八年级数学下册2.6.2菱形的判定

湘教版SHUXUE八年级下本课内容本节内容

2.6.2菱形的判定第1页知识复习1.菱形定义：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形。2.菱形性质：菱形性质边角对角线

对边平行四边相等对角相等邻角互补对角线相互平分、相互垂直且平分每一组对角第2页想一想依据定义得：有一组邻边相等平行四边形是菱形。ABCD∵在□ABCD中，AB=BC∴□ABCD是菱形。假如一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就能够判定它是一个菱形？依据什么？还有什么方法吗？第3页

如图，用4支长度相等铅笔能摆成菱形吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等四边形是菱形吗？探究

下面我们来证实这个结论.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.∵

AD=BC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形.又AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.四条边都相等四边形是菱形.由此得到菱形判定定理1：结论第4页用一长一短两根细木条,在它们中点处固定一个小钉,做成一个能够转动十字,四面围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?做一做当两根木条相互垂直时，四边形就变成菱形。用几何语言怎样描述？对角线相互垂直平行四边形是菱形。第5页动脑筋

菱形两条对角线既相互垂直，又相互平分.从菱形这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？OACBD你能说出这么画出四边形ABCD一定是菱形道理吗？画两条相互垂直线段AC和BD，垂足是点O，取OA=OC，OB=OD.连结AB，BC，CD，DA（如图），则四边形ABCD是菱形，

如图，由画法可知，四边形ABCD两条对角线AC与BD相互平分，所以它是平行四边形.又已知其对角线相互垂直，第6页上述问题抽象出来就是：对角线相互垂直平行四边形是菱形。我们来进行证实.又因为DB是线段AC垂直平分线，

因为四边形ABCD两条对角线AC与BD相互平分，所以它是平行四边形.所以，DA=DC.从而平行四边形ABCD是菱形.结论由此得到菱形判定定理2：对角线相互垂直平行四边形是菱形.对角线相互

四边形是菱形.垂直且平分第7页举例例1.已知：如图，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点O，∠1=∠2.求证：四边形ABCD是菱形.提醒：由线段垂直平分线，得：BA=BC=DA=DC.例2.如图，在平行四边形ABCD中，AC=6，BD=8，AD=5.求AB长.提醒：由勾股定理，得：△DAO是直角三角形.即：AC⊥BD从而得：平行四边形ABCD是菱形.∴

AB=AD=5

.第8页例3.如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P(A点除外)，过P点作EF∥AB，分别交AC、BC于E、F点，作PM∥AC，交AB于M点，连结ME.（1）求证：四边形AEPM为菱形.（2）当P点在何处时，菱形AEPM面积为四边形EFBM面积二分之一？解：（1）∵EF∥AB，PM∥AC，∴四边形AEPM为平行四边形.

∴四边形AEPM为菱形.又∵

∠BAD=∠EPA，∴

∠CAD=∠EPA，∴EA=EP.

∵

AB=AC，AD平分∠CAB，∴

∠CAD=∠BAD，第9页解：（2）P为EF中点时，N∵四边形AEPM为菱形，∴

AD⊥EM，∵AD⊥BC，∴

EM∥BC.又∵EF∥AB，∴四边形EFBM为平行四边形.作EN⊥AB于N，EP=EF12（2）当P点在何处时，菱形AEPM面积为四边形EFBM面积二分之一？第10页例4.如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样四边形.并证实你结论.证实：连结AC，BD.∵PQ为△ABC中位线，∴四边形PQMN为平行四边形.在△AEC和△DEB中，AE=DE，EC=EB，∠AEC=∠DEB=180°-60°=

120°

，∴△AEC≌△DEB.∴AC=DB.∴PQ=PN.∴□PQMN为菱形.∴PQAC∥=21同理

∴MNPQMNAC∥=21∥=第11页

1.判断以下说法是否正确？为何？(1)对角线相互垂直四边形是菱形；(2)对角线相互垂直平分四边形是菱形；(3)对角线相互垂直，且有一组邻边相等四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角四边形是菱形．√

╳

╳

╳

2.菱形两条对角线长为6和8，菱形边长为

，面积为

。5243.菱形面积为96，对角线AC长为16，此菱形边长为

。10练习第12页4.菱形对角线平方和等于一边平方（）A.2倍B.3倍C.4倍D.5倍C5.把两张等宽纸条如图交叉重合在一起，则重合部分ABCD形状是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.任意四边形ACDBC（1）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作MN⊥BD，分别交AD，BC于点M，N.求证：四边形BNDM是菱形.6、解答题提醒：证实△ODM≌△OBN.NB=MD.又MD∥BN，MN⊥BD，结论得证。第13页（2）如图，AD∥BC，BD垂直平分AC，四边形ABCD一定是菱形吗？若是，请说明理由。CDBAO┐)12

(提醒:

△AOD≌△COBAD=BC（3）已知：□ABCD对角线AC垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F

求证：四边形AFCE是菱形。分析:

（1）利用定义判定（2）由已知可知

OA=OC，EF⊥AC.（3）利用四边相等，你会吗？第14页（4）如图，已知在□ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB上，且AE=AB=BF，证实：CE⊥DF.ABFNDMEC提醒：证实四边形DMNC是菱形（5）已知：如图，矩形ABCD对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD、PC相交于点P。(1)猜测：四边形PCOD是什么特殊四边形？证实你猜测。（2）PO与CD有怎样关系？四边形PCOD是菱形。PO⊥CD，且相互平分。第15页（6）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上高，∠BAC平分线交CD于E，交BC于F，FG⊥AB于G．求证：四边形EGFC为菱形．

GFEDCBA（7）如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。FEDCBA易得：CE∥FG，再证△ACE≌△AGE∠B=∠ACD=∠AGE，EG∥CF，四边形EGFC是平行四边形，又CE=E