一次函数的图像和性质教案

一次函数的图像和性质教案一、教学目标1.知识与技能目标理解一次函数的概念，能根据已知条件确定一次函数的表达式。会画一次函数的图像，掌握一次函数图像的特征。理解一次函数的性质，能运用一次函数的性质解决简单的实际问题。2.过程与方法目标通过对一次函数概念的探究，培养学生观察、分析、归纳的能力。在画一次函数图像的过程中，体会数形结合的思想方法，提高学生的动手操作能力和数学思维能力。通过探究一次函数的性质，让学生经历从特殊到一般的推理过程，培养学生的逻辑推理能力。3.情感态度与价值观目标通过实际问题的解决，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。在探究活动中，培养学生合作交流的意识和勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点一次函数的概念、图像和性质。用待定系数法求一次函数的表达式。2.教学难点对一次函数性质的理解和应用。运用一次函数的图像和性质解决实际问题时，如何建立数学模型。三、教学方法讲授法、讨论法、探究法、练习法相结合四、教学过程（一）创设情境，导入新课1.展示问题某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃。登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃。试用解析式表示y与x的关系。有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数c与温度t（单位：℃）有关，即c的值约是t的7倍与35的差。试用解析式表示c与t的关系。2.学生思考并回答对于第一个问题，学生可能会回答：y=56x。对于第二个问题，学生可能会回答：c=7t35。3.教师引导教师指出：像y=56x，c=7t35这样的函数，它们的表达式都是用自变量的一次整式表示的，我们把这样的函数叫做一次函数。今天我们就来学习一次函数的图像和性质。（二）探究新知1.一次函数的概念引导学生观察刚才得到的两个函数表达式y=56x和c=7t35，思考它们有什么共同特点。学生分组讨论后，教师请小组代表发言。教师总结一次函数的概念：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。强调：一次函数的表达式中，自变量x的次数是1，且k≠0。2.一次函数表达式的确定示例：已知一次函数的图像经过点（1，3）和（1，1），求这个一次函数的表达式。教师引导学生分析：设这个一次函数的表达式为y=kx+b，因为函数图像经过点（1，3）和（1，1），所以把这两个点的坐标代入表达式中，就可以得到一个关于k和b的方程组，解这个方程组就能求出k和b的值，从而确定函数表达式。具体求解过程如下：将点（1，3）代入y=kx+b，得3=k+b；将点（1，1）代入y=kx+b，得1=k+b。联立方程组\(\begin{cases}3=k+b\\1=k+b\end{cases}\)，将两式相加，可得\(3+(1)=k+b+(k+b)\)，即\(2=2b\)，解得\(b=1\)。把\(b=1\)代入\(3=k+b\)，得\(3=k+1\)，解得\(k=2\)。所以这个一次函数的表达式为y=2x+1。总结用待定系数法求一次函数表达式的步骤：设：设出一次函数表达式y=kx+b。代：把已知点的坐标代入表达式，得到关于k和b的方程（组）。解：解这个方程（组），求出k和b的值。写：写出一次函数的表达式。3.一次函数的图像让学生画出函数y=2x和y=2x+1的图像。学生在练习本上画图，教师巡视指导，提醒学生注意画图的规范。选取部分学生的图像进行展示和评价，纠正学生存在的问题。教师用几何画板演示函数y=2x和y=2x+1的图像，让学生观察图像的特征。引导学生总结一次函数y=kx+b（k≠0）图像的画法：列表：选取一些自变量的值，计算出对应的函数值，列出表格。描点：根据表格中的数据，在平面直角坐标系中描出相应的点。连线：用平滑的直线将所描的点依次连接起来。探究一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与正比例函数y=kx（k≠0）图像的关系：让学生观察函数y=2x和y=2x+1的图像，思考它们之间有什么联系。学生分组讨论后，教师请小组代表发言。教师总结：一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，它可以由正比例函数y=kx（k≠0）的图像平移得到。当b>0时，向上平移b个单位长度；当b<0时，向下平移|b|个单位长度。4.一次函数的性质观察函数y=2x和y=2x的图像，思考以下问题：当k>0时，函数图像从左到右上升还是下降？y随x的增大而怎样变化？当k<0时，函数图像从左到右上升还是下降？y随x的增大而怎样变化？学生观察图像后，分组讨论并回答问题。教师总结一次函数的性质：当k>0时，直线y=kx+b从左到右上升，y随x的增大而增大。当k<0时，直线y=kx+b从左到右下降，y随x的增大而减小。（三）例题讲解1.已知一次函数y=(2m1)x+m+5，当m取何值时，函数图像经过原点？函数图像平行于直线y=2x？函数图像与y轴的交点在x轴上方？2.分析与解答对于（1），函数图像经过原点，即当x=0时，y=0。把x=0，y=0代入函数表达式y=(2m1)x+m+5中，可得0=m+5，解得m=5。对于（2），函数图像平行于直线y=2x，说明这两条直线的斜率相等，即2m1=2，解得m=\(\frac{3}{2}\)。对于（3），函数图像与y轴的交点在x轴上方，即当x=0时，y>0。把x=0代入函数表达式y=(2m1)x+m+5中，可得y=m+5>0，解得m>5。又因为一次函数中k=2m1≠0，即m≠\(\frac{1}{2}\)。所以m的取值范围是m>5且m≠\(\frac{1}{2}\)。（四）课堂练习1.已知一次函数y=kx+3，当x=3时，y=6，求k的值。2.画出函数y=3x+2的图像，并根据图像回答：当x=1时，y的值是多少？当y=1时，x的值是多少？函数图像经过哪些象限？3.已知一次函数y=(m2)x+12m，当m满足什么条件时，函数图像经过第一、二、四象限？函数图像与y轴的交点在x轴下方？（五）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容，包括一次函数的概念、表达式的确定、图像的画法、性质以及相关的例题和练习。2.请学生分享自己在本节课中的收获和体会，以及遇到的问题和困惑。3.教师对学生的发言进行总结和补充，强调重点知识和易错点，鼓励学生在课后继续巩固和拓展所学知识。（六）布置作业1.书面作业教材课后习题第[X]题、第[X]题、第[X]题。已知一次函数y=(3k1)x+1，当k为何值时，函数图像经过第二、三、四象限？2.拓展作业生活中还有哪些实际问题可以用一次函数来解决？请举例说明，并尝试建立相应的函数模型。探索一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）与二元一次方程kxy+b=0之间的关系。五、教学反思通过本节课的教学，学生对一次函数的概念、图像和性质有了较为系统的认识，初步掌握了用待定系数法求一次函数表达式的方法，体会了数形结合的思想方法。在教学过程中，通过创设情境、问题引导、小组讨论等方式，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的自