2024-2025学年四川省雅安市名山区高二下册3月月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年四川省雅安市名山区高二下学期3月月考数学检测试卷第一部分（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等比数列中，，，则（）A.4 B.8 C.10 D.12【正确答案】B【分析】由等比数列的性质运算即可.【详解】由题意，且，所以.故选：B.2.在数列中，若，，则（）A. B. C.1 D.4【正确答案】A【分析】根据给定条件，探求出数列的周期，再利用周期性计算即得.【详解】在数列中，由，，得，，，因此数列是周期性数列，周期为3，所以.故选：A3.椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的左焦点和中心分别是，已知是，的等比中项，则此椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用椭圆的几何性质由等比中项性质可得，即可求离心率.【详解】根据题意可得，由是，的等比中项，可得，可得，所以．故选：B4.已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论公比（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据等比数列的列方程，由此求得的值.【详解】由于，若，则，而，则，所以不符合题意.当且时，，即，即，则.故选：A5.已知数列满足，，则的前6项和为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】首先，利用递推求出的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果.【详解】由，当时，，显然，对于时也成立，所以，则的前6项和为.故选：C.6.已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（）A.20 B.24 C.36 D.40【正确答案】C【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出及通项公式，再确定所有非负数项即可得解.【详解】等差数列中，公差，即数列是递减等差数列，显然，而，且，解得，则，，由，得，因此数列前9项均为非负数，从第10项起均为负数，所以的最大值为.故选：C.7.已知数列的前项和为，且，，则的值为（）A.360 B.480 C.960 D.1280【正确答案】D【分析】根据给定的递推公式可得，再求出数列的前40项中的奇数项的和及偶数项的和即可.【详解】当n为奇数，，，当n为偶数，，，因此，的奇数项是以3为首项，3为公差的等差数列；的偶数项是以为首项，3为公差的等差数列，所以.故选：D8.数列的前项和为，若，，则（）A.数列是公比为2的等比数列 B.C.既无最大值也无最小值 D.【正确答案】D【分析】根据间的关系求出，进而判断A,B；然后求出，根据数列的增减性判断C；最后通过等比数列求和公式求出，进而判断D.【详解】由题意，时，，又，解得：，时，，则，又，所以数列从第2项起是公比为2的等比数列.A错误；易得，，则，B错误；时，，时，，而是递减数列，所以时，.综上：有最大值1.C错误；时，，满足题意；时，，于是，.D正确.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是等差数列的前项和，则下列结论正确的是（）A.可能是等差数列 B.一定是等差数列C.一定是等比数列 D.不一定是等差数列【正确答案】ACD【分析】根据等差数列的通项公式形式为：求出A，B，D选项的通项公式即可判断，根据等比数列的定义判断C选项.【详解】A选项：，当时，是等差数列，A正确；B选项：，当时，不等差数列，B错误；C选项：因为，，，，，所以为等比数列，C正确；D选项：因为，，当时，为等差数列，当时，不是等差数列，所以不一定是等差数列，所以D正确.故选：ACD10.如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（不包括端点），则（）A.当点为的中点时，与平面所成角为B.存在点，使得C.对于任意点，均不成立D.三棱锥的体积是定值【正确答案】AC【分析】在正方体中建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项；利用空间位置关系的向量证明判断BC；利用点到平面距离的向量求法计算判断D.【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则、、、、、，所以，，对于A选项，当为的中点时，，，易知平面的一个法向量为，则，故点为的中点时，与平面所成角为，A对；对于B选项，令，则点，，，若，则，必有，即与矛盾，B错；对于C选项，，，其中，若，则，解得，不合乎题意，所以，对于任意点，均不成立，C对；对于D选项，，设平面的法向量，则，令，得，于是点到平面的距离，，则不是常数，又点、、是三个定点，面积是定值，因此三棱锥的体积不是定值，D错.故选：AC.11.已知数列满足，则（）A.为等比数列B.为递增数列C.数列的前100项和为D.数列的前8项和为10000【正确答案】ABC【分析】根据题意求出数列的通项公式，然后逐项判断即可求解.【详解】对于，当时，，当时，，所以，即，当时也满足该式，故，是等比数列，故A正确；对于B，，易知其为单调递增数列，故B正确；对于C，，所以的前项和为，故C正确；对于D，，则的前8项和为，故D错误．故选：ABC第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的前项和为，，则________.【正确答案】【分析】利用前项和与通项公式的关系求解通项公式即可.【详解】当时，，当时，，此时，不符，故.故13.已知等差数列的前项和为，若，，则数列的前2021项和为___________.【正确答案】【分析】根据题意求出，代入中，再利用裂项相消即可求出答案.【详解】由等差数列且，可知：，故.，数列的前2021项和为.故答案为.14.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，将这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1，4进行“扩展”，第一次“扩展”得到数列1，4，4；第二次“扩展”，得到数列1，4，4，16，4；……；第n次“扩展”，得到数列1，，，…，，4，并记，其中，．则数列的通项公式______．【正确答案】【分析】根据题意可得，即可判断为等比数列，进而求出通项公式.【详解】由，可得，所以，则数列是首项为，公比为3的等比数列，故，所以．故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.15.有一辆公交车，依次设了A，B，C，D，E，F，G共7个站，甲乙二人都从A站上车，假设他们从后面每个站下车是等可能的.（1）求这两个人在不同站点下车的概率；（2）求这两个人都没有坐到终点站的概率.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）采用列举法，将甲乙下车方式所有可能的情况全部列举出来，结合古典概型概率计算公式即可求解.（2）由（1）中列举出来的所有情况，结合古典概型概率计算公式即可求解.【小问1详解】甲乙下车方式有如下36种结果：（C，B），（C，C），（C，D），（C，E），（C，F），（C，G）（D，B），（D，C），（D，D），（D，E），（D，F），（D，G）（E，B），（E，C），（E，D），（E，E），（E，F），（E，G）（F，B），（F，C），（F，D），（F，E），（F，F），（F，G）（G，B），（G，C），（G，D），（G，E），（G，F），（G，G）甲乙两人在不同站点下车的结果有30个，所以所求的概率为.【小问2详解】由（1）可知甲乙两个人都没有坐到终点站的结果数有25个，因此所求概率为．16.已知数列的前n项和，数列的前n项和．（1）求，的通项公式；（2）若，求的前n项和．【正确答案】（1），（2）【分析】（1）由通项公式与前n项和的关系，作差即可求解；（2）由错位相减法即可求解；【小问1详解】因为数列的前n项和，所以当时，；当时，，此时满足上式，故．因为数列的前n项和，所以当时，；当时，，此时满足上式，故．【小问2详解】因，所以，则，两式相减得，化简得．17.已知顶点在原点的抛物线C焦点坐标，斜率为的直线l与C相交于A，B．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若，求l的方程．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据抛物线的焦点即可求解方程，（2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，根据抛物线的焦半径即可求解.【小问1详解】由焦点，可得，得，因此抛物线C的标准方程为．【小问2详解】设，，，联立方程组，得韦达定理知，，，则l的方程．18.已知数列中，.（1）若依次成等差数列，求；（2）若，证明：数列为等比数列；（3）若，求的前项和.【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）【分析】（1）利用递推关系得到，，再结合等差中项的性质建立方程，求解即可.（2）利用等比数列的定义证明即可.（3）结合（2）求出，再利用等比数列前项和公式分组求和即可.【小问1详解】由题意得在数列中，令，得到，令，得到，，因为依次成等差数列，所以，即，解得.【小问2详解】由题意得首项为，因为，所以，故是首项为1，公比为2的等比数列.【小问3详解】由（2）可得，则，由等比数列前项和公式得，，.19.已知有穷数列，，，，．若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列．对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，，将的值添在的最后，然后删除，，这样得到一个项的新数列（约定：一个数也视作数列）．若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，，如此经过次操作后得到的新数列记作．（1）设，，请写出的所有可能的结果；（2）求证：对于一个项的数列操作总可以进行次；（3）设，，，，，，，，，求的可能结果，并说明理由．【正确答案】（1），；，；，．；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）直接按定义来操作，每次取两个数代入计算即可求出的所有可能的结果；（2）先通过作差得到每次操作后新数列仍是数列；再根据每次操作中都是增加一项，删除两项即可得到结论；（3）先定义运算：，并证明这种运算满足交换律和结合律；再结合（2）可知中仅有一项，再按定义先求出，综合即可得到的可能结果．【详解】（1）直接按定义来操作，当取0，时代入计算可得：，；当取0，时可得，；当取，时，可得，．故有如下的三种可能结果：，；，；，．（2）因为对，，有且所以，即每次操作后新数列仍是数列．又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对数列每操作一次，项数就减少