《高考备考指南 文科数学》课件-第3章 第3讲

导数及其应用第三章第3讲导数的综合应用【考纲导学】1．利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题．2．会利用导数解决某些简单的实际问题．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为________问题．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．优化2．利用导数解决生活中的优化问题的基本思路3．导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究．4．导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题；(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题．2．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(

)A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，显然f′(1)＝0，且在x＝1附近的左侧，f′(x)<0，在x＝1附近的右侧，f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C．3．已知定义在实数集R内的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R内恒有f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为(

)A．(1，＋∞)

B．(－∞，－1)C．(－1,1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】A【解析】令g(x)＝f(x)－2x－1，∴g′(x)＝f′(x)－2<0.∴g(x)在R内为减函数，且g(1)＝f(1)－2－1＝0.由g(x)<0＝g(1)，得x>1.故选A．4．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．【答案】(－2,2)【解析】由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，得x＝±1，只需f(－1)·f(1)＜0，即(a＋2)(a－2)＜0，故a∈(－2,2)．1．利用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到“a<f(x)恒成立”，要根据f(x)的值确定a的范围中端点能否取到．2.实际问题中的函数定义域一般受实际问题的制约，不可盲目地确定函数的定义域；在解题时要注意单位的一致性；把实际问题转化成数学问题后，要根据数学问题中求得的结果对实际问题作出解释.

课堂考点突破2利用导数解决生活中的优化问题

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为rm，高为hm，体积为Vm3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．【规律方法】在求实际问题中的最大值或最小值时：(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意确定函数关系式中自变量的取值范围．(2)要注意求得结果的实际意义，不符合实际的值应舍去．(3)如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．利用导数研究函数的零点或方程的根【规律方法】研究函数零点或方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断函数零点或方程根的情况，这是导数这一工具在研究函数零点或方程根中的重要应用．利用导数研究不等式问题【考向分析】导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中、高档题．常见的考向有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题．而φ(x0)＝0，∴当x＜x0时，φ(x)＞0，当x＞x0时，φ(x)＜0.∴当x＜x0时，h′(x)＞0，当x＞x0时，h′(x)＜0.∴h(x)在区间(－∞，x0)内为增函数，在区间(x0，＋∞)内为减函数．∴x∈R时，h(x)≤h(x0)＝0.∴f(x)≤g(x)．【解析】(1)当m＝－1时，f(x)＝(1－x)ex＋x2，则f′(x)＝x(2－ex)，由f′(x)＞0，得0＜x＜ln2，由f′(x)＜0，得x＜0或x＞ln2，故函数f(x)的单调递增区间为(0，ln2)，单调递减区间为(－∞，0)，(ln2，＋∞)．【规律方法】导数在不等式问题中的应用问题两大解题策略：(1)利用导数证明不等式：若证明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＜0，则F(x)在(a，b)内是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)＜0，即证明了f(x)＜g(x)．(2)利用导数解决不等式的恒成立问题：利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．课后感悟提升31个构造——构造函数解决问题把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法．2个转化——不等式问题中的两个转化(1)利用导数解决含有参数的单调性问题，可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理．3个注意点——利用导数解决实际问题应注意的三点(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示，还要注意确定函数关系式中自变量的取值范围．(2)一定要注意求得函数结果的实际意义，不符合实际的值应舍去．(3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．1．(2016年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．【解析】(1)由f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2，可得f′(x)＝(x－2)ex＋ex＋a(2x－2)＝(x－1)(ex＋2a)．①当a≥0时，由f′(x)＞0，可得x＞1；由f′(x)＜0，可得x＜1，所以f(x)在(－∞，1