+Zp=180°,

AZ1=18O0-Z2-Zp=180°-60°-85°=35°,

•:AB"CD,

AZa+Z1=180°,

AZa=180°-ZI=180°-35°=145°.

故选：B.

【变式3-3](2021春•汉阳区期中)如图，EF//AD,AD//BC,CE平分N4CEZDAC=3Z«CF,ZACF

=20°,

(1)求NQAC的度数.

(2)求//EC的度数.

(3)当NZ?为多少度时，ZZ?AC=3ZZ??并说明此时A3与AC的位置关系.

【解题思路】（1）直接利用隹平分线的定义结合平行线的性质得出答案；

（2）利用已知得出针〃CB,进而得出答案；

（3）利用NA4C=3N3,利用平行线的性质得出N8=30°,即可得出答案.

【解答过程】解：（1）YCE平分N8CR

・••设N8CE=N/CE=x,

•；/DAC=3NBCF,

：,ZDAC=6x,

*：AD//BC,

.•・/OAC+/4C4=180",

A6x4-2x4-20°=180°,

••・x=20°,

AZDAC=120°:

(2),:EF〃AD,AD//BC,

:,EF〃CB,

：・NFEC=NBCE=20°；

(3)当N8=300时，

VAD//BC,：,ZDAB=ZB,

又•・・NBAC=3N8,

・・・ND4c=4NB=120°,

.\Z5=30°,

・・・NR4C=90°,

：.ABA.AC.

【题型4平行线的判定与性质的综合应用】

【例4】(2021春•江油市期中)如图，直线分别与直线AB,CO相交于点G,H,已知Nl=N2=50°,

GM平分/"GB交直线CD于点M,则()

A.120°B.115°C.130°D.110。

【解题思路】求出N8GM,根据平行线的判定得出43〃CD根据平行线的性质推出N3=NBGA/,利

用补角的定义即可得出答案.

【解答过程】解：如图，

VZl=50°,

r.Z5GF=180°-/I=130",

•..GM平分NBG巴

.•.ZfiGM=izBGF=65°,

VZl=Z2=50°,

：.AB//CD,

・・・N3=N8GM=65°,

AZG/WD=1800-N8GM=I8O0-65°=115°，

故选：B.

【变式4-1］（2021春•五华区期末）如图，Nl=60",Z2=120°,Z3=70°,则N4的度数是（）

A

A.70°B.60°C.50°D.40°

【解题思路】先由邻补角互补求出/5,然后根据N2=/5判断出八〃/2,再根据平行线的性质得出/3

=/6,而N4=N6从而求出N4.

【解答过程】解•：如图所示：

VZl+Z5=180°,

AZ5=180°-60°=120°=Z2,

・・・N3=N6,

VZ3=70°,

/.Z6=70°

N4=N6,

AZ4=70°.

故选:A.

【变式4-2］（2021春•大丰区月考）如图，直线MN分别与直线C。相交于点七，F,EG平分NBEF,

交直线8于点G,若NMFD=NBEF=58°,射线GP_LEG于点G,则NPG/=61或119°.

M

Nf

【解题思路】分两种情况：①当射线GPrEG于点G时，/PGE=90°,②当射线G/〃LEG于点G

时，NPGE=90°,根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出NPG/的度数.

【解答过程】解：如图，①当肘线GP_LEG于点G时，NPGE=90°,

■:NMFD=NBEF=58°,

:.CD"AB,

：,ZGEB=ZFGE,

,：EG平分/BEF,

1

/.ZGEB=ZGEF=|ZBEF=29°,

：.ZFGE=29°,

：./PGF=NPGE-/FGE=5)0-29°=61°；

②当射线GP'J_fG于点G时.ZP'GE=90°,

同理：/P'GF=ZPGE+ZFGE=900+29°=119°.

则NPG产的度数为61°或119".

故答案为：61或119.

【变式4-3](2021春•奉化区校级期末)如图，PQ//MN,A,B分别为直线MN、PQ上两点，且NBAN

=45°,若射线AM绕点4顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至KP后立即I可转，

两射线分别绕点A、点5不停地旋转，若射线AM转动的速度是/秒，射线转动的速度是N/秒，

且〃、b满足|a・5|+9・1)2=0.若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线8Q才开始绕点B逆时

针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动15或22.5秒时,射线AM与射线BQ互相平行.

Q__________yPQ'P

w

备用图

【解题思路】分两种情况讨论，依据NA8Q，=N84M"时，BQ，AM”，列出方程即可得到射线AM、

射线8。互相平行时的时间.

【解答过程】解：设射线4M再转动，秒时，射线4M、射线8Q互相平行.

如图，射线4M绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至A*的位置，NM4M=18X5=90°,

分两种情况：

①当9V/V18时，NQBQ，=f°,NMAM"=5/。，

2JP

。"不7一"

VAN

•・・NBAN=45°=ZABQ,

；・/4月。'=45°-r°,NBAM"=NMAM"-/AT4H=5/-45°,

当NABQ，=NBAM"时，BQ'//AM",

此时，45°-f=5/-45°,

解得/=15；

②当18VK27时，ZQBQ=f,/NAM"=5r°-90°,ABAM"=45°-(5r°-90°)=135°

•・・NBAN=450=ZABQ,

AZABQ,=45°-z°,/BAM"=45°-(5t°-90°)=135°-5t°,

当NA8Q，=NBAM"时，BQHAM”、

此时，45°-t°=135°-5r,

解得7=22.5；

综上所述，射线AM再转动15秒或22.5秒时，射线AM、射线BQ互相平行.

故答案为15或22.5.

【题型5单拐点作平行线】

【例5】（2021春•忻州期中）已知：如图，AB//CD,AP平分/BAC,CP平分/ACQ,求NAPC的度数;

请补全下列解法中的空缺部分.

解：过点尸作尸6〃48交4。于点G.

*：AB//CD（已知）,

・•・NOW+N人€7）=180°（两直线平行，同旁内角互补）,

*：PG//AB（已知）,

・•・NBAP=NAPG（两直线平行，内错角相等）,

且PG〃CD（平行于同一直线的两直线也互相平行），

/.ZGPC=ZPCD（两直线平行，内错角相等），

平分N84C,CP平分NACO.

11

；・NB4P=BAC，ZPCD=ACD.（角平分线定义），

AZBAP+ZPCD=|ZB/1C+|ZACD=9O0（等）代换）,

/.ZAPC=NAPG+NCPG=ZHAP+ZCDP=^.

总结：两直线平行时，同旁内带的角平分线互相垂直.

【解题思路】过点P作PGZM/3交4c于点G,根据平行线的判定与性质，即可得到/APC的度数，进

而得出结论.

【解答过程】解：过点P作PG〃43交AC于点G.

•：AB//CD（已知），

・・・NC4B+NACO=180°（两直线平行，同旁内角互补），

VPG//AB（已知），

・・・NZMP=NAPG（两直线平行，内错角相等），

且PG〃C。（平行于同一直线的两直线也互相平行），

・・・NG尸C=/PCQ（两直线平行，内错角相等），

•••AP平分/84C,C尸平分NAC。，

11

：.^BAP=^DAC,/PCD=今乙ACD（角平分线定义），

・•・ZBAP+/PCD=；匕84。+之乙力CO=90°（等量代换），

AZAPC=ZAPG+ZCPG=Z13AP+ZCDP=90°.

总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线互相垂直.

故答案为：已知；NCA&两直线平行，同旁内角互补：CD；/PCD；BAC；ACD-,角平分线定义：等

量代换：互相垂直.

【变式5-1］（2021•河北模拟）如图，AB//DE,Zl=135°,NC为直角.则NO的度数为（）

A.35°B.40°C.45°D.55°

【解题思路】过点C作C尸〃AB,由题意可求得N84C=180°-Zl=45°,由平行线的性质可得

=N8AC=45°,CF//DE,从而可求NOCr的度数，则可求N。的度数.

【解答过程】解：过点C作CF〃A8,如图所示：

・・・NRAC=1800-Zl=45°,

,:CF〃AB,AB//DE,

AZACF=ZBAC=45°,CF//DE,

：.ZDCF=ZD,

•・•NACO为直角,

AZDCF=900-ZACF=45Z，

.*.ZD=45°.

故选：C.

【变式5-2]（2021•南关区校级一模）将一块直角三角尺和一张矩形纸片如图摆放，若Nl=47°,则N2

【解题思路】过点£作E尸〃4C,由平行线的性质可得JNCE尸=N1=47°,BD//EF,从而可得N2+

ZDEF=180°,结合条件可求得NOE/的度数，即可求解.

【解答过程】解：过点E作E尸〃AC,如图所示：

AZCEF=Z1=47°,BD//EF,

•••N2+NOE尸=180°,

VZCED=90°,

・•・ZDEF=900-ZCEF=43°,

/.Z2=180°-NOE产=137°.

故选：C.

【变式5-3](2021春•重庆期中)己知：AB//CD,E、G是A8上的点，F、〃是CO上的点，Z1=Z2.

(1)如图1,求证：EF//GH-.

(2)如图2,过户点作FM_LG”交GH延长线于点M,作NBE尸、NOBW的角平分线交于点N,EN交

GH于点、3求证：NN=45°；

（3）如图3,在（2）的条件下，作N4GH的角平分线交CO于点Q,若3NFEN=4NHFM,直接写出

【解题思路】（1）由平行线的性质得N1=N3,再由内错角相等得出

（2）过点N作NK〃CQ,设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论;

乙GOH1

（3）由3NFEN=4N”FM结合前面（2）的结论，求出角度可得-77；=

乙MPN4

【解答过程】解：（1）证明：・・・48〃。。，

・・・/2=/3,

XVZ1=Z2,

:.EF//GH；

图1

(2)如图2,过点N作NK〃C。，

：.ZKNE=Z4,Z6=Z7,

设/4=x,Z7=j',

,:EN、W分别平分N8EAZDFM,

ZENK=Z5=Z4=x,Z6=Z8=Z7=>',

又,：AB〃CD,

AZEFD=180°-2x,

又VFMIGH,

AZEFM=90°,

A1800-2x+2>>=90°,

.*.x-y=45°»

/.ZENE=ZENK-Z6=x-_v=45°,

Z.GQH1

(3)--------=~

Z.MPN4

，：34FEN=4/HFM,即3x=4X2y,

.*.A—ay.

*.x-尸—y=45°

：,y=2T,x=72°,

又・・・EN和GQ是角平分线，

・・・GQ_LEN,

・・・NGQ”=NEGQ=180°-90°-72°=18°,

又,：4MPN=4FEN=x=72°,

.乙GQH_1

•,4MPN~4'

故答案为"

4

【题型6多拐点作平行线】

【例6】（2021春•青县期末）直线ZA=125°,ZB=105°,求N1+N2的度数

【解题思路】分别过A、8作4的平行线AC和8。，则可知AC〃/，。〃/1〃/2,再利用平行线的性质求得

答案.

【解答过程】解：如图，分别过A、8作/|的平行线AC和。。，

：.AC//BD//l\//l2,

：.Z\=ZEAC,Z2=ZFBD,ZCAB+ZDBA=\SOa,

ZEAB+ZFBA=\25°+105°=230°,

・・・NEAC+NC4B+NOBA+/FBO=230°,

即N1+22+180°=230°,

【变式6-1](2021春•莱州市期末)(1)如图1,a//b,则Nl+N2=180°

(2)如图2,AB//CD,则Nl+/2+N3=360°,并说明理由

(3)如图3,a//b,则/1+N2+N3+N4=540°

(4)如图4,a//b,根据以上结论，试探究N1+N2+/3+N4+…+/〃=(〃-1)・180°(直接写出

你的结论，无需说明理由)

AB

图2

r\a

Gw

bb

图3图4

【解题思路】（1）根据两直线平行，同旁内角互补解答；

（2）过点E作然后根据两直线平行，同旁内角互补解答；

（3）过N2、N3的顶点作。的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答；

（4）过N2、N3…的顶点作。的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答.

【解答过程】解：（1）

.,.Zl+Z2=180°；

（2）过点E作EF//AB,

*：AB//CD,

C.AB//CD//EF,

・・・N1+/A£尸=180°,

ZCEF+Z3=180°,

r.zi+ZAEr+zCEF+z3=iso°+180°,

即N1+N2+N3=36O°；

（3）如图，过N2、/3的顶点作〃的平行线，

则Nl+N2+N3+N4=180°X3=540°；

（4）如图，过N2、N3…的顶点作。的平行线，

则/1+N2+N3+/4+…+/〃=（n-I）-180°.

故答案为：180°：360°；540°；（/i-1）*180°.

【变式6-2]（2021秋•金凤区校级期末）如图1,己知ZB=30°,ZD=120°：

（1）若N£=60°,则/〃=；

（2）请探索/E与Nb之间满足的数量关系？说明理由：

（3）如图2,已知EP平分NBEF,FG平令上EFD、反向延长尸G交E『于点P,求的度数.

【解题思路】(1)如图I,分别过点E,“作E用〃A-FN//AB,根据平行线的性质得到N3=N3EM

=30°,ZMEF=ZEFN,ZD+ZDFN=\S0°,代入数据即可得到结论；

(2)如图1,根据平行线的性质得到/8=N8£M=30°,NMEF=/EFN,由A8〃CO,AB//FN,得

到。。〃硒，根据平行线的性质得到/。+/。皿=180°,于是得到结论；

(3)如图2,过点尸作H/〃EP,设,则N&7)=(2x+30)°,根据角平分线的定义得到

NPEF=〃BEF=x。,ZEFG=^ZEFD=(x+15)°,根据平行线的性质得到/以/二/七"/：/,

/P=/HFG,于是得到结论.

【解答过程】解：(1)如图1,分别过点E,尸作用必〃A3,FN//AB,

：.EM//AB//FN,

・・・N8=N8EM=30°,ZMEF=ZEFN,

又・・・48〃CQ,AB〃FN,

：.CD//FN,

••・/。+/。硒=180°,

又・・・/。=120。,

AZDF^=60°,

:./BEF=NMEF+30°,NEFD=NEFN+60。,

・•・ZEFD=ZMEF+GO0

：.ZEFD=ZBEF+30a=90"；

故答案为：90°；

(2)如图1,分别过点E,尸作EM〃4&FN//AB,

：,EM//AB//FN.

，/B=NBEA7=30°,NMEF=NEFN,

又"：AB〃CD,AB//FN,

:.CD〃FN,

：.ZD+ZDFN=}S00,

又•・•/£)=120°,

:,ZDFN=60°,

AZBEF=ZMEF+300，NEFD=NEFN+60”,

，NEFD=NMEF+6(y：

/.ZEFD=ZBEF+3O0；

(3)如图2,过点F作FH//EP,

由(2)知，/EFD=NBEF+30°,

设N8EF=2x°，KZEFD=(2x+30)°,

VEP平分NBEF,GF平分NEFD,

・・・NPEF=、NBEF=x。，NEFG=NEFD=(x+15)°，

■:FH//EP,

：.ZPEF=ZEFH=x°,NP=N”FG,

VZHFG=ZEFG-ZEFH=15°,

.\ZP=15°.

【变式6-3]（2021春•研口区期末）已知直线E厂分别交直线4B、CD于点G、H,Nl+N2=180°.

（1）如图I,求证：AB//CD；

（2）如图2,〃、N分别为直线A4、。。上的点，P、Q为直线AB、CO之间不同的两点，ZPMQ=2

/BMQ,/PNQ=2/DNQ,NMQN=30°.

①求证：PM工PN；

②如图3,NEG8的平分线GL与NMPN的邻补角NM尸丁的平分线PL交于点L,NPNH的平分