广东省梅州市2025届高三下学期2月质检数学试题（原卷版+解析版）

试卷类型：A梅州市高三总复习质检试卷（2025.2）数学本试卷共6页．满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列集合之间关系正确的是（）A.B.C.D.2.已知复数满足，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.3.如图，已知同一平而上的三条直线a，b，c相交于同一点O，两两夹角均为，点A，B分别在直线a，b上，且，设，若点P落在阴影部分（不含边界），则下列结论正确的是（）A. B. C. D.4.如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（）A. B. C. D.5.已知等差数列的前项和为，若，则一定正确的是（）A. B. C. D.6.某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为（）参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为．参考数据：令32.50.510126A. B. C. D.7.在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，图中的截面边界曲线（抛物线）的焦点到准线的距离为（）A. B.5 C.6 D.8.函数在的值域为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列结论中正确的有（）A.函数的图象关于y轴对称 B.函数的图象关于原点对称C.函数存在最小值 D.函数不存在最大值10.如图，四边形是一个矩形，，，半圆面平面，动点沿着半圆弧从点运动到点（点不与点、重合），下列说法错误的是（）A当点运动到某一位置时，B.总有平面平面C.当点运动到半圆弧的中点时，二面角的正切值为D.三棱锥的外接球的体积先增后减11.如图所示，P，Q为数轴上两点，初始位置的数字分别为2，0，它们每隔1秒钟都在数轴上独立地向左或向右移动一个单位，已知点P向左或向右移动的概率均为；点Q向左移动的概率为，向右移动的概率为．分别记点P、Q在n秒后所在位置的数字为、，则下列结论正确的是（）A B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知双曲线的离心率为2，则实数______．13.的末三位数是____________．14.设函数在R上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数t的取值范围为____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列前n项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）已知数列的前n项和为，求使得的n的最小值．16.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设函数的最小值是2，求实数a的值．17.如图乙，在等边中，D为上一点，且分别在边上，．（1）如图甲，当点F与点C重合时，求；（2）求面积的最小值．18.如图甲，在等腰梯形中，为的中点，将沿着翻折至，如图乙．（1）当二面角为时，求的长；（2）在翻折过程中，是否存在某个位置，使得平面平面，若存在，求出此时点P到平面的距离；若不存在，请说明理由．19.已知分别为椭圆左、右焦点，点D为椭圆E上一点，以为直径的圆过焦点．（1）求椭圆E的方程；（2）P是椭圆E上异于左、右顶点A、B的任一点，设交直线于点交椭圆E于点Q．①证明：定值；②求面积的最大值．

试卷类型：A梅州市高三总复习质检试卷（2025.2）数学本试卷共6页．满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列集合之间关系正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化简各选项中的集合，利用集合相等和集合的包含关系逐项判断即可.【详解】对于A选项，，，故，A错；对于B选项，，，故，B对；对于C选项，为数集，为点集，则、无包含关系，C错；对于D选项，，故，D错.故选：B.2.已知复数满足，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，根据复数的模长公式和复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，结合复数的模长公式可得出答案.【详解】设，由题意可得，即，由复数相等的概念可得，解得，即，故.故选：D.3.如图，已知同一平而上的三条直线a，b，c相交于同一点O，两两夹角均为，点A，B分别在直线a，b上，且，设，若点P落在阴影部分（不含边界），则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，结合图形，易得，且，设，求出，由的两种表示式整理得到，从而建立不等式，解之即得.【详解】设依题意，，因点P落在阴影部分（不含边界），且，易得，且，由，可得，由，又，故可得：，即，因，则，即，由，可得，整理得：，因，故得，即；由，可得，整理得：显然成立.综上分析，可得.故选：C.4.如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设水体对应的台体的高为，利用台体的体积公式可求出的值，可知容器的高为，再利用台体的体积公式可求出容器的容积.【详解】设水体对应的台体的高为，则水体对应台体的上底面是边长为的正方形，由台体的体积公式可得，解得，故容器的高为，容器的容积为，故选：A.5.已知等差数列的前项和为，若，则一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算得出，结合等差数列的求和公式逐项判断即可.【详解】因为等差数列的前项和为，且，则，，无法判断ABC选项，，D对.故选：D.6.某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为（）参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为．参考数据：令32.50.510126A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用决定系数大小关系排除AB；再利用数表中数据求出斜率判断CD.【详解】由用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，得，则指数型回归模型最适宜拟合y与x关系，排除AB；设y与x之间关系的函数为，两边取对数得，设，则，因此，，即，，C错误，D正确.故选：D7.在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，图中的截面边界曲线（抛物线）的焦点到准线的距离为（）A. B.5 C.6 D.【答案】A【解析】【分析】设抛物线方程为，代入H的坐标即可求得结果.【详解】在截面所在的平面中，以M为原点．MO为x轴，过M点与MO垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，在直角三角形中，已知，，可得.因为为的中点，在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，所以.设抛物线于底面圆的一个交点为H,由已知可得点的横坐标为的长度，纵坐标为，不妨取.设抛物线方程为，把代入抛物线方程可得，即，解得.对于抛物线，其焦点到准线的距离就是的值，所以抛物线的焦点到准线的距离为.故选：A.8.函数在的值域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先换元令，再令，得到关于的二次函数表达式，然后结合二次函数的性质求解.【详解】令，则，则，令，，则，所以，，由二次函数的性质可得当，取得最大值，又，所以.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列结论中正确的有（）A.函数的图象关于y轴对称 B.函数的图象关于原点对称C.函数存在最小值 D.函数不存在最大值【答案】BD【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断函数图象的对称性，再结合正弦函数性质来分析函数的性质判断函数是否存在最值，逐个判断即可.【详解】已知函数，其定义域为，关于原点对称.根据奇函数的定义可知，函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故选项A错误，选项B正确.令，则或.由，解得；由，解得，.当时，，的值在之间不断变化.当时，，此时；当时，，此时.这说明函数既没有最大值也没有最小值，故选项C错误，选项D正确.故选：BD.10.如图，四边形是一个矩形，，，半圆面平面，动点沿着半圆弧从点运动到点（点不与点、重合），下列说法错误的是（）A.当点运动到某一位置时，B.总有平面平面C.当点运动到半圆弧的中点时，二面角的正切值为D.三棱锥的外接球的体积先增后减【答案】ACD【解析】【分析】利用反证法可判断A选项；推导出平面，结合面面垂直判定定理可判断B选项；利用二面角的定义可判断C选项；利用补形法求出三棱锥的外接球半径，求出外接球的体积，可判断D选项.【详解】因为四边形为矩形，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，对于A选项，当点运动到某一位置时，，由圆的几何性质可知，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以，因为平面，平面，所以，这与矛盾，A错；对于B选项，因为平面，平面，所以，因为，，、平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，B对；对于C选项，取线段的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，当点为半圆弧的中点时，，因为为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因为平面，所以，因为，，、平面，所以平面，因为平面，所以，所以，二面角的平面角为，因为，所以，所以，，即二面角的正切值为，C错；对于D选项，因为平面，，将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球直径为为定值，故三棱锥的外接球的体积为，D错.故选：ACD.11.如图所示，P，Q为数轴上两点，初始位置的数字分别为2，0，它们每隔1秒钟都在数轴上独立地向左或向右移动一个单位，已知点P向左或向右移动的概率均为；点Q向左移动的概率为，向右移动的概率为．分别记点P、Q在n秒后所在位置的数字为、，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】结合独立事件的乘法公式保证一秒后两点的距离不变，这一步必须同方向移动可得A正确；两步后变动的距离可能是0或2，分三种情况可得B错误；保证两秒后重合，必须有一个点的位置不变可得C正确；举反例令可得D错误.【详解】对于A，当，即一秒后两点的距离仍为2，所以同时往左或往右一步，则，故A正确；对于B，当，即两秒后两点坐标和仍为2，所以；或；或，而且向左向右的顺序不影响结果，所以，，，，，所以，故B错误；对于C，当，即或时，所以，故C错误；对于D，，由C可得，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知双曲线的离心率为2，则实数______．【答案】12【解析】【分析】根据双曲线方程可得出，利用离心率求解.【详解】由双曲线知，，，所以，解得.故答案为：1213.的末三位数是____________．【答案】481【解析】【分析】将拆解成，利用二项式定理展开后，被1000除，其余数即为的末三位数.【详解】因，因是正整数，故被1000除之后得到的余数为，即的末三位数是481.故答案为：481.14.设函数在R上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数t的取值范围为____________．【答案】【解析】【分析】构造函数，由已知等式确定奇偶性，利用导数求出单调区间，再求出给定不等式.【详解】令，由，得，函数是偶函数，当时，，则，函数上单调递增，由，得，整理得，即，因此，即，解得，所以实数t的取值范围为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前n项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）已知数列的前n项和为，求使得的n的最小值．【答案】（1）；（2）4．【解析】【分析】（1）运用关系式计算即可；（2）根据，得到数列的前n项和关于n单调递增，然后求值，求得得的n的最小值为4．【小问1详解】由数列的前n项和可得：当时，，当时，，即得：，因此得．【小问2详解】因为，所以数列的前n项和关于n单调递增，而，，因此，使得的n的最小值为4．16.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设函数的最小值是2，求实数a的值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）将代入求出，再由导数的意义求出切线的斜率，然后由点斜式得到直线方程即可；（2）求导后分和讨论，当时找到零点，由单调性可得函数的最值进而可求.【小问1详解】当时，，将代入得：，函数的导数为，曲线在点处切线的斜率为，因此，曲线在点处的切线方程为：，即：．【小问2详解】对求导：，①当时，恒有，于是在上单调递减，此时，无最小值；②当时，令，得，当都有在上单调递减；当都有在上单调递增因此在处取得最小值，依题意，，即：解得：．综上，当时，函数的最小值是2．17.如图乙，在等边中，D为上一点，且分别在边上，．（1）如图甲，当点F与点C重合时，求；（2）求面积的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中由余弦定理得,再由余弦定理求出，然后半角公式可得；（2）由正弦定理变化角求出，再由三角形面积公式结合二倍角的正弦公式和正弦函数的最值可求.【小问1详解】当点F与点C重合时，在中，，由余弦定理得：，得，于是，而，因此．【小问2详解】设，在中，由正弦定理，得，所以，在中，，同理，得，故，当时，的最大值为，此时的面积取得最小值，即．18.如图甲，在等腰梯形中，为的中点，将沿着翻折至，如图乙．（1）当二面角为时，求的长；（2）在翻折过程中，是否存在某个位置，使得平面平面，若存在，求出此时点P到平面的距离；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）不存在，理由见解析．【解析】【分析】（1）先根据已知条件判断出图形中的菱形和等边三角形，找到二面角的平面角，再利用余弦定理求出线段的