机械制图第三章课件

第三章点、直线、平面的投影3.1投影法3.2点的投影3.3直线的投影3.4平面的投影3.5直线与平面及两平面的相对位置P3.1投影法及工程上常用的投影图SA投射中心投影投射线投影面a一投影的概念PBAC二、投影的种类abc1.中心投影投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差投射中心投影物体投射线投影面S2.平行投影法(a)斜投影法(b)正投影法P投射线方向BACabcP投射线方向BACabc投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好工程图样多数采用正投影法绘制。二、投影的种类三、工程上常用的投影图1.多面正投影图2.轴测投影图p三、工程上常用的投影图3.标高投影图(a)直观图(b)标高图三、工程上常用的投影图4.透视投影图三、工程上常用的投影图3.2点的投影AbBB1采用多面投影。

过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。

点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。1.点在一个投影面上的投影a一、投影面体系2.三投影面体系的建立VW水平投影面----H正面投影面----V侧面投影面----W

XOYZ3.2点的投影H∩V

----OXV∩W

----OZH∩W----OY

二、三投影面体系中点的投影规律VWZYXO

a

点A的正面投影a

点A的水平投影a

点A的侧面投影a

a

aA

空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。3.2点的投影1.三投影面体系中点的投影规律1.a

aX轴，a

az=aay=XA2.a

aZ轴，a

ax=a

ay=

ZA3.aax=a

az=YAHa

aa

VWXOZYWYHa

aa

Aayazax3.2点的投影azax●●a

aax例1已知点的两个投影，求第三投影。●a

●●a

aaxazaz解法一:通过作45°线使a

az=aax解法二:YVXZWOA1.a

az=aay=Aa

=xA2.aax=a

az=Aa

=yA3.a

ax=a

ay=Aa=zA

2.点的直角坐标与三面投影的关系ayaxazxyzHa

aa

VWXOZYWYHa

aa

3.特殊点的投影HVXWZYwYHOCc

ca

bBb

Aaa

c

cba

aa

b

c

YVXZWOb

三、两点的相对位置

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。a

a

ab

b

b判断方法：▲x坐标大的在左

▲y坐标大的在前▲z坐标大的在上A点在B点之前、之右、之上。VXZYWOa

a

ab

b

bBA例2已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。a

a”a985b

b

bV四、重影点的投影cd

(c

)dCDaa

b

AB(b)重影点

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。A、C为H面的重影点被挡住的投影加()A、C为哪个投影面的重影点呢？(

)a

a

c

c

a

c●●●●●3.3直线的投影一、各种位置直线的投影特性二、属于直线的点三、两直线的相对位置四、直角投影定理五、直角三角形法求实长、夹角直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab=ABcosα类似性一、各种位置直线的投影特性

两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。直线的投影特性Bb●●●●Aa直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB显实性直线垂直于投影面投影重合为一点ab=0积聚性1.直线的投影abA●●αBAab●●B●a

aba

b

b

●●●●●●2.一般位置直线a

b

bab

a

投影特性：1．ab、a

b

、a

b

均小于实长2．ab、a

b

、a

b

均倾斜于投影轴

3．不反映

、

、

实角ABVWZYXZXYa

a

aOYb

bb

3.投影面平行线a

b

aba

b

AB投影特性：1．a

b

OX;a

b

OYW2．ab=AB3．反映

、

角的真实大小VWZYXXa

b

a

b

baOZYHYW

水平线正平线侧平线水平线—只平行于水平投影面的直线正平线—只平行于正面投影面的直线投影特性：1．ab

OX;a

b

OZ2．a

b

=AB3．反映

角的真实大小Xa

b

a

b

baOZYHYW

侧平线—只平行于侧面投影面的直线投影特性：1．a

b

OZ;ab

OYH2．a

b

=AB3．反映

、

角的真实大小XZa

b

b

baOYHYWa

ABa

b

b

a

Zb

Xa

b

a(b)OYHYWa

投影特性：1．ab积聚成一点2．a

b

OX;a

b

OYW

3．a

b

=a

b

=ABa(b)YVWZX4.投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线正垂线—垂直于正面投影面的直线投影特性：1．a

b

积聚成一点2．ab

OX;a

b

OZ

3．ab=a

b

=ABzXa

b

b

aOYHYWa

b侧垂线—垂直于侧面投影面的直线投影特性：1．a

b

积聚成一点2．ab

OYH;a

b

OZ

3．ab=a

b

=ABZXa

b

b

aOYHYWa

b

二、属于直线的点

若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上(从属性),并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：

若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

ABVHbb

a

a定比性cc

C

例3已知线段AB的投影图，试将AB分成2:1两段，求分点C的投影c、c

。ab

a

bcc

例4判断点K是否在线段AB上。因k

不在a

b

上，故点K不在AB上。a

b

●k

abka

b

k

●●另一判断法?VXOk

b

bABaa

kK例4判断点K是否在线段AB上。因k

不在a

b

上，故点K不在AB上。VXOk

b

bABaa

kK三、两直线的相对位置VXOABCD１、平行两直线

1．若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。c

d

dcabdcb

a

d

c

空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。Xb

a

abobdABCDKb

a

ak

d

ckVXO２、相交两直线

当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交，且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。交点是两直线的共有点Xb

bk

c

d

dcka

aO⒊两直线交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。为什么？两直线相交吗？凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。

d

b

a

abcdc

1

(2

)3(4

)●3

4

●●12●●●交叉两直线重影点投影的可见性判断ABVXObab

a

Ccdc

d

D1

(2

)21ⅡⅠ1

(2

)b

Xa

abc

d

dcO12例5过C点作水平线CD与AB相交。cabb

a

c

d

k

kd先作正面投影例6判断两直线的相对位置a

d

c

adb

cba

d

c

adb

cba

d

c

adb

cbd

c

a

b

YWYHza

d

c

b

adcbd

c

b

a

cbadd

b

a

c

平行相交交叉相交交叉四、直角投影定理设直角边BC//H面因BC⊥AB,同时BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面即∠abc为直角因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面又因BC∥bcABCacHbcXb

a

c

baO若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。证明：例7过C点作直线与AB垂直相交。d

abca

b

c

●

●dAB为正平线,正面投影反映直角。b

a

例8作线段AB、CD的公垂线EF。cXc

baOd

df

e

ef五、直角三角形法求直线实长、夹角

在特殊位置直线的投影中，能得到该直线段的实长以及与投影面的夹角的实际大小，而在一般位置直线的投影中，则不能。如果在投影、倾角与实长三者之间建立起直角三角形关系，则为直线段倾角与实长的图解提供了理论依据。可利用直角三角形法求其实长和倾角。直角三角形的四个要素中（实长、投影、坐标差及直线对投影面的夹角）已知任意两个可确定另外两个。

AB1.求直线的实长及对水平投影面的夹角

角

|zA-zB|

ABab|zA-zB|a

b

bABaVXOa

b

baC|zA-zB||zA-zB

|VXO2.求直线的实长及对正面投影面的夹角

角|yA-yB|Xa

ab

ba

b

AB

|yA-yB|AB

|yA-yB|

a

b

ABbaC例9已知线段AB的正面投影a’b’和A点的水平投影a，且B点在A点的前方，AB长25毫米，求它的水平投影。(a)已知条件(b)已知实长求bｂ

a

b

a

a25ｂa例10已知线段AB的正面投影a’b’和A点的水平投影a，且B点在A点的前方,求它的水平投影。

ｂ

a

a

ｂ

a

ab已知α=30°求b题例11已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC的实长等于已知长度L。

LABzA-zBc

abb

aa

bBC=Lc

例12作三角形ABC，

ABC为直角，使BC在MN上，且BC

AB=2

3。b

bcABa

b

|yA-yB|b

c

=BCc

a

anmn

m

3.4平面的投影一、平面的表示法二、各种位置平面的投影特性三、属于平面的点和直线●●●●●●abca

b

c

●●●●●●abca

b

c

一、平面的表示法

1.用几何元素表示平面不在同一直线上的三个点直线及线外一点两平行直线两相交直线平面图形●●●●●●abca

b

c

d●d

●●●●●●●abca

b

c

●●●●●●abca

b

c

2.平面的迹线表示法QHPPVPH``PVPHPwPwQHQVWZYXXOV二、各种位置平面的投影特性平行垂直倾斜实形性积聚性类似性abcACBcbaCBA平面的投影特性

投影面平行面一般位置平面CBcbaA投影面垂直面平面对于三投影面的位置可分为三类：1.一般位置平面投影特性(1)

abc、

a

b

c

、

a

b

c

均为

ABC的类似形(2)不反映

、

、

的真实角度acba'b'ABCVWZYXa"b"c"a"a'b'b"c'c"bacVWZYXABCDa"b"c"d"铅垂面正垂面侧垂面投影特性

(1)abcd积聚为一条线(2)a

b

c

d

、a

b

c

d

为平面ABCD的类似形(3)abcd与OX、OY的夹角反映、角的真实大小

aa'b'a"b"

b

d"

c"d'c'dcabcda'b'd'2.投影面垂直面

正垂面

投影特性(1)a

b

c

d

积聚为一条线(2)abcd、a

b

c

d为平面ABCD的类似形(3)a

b

cd与OX、OZ的夹角反映α、

角的真实大小

b"

aa'b'a"b

c"d'dcc'd"

aABCDVWZYX水平面正平面侧平面投影特性：(1)a

b

cd、a

b

c

d

积聚为一条线，具有积聚性(2)水平投影abcd反映平面ABCD实形

abcdc'b'a'd'a"c"d"d"3、投影面的平行面c"d"a"d"a'b'd'c'abcd正平面投影特性：(1)abcd、a

b

c

d

积聚为一条线，具有积聚性(2)正平面投影a

b

cd反映平面ABCD实形

a'b'c'd'abcdb"

a"c"

d"投影特性：(1)abcD、a

b

cd积聚为一条线，具有积聚性(2)侧平面投影a

b

c

d

反映平面ABCD实形

侧平面abcda"d"b"c"a'b'c'd’三、属于平面的点和直线ck

abab

c

kl

ck

abab

c

k1.平面上的直线

平面上的几何条件是：①通过平面上的两点；②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。EDFd'de'eff'ACBa'ab'bc'c2.平面上的点

点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。EDe'ed'dACBa'ab'bc'c

例1已知平面由两平行直线AB、CD确定，试判断点M是否在该平面内。t'sa'b'c'd'm'abcdmts'例2已知点K在

ABC上，试求点K的水平投影。d

k

caba

b

c

kd例3已知点E在

ABC上，试求点E的正面投影。ee'aba

b

c

c例4已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。bacc

a

k

b

●k●Vabb

a

ABSb

a

ab3.包含直线作平面过一般位置直线AB作铅垂面PH过一般位置直线AB作正垂面SVPPHSVAB过一般位置直线可作投影面的垂直面V例5过点A、B分别作正平面、正垂面，过CD作铅面。（2）作正垂面（1）作正平面（3）作铅垂面a

b

c

d

acdb属于平面的投影面平行线例6在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解？属于平面的水平线和正平线VXPada

d

b

c

例7已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。bckada

d

b

c

k

bc解法一解法二例8已知点K在ABCD平面上，且点K距H面10，距V面15，试求点K的投影。k'1015f'e'kghab'c'a'd'dcbefg'h'3.5直线与平面、两平面的相对位置一、直线与平面平行及两平面平行二、直线与平面的交点及两平面的交线三、直线与平面垂直及两平面垂直直线与平面平行的条件：

若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面平行。ABPmn１.直线与平面平行一、平行问题

直线与平面平行

平面与平面平行结论：直线AB不平行于定平面f

gd

g

e

defab

ba

例1：过M点作直线MN平行于平面ABC.例2：判别直线AB是否平行于平面DEF.a

c

b

abcmm

n

n例3：试过点D作水平线DE平行于ΔABC平面a

de

d

f

c

b

ecfba２.两平面平行若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行PBCAQFED例4:试判断两平面是否平行m

n

mnr

rss

结论：两平面平行ab

d

f

e

dbefa

cc

例5:已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rk

kab

ba

cdd

c

若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的投影必相互平行abcdefghabcdefghABDCEFHGa

d

f

g

h

e

c

b

直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。平面与平面相交，其交线是两平面的共有线。●判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。直线与平面相交平面与平面相交要讨论的问题：●求交点、交线。

二、相交问题直线与平面相交ABKPM平面与平面相交FKNLcf由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。b

c

a

f

e

d

akdebk

abkKBACFEDcfde１.一般位置直线与特殊位置平面相交2'1'()2.投影面垂直线与一般位置平面的相交abc'ka'd'b'dee'f'fk'c21O铅垂线与一般位置平面的相交示意图1

2

a

Ab

KkabBk

ⅠⅡf

e

fd

FDedVX（）3.一般位置平面与特殊位置平面相交s

stb

c

a

u

t

v

acbuvl

k

lk求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。bBCATaLKSstuvklUVX1

2

4.一般位置直线与一般位置平面相交RV21kk

步骤：1．过AB作正垂平面R。2．求R平面与ΔCDE的交线ⅠⅡ。3．求交线ⅠⅡ与AB的交点K。示意图c

e

d

b

a

baedc