平面向量及其应用综合检测试卷及参考答案

第第页平面向量及其应用综合检测选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2025高一下·上海·课后作业）设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（

）A．相同的向量 B．模相等的向量C．共线向量 D．共起点的向量2．（2025高一下·全国·课后作业）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2025高一下·贵州·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则边长等于（

）A． B． C．2 D．4．（2025高一下·安徽合肥·阶段练习）已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为（

）．A．1 B．2 C．3 D．45．（2025高三上·山东泰安·阶段练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（

）A． B．3 C． D．6．（2025高二下·四川·阶段练习）的外接圆半径，角，则面积的最大值为（

）A． B． C．4 D．7．（2025高一下·全国·课后作业）若向量，，均为单位向量，且，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．8．（24-25高三上·北京顺义·期末）如图，△，△是全等的等腰直角三角形，为直角顶点，三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，，则（）A． B． C． D．大小不能确多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．（2025高一·全国·单元测试）设的内角、、所对边的长分别为、、，下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知向量，，，下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，，则在上的投影向量为D．若，，则在上的投影向量为11．（2025高一·江苏·课后作业）已知对任意角均有公式.设的内角满足，面积满足.记分别为所对的边，则下列等式或不等式一定成立的是（）A． B．C． D．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（2025高一下·安徽·阶段练习）已知甲船位于小岛的南偏西的处，乙船位于小岛处，千米，甲船沿的方向以每小时6千米的速度行驶，同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向匀速行驶，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为小时．13．（2025高一·全国·课后作业）已知三角形为等腰直角三角形，且，有下列命题：①；②；③；④.其中正确命题的序号为.14．（2025高一·全国·课后作业）在直角三角形中，，，．设与交点为，则的值为.解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）15．（2025高三上·河南·阶段练习）已知平面向量，.（1）若与垂直.求；（2）若向量，若与共线，求.16．（2025高一·全国·课后作业）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求角C；(2)若c＝4，a2+b2＝2c2，求△ABC的面积．17．（2024·山东·三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cosC+cosAcosB=2sinAcosB．（1）求cosB的值;（2）若a+c=2，求b的取值范围.18．（24-25高一下·福建三明·期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．(1)若，且，求△ABC的面积；(2)求的最大值．19．（2025高一下·江苏扬州·阶段练习）已知中，过重心G的直线交边（不含端点）于P，交边（不含端点）于Q，设的面积为，的面积为，，.（1）求证：.（2）求的取值范围.平面向量及其应用综合检测参考答案一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．【答案】B【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.故选：B2．【答案】C【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即得.【详解】依题意，，即，由，得，所以的取值范围是.3．【答案】B【分析】直接根据正弦定理求解即可.【详解】解：中，∵，，，∴由正弦定理得：.故选：B4．【答案】A【分析】先求出向量与向量的数量积，再代入投影公式中，即可得答案.【详解】由题意，，所以向量在向量方向上的投影为.故选：A.5．【答案】A【分析】画出相应图形后计算出点到该楼的距离，结合勾股定理与正弦定义计算即可得.【详解】如图所示，由题意有，，则有，故，则，故，则.故选：A.6．【答案】A【分析】由正弦定理得，进而结合余弦定理得，再根据基本不等式得，最后根据三角形面积公式求解即可.【详解】解：由正弦定理得，所以由余弦定理得：，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以.故选：A7．【答案】A【分析】对进行平方，根据题意可得，当最小时，取得最小值.【详解】因为，所以∴则当与反向时最小，最小，此时=，所以=，所以的最小值为，故选：A.8．【答案】B【分析】构建直角坐标系，根据题意设，，，，，，再应用向量数量积的坐标运算求m、n，即可比较大小.【详解】构建如下图示的直角坐标系，令，，，，所以，可设，，且，，则，，所以.故选：B.二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．【答案】AC【分析】利用余弦定理及基本不等式一一判断即可；【详解】解：对于A选项，，可以得出，∴，故A正确；对于B选项，因为，所以，当且仅当时取等号，因为，所以，故B错误；对于C选项，假设，则，，则，所以与矛盾，∴，故C正确，对于D选项，取，满足，此时，故D错误；故选：AC.10．【答案】AC【分析】根据向量平行的坐标表示可判断AB；由向量垂直的坐标表示结合已知求出向量，可得向量，然后根据投影向量公式可得投影向量，可判断CD.【详解】由向量平行的坐标表示可知，若，则，A正确，B错误；若，且，则，解得，则，，则在上的投影向量为，C正确，D错误．故选：AC11．【答案】ACD【分析】根据三角函数诱导公式、题设中的公式、两角和与差的余弦公式、正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明逐一即可得到结论.【详解】因为的内角满足，所以，所以，所以，所以，从而得：，故，所以有，故A正确；设外接圆的半径为，由正弦定理可得，所以，所以，所以，故B错误；又，故C正确；因为，故，，故D正确.三填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．【答案】【分析】根据方位角的定义，可知=，设出时间为t，则可表示出，，根据余弦定理可求出两船之间的距离表达式，进而可求出距离最小值及对应的时间t．【详解】如图，

当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为小时，此时甲船位于处，乙船位于处，则，，由余弦定理可得：=，故当时取最小值，故答案为．13．【答案】①②③④【分析】以、为邻边作平行四边形，利用平面向量加法与减法法则进行判断即可.【详解】以、为邻边作平行四边形，如下图所示，由题意知其为正方形．①，，，所以，①正确；②，，，所以，②正确；③，，，所以，③正确；④，，所以，④正确.因此，正确命题的序号为①②③④.故答案为：①②③④.【点睛】本题考查平面向量有关模的等式的判断，解题时应充分利用平面向量的加法和减法法则将和向量与差向量表示出来，并利用图形中线段长的等量关系来进行判断，考查推理能力，属于中等题.14．【答案】【分析】由条件可得，．设，根据，求得①．由，求得②．由①②求得、的值，可得．再利用两个向量数量积的运算法则求得的值．【详解】解：直角三角形中，，，，与交点为，，．设，则，．再根据，可得，求得①．同理，由，求得②．由①②求得，，，，故答案为：．四解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）15．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）因为，.所以，.因为与垂直，所以，整理得，解得或(舍去).（2）因为，，，所以，.因为与共线，故，所以解得所以，，所以.【点睛】方法点睛：两向量，的位置关系求参数的常见方法：（1）由，得；（2）由，得.16．（2025高一·全国·课后作业）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求角C；(2)若c＝4，a2+b2＝2c2，求△ABC的面积．【答案】(1)(2)4．【分析】（1）由题意利用两角和的余弦公式、诱导公式，求得的值，可得C的值．（2）由题意利用余弦定理求得ab的值，可得△ABC的面积为的值．【详解】（1）∵△ABC中内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，所以,即，即，∴(舍去），或，∴C．（2）若c＝4，a2+b2＝2c2，所以a2+b2＝32，由余弦定理可得，∴ab＝16，∴△ABC的面积为．17．（2024·山东·三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cosC+cosAcosB=2sinAcosB．（1）求cosB的值;（2）若a+c=2，求b的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简已知等式可得，结合，可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值．（2）由（1）可求，又由，利用余弦定理可得，结合范围，利用二次函数的性质可求的范围．【详解】（1）因为cosC+cosAcosB=sinAcosB，所以-cos(A+B)+cosAcosB=sinAcosB，即sinAsinB=sinAcosB，因为sinA≠0，所以sinB=cosB>0，又因为sin2B+cos2B=1，解得cosB=.（2）由a+c=2，可得c=2-a，由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=a2+(2-a)2-a(2-a)=(a-1)2+，因为0<a<2，所以≤b<2，所以b的取值范围为.18．（24-25高一下·福建三明·期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．(1)若，且，求△ABC的面积；(2)求的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由余弦定理及已知可得，再应用三角形面积公式求面积即可.（2）由题设有，根据已知及余弦定理有，再由正弦边角关系及和差角正弦公式可得，即可得，进而求最值.【详解】（1）由，故，而，所以，故.（2）由，故，即，由余弦定理知：，即，所以，即，又，故，由，则或（舍），所以，则，即，，而，所以，当时有最大值为.【点睛】关键点点睛：第二问，注意综合应用正余弦定理得到，再根据三角形内角的性质、三角恒等变换得到的关系及角的范围，进而求最值.19．（2025高一下·江苏扬州·阶段练习）已知中，过重心G的直线交边（不含端点）于P，交边（不含端点）于Q，设的面积为，的面积为，，.（1）求证：.（2）求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）设，可得，，利用三点共线可得