2025年中考数学三轮复习之一元二次方程

第19页（共19页）2025年中考数学三轮复习之一元二次方程一．选择题（共10小题）1．（2025•新乡模拟）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根2．（2025•肇州县模拟）新年将至，某商场对一款智能音箱进行降价促销，其零售价由最初的100元经过两次降价后变为81元，且两次降价的百分率相同，设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（）A．100（1﹣x2）＝81 B．100（1﹣x）2＝81 C．81（1+x）2＝100 D．100（1﹣2x）＝813．（2025•官渡区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是133，求每个支干长出多少小分支？设每个支干长出x个小分支，则下面所列方程正确的是（）A．（1+x）2＝133 B．1+x2＝133 C．1+x+x2＝133 D．1+2x＝1334．（2025•柳州一模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．35．（2025•方山县一模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：2≈1.414A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50%6．（2025•西青区校级一模）设方程2x2+4x+6＝0的两实数根为x1x2，则x1+x2+x1x2的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．57．（2025•长安区一模）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣k）x﹣1＝0的两根互为相反数，则k的值为（）A．﹣2 B．2 C．6 D．﹣68．（2025•红花岗区校级一模）商场某种商品平均每天可售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场销售该商品日盈利要达到2100元，则每件商品应降价多少元？设每件商品降价x元，依题意可列方程（）A．（50+x）（50﹣2x）＝2100 B．（50+x）（30+2x）＝2100 C．（50﹣x）（30﹣2x）＝2100 D．（50﹣x）（30+2x）＝21009．（2025•石家庄一模）下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（）A．x2+mx＝0 B．x2﹣mx＝0 C．x2+mx+3＝0 D．x2+mx﹣3＝010．（2025•广东模拟）若等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则等腰三角形的周长为（）A．9 B．10 C．12 D．9或12二．填空题（共5小题）11．（2025•泗阳县一模）对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程k※x＝1有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．12．（2025•秦淮区校级模拟）若m，n是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根，则1m+1n的值是13．（2025•合肥一模）已知方程x2﹣4x+k＝0的一个根为5，则方程的另一个根为．14．（2025•西青区校级一模）某厂2021年生产A产品成本是5000元，随着技术研发进步，2023年生产A产品成本是3000元．设这两年A产品成本年平均下降率为x，可列方程为．15．（2025•常州模拟）若关于x的方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为．三．解答题（共5小题）16．（2025•秦淮区校级模拟）某商店销售一批商品，每件该商品的成本为100元，若按每件140元的售价销售，则每周可卖100件．经市场调查发现，在不亏本的前提下，每件该商品的售价每降低1元，每周便能多卖10件．要使每周总利润为6000元，且尽可能给顾客优惠，则该商店应将每件该商品降价多少元？（列方程解决问题）17．（2025•九龙坡区校级模拟）我校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．已知每瓶硫酸铜溶液的售价比氯化钠溶液的售价多2.5元，花100元用于购买的氯化钠溶液比花400元购买硫酸铜溶液少40瓶．（1）求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？（2）为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现每瓶硫酸铜溶液的成本是a元，每瓶氯化钠溶液的成本是0.5a元，已知第二次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少5a瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商家获利330元，求a的值．18．（2025•长沙模拟）技术创新引领发展，随着电池技术和智驾技术的进步，在长沙建厂的某品牌新能源车企实现了产销逆势增长．据不完全统计，该车企2024年8月份新能源汽车的销量约为40万辆，同年10月份的销量达到约50万辆．（1）求该车企2024年8月份到10月份新能源汽车销量的平均增长率；（参考数据：5≈2.24（2）该车企2024年11月份新能源汽车销量比10月份增加约1.4%，同年12月份新能源车销量比10月份增加约3%，求该车企2024年第四季度新能源车的总销售量约为多少万辆？19．（2025•西青区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1+3x2﹣2x1⋅x2＝5，求实数m的值．20．（2025•常州模拟）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）（x﹣2）2＝（2x+3）2．

2025年中考数学三轮复习之一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ABCACABDDC一．选择题（共10小题）1．（2025•新乡模拟）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根【考点】根的判别式．【答案】A【分析】计算一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2﹣4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．【解答】解：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）＝m2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，解题的关键是掌握一元二次方程的判别式．2．（2025•肇州县模拟）新年将至，某商场对一款智能音箱进行降价促销，其零售价由最初的100元经过两次降价后变为81元，且两次降价的百分率相同，设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（）A．100（1﹣x2）＝81 B．100（1﹣x）2＝81 C．81（1+x）2＝100 D．100（1﹣2x）＝81【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】一元二次方程及应用；应用意识．【答案】B【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：100（1﹣x）2＝81．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2025•官渡区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是133，求每个支干长出多少小分支？设每个支干长出x个小分支，则下面所列方程正确的是（）A．（1+x）2＝133 B．1+x2＝133 C．1+x+x2＝133 D．1+2x＝133【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】一元二次方程及应用；应用意识．【答案】C【分析】根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x•x＝x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是133就可以列出方程．【解答】解：依题意得支干的数量为x个，小分支的数量为x•x＝x2个，那么根据题意可列出方程为：1+x+x2＝133．故选：C．【点评】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．4．（2025•柳州一模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】根的判别式．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】A【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围，对照四个选项即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k＝4﹣4k＞0，解得：k＜1，故A正确．故选：A．【点评】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”．5．（2025•方山县一模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：2≈1.414A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50%【考点】一元二次方程的应用．【专题】一元二次方程及应用；应用意识．【答案】C【分析】设每天“遗忘”的百分比为x，根据两天不练丢一半列方程解答即可．【解答】解：设每天“遗忘”的百分比为x，（1﹣x）2=解得x1=2-22，∵2-22∴每天“遗忘”的百分比约为29.3%．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键根据题意正确确定等量关系．6．（2025•西青区校级一模）设方程2x2+4x+6＝0的两实数根为x1x2，则x1+x2+x1x2的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．5【考点】根与系数的关系．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】A【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣2、x1x2＝3，将其代入x1+x2+x1x2中即可求出结论．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2+4x+6＝0的两实数根，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝3，∴x1+x2+x1x2＝﹣2+3＝1．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-ba两根之积等于7．（2025•长安区一模）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣k）x﹣1＝0的两根互为相反数，则k的值为（）A．﹣2 B．2 C．6 D．﹣6【考点】根与系数的关系．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】B【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．【解答】解：由题知，关于x的一元二次方程x2+（2﹣k）x﹣1＝0的两根之和为k﹣2，因为此方程的两根互为相反数，所以k﹣2＝0，解得k＝2．故选：B．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．8．（2025•红花岗区校级一模）商场某种商品平均每天可售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场销售该商品日盈利要达到2100元，则每件商品应降价多少元？设每件商品降价x元，依题意可列方程（）A．（50+x）（50﹣2x）＝2100 B．（50+x）（30+2x）＝2100 C．（50﹣x）（30﹣2x）＝2100 D．（50﹣x）（30+2x）＝2100【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【答案】D【分析】设每件商品降价x元，则每件的销售利润为（50﹣x）元，平均每天的销售量为（30+2x）件，利用销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程．【解答】解：设每件商品降价x元，则每件的销售利润为（50﹣x）元，平均每天的销售量为（30+2x）件，依题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2025•石家庄一模）下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（）A．x2+mx＝0 B．x2﹣mx＝0 C．x2+mx+3＝0 D．x2+mx﹣3＝0【考点】根的判别式．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】D【分析】若方程有两个不相等的实数根，则需Δ＝b2﹣4ac＞0，据此逐项判断即可．【解答】解：A、∵Δ＝m2，∴当Δ＝m2＝0时，方程有两个相等的实数根，本选项不符合题意；B、∵Δ＝m2，∴当Δ＝m2＝0时，方程有两个相等的实数根，本选项不符合题意；C、∵Δ＝m2﹣12，∴当Δ＝m2﹣12＜0时，方程没有实数根，故本选项不符合题意；D、∵Δ＝m2+12＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根，本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．10．（2025•广东模拟）若等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则等腰三角形的周长为（）A．9 B．10 C．12 D．9或12【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质；一元二次方程的解．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】C【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝5，x2＝2，再利用三角形三边的关系确定等腰三角形的三边分别为5、5、2，然后计算它的周长．【解答】解：x2﹣7x+10＝0，（x﹣5）（x﹣2）＝0，x﹣5＝0或x﹣2＝0，解得x1＝5，x2＝2，因为2+2＝4＜5，所以等腰三角形的三边分别为5、5、2，所以等腰三角形的周长为5+5+2＝12．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．二．填空题（共5小题）11．（2025•泗阳县一模）对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程k※x＝1有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞-14且k≠0【考点】根的判别式；实数的运算．【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力．【答案】k＞-14且k≠【分析】根据新定义把已知化为一元二次方程，再由Δ＞0，k≠0可得答案．【解答】解：∵k※x＝1，∴kx2﹣x＝1，即kx2﹣x﹣1＝0，∵关于x的方程k※x＝1有两个不相等的实数根，∴1﹣4k×（﹣1）＞0且k≠0，解得k＞-14且k≠故答案为：k＞-14且k≠【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，涉及新定义，解题的关键是掌握Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根．12．（2025•秦淮区校级模拟）若m，n是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根，则1m+1n的值是【考点】根与系数的关系．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【答案】32【分析】利用根与系数的关系得m+n＝﹣3，mn＝﹣2，然后把所给代数式通分后代入求解即可．【解答】解：由根与系数的关系得，m+n＝﹣3，mn＝﹣2，∴1m故答案为：32【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1•x13．（2025•合肥一模）已知方程x2﹣4x+k＝0的一个根为5，则方程的另一个根为﹣1．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】﹣1．【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．【解答】解：由题知，方程x2﹣4x+k＝0的两根之和为4，因为此方程的一个根为5，所以方程的另一个根为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．14．（2025•西青区校级一模）某厂2021年生产A产品成本是5000元，随着技术研发进步，2023年生产A产品成本是3000元．设这两年A产品成本年平均下降率为x，可列方程为5000（1﹣x）2＝3000．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】一元二次方程及应用；应用意识．【答案】5000（1﹣x）2＝3000．【分析】设生产A产品成本的年平均下降率为x，则2022年生成A产品的成本为5000（1﹣x）元，2023年在5000（1﹣x）元的基础之又下降x，变为5000（1﹣x）（1﹣x）即5000（1﹣x）2元，进而可列出方程．【解答】解：设生产A产品成本的年平均下降率为x，则2023年生产A产品的成本为5000（1﹣x）2万元，根据题意得，5000（1﹣x）2＝3000．故答案为：5000（1﹣x）2＝3000．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．15．（2025•常州模拟）若关于x的方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为1．【考点】根的判别式．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】1．【分析】方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，可知Δ＝22﹣4c＝0，然后即可计算出c的值．【解答】解：∵方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝22﹣4c＝0，解得c＝1，故答案为：1．【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ＝0．三．解答题（共5小题）16．（2025•秦淮区校级模拟）某商店销售一批商品，每件该商品的成本为100元，若按每件140元的售价销售，则每周可卖100件．经市场调查发现，在不亏本的前提下，每件该商品的售价每降低1元，每周便能多卖10件．要使每周总利润为6000元，且尽可能给顾客优惠，则该商店应将每件该商品降价多少元？（列方程解决问题）【考点】一元二次方程的应用．【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．【答案】该商店应将每件该商品降价20元．【分析】设该商店应将每件该商品降价x元，根据要使每周总利润为6000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．【解答】解：设该商店应将每件该商品降价x元，根据题意得：（140﹣100﹣x）（100+10x）＝6000，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝20，x2＝10（不符合题意，舍去），答：该商店应将每件该商品降价20元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17．（2025•九龙坡区校级模拟）我校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．已知每瓶硫酸铜溶液的售价比氯化钠溶液的售价多2.5元，花100元用于购买的氯化钠溶液比花400元购买硫酸铜溶液少40瓶．（1）求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？（2）为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现每瓶硫酸铜溶液的成本是a元，每瓶氯化钠溶液的成本是0.5a元，已知第二次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少5a瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商家获利330元，求a的值．【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．【专题】分式方程及应用；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）每瓶氯化钠溶液的售价为2.5元，每瓶硫酸铜溶液的售价为5元；（2）a＝2．【分析】（1）设每瓶氯化钠溶液的售价为x元，每瓶硫酸铜溶液的售价为y元，根据花100元用于购买的氯化钠溶液比花400元购买硫酸铜溶液少40瓶，列出分式方程，解方程即可；（2）利用总利润＝每瓶的销售利润×销售数量，可列出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．【解答】解：（1）设每瓶氯化钠溶液的售价为x元，则每瓶硫酸铜溶液的售价为（x+2.5）元，根据题意得：100x=解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，∴x+2.5＝5，答：每瓶氯化钠溶液的售价为2.5元，每瓶硫酸铜溶液的售价为5元；（2）根据题意得：（2.5﹣0.5a）×40×2+（5﹣a）×（80﹣5a）＝330，整理得：a2﹣29a+54＝0，解得：a1＝2，a2＝27（不符合题意，舍去）．答：a的值为2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．18．（2025•长沙模拟）技术创新引领发展，随着电池技术和智驾技术的进步，在长沙建厂的某品牌新能源车企实现了产销逆势增长．据不完全统计，该车企2024年8月份新能源汽车的销量约为40万辆，同年10月份的销量达到约50万辆．（1）求该车企2024年8月份到10月份新能源汽车销量的平均增长率；（参考数据：5≈2.24（2）该车企2024年11月份新能源汽车销量比10月份增加约1.4%，同年12月份新能源车销量比10月份增加约3%，求该车企2024年第四季度新能源车的总销售量约为多少万辆？【考点】一元二次方程的应用；有理数的混合运算．【专题】实数；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）该车企2024年8月份到10月份新能源汽车销量的平均增长率约为12%；（2）该车企2024年第四季度新能源车的总销售量约为152.2万辆．【分析】（1）设该车企2024年8月份到10月份新能源汽车销量的平均增长率为x，根据该车企2024年8月份新能源汽车的销量约为40万辆，同年10月份的销量达到约50万辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；（2）根据该车企2024年11月份新能源汽车销量比10月份增加约1.4%，同年12月份新能源车销量比10月份增加约3%，列式计算即可．【解答】解：（1）设该车企2024年8月份到10月份新能源汽车销量的平均增长率为x，由题意得：40（1+x）2＝50，解得：x1≈0.12＝12%，x2≈﹣2.12（不符合题意，舍去）；答：该车企2024年8月份到10月份新能源汽车销量的平均增长率约为12%；（2）50+50×（1+1.4%）+50×（1+3%）＝50+50.7+51.5＝152.2（万辆），答：该车企2024年第四季度新能源车的总销售量约为152.2万辆．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．19．（2025•西青区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1+3x2﹣2x1⋅x2＝5，求实数m的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】（1）m＜（2）m＝2．【分析】（1）直接根据判别式直接进行求解即可；（2）利用根与系数的关系代入数式即可求解．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴9﹣4m＞0，∴m＜（2）由根与系数的关系：x1+x2＝3，x1•x2＝m，∴3x1+3x2﹣2x1⋅x2＝9﹣2m＝5，∴m＝2．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x20．（2025•常州模拟）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）（x﹣2）2＝（2x+3）2．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】（1）x1（2）x1【分析】（1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可．（2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0，x2﹣4x+4＝3+4，（x﹣2）2＝7，则x﹣2=±所以x1（2）（x﹣2）2＝（2x+3）2，（x﹣2）2﹣（2x+3）2＝0，（x﹣2+2x+3）（x﹣2﹣2x﹣3）＝0，（3x+1）（﹣x﹣5）＝0，则3x+1＝0或﹣x﹣5＝0，所以x1【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法及解一元二次方程﹣因式分解法，熟知配方法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．

考点卡片1．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．2．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．3．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．4．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．5．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．6．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．7．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=-（x1+x2（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一