陕西省2024年中考数学解答专项面积平分问题练习

面积平分问题问题探究在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b(b>a)，P为AB边上一点，且PB＝m(m<a)，在CD边上有两点M、N.(1)如图①，求证：△MPB的面积与△NPB的面积相等；(2)如图②，延长AB到点S，使BS＝PB，以BS为边在直线AB上方作正方形BSRQ，连接AR、AQ、AC、CR，若△ACR的面积等于矩形ABCD面积的eq\f(1,4)，试确定a、b、m的关系；第1题图问题解决(3)如图③，有一片矩形绿地ABCD，现要修建一条高速马路，该马路要占用绿地△ABE，依据施工要求，高速马路的边缘AE不能超过BC的中点，为补偿占用的绿地，试在AE的延长线上找出一点F，使四边形ADCF的面积与原矩形ABCD的面积相等，试在图③中画出图形并说明理由．(1)证明：如解图①，∵△MPB与△NPB同底等高，∴S△MPB＝S△NPB；第1题解图①(2)解：S△ACR＝S△ACQ＋S△AQR＋S△CQR＝eq\f(1,2)b(a－m)＋eq\f(1,2)m2＋eq\f(1,2)m(a－m)＝eq\f(1,2)(ab＋am－bm)，∵S△ACR＝eq\f(1,4)S矩形ABCD，∴eq\f(1,2)(ab＋am－bm)＝eq\f(1,4)ab，∴ab＋2am－2bm＝0；(3)解：如解图②，连接AC，过点B作BF∥AC交AE的延长线于点F，连接CF.第1题解图②设AC到BF的距离为h，则S△ABC＝eq\f(1,2)AC·h，S△ACF＝eq\f(1,2)AC·h，∴S△ABC＝S△ACF，∴S△ABE＝S△CEF，∴S矩形ABCD＝S四边形ADCF.问题探究(1)如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为S，则△ACD的面积为________；(2)在图②中，当点E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、BC的中点时，记四边形BEDF的面积为S1；当点E、F分别在平行四边形ABCD的边AB、BC上时，且满意AE＝eq\f(1,3)AB，BF＝eq\f(1,3)BC，记此时的四边形BEDF的面积为S2.证明：S1＝S2；(3)如图③，在矩形ABCD中，AB＝nBC(n为常数，且n＞0)，点E是AB边上随意一点，点F是BC边上随意一点，若四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的eq\f(1,2)，请探究线段AE、BF应满意怎样的数量关系，并说明理由．第2题图(1)解：eq\f(1,2)S；【解法提示】∵AD为△ABC中BC边的中线，∴DC为BC的一半，由图可知△ABC与△ADC同高，又知△ABC的面积为S，∴S△ACD＝eq\f(1,2)S；(2)证明：如解图①，连接BD,当点E、F分别为AB、BC上的中点，第2题解图①由(1)可知S△BED＝eq\f(1,2)S△ABD，S△BDF＝eq\f(1,2)S△BCD，又∵依据平行四边形的性质可知S△ABD＝S△BCD＝eq\f(1,2)S▱ABCD，∴S1＝S△BED＋S△BDF＝eq\f(1,2)S▱ABCD，当点E、F分别在平行四边形ABCD的边AB、BC上时，且满意AE＝eq\f(1,3)AB，BF＝eq\f(1,3)BC，∴BE＝eq\f(2,3)AB，则S△BDE＝eq\f(2,3)S△ABD，S△BFD＝eq\f(1,3)S△BCD，又∵S△ABD＝S△BCD＝eq\f(1,2)S▱ABCD，∴S2＝S△BDE＋S△BFD＝eq\f(1,2)S▱ABCD.综上所述，可证：S1＝S2；(3)解：如解图②，连接BD，第2题解图②由题意可知四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的eq\f(1,2)，即依据等面积可知：AB·BC＝2(eq\f(1,2)BE·AD＋eq\f(1,2)BF·AB)，∵AB＝nBC，∴AB·BC＝2(eq\f(1,2)BE·eq\f(1,n)AB＋eq\f(1,2)B