解题秘籍04 几何模型在压轴题中的运用（11种题型汇-总+专题训练）（原卷版）-2025年中考数学重难点突破

解题秘籍04几何模型在压轴题中的运用（11种题型汇总+专题训练）【题型汇总】题型01三角形拼接模型常见的三角板与三角板（平行）拼接模型：类型两条斜边平行斜边于直角边平行两条直角边平行图示顶点在斜边上顶点在直角边上顶点在边上顶点重合【提示】根据平行线的性质及三角形内角和进行角度计算，计算线段长时会用到特殊角的三角函数值.1．（2023·四川德阳·中考真题）将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起，如图1，∠O=90°，∠A=30°，∠E=45°，OD>OC．在两三角板所在平面内，将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α（0°<α<90°）度到D1OE1位置，使O

(1)求α的值；(2)如图3，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转，使点E落在AC边上点E2处，点D落在点D2处．设E2D2交OD1于点G，OE1交AC2．（2024·河南·三模）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G．求重叠部分（△DCG）的面积．(1)小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤：解：∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴DC=DB=DA．∴∠B=∠DCB．

（依据：______________________）又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B．∴∠FDE=∠DCB．∴_____________________．∴∠AGD=∠ACB=90°．∴DG⊥AC．又∵DC=DA，∴G是AC的中点，∴DG为△ACD中位线．∴CG=12AC=12×8=4(2)“希望”学习小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，请解决下列两个问题：①求证：△AHD∽△ABC；②求出重叠部分（△DGH）的面积．(3)“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交于点M，N，当△DMN是以DM为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（△DMN）的面积是________．题型02四边形折叠模型解题方法：与特殊平行四边形有关的折叠问题与轴对称的知识联系紧密，解决这类问题有两个“秘诀”:一是折叠前后的两部分是全等的(对应边、对应角相等)；二是折叠前后的对应点所连线段被折痕垂直平分.3．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB>2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接求证：(1)△AEH≌△CFG；(2)四边形EGFH为平行四边形．4．（2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=8，AB=12，AD=13．折叠四边形纸片ABCD，使得点C的对应点C'始终落在AD上，点B的对应点为B'，折痕与AB，【解决问题】(1)当点C'与点A重合时，求B(2)设直线B'C'与直线AB相交于点F，当∠AF5．（2024·湖北·中考真题）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；(3)如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．题型03射影定理类型射影定理作高用射影定理条件∠ABC=∠ADB=90°F,A,B三点共线，C,A,E三点共线，∠ACB=∠AFE=90°图示结论1）∆ABD∽∆ACB∽∆BCD2),,3）AB•BC=BD•AC（面积法）过点C作CD⊥AB于点D∆AFE∽∆ADC∽∆ACB∽∆CDB6．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．（一）拓展探究如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D．（1）兴趣小组的同学得出AC∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠A+∠ACD=90°∴∠B=①______∵∠A=∠A∴△ABC∽△ACD∴AB∴A请完成填空：①______；②______；（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．（二）学以致用（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=26，平面内一点D，满足AD=AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB=∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE7．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．(1)初步探究如图2，若∠ACD=∠B，求证：AC(2)尝试应用如图3，在（1）的条件下，若点D为AB中点，BC=4，求CD的长；(3)创新提升如图4，点E为CD中点，连接BE，若∠CDB=∠CBD=30°，∠ACD=∠EBD，AC=27，求BE8．（2024·江苏徐州·中考真题）在△ABC中，点D在边AB上，若CD2=AD⋅DB，则称点D是点C的“(1)如图（1），在△ABC中，若∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．试说明：点D是点C的“关联点”．(2)如图（2），已知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC，使其同时满足下列条件：①点D为点C的“关联点”；②∠ACB是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．(3)若△ABC为锐角三角形，且点D为点C的“关联点”．设AD=m，DB=n，用含m、n的代数式表示AC的取值范围（直接写出结果）．题型04一线三等角模型类型一线三等角模型（同侧型）一线三垂直模型（同侧型）条件∠B=∠D=∠ACE=α∠B=∠D=∠ACE=90°图示结论∆ABC∽∆CDEABCD=BCDE=AC∆ABC∽∆CDEABCD=BCDE=AC已知∠D=∠ACB=∠E，AC=BC图示结论9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A=90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．

(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是______；(2)【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB=2，AC=6，求△BDF的面积；(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则BNBC=(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP=2310．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】（1）如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB=BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由．【模型应用】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE=EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．【模型迁移】（3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE=EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．11．（2023·湖北荆州·中考真题）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．(1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt△APC中，∠A=90∘，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP:PB=1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长（用含题型05半角模型类型正方形内含型半角等腰直角三角形内含型半角条件正方形ABCD，∠EAF=45°∠BAC=90°,AB=AC，∠EAF=45°图示辅助线作法延长BC至点G，使DE=GB,连接AG过点B作BD⊥BC,且BD=EC,连接AD,DF结论1）旋转全等2）对称全等3）EF=DE+BF1）旋转全等2）对称全等3）在Rt△DBF中，即90°含45°120°含60°条件∠BAC=90°，∠DAE=45°,BA=AC∠BAC=120°，∠DAE=60°,AD=AE图示结论∆BAE∽∆ADE∽∆CDA∆BAE∽∆ADE∽∆CDA12．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，且∠DAE=45°，BD=3，CE=4，求DE的长．解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连接

由旋转的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠CAD'，∴∠CAD'+∠EAC=45°，即在△DAE和△D'AE中，AD=AD'∴___①___．∴DE=D'E．又∴在Rt△ECD'中，___∵CD'=BD=3

∴DE=D'E=___【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．【知识迁移】如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、

【拓展应用】如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．探究BE、

【问题再探】如图5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D、E在边AC上，且∠DBE=45°．设AD=x，CE=y，求y与x的函数关系式．

13．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠MAN=12∠BAC，∠MAN在∠BAC的内部，点M、N在BC上，点M在点N

（1）如图①，当∠BAC=90°时，探究如下：由∠BAC=90°，AB=AC可知，将△ACN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABP，则CN=BP且∠PBM=90°，连接PM，易证△AMP≌△AMN，可得MP=MN，在Rt△PBM中，BM2（2）当∠BAC=60°时，如图②：当∠BAC=120°时，如图③，分别写出线段BM、NC、MN之间的数量关系，并选择图14．（2023·江苏南通·中考真题）正方形ABCD中，点E在边BC，CD上运动（不与正方形顶点重合）．作射线AE，将射线AE绕点A逆时针旋转45°，交射线CD于点F．∵

(1)如图，点E在边BC上，BE=DF，则图中与线段AE相等的线段是___________；(2)过点E作EG⊥AF，垂足为G，连接DG，求∠GDC的度数；(3)在（2）的条件下，当点F在边CD延长线上且DF=DG时，求FGAG15．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．

【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM=∠CNH；【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F．连接AC交BD于点O，求EFNM题型06手拉手模型条件：在∆ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE，图示：解题策略：连接BD，CE,根据已知条件可证明∆ABD∽∆ACE结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC【小结】1）头顶头，左手拉左手，右手拉右手，那么，头左左≌头右右.2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE.16．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=32，点D在AB边上，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE

(1)求证：△CAD≌△CBE；(2)若AD=2时，求CE的长；(3)点D在AB上运动时，试探究AD17．（2024·新疆·中考真题）【探究】（1）已知△ABC和△ADE都是等边三角形．①如图1，当点D在BC上时，连接CE．请探究CA，CE和②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE．请再次探究CA，CE和【运用】（2）如图3，等边三角形ABC中，AB=6，点E在AC上，CE=23．点D是直线BC上的动点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF．当△CEF为直角三角形时，请直接写出BD18．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF利一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若AE=1，AB=2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α0°≤α≤90°【初步探究】如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G,BG交AD于点M．问题1BE和DF的数量关系是________，位置关系是_________．【深入探究】应用问题1的结论解决下面的问题．问题2如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA=OD=OG．【尝试应用】问题3如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．题型07正方形风车模型使用场景：已知正方形ABCD，点O是对角线的交点，∠MON=90°图示：大招结论：1)△OAE≌△OBF，△OBE≌△OCF2)BE+BF=AE+FC=AB3)△EOF为等腰直角三角形4)5)6)(当OE⊥AB时OE取最小值)19．（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心O处，并绕点O旋转，探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况．操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点O处，在旋转过程中：（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______．（2）若正方形的面积为S，重叠部分的面积为S1，在旋转过程中S1与S的关系为类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点O重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于E，F两点，小宇经过多次实验得到结论BE+DF=2拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中60°角的顶点与点O重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交AB于点M，斜边交BC于点N，且BM=BN时，请求出重叠部分的面积．（参考数据：sin15°=6-2420．（2023·湖北襄阳·中考真题）【问题背景】人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点P落在线段OC上，PAPC=k（

【特例证明】（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N①填空：k=______；②求证：PM=PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≅△PBN；也可过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）【类比探究】（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．【拓展运用】（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN=45°，延长NP交边CD于点E，若EN=kPN，求k的值．21．（2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF∠P=90°,∠F=60°的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为__________；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为__________(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE,OP分别与正方形的边相交于点M，N．①如图2，当BM=CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图3，当CM=CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH=α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含（参考数据：sin15°=题型08十字架模型使用场景：在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，AE与BO相交于点O,互相推导①BE=CF，②AE=BF，③AE⊥BF图示：大招结论：相等则垂直，垂直则相等.22．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．

【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF的长．23．（2025·广东深圳·三模）【问题提出】（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，若∠FOC=90°，求证：CEDF【迁移应用】（2）如图2，在▱ABCD中，AB=4，AD=7，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，且∠COD+∠BAD=180°，求【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，连接BD与CE交于点O，∠BOC=∠BAD=∠BCD=120°，ABAD=13，24．（2025·甘肃·模拟预测）【模型建立】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，且AE⊥DF，求证：DE=CF；【模型应用】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边AD上，点M，N分别在边AB，CD上，且BE⊥MN，求BEMN【模型迁移】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，ABAD=23，AB=BC，AD=DC，点E，F分别在边AB，AD上，且DE⊥CF，垂足为题型09中点模型【基础模型】已知点E、F、G、H分别为任意四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则①四边形EFGH是平行四边形②CEFGH=AC+BD③【名师总结】1）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是矩形.2）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形.3）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形.4）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形.速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正.25．（2024·江苏盐城·中考真题）如图1，E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF、CE交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形AMCN称为平行四边形ABCD的“中顶点四边形(1)求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形；(2)①如图2，连接AC、BD交于点O，可得M、N两点都在BD上，当平行四边形ABCD满足________时，中顶点四边形②如图3，已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）26．（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接E,F,G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁Varingnon，

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：证明：如图2，连接AC，分别交EH,FG于点P,Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．∵H,G分别为AD,CD的中点，∴HG∥AC,HG=12AC

∴DNNM=DGGC．∵DG=GC，∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．∵HG∥AC，即HG∥PQ，∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴S▱HPQG∵S△ADC=12AC⋅DM=HG⋅DM任务：(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．依据2是指：_____________．(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）(3)在图1中，分别连接AC,BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长度的关系，并证明你的结论．

27．（2024·青海·中考真题）综合与实践顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．【探究一】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形．证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF、GH分别是△ABC和△ACD的中位线，∴EF=12AC，GH=∴EF=GH．同理可得：EH=FG．∴中点四边形EFGH是平行四边形．结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．（1）请你补全上述过程中的证明依据①________【探究二】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形AC=BD菱形从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．【探究三】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形AC⊥BD②________（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________．（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．【归纳总结】（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．原四边形对角线关系中点四边形形状③________④________结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________．题型10隐圆模型28．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D在AC上，且AD=2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当AG=FG时，线段DE长为（

）A．13 B．522 C．41229．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是．30．（2023·山东日照·中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（60°<α<180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接

(1)求证：A，E，B，D四点共圆；(2)如图2，当AD=CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；(3)已知α=120°，BC=6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点31．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）【学习心得】小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是ΔABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC=45°(1)【初步运用】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=24°，求∠BAC的度数；(2)【方法迁移】如图，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB=30°（不写作法，保留作图痕迹）；(3)【问题拓展】①如图，已知矩形ABCD，AB=2，BC=m，M为CD上的点．若满足∠AMB=45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为______．②如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=6，CD=2，求AD的长．32．（2023·重庆·模拟预测）在直角△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，点D是△ABC外一点，连接AD，以AD为边作等边△ADF．(1)如图1，当点F在线段BC上，DF交AC于点M，且AF平分∠BAC，若AF=6+2(2)如图2，连接FB并延长至点E，使得FB=BE，连接CE、DE、CD，证明：DE=3(3)如图3，旋转△ADF使得DF落在∠ABC的角平分线上，M、N分别是射线BA、BC上的动点，且始终满足∠MDN=60°，连接MN，若BC=2，请直接写出△MDN题型11其它模型33．（2023·四川成都·中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，D是AB边上一点，且ADBD=1n（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE

【初步感知】(1)如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=2【深入探究】(2)①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，【拓展运用】(3)如图3，连接EF，设EF的中点为M．若AB=22，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n34．（2023·江苏徐州·中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c．求证：BO【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为35．（2022·宁夏·中考真题）综合与实践知识再现如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以BC、CA、AB为边向外作的正方形的面积为S1、S2、S3．当S1=36，问题探究如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）如图2，分别以BC、CA、AB为边向外作的等腰直角三角形的面积为S1、S2、S3，则S1、S2（2）如图3，分别以BC、CA、AB为边向外作的等边三角形的面积为S4、S5、S6，试猜想S4、实践应用（1）如图4，将图3中的△BCD绕点B逆时针旋转一定角度至△BGH，△ACE绕点A顺时针旋转一定角度至△AMN，GH、MN相交于点P．求证：S△PHN（2）如图5，分别以图3中Rt△ABC的边BC、CA、AB为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，BC、CA、AB为直径的半圆柱的体积分别为V1、V2、V3．若AB=4，柱体的高h=836．（2022·黑龙江绥化·中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．(1)如图一，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上有一点D，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G.利用面积证明：DE+DF=CG．(2)如图二，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，点B落在B'处，点G为折痕EF上一点，过点G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N.若BC=8，BE=3，求GM+GN的长．(3)如图三，在四边形ABCD中，E为线段BC上的一点，EA⊥AB，ED⊥CD，连接BD，且ABCD=AE