专题135 角平分线的判定与性质【八大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）

专题13.5角平分线的判定与性质【八大题型】

【人教版】

♦题型梳理

【题型1利用角平分线的性质求长度】............................................................1

【题型2利用角平分线的性质求面积】............................................................6

【题型3利用角平分线的性质证明】..............................................................10

【题型4角平分线的判定】......................................................................17

【题型5尺规作角平分线】......................................................................23

【题型6角平分线的性质与判定综合运用】.......................................................28

【题型7利用角平分线的性质判断多结论问题】...................................................40

【题型8角平分线的性质的实际应用】...........................................................46

►举一反三

【知识点1角平分线的性质】

角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分/ADB,点P是CD上一点，且PE_LAD于点E,PF_LBD于点F,则PE=PF.

【题型1利用角平分线的性质求长度】

【例1】（2023春・辽宁丹东•八年级统考期末）如图,4C平分4048,CE1AB,BC=DC,AB=17,AD=9,

则/E的长为（）

/E6

A.13B.12C.1LID.10

【答案】A

【分析】过点。作CF1AD,交710的延长线于点尸，由HL可证明RtAOFC=Rt△8EC和Rt△/FC三RtA/EC,

从而得到BE=DF^AF=AE,利用力8+AD=AE+BE+AF-DF=2力£即可得到答案.

【详解】解：过点C作C尸14。，交力。的延长线于点F,

•••AC平分匕048,CE工AB于点、E,CF_L力。于点F,

:.CF=CE,Z.DFC=Z.BEC=90°,

在RtziDFC和RtzxBEC中，

(CE=CF

lCD=CB'

•••RtADFC^RtAMC(HL),

:.BE=DF,

在尸C和RtZk/EC中，

(CE=CF

14c=AC'

Rt△AFC三Rtz\4EC(HL),

.-.AF=AE,

-AB=17,AD=9,

•••AB+AD=AE+BE+AF-DF=2AE=17+9=26,

AE=13.

故选：A.

【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题

需要的条件，利用全等三角形的性质和角平分线的性质解答.

【变式1-1](2023春•贵州•八年级统考期末)如图,^AB||CD,射线力E平分(BAG过点E作EH1AC于

点H,作EF1A8于点R并延长F£1交CD于点G,连接CE.若N/lfC=90°,EH=1则FG的长为.

A

【分析】先根据平行线的性质可得乙84C+N/CD=180。，再根据角平分线的定义和“等角的余角相等“可得

乙ACE=LECD,再由48||C，GF_L4B,可得GF_LCD,由角平分线的性质可得EF=E",EG=E",即可

求出FG的长.

【详解】-AB||CD,

:.LBAC+Z-ACD=180°,

Rll/BAE+Z.CAE+Z.ACE+乙ECD=180°.

VZ/4EC一900,

•••Z.CAE+Z-ACE=90°,

Z.BAE4-/,ECD=90°.

,・NE平分血1C,

:.Z.BAE=Z.CAE»

AZ.ACE=Z.ECD»

••・CE平分乙力CO.

vAB||CD,GFA.AB,

•••GF1CD.

•••EHJ.AC,

EF=EH=1,EG=EH=1,

：.FG=EF+EG=2.

故答案为：2

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，”等角对等边熟练掌握以上知识，且证明CE平

分乙4co是解题的关键.

【变式1-21（2023春•福建漳州•八年级校考期中）如图,△ABC中，乙4=90。,CD是△4BC的角平分线,。E1BC

于点E,若=8cm,AC=6cm,BC=10cm,则△BCE的周长是cm.

【答案】12

【分析】根据角平分线的性质得出DE=40,再证=RtADFC(HL),推出CE=4C,进而解答即

可.

【详解】解：•••N/=90。，CO是△/8C的角平分线，OEJ.BC于点E,

ADE=AD,

在RtaZMC和RtZiDEC中，

(DE=DA

lOC=DC'

Rt△DAC=RtADFC(HL),

•••AC=EC,

.*.△BDE的周长=BD+DE+BE=BDAD+BE=AB+BC-CE=AB+BC-AC=8+IQ-6=

12(cm),

故答案为:12.

【点睛】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据角平分线的性质得出

DE=AD.

【变式1-31(2023春•陕西西安•八年级陕西师大附中校考开学考试)如图，A8C中，乙力=90%AB=AC,

乙4BC的平分线BD交AC于点D,CE1BD,交8。的延长线于点E,若BD=5,则CE的值为.

B

E

【答案】|

【分析】延长B力、CE相交于点尸，由角平分线的性质可得-18D=利用ASA证明△BCEwaB尸E,得

到CE=”，根据同角的余角相等得到々180=N/iCF,通过ASA证明△/BO三得到80=",从而

即可得到答案.

【详解】解：如图，延长84、CE相交于点F,

•••80平分NABC,

•••Z.ABD=乙CBD,

vCE1BD,

，BEF=乙BEC=90°,

在A8CE和△8FE中，

(Z.ABD=Z.CBD

BE=BE，

I乙BEF=乙BEC=90°

.-.ABCERWE(ASA),

:.CE=EF,

vZ.BAC=90°,CE1BD,

LACF+zF=90°,Z.ABD+乙尸=90°,

•••£ABD=£ACF,

•••ABAC=90°,^BAC+Z-CAF=180°,

•••Z.BAC=Z-CAF=90°,

在八480和44。尸中，

(乙ABD=Z.ACF

AB=AC,

{^BAC=^CAF=90°

△△ABD三△力CF(ASA),

BD=CF

VCF=CE+EF=2CE,

BD=2CE=5,

故答案为:

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，熟练掌握全等三角

形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，添加适当的辅助线，是解题的关键.

【题型2利用角平分线的性质求面积】

【例2】（2023春•陕西西安•八年级校考期末）如图，已知△48C的周长是18,08,。。分别平分乙4BC和41C8,

0D18c于D,且0。=2,则445。的面积是（）

【答案】C

［分析］由角平分线的性质得到0M=0D=ON,由4的面积=△40B的面积+△08C的面枳+△OAC^J

面积，^-BC+AC).0D,由△48。的周长二18,0D=2,即可求出AABC的面积

2

=-x18x2=18.

2

【详解】解：过。作。M14B于M,0/7,4。于乂

•：0B,0C分别平分N/1BC和N4CB,

：,0M=0D,ON=0D,

V4ABC的面积=△4。8的面积+△的面积+△的面积，

:.A48C的面积=^AB-0M+^BC-0D^AC-ON=1(/1F+FC+AC).0D,

的周长=18,0D=2,

:.448c的面积=1x18x2=18.

故选：C.

A

【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式得到△力BC的面积=

^(AB+BC+ACyOD.

【变式2-11（2023春・河南洛阳•八在级统考期末）如图，已知在△/I8C中，CO是边上的高线，8E平分乙48C,

交CD于点E,8c=10,DE=3,则△8CE的面积等于（）

13C.15D.30

【答案】C

【分析】过E作EF_L8C于凡根据角平分线性质得出EF=DE=3,根据三角形面积公式求出即可.

【详解】解：过E作£T_L8C于F,

•••CD是48边上的高线，BE平分NABC,

•••EF=DE=3,

vBC=10,

••・△8CE的面积为；XBCXEF=15.

故选C.

【点睛】考查了三角形的面积和角平分线性质，能根据角平分线性质求出D£=EF是解此题的关键，注意:

角平分线上的点到角两边的距离相等.

【变式2-2]（2023春福建福州,八年级校考期中）如图，乙B=KC=90。，4E平分NBAD,0E平分乙ZX4C,

【答案】5:2

(分析】过点E作“140于心根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BE=EF,然后证明Rt△ABE=

RtAAFE(HL),根据全等三角形的面积相等可得SM8E=SMFE，同理可得：S^EFD=S^ECD,设S.DE=2k,

5△486=34,表示出S4ADE=5/c,然后求解即可•

【详解】如图，过点E作EFJ.4。于F,

VzB=90°,

：,EBLAB,

•・•8£平分438。，

：・BE=EF,

在RtzMBE和8△ArE中，

(AE=AE

iBE=EF'

ARtATlFF=RtA?lFE(HL),

•C^ABE=5AAFE，

同理：S&EFD=S&ECD，

设SACDE=2k,S^ABE~3k,

•・SA4CE=S&AFE+S^EFD=+SMDE=3/c+2k=5k,

:・S&ADE：SADCE=5k:2k=5:2，

故答案为：5:2.

【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作

辅助线构造出全等三角形是解题的关键.

【变式2-3］（2023春♦山东枣庄•八年级校考期末）如图,4。是△ABC的角平分线，。尸148,垂足为=DG,

△ADG^^的面积分别为50和4.5,则4AED的面积为.

【答案】41

【分析】过点。作DH14C于H,艰据角平分线上的点到角的两边距离相等可得OF=DH,再利用“HL”证明

Rt^ADF^RIYADH,Rt△DEF三Rt△OG”，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可.

【详解】解：如图，过点。作。“1/C于"，如图，

•・YD是△力BC的角平分线，DFLAB,DHLAC,

：.DF=DH,

在Rt/MDF和RtZkADH中，

(AD=AD

bf=DH'

：.RtA/lDF=RtA/lDH(HL),

•'•SRIAAOF=S&AADH,

在Rt^CE/和RtaDGH中，

(DE=DG

IDF=DH'

/.RtADFF=RtAD(7//(HL),

•*,ADEF='S'RtAD«7H»

•・N4DG和△£1/1)的面积分别为50和4.5,SRtAj4D£+SRtADFF=SA4DC-SRt△.”，

••SRSADE+4.5=50—4.5

•,^RtAZIDE=4L

故答案为：41.

A

【点睛】本题主要考查/角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟记性质并作出辅助线构造全等三角

形是解题的关键.

【题型3利用角平分线的性质证明】

【例3】(2023春・四川绵阳•八年级校考期中)如图，已知a二60。，力£8。是△48。的角平分线，且交于

点P.

⑴直接写出的£='

(2)求证：PD=PE；

(3)探究48、AD.BE的数量关系.

【答案】(1)120

(2)见解析

(3)48=AD+BE

【分析】(1)根据角平分线平分线以及三角形的内角和定理，求出44PB的度数，对顶角相等，即可得到

的度数；

(2)过点P作尸FJ.48,PG_L4C,PH_LBC,证明aPG。咨即可得证；

(3)在48上截取8M=BE,证明△BPMgaBPE,△4PM且△APO即可得出结论.

【详解】(1)解：・・2C=60°,

：,LABC+乙CAB=180°一乙C=120°,

•ZE,BD是的角平分线,

：.LPAB=-Z.CAB,Z.PBA=-Z-CBA,

22

：,LPAB+Z-PBA=-Z.CAB+-Z-CBA=60°,

22

：.£APB=180°-^PAB+LPBA)=120°,

工&DPE=Z-APB=120°；

故答案为：120；

(2)证明：1AB,PGLAC,PH1BC,

c

•ZE,BD是△48。的角平分线，且交于点P,

：,PG=PF=PH,

VzC+Z,PGC+Z.PHC+乙GPH=180°,

:•乙GPH=120°,

,:乙DPE=120°,

:•乙DPG=乙EPH,

:MPGD组PHE,

:・PD=PE；

(3)解：在48上截取BM=8E,

C

=APBE,

•:BP=BP,

二公BPMW^BPE,

・LBPM=Z.BPE=1800-/.APB=60°,

：.LAPM=4AP8-乙BPM=60°,

'：LAPD=1800-LAPB=60°,

：.LAPD=AAPM,

•••/IP平分NO/IB,

：.ADAP=/.MAP,

又祝=AP,

Z.AAPM^AAPD,

/.AM=AD,

：.AB=AM+BM=AD+AE.

【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加合适的辅助线，证明三角

形全等.

【变式3-1]（2023春•江苏扬州•八年级统考期末）如图，MBC中，。为8c的中点，DE1BC交乙84C的平分

线于E,EF1AB,交AB于F,EG1AC,交4c的延长线于G,试问：8F与CG的大小如何？证明你的结论.

【答案】相等，证明见解析

【分析】连接EB、EC,利用角平分线的性质和垂直平分线的性质可得EF=EG、EB=EC,然后借助“HL”证明

RSEFB三RSEGC,由全等三角形的性质可证明8F=CG.

【详解】BF与CG的大小关系为相等.

证明如下：连接E8、EC,如下图，

A

♦.•力+'是N8AC.的平分线，且七F1A5于尸，上G1AC于G,

:・EF=EG,

VED1FCFD,。是8C的中点，

：.EB=EC,

:.RtAEFBmRtAEGC(HL),

：,BF=CG.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质以及垂直平分线段的性质，正确作出辅

助线，熟练掌握相关判定与性质是解题关键.

【变式3-2](2023春・湖北荆门•八年级校联考期末)如图，已知ZMBC中，乙BAC、〃"的平分线交于O,

A0交BC于D,8。交AC于£连接。C,过。作。/1BC于F,

C

(1)试判断乙4。8与ZC。尸有何数量关系，并证明你的结论；

(2)若41c8=60。，探究0E与。。的数量关系，并证明你的结论.

【答案】(1)乙〃。8+4；。尸=180。，证明见详解

(2)。£=0。，证明见详解

【分析】(1)过。作0M14c于M,ON148于M根据角平分线性质求HlOM=ON=。尸，求出CO平分乙4CB,

求出=90。+344。氏LCGF=90°-ZOCF,即可求出答案.

2

(2)求出4MOE=，COF,乙0ME=LOFD,根据AAS证出△MCE三△尸0。即可.

【详解】(1)Z.AOB+Z.COF=180°,

证明：过。作0M1AC于M,ON1ABTN,

•••力。平分NC43,BE平分匕CBA,OF1BC,

：.0M=ON,ON=OF,

•••OM=OF,

・・・0在44CZ7的角平分线上,

•LOCF=*C8,

2

'：0F1BC,

：.Z.CFO=90°,

:.乙COF+乙OCF=90°,

：.LCOF=90°-ZOCF,①

•入。平分BE平分/必,

:.LOAB=1乙CAB,LOBA=1Z.CBA,

：.LAOB=180°-(40A8+408,4)

1

=180。-5(iC4B+zT8A)

乙

1

=180。-5(180。一乙4CB)

J

1

=90。+产4cB

=90。+4。6,②

由®®得：/-AOB+LCOF=90°+Z,OCF+900-Z.OCF=180°：

(2)OE=OD,

证明：\^ACB=60°,

・•・由(1)知：Z.AOB=90°+1z^CF=900+30°=120°,

：.£EOD=乙408=120°,

\'0M1AC,OF1BC,

：,LOME=Z-OFD=90°,NCMO=乙CFO=90°,

AzMOF=360°-90°-90°-60°=120°,

：,LMOE=Z-DOK=IZIT-NM。。，

在AEOM和△OOF中

(LOME=Z.OFD

△MOE=乙DOF

(OM=OF

AAEOM三△DOF(AAS),

：・0E=OD.

【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生

的推理能力.

【变式3-3](2023春•湖北荆门•八年级校联考期末)如图,已知△48。中，ABAC,乙48c的平分线交于O,

4。交BC于£>,80交4c于E,连0C,过。作。尸_L8C于尸.

⑴试判断Z40B与〃W有何数量关系，并证明你的结论；

(2)若44C8=60。，探究OE与。。的数量关系，并证明你的结论.

【答案】(I)4408+4(70斤=180°,见解析

(2)0E=OD,见解析

【分析】(1)过。作。M1AC于M,ONJ.AB于N,根据角平分线性质求出OM=ON=。凡求出CO平分

^ACB,求出4囚。8=90°+g匕力C3,乙COF=9口。一乙OCF,即可求出答案.

(2)求出/MOE=乙DOF,Z.OME=Z-OFD,根据AAS证出△MGE=△尸0。即可.

(详解](1)“OB+Z.COF=180°,

证明：过。作0MlAC于M,ON1ABTN,

•••/ID平分N(L48,BE平分4CBA,OF1BC,

：.0M=ON,ON=OF,

：.0M=OF,

・・・。在〃CB的角平分线上，

：,LOCF=^£.ACB,

a：0F1BC,

：.LCFO=90°,

AzCOF+zOCF=90°,

：.z.COF=900-Z,OCF,①

,ZO平分，U4B,RE平分"BA.

:.LOAB=-Z,CAB,乙OBA=-Z-CBA,

22

：.LAOB=180°-(40A8+4。8.4)

=180°-1(zC/4F+zC5>4)

1

=180°--(180°-z/lCfi)

乙

1

=90。+产4cB

=90。+4。6,②

由®®得：/-AOB+Z.COF=90°+Z,OCF+90°-LOCF=180°：

(2)OE=OD,

证明：'：LACB=60°,

Art](1)知：/-AOB=90°+-Z-ACB=90°+30°=120°,

工乙EOD=AAOB=120°,

,：OM1.AC,OF1BC,

：,LOME=Z.OFD=90°,LCMO=乙CFO=90°,

:.乙MOF=360°-90°—90°-60°=120°,

C.LMOE=Z-DOF=120。一匕MOD,

在AEOM和4。。尸中

(△OME=乙OFD

UMOE=乙DOF

(OM=OF

：.4EOM=ADOF(AAS),

：,OE=OD.

【点睛】本题考杳了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，主要考杳学生

的推理能力.

【知识点2角平分线的判定】

角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE_LAD于点E,PF_LBD于点F,PE=PF,贝i」PD平分NADB

【题型4角平分线的判定】

【例4】(2023春•广东江门•八年级台山市新宁中学校考期中)如图，在4AOB^LCOD中，。/=OB,OC=OD

COA<OC),=NCOC=%直线4C,8。交于点M,连备OM.

(1)求证：AC=BDx

(2)用a表示乙4MB的大小;

(3)求证：OM平分乙4MD.

【答案】(I)见解析:

⑵。；

⑶见解析.

【分析】⑴用SAS证明△力。C三△8。。，根据全等三角形的性质，即可得证；

(2)根据三角形外角的性质得+乙OBD=Z.OAC+NAOB,再由△AOCBOD可得乙OAC=Z-OBD,

即可得到结论：

(3)作OGJ.4M于G,OH工DM于H,则4OG4==90。，利用AAS证明△04G三△OBH,由全等三角

形的性质可得OG=OH,再根据角平分线的判定定理即可得证.

【详解】(1)证明：•••匕力。8=4?。。=防

:.Z.AOB+乙BOC=乙COD+480C,^LAOC=乙BOD,

在△AOC和△30。中，

0A=0B

Z.AOC=Z.BOD,

0C=0D

•••△40C三△BOD(SAS),

:.AC=BD,

(2)解：由三角形的外角性质得：/-AMB+WBD=WAC+Z-AOB,

由(1)得△力。。三△BOD(SAS),

:.LOAC=Z.OBD,

•••Z.AMB=Z.AOB=a,

(3)证明：作0G1AM于G,OHLDM于H,如图所示，

则40G力=乙OHB=90°,

在AOAG和△08H中，

Z.0GA=乙0HB

Z.0AC=Z.OBD,

0A=0B

OAG>OBH(AAS),

OG=OH,

•••06_14”于6,OH工DM于H,

•••M。平分乙4MD,

【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的判

定，证明三角形全等是解题的关键.

【变式4-1](2023春•河北唐山•八年级统考期中)已知,如图，在△式BC中,AB=AC,在△ADE中,AD=AEt

R^BAC=^DAE,连接CE交于点、F,连接4凡

(1)求证：△ABD=△ACE；

(2)求证：^BFA=^AFE.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据SAS证明结论即可；

作力。于作于由可得S=然后根据角平分线的性质

(2)M18M,4N1CEN.(1)80=hBADSACAE,

即可解决问题.

【详解】(1)解：证明：•••△B4C=4/X4E,

•••Z.BAC+Z.CAD=Z.DAE+Z.CAD,

即，84。=Z-CAE,

•:在△BAD^\LC4E中，

(AB=AC

l/LBAD=Z.CAE，

(AC=AE

••.△BAD三△CAE(SAS)；

(2)如图，作于M,作4VleE于N.

由ABAD三4CAE,

BD=CE,S&BAD=S&CAE,

v--BD-AM=--CE-AN

22f

AM=AN,

.•.点4在乙BFE平分线上,

•••FA平4》乙BFE,BPzBF/1=LAFE.

【点睛】本题考杳全等二角形的判定和性质、二角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等二角形的判定和性

质，学会转化的思想，求而想到求面积，属于中考常考题型.

【变式4-2］（2023春・浙江温州•八年级校考期末）平行四边形力BCD中，E、尸分别是BC、4B上的一点，4E与

CF相交于P,^.AE=CF.求证：Z.DPA=Z.DPC.

【答案】见解析

【分析】过。作DQJLAE,DGLCF,由雇人.=＞酎孔。=5皿皆可得：美丝=医生，进而得出DQ=DG,

得出PD为N4PC的角平分线，即可证明结论.

【详解】证明：过。作OQ_L4E,OGJLC凡连接0/和OE,如图所示：

BEC

则SAADE=/eABCD=^ADFC»

.AE»DQDG»FC

••----=',

22

又・・NE=FC,

：・DQ=DG,

.••PO为N4PC的角平:分线,

：.LDPA=PC（角平分线逆定理）.

【点睛】本题考查平行四边形和角平分线的性质，有一定的难度，解题的关键是准确作出辅助线，利用角平

分线的性质进行证明.

【变式4-3］（2023春・广东广州•八年级校考期中）如图，四边形4BCD中,BC=CD,LBCD=120°,E,F

分别为48,4。上的点,Z.ECF=LA=60°.

（1）求证：EF=BE+DF.

（2）求证：点C在乙44。的平分线上.

【答案】（1）证明见解析

⑵证明见解析

【分析】（1）延长力。至点G,使得。G=BE,连接CG,利用四边形内角和，易证ZkBCE三ADCGISAS）,得

到CG=CE,乙BCE=ZJ）CG,再证明△CE9三△CGF（SAS）,得到EF=FG,即可证明结论；

（2）过点。作CN1AB.CM1AG,易证△CNE=△CMG（AAS）,得到GV=CM,根据角平分线的判定定理,

即可证明结论.

【详解】（1）证明：如图，延长AD至点G,使得OG=BE,连接CG,

A

•••四边形A8C0的内角和为360。，R^BCD=120°,乙4=60。,

:.乙B+Z.ADC=180°,

vZ.ADC+Z.CDG=180°,

/B=Z.CDG,

在A8CE和ADCG中，

(DC=CD

Z/?=乙CDG,

(BE=DG

BCEDCG(SAS),

•••CG=CE,乙BCE=Z.DCG,

二乙BCD=乙BCE4-乙ECD=乙DCG+(ECD=Z.ECG=120%

vZ.ECF=60°,

LFCG=乙ECG-LECF=60°,

Z.ECF=dCG,

在ACEF和ACG"中，

(CE=CG

UECF=LFCG,

(CF=CF

.•.△CEF=△CG/(SAS),

:.EF=FG=DG+DE=BE+DE；

(2)证明：如图，过点C作。NJL48交718于点N,CM_L4G交HG于点M,

A

BCE=△DCG9

•・•iCEN=乙G,CE=CG

在ZiCNE和ZkCMG中，

(Z.CNE=乙CMG=90°

乙CEN=Z.G,

(CE=CG

•••△CNZ?CMG(AAS),

CN=CM,

.•.点C在NR4O的平分线上.

【点睛】本题考查了多边形内角和，全等三角形的判定和性质，揖平分线的判定定理，作辅助线构造全等三

角形是解题关键.

【知识点3角平分线的作法】

①以O为圆心，适当长为半径画瓠，交OA于D,交OB于E.

②分别以D、E为圆心，大于」DE的长为半径画弧，两弧在NAOB内部交于点C.

2

③画射线OC.即射线OC即为所求.

【题型5尺规作角平分线】

【例5】(2023春•山东滨州•八年级统考期末)如图，在△力风:中，8。是高，8E是角平分线,LEBD=10°,

乙C=60°.

(1)尺规作图(保留作图痕迹)：作△BED的角平分线EF；

(2)在满足⑴的条件下，求证：EF||AB.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据要求作出图形：

(2)证明=Z2=40。，可得结论.

【详解】(1)解：如图，线段EF即为所求;

(2)证明：•••BDLAC,

•••乙BDC=Z.BDA=90°,

•••ZC=60°,

••.zC5D=90°-60°=30°,

•••Z.EBD=10°,

:.Z.EBC=2EBD+乙CBD=40°,

•••BE平分448C,

:.Z.ABE=乙CBE=40°,

AZ.ABC=2Z.ABE=80°,

Z.A=180。一4C-乙ABC=40°,

••乙BEC=^A+LABE=80°,£7平4)•4BED,

：.Z.FEC=^Z-BEC=40°,

:.乙FEC=z.A=40°,

:.EFWAB.

【点睛】本题考查作图-基本作图，平行线的判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活

运用所学知识解决问题.

【变式5-1]（2023春•陕西西安•八年级西北大学附中校考期木）如图，AABC,ZC=9UU,请任AC上找一

点D,使点。到48的距离等于CD.（尺规作图，不写作法，保留痕迹）

【答案】见解析

【分析】如图：用尺规作图作乙B的角平分线与4c的交点。即为所求.

【详解】解：如图：点。即为所求.

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、角平分线的尺规作图等知识点，掌握角平分线上的点到角的两边

距离相等是解答本题的关键.

【变式5-2]（2023春・山东青岛•八年级统考期末）（I）作图（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留

作图痕迹）

已知：Rt△AOB,=90°.

求作：射线。C,使射线。。与力8交于点C,且乙4。。=乙8。。.

（2）说明

请根据你的作图，说明4Aoe=4。。的道理.

（3）应用

若在Rta^OB中，0A=12,BC=4,则△力0C的面积为.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）24

【分析】（1）根据角平分线的基本作法作图；

（2）连接。/和EF,由作图得OD=OE,DF=EF,利用SSS证明△。0尸三△OEF,进而可得结论；

（3）过C作。HJL。?1交0A于7/,根据角平分线的性质可得8。=CH=4,再由三角形的面积公式求解.

【详解】解：（1）如图，以点。为圆心，适当长为半径画弧交。瓦。4于点0,E,再分别以点0,E为圆心,

大于小长为半径画弧交于点心连接。入交48于C,

0C即为所求：

(2)连接DF和EF,

由作图得：0D=OE,DF=EF,

'：0F=OF

/.AODF=△OFF(SSS),

：.LD0F=乙EOF

即：Z.A0C=Z.BOCt

(3)过C作CH10/1交OA于H,

B

•；=乙BUC,Z-B=90v,

：,BC=CH=4,

•••ZiZlOC的面积为：1xO/!xCW=1xl2x4=24,

故答案为:24.

【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，掌握角平分线

的性质是解题的关键.

【变式5-3](2023春・北京•八年级校考期中)在△4BC中，AB>BC,直线/垂直平分4C；作乙1BC的平分

线交直线/于点D,连接4D,CD；

(I)?那作图补全图形;

(2)判断乙BAD和4BCD的数量关系，并证明.

【答案】(I)见解析

(2)LBAD+乙BCD=180°；证明见解析

【分析】(1)根据尺规作角平分线的方法作图即可；

(2)DMJ.AB交AB于点M；作ON_L8C交8c的延长线于点N：构造△DM4三Rt△ONC(HL)口J■得40=

乙DCN；进而得出结论；

【详解】(1)解：作图如下：

A

(2)解：LBAD+/.BCD=180°；理由如下：

如图，作OMI48交AB于点M；作ONI8C交BC的延长线于点N；

VZ垂直平分AC

：.DA=DC

分4

：.DM=DN

^.Rt△DMA和RCAONC中

(DA=DC

tDM=DN

:・Rt△DMA三Rt△ONC(HL)

：,LBAD=乙DCN

■:乙DCN+乙BCD=180°

：.^BAD+ABCD=180°

【点睛】本题考查了尺规作角平分线、中垂线的性质、角平分线的性质；运用角平分线的性质构造全等三角

形是解题的关键.

【题型6角平分线的性质与判定综合运用】

【例6】(2023春•四川达州•八年级校考期中)如图,△ABC中，点。在边8C延长线上,乙4cB=100。,乙ABC

的平分线交40于点E,过点E作垂足为"且乙CEH=50。.

A

E

BCHD

(1)求乙4CE的度数；

⑵求证：4E平分44F；

(3)若AC+CD=14,AB=10,且=21,求△48E的面积..

【答案】(1)40。

(2)见解析

⑶15

【分析】(I)根据邻补角的定义和垂直的定义可得〃CD=80。、ACHE=90°,进而得到NECH=40。,然后

根据/ACE=AACD-ZECH即可解答；

(2)如图：过七点分别作EMJ.8F于M,ENJ.4C与M根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可

得EM=EH、CE平分乙4CD、EN=EH,最后根据角平分线的判定定理即可解答；

(3)根据S-C。=S“CE+SKED结合已知条件可得EM=3,最后运用三角形的面积公式即可解答.

【详解】(1)解:*：/.ACB=100°,

：.AACD=180°-100°=80°,

■:EH1BD,

・"CH£=90。，

•・NCEH=50°,

:•乙ECH=90°-50°=40°,

/.LACE=Z.ACD-Z.ECH=80°-40°=40°.

(2)证明：如图：过七点分别作EM_L8F于历，EN[AC与N,

R〃

•.*BE平分乙48C,

:,EM=EH,

,：LACE=LECH=40°,

・・・CE平，)•4HCD,

:・EN=EH,

：.EM=EN,

・・/E平分NG4几

⑶解：•・NC+CD=14,S^ACD=21,EM=EN=EH,

・・・S-8=SMCE+SXCED=.EN+•EH=+CO)•EM=21,

即2x14•EM=21,解得EM=3,

2

*：AB=10,

^ShABE=^AB-EM=15.

【点睛】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相

关知识点成为解答本题的关键.

【变式6-1](2023春•黑龙江哈尔滨•八年级校考期中)在△/WC中，点。、E分别在人8、AC边上，连接OE、

CD,EF上CD于F,DE=CE.

(1)如图1,求证：DF=CF；

(2)如图2,若NAED=NABC,EG_L8C于G,连接BE交CD于"，求证：ZABE=ZCBE：

(3)如图3,在(2)的条件下，若BC=6CG,。”=4,求”户的长.

图1图2

A

【答案】(I)见解析；(2)证明见解析；(3)1

【分析】(1)证明/?14£7汨会生4£7:＞。(141),可得结论.

(2)证明4EMDM4EGC0US),推出EM=EG,再利用角平分线的性质定理解决问题即可.

(3)如图3中，过点3作ON1CD于N,过点E作EMJL43于M,过点〃作〃Q1BC于Q,IIP1A3于P.利用

面积法证明DH:CH=2:3,求出CH,CF,可得结论.

【详解】(1)证明：如图1中，•••EF1CD,

•••Z.EFD=乙EFC=90°,

在RtZJEFD和RMEFC中,

(ED=EC

IFF=EF

.••々△EFOmR%EFC(HL),

•••DF=CF.

(2)证明：如图2中，过点E作EW148于M.

•••Z.EMD=乙EGC=90°,

•••£AED+乙DEC=180°,£AED=Z.ABC,

Z.ABC+/.DEC=180°,

v/.ABC+乙BCE+乙DEC+乙BDE=360°,

乙BCE+乙BDE=180°,

•••£ADE+LBDE=180%

Z.ADE=心BCE,

在/EMD和dEGC中，

(Z.EMD=乙EGC=90°

Z.ADE=乙BCE,

(ED=EC

AEMD=AEGC(AAS^

:.EM=EG,

•：EMLAB,EG1BC,

•­.BE平分乙ABC,

•••Z.ABE=Z.CBE.

(3)解：如图3中，过点8作BN，CD于N,过点E作EM14B于M,过点H作，Q1BC于Q,HP148于P.

A

图3

VAEMD=AEGC,

:.DM=GC,EM=EG,

在Rt△BEM^llRt△BEG中，

(BE=BE

lEM=EG'

•••Rt△BEM=Rt^BEG(HL),

BM=BG,

VBC=6CG,

:.BD=BM-DM=BG-CG=BC-2CG=4CG,

•••BH平分匕力8C,HPA.AB,HQ1BC,

:.HP=HQ,

BD

•••SADBH:SACBH=Y'HP:，BC•HQ=4:6=2:3,

•••SADBH：SACBH=^DH-BN-.^CH-BN,

•••DH.CH=2:3,

vDH=4,

•••CH=6,

CD=DH+CH=4+6=10,

CF=-CD=5,

2

HF=c//-CF=6-5=1.

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理和性质定理，三角

形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

【变式6-2](2023春・湖北武汉•八年级统考期中)我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个

内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.

图1图2

(1)如图I,4E是ZiABC中41的遥望角.

①直接写出ZE与的数量关系；

②连接八£猜想N8/1E与NC4E的数曷关系，并说明理由.

(2)如图2,四边形A3CO中，443。=乙4。6?=90。，点£：在8。的延长线上，连C£,若已知==

求证：43EC是△力8c中乙B4C的遥望角.

【答案】(1)①乙E®£.CAE+LBAE=180°,理由见解析

(2)见解析

【分析】（1）①运用角平分线的定义，以及三角形外角的性质，推导得至।叱=LDCE=

/-ABE+乙E,即、可得=［乙/②过点E作EM1BA交8A延长线于点M,过点E作EN1AC交AC于点N,

过点E作EH18。交8D延长线于点，，运用角平分线的性质及判定定理可证上M4E=N&4E,由NM4E+

Z.BAE=180°,可得/SE+Z.BAE=180°；

（2）过。作OM184交84于点M,过。作DN_L8C交BC延长线于点N,先证四边形DMBN是矩形，再证△

AMDWACND,最后证得CE平分乙4CN,80平分乙ABC即可.

【详解】（1）解：①〈BE平分乙48C,即N4BE="BC乙ABC,

/.ACD=/.ABC+Z.A=2/.ABE+Z.A.

•・・C£平分〃CD,^^ACE=乙ECD=^£.ACD,

：

./.DCE=Z-ABE+2-^A.

又,：乙DCE=/4BE+4E,

・"E=*.

②猜想：/-CAE+Z-BAE=180°,理由如下：

如图2,过点E作EM_LB力交84延长线于点M,过点E作EN_L4c交4c于点N,过点E作E4_L80交30延长

线于点H，

CD

图2

：CE平分44C0,EN1AC,EH1BD,

:.EN=EH,

同理，EM=EH,

JEM=EN,

,：EMLAB,EN1AC,

，力E平分4MAC,即4M4E=4C4E,

*：LMAE-VLBAE=180°,

：,LCAE+LBAE=180°.

(2)证明：如图3,过。作DMJ.BA交BA于点M,过。作DN18C交8c延长线于点N,

BCN

图3

VPM1BA,DN1BC,LABC=90°,

：^DMB=90°,LONG=90。，/.ABC=90°,

.••四边形。MBN是矩形，

工乙MDN=90°,

即/MDC+4CDN=90°,

*：LADC=90。，

：./.ADM+Z.MDC=90°,

・"ADM="ON,

〈

DM1BAtDN1BC,

：.LAMD=Z.DNC=90°,

在八月”0与^^可,中，

LAMD=ADNC

*.*Z.ADM=乙CDN,

AD=DC

：.LAMDCND(AAS),

：.DM=DN,

〈DM1BA,DN1BC,

••・8O平分448C,

・LABD=乙DBC=^ABC=45°,即BO平分心48C,

工乙ECN=乙DBC+zE=45°+",

Vz/lDC=90°,AD=DC,

：,LACD=Z.CAD=45°,

：,LACE=45°+乙。CE,

,:DE=DC,

・"E=Z.DCE,

：.LACE=Z-ECN,

，CE平分乙4CN,

〈BO平分4ABC,

:.CBEC是A4BC中N8/1C的遥望角.

【点睛】本题考查了角平分线的性质及判定，全等三角形的性质及判定，熟练掌握角平分线判定定理及相关

性质是解题的关键.

【变式6-3](2023春•黑龙江哈尔滨•八年级统考期末)在A/WC中，乙ZMC=60%线段3F、CC分别平分-43C、

乙力CB交于点G.

图1图2图3

⑴如图1,求NBGC的度数;

(2)如图2,求证：EG=FG；

(3)如图3,过点C作CO_LEC交BF延长线于点。，连接4。，点N在84延长线上，连接NG交4C于点M,使

乙DAC=CNGD,若E&FC=1:2,CG=10,求线段MN的长.

【答案】(1)120°

(2)见解析

(3)5

【分析】(1)根据三:角形内角和定理求山乙43。+乙1CB=120。，根据BF平分"4BC、CE平分乙4CB,得出

Z.GBC=^GBE=-Z-ABC,^GCB=^GCF=-Z,ACB,求出乙G8C+iGC8=60。，根据三角形内角和得出

22

^BGC+Z.GBC+Z.GCB=180°,即可求出结果；

(2)作G”平分28GC交8C于点”，证明三△BGH,得出EG=GH,证明△CGF^^CGH,得出FG=GH,

即可证明结论；

(3)作DPJ_BC交BC延长线于点P,作DQ148交B4延长线于点Q,作DR14C于点R,证明CD平分乙4CP,

根据〃扭J.7!。，DP1BC,得出〃K=〃〃，根据8"¥：分NA8C,DR1AC,DQ1AB,得出〃，=〃Q,证明

DR=DQ,证明△NEG三△CFG,得出NG=CG=10,证明△BEGz△MFG,得出BE=MF,；乍FL1NG于

点、L,/K1CG于点K,6勿_1河。于点皿，根据SAMGF=^MG-FL=；MF・GW,S^GF=/(