重难点15 几何压轴突破三 几何最值问题之将军饮马模型与逆等线模型（2种模型讲解+14种题型汇-总+专题训练+真题训练）（原卷版）

第四章三角形重难点15几何压轴突破三几何最值问题之将军饮马模型与逆等线模型（2种模型讲解+14种题型汇总+专题训练+真题训练）【题型汇总】类型一将军饮马模型场景总结：当题目中构图满足“求点到直线上动点距离和的最小值”的条件时,则一定存在将军饮马模型.解题大招：(1)最值问题基本原理:①两点之间线段最短;②点到直线,垂线段最短.(2)将军饮马解题步骤:第一步,明确动点、定点；第二步,明确问题属于哪种将军饮马模型,要求哪些线段和的最小值(注意去掉长度固定的线段)；第三步,利用平移、对称等方法,将问题转化为基本原理①或②.模型详解：类型一两定一动型（四种）图形条件如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值.如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值.结论当A，D，B三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB的长.当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的长.解题方法1）连:连接AB；2）求:AB长度即为AD+BD的最小值;1）找:找一个定点关于直线m的对称点B'；2）连:连接对称点B'和另外一个定点A；3）求:AB'长度即为AD+BD的最小值.图形条件如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为直线m上一动点,求|AD-BD|的最大值.如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直线m上一动点,求|AD-BD|的最大值.结论当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB的长当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB'的长解题方法1）连:连接AB并延长交直线m于D’；2）求:当点D和点D’重合时，|AD-BD|的值最大，AB的长度即为|AD-BD|的最大值.1）找:找一个定点关于直线的对称点；2）连:连接另外一个定点和对称点，并延长交直线于一点;3）求:另外一个定点和对称点间的距离即为所求.【补充】图形条件如图，点A，B为定点，点P为直线m上一动点，求|AP-BP|取得最小值.结论当PA=PB时，|AP-BP|取得最小值,最小值为0.类型二：一定两动型（三种）图形条件如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值.如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值.图形条件如图，点M，N分别为m1，m2上的动点，点P为定点，求PM+PN+MN的最小值.结论做点P关于m1，m2的对称点P',P''，那么当P'，M，N，P''四点共线时，PM+PN+MN取得最小值，最小值为的距离.类型三：两动两定型（两种）图形条件如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B为∠MON内的两个定点，求AC+CD+BD+AB的最小值.如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B分别为OM，ON上的定点，求AD+CD+BC的最小值.结论做A点关于OM的对称点A'，做B点关于ON的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AC+CD+BD取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB.做A点关于ON的对称点A'，做B点关于OM的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AD+CD+BC取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AD+CD+BC的最小值就是A'B'的长.类型四:平移线段型（两种）图形条件如图，A，B为定点，M，N分别为m，n上的动点，MN⊥n，m∥n，且MN为定值，求AM+MN+NB的最小值.如图，A，B为定点，M，N分别为m上的动点，且MN为定值，求AM+MN+NB最小值.结论如图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A'，连接A'B，交n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B+MN.如图，将点A向右平移MN个单位长度得点A'，作B关于直线m的对称点B’，连接A'B'，交直线m于点N，将点N向左平移MN个单位长度得点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B'三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B'+MN.题型01两定一动型1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A3,0，B0,2，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=5，∠ABC=30°，点M为直线BC上一动点，则MA+MD的最小值为．3．（2023·广东广州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE=1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为．

4．（2024·甘肃·中考真题）如图1，抛物线y=ax-h2+k交x轴于O，A4,0两点，顶点为B2,2(1)求抛物线y=a(x-h)(2)过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．(3)点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．5．（2022·广东深圳·三模）某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点即为P请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为；（2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值；（3）代数应用：求代数式x2+1+题型02线段差最值6．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC、BD交于点O，BD=8，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF=3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则

7．（21-22八年级上·河北承德·期末）如图，点A，B在直线MN的同侧，点A到MN的距离AC=8，点B到MN的距离BD=5，已知CD=4，P是直线MN上的一个动点，记PA+PB的最小值为a，PA-PB的最大值为b．（1）a=；（2）a2-8．（2023·山东菏泽·二模）如图，直线y1=kx+2与反比例函数y2=3x的图象交于点

(1)若y1>y(2)动点Pn,0在x轴上运动．当n为何值时，PA-PC9．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3a≠0与x轴交于A-1,0，B3,0两点，与(1)求抛物线的解析式；(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使PA-PD有最大值？若存在，求出PA-PD的最大值；若不存在，请说明理由；(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N．若tan∠MCN=23题型03垂线段最短型10．（2024·四川凉山·中考真题）如图，⊙M的圆心为M4，0，半径为2，P是直线y=x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则11．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是对角线BD上的一个动点，CF=BF，则MA+MF的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．212．（20-21七年级下·福建漳州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于点D，点E、F分别是AD、AC边上的动点，则CE+EF的最小值为

13．（2020·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC=10，∠ABD=30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为．

题型04两定一动/两定动型14．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）如图，在边长为8的正方形中，点G是边的中点，E、F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为．15．（2022·山东枣庄·二模）如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是．16．（2023·陕西西安·二模）如图，在四边形中，，，，，、分别是边、上的动点，连接，，，则周长的最小值为．

17．（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别是边上的点，连接，若，，，则周长的最小值是．

18．（2020九年级·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于、，与轴交于点，点为的中点，点、分别为轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接、、，求四边形周长最小时点、的坐标．19．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．(1)若，①求点P的坐标；②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标；(2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标．题型05造桥选址型20．（2020九年级·全国·专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，点E、F是AD边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC周长的最小值为．

21．（2023·陕西咸阳·一模）【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离AC=2，点B到直线l的距离BD=4，A、B两点的水平距离CD=8，点P是直线l上的一个动点，则AP+BP的最小值是________；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，求GE+CF的最小值；【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形ABCD的空地，管理人员规划修两条小路AC和BD（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在AD和BC上分别选取点M、N，沿PM、PN和MN修建地下水管，为了节约成本，要使得线段PM、PN与MN之和最小．已测出∠ACB=45°，∠ADB=60°，∠CPD=75°，PD=40m，PC=502m

22．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4a≠0经过点-1,6，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（(1)求抛物线的表达式；(2)点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交AC于点D．点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF．当线段PD长度取得最大值时，求(3)将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD长度取得最大值时的点D，且与直线AC相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QDK=∠ACB时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．23．（2021·广西·中考真题）如图，已知点A(3,0)，B(1,0)，两点C(-3,9)，D(2,4)在抛物线y=x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C'，D'，当四边形题型06与将军饮马有关的角度探究问题24．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=α（∠BAE为钝角），∠B=∠E=90°，在BC，DE上分别找一点M，N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（

）A．12α B．α-90° C．2α-180° D25．（2023·山东淄博·一模）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠DAB=140°，M，N分别是边DC，BC上的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN=°．26．（2021鼓楼区二模）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM=°．27．（21-22八年级上·贵州黔南·期中）如图，∠AOB＝α，点P是∠AOB内的一定点，点M，N分别在OA，OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数为．题型07与将军饮马有关的作图问题28．（21-22八年级上·河南新乡·期末）如图，在方格中，水平方向的数轴我们叫x轴，竖直方向的数轴我们叫y轴，△ABC的三个顶点我们可以分别表示为A-3,4，B-4,1，(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，(2)点D在x轴上，使得BD=CD，尺规作出点D；（不写作法，保留作图痕迹）(3)点P在y轴上，使得△ACP的周长最小，作出点P．（不写作法，保留作图痕迹）29．（2022·吉林长春·一模）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的画图痕迹．(1)在图①中画出AC边上的中线BD．(2)在图②中画出AC边上的高线BE．(3)在图③中，若点P、Q分别为线段AB、AC上的动点，连结PC、PQ，当PC+PQ取得最小值时，画出点P、点Q的位置．30．（2023·河南南阳·二模）综合与实践问题提出（1）如图①，请你在直线l上找一点P，使点P到两个定点A和B的距离之和最小，即PA+PB的和最小（保留作图痕迹，不写作法）；

思维转换（2）如图②，已知点E是直线l外一定点，且到直线l的距离为4，MN是直线l上的动线段，MN=6，连接ME，NE，求ME+NE的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段MN看作静线段，则点E在平行于直线l的直线上运动”，请你参考小敏的思路求

拓展应用（3）如图③，在矩形ABCD中，AD=2AB=25，连接BD，点E、F分别是边BC、AD上的动点，且BE=AF，分别过点E、F作EM⊥BD，FN⊥BD，垂足分别为M、N，连接AM、AN

31．（2021·江苏常州·二模）阅读并解答下列问题：老师给出了以下思考题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），连接AC、CD、DB，求AC+CD+DB的最小值．【思考交流】小明：如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1交x轴于点D，将点D向左平移2个单位长度得到点C，连接AC、BD．此时AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD．小颖：如图3，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点A1关于x轴的点A2，连接A2B可以求解．小亮：对称和平移还可以有不同的组合…【尝试解决】在图2中AC+CD+DB的最小值是________________________；【灵活运用】如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，1)，D（a+2，0），连接AC、CD、DB，则AC+CD+DB的最小值是___________，此时a=__________．并请在图5中用直尺和圆规作出AC+CD+DB最小时CD的位置（不写作法，保留作图痕迹）．【拓展提升】如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），C是一次函数y=x图像上一点，CD与y轴垂直且CD=2（点D在点C右侧），连接AC、CD、AD，直接写出AC+CD+DA的最小值是________________，此时点C的坐标是________________．题型08相对运动平移型将军饮马32．（2023·山东泰安·三模）如图，在菱形ABCD中，BC=4,∠ABC=60∘，在BC边上有一线段EF由B向C运动，点F到达点C后停止运动，E在F的左侧，EF=1，连接AE,AF，则△AEF周长的最小值为（A．43+1 B．43+2 C．33．（2023·河南周口·三模）如图，在矩形ABCD中，AB=15，BC=20，把边AB沿对角线BD平移，点A'，B'分别对应点

34．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在菱形ABCD中，AB=23，∠BCD=120°，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重合），过点MN∥CD，使得MN=CD，连接CM、AM35．（2023九年级·全国·专题练习）如图，抛物线y=-x2+bx+c上的点A，C坐标分别为0,2，4,0，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且OM=2，连接AC

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；(2)点P是抛物线位于第一象限图像上的动点，连接AP，CP，当S△PAC=S(3)点D是线段BC（包含点B，C)上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点Q的坐标；(4)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A'，点C的对应点为点C'，在抛物线平移过程中，当MA'+MC'的值最小时，新抛物线的顶点坐标为题型09通过瓜豆得出轨迹后将军饮马36．（2023·湖北鄂州·模拟预测）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点A(4,0)，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则OB+AB的最小值是（

）

A．4 B．45 C．8 D．37．（2022·四川成都·二模）在Rt△ABC中，斜边AB=2，∠A=30°，点D是AC边上的一个动点，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接CE，则BE＋CE的最小值为38．（2023·江苏徐州·模拟预测）等边△ABC边长为6，D是BC中点，E在AD上运动，连接BE，在BE下方作等边△BEF，则△BDF周长的最小值为．39．（2021·陕西榆林·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M为BC上一点，连接MA，将线段MA绕点M顺时针90°得到线段MN，连接CN、DN，则CN+DN的最小值为．题型10三动点问题40．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=45°，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于（）A．1 B．2 C．3 D．541．（2021·江苏苏州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是．42．（2019·陕西西安·模拟预测）如图，已知AD//BC，∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4，点M为边BC中点，点E、F在线段AB、CD43．（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，已知正比例函数y=kxk>0的图象与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为0,4，P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kxk>0的图象上的两个动点，则AM+MP+PN

44．（2021·湖北武汉·模拟预测）已知如图，AB=4,AC=2,∠BAC=60°,BC⌢所在圆的圆心是点O,∠BOC=60°，分别在BC、线段AB和AC上选取点P、E、【真题训练】45．（2021·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝13AB时，PB＋PM的最小值为（

A．33 B．27 C．23＋2 D．33＋346．（2023·安徽·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点E是矩形ABCD内部一动点，且∠BEC=90°，点P是AB边上一动点，连接PD、PE，则PD+PE的最小值为（

）A．8 B．45 C．10 D．47．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）探究式子x2+1+x-42+1x≥0的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想：如图，取AB=4，作AC⊥AB于A．BD⊥AB于B，且AC=1，BD=1，点E在AB上，设AE=x，则BE=4-x，于是，x2+1=CE，x-42

48．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边△ABC中，AB=10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF=，FB+FD的最小值为．49．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知∠AOB=50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN=．50．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是．

51．（2021·湖北恩施·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y=x2+bx+c经过点B，D-4,5两点，且与直线（1）求抛物线的解析式；（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP．探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．52．（2020·江苏南京·中考真题）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建气站，所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在l直线上另外任取一点C'，连接AC'，BC（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由），①生市保护区是正方形区域，位置如图③所示②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．类型二逆等线模型逆等线模型的介绍：两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等，那么这两条始终相等的线段称为逆等线段.解题方法：1）找三角形.找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形.(图中本身就有的三角形不要添加辅助线以后构成的三角形)2.确定该三角形的不变量.在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变.3.从另一逆等线段的定点引一条线.使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长,与这个逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角.4.问题转化为将军饮马问题求最值.【模型解读】△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线，就是怎么别扭怎么来。观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。备注：一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。例：如上图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。解题策略：①AD在△ADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等.②即过点C作CF//AB，且CF=AC.（构造一边一角，得全等）③构造出△ADC≌△CEF(SAS),证出EF=CD.④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求.此时，B、E、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值.⑤求BF题型01构造SAS型全等拼接线段53．（21-22九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE=CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为．

54．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，等腰Rt△ABC的直角边长为4，D、E分别为边AB、AC上两个动点，且AE=BD，则55．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为5的菱形ABCD中，∠BAD=120∘，E，F分别是AD，BD上的动点，DE=BF，连接AF，CE，则AF+CE的最小值为56．（2024·贵州黔南·模拟预测）如图，在△ABC中，AC=BC=3，过点A作直线AD⊥BC于点D，E，F分别是直线AD，边AC上的动点，且AE=CF，则BF+CE的最小值为

57．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE=DF，则AE+AF的最小值是．题型02平移，对称或构造平行四边形58．（2021·安徽宿州·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在