2025年中考数学三轮复习之圆

第37页（共37页）2025年中考数学三轮复习之圆一．选择题（共10小题）1．（2025•天心区校级一模）如图，正方形边长为a，点E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，连接CE．给出四个结论：①AE+CE≥2a；②CE≤5-12a；③∠BCE的度数最大值为60°；A．①② B．①③ C．①④ D．①③④2．（2025•秦都区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，连接OC、BD、CD，若∠OCB＝58°，则∠D的度数为（）A．38° B．32° C．29° D．28°3．（2025•长沙模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥CD交AD于点E．若∠AEB＝75°，则∠ABC的度数为（）A．95° B．100° C．105° D．110°4．（2025•天心区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H．若AB＝10，CD＝8，则OH的长为（）A．2 B．3 C．4 D．55．（2025•金安区校级一模）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝35°，∠APD＝80°，那么∠B度数为（）A．55° B．60° C．65° D．45°6．（2025•长安区一模）如图，在边长为5的正五边形ABCDE中，点O是对角线AC上一点，连接OB，OD，OE后将正五边形分成了①、②、③、④、⑤这五个三角形，则下列能确定大小的是（）A．①与②的面积和 B．②与③的面积和 C．②与④的面积和 D．④与⑤的面积和7．（2025•长安区一模）⊙O是△ABC的外接圆，在弧BC上找一点M，使点M平分弧BC．对图中的三种作法，下列说法正确的是（）A．三种作法均正确 B．只有作法一和作法二正确 C．只有作法二和作法三正确 D．只有作法二正确8．（2025•四川模拟）如图，AB是半径为6的⊙O的直径，BD是弦，C是弧BD的中点，AC与BD相交于点E．若E为AC的中点，则BD的长为（）A．42 B．6 C．82 D．9．（2025•武汉模拟）如图所示，在平面中⊙P和⊙Q分别与直线l1相切，⊙P的直径为4，⊙Q的直径为6，做直线l1与⊙P相切于点A且平行于直线l，直线l2与⊙Q相切于点B且平行于直线l，若线段AB与直线l1的夹角恰为30°，则两圆心PQ的距离是（）A．9 B．43 C．13 D．10．（2025•西青区校级一模）如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上，若∠D＝26°，则∠A为（）A．38° B．30° C．64° D．52°二．填空题（共5小题）11．（2025•浦口区校级模拟）如图，在▱ABCD中，过A，C，D三点的⊙O与AB相交于点E．若∠A＝104°，则∠BCE＝°．12．（2025•肇州县模拟）已知如图，AB是⊙O的直径，DB，DC分别切⊙O于点B，C，若∠ACE＝26°，则∠D＝．13．（2025•越秀区校级一模）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为6π，圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径为．14．（2025•永寿县校级一模）如图，△ADE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OC∥AD交⊙O于点C，若∠BOC＝62°，则∠E的度数为°．15．（2025•苏州模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点，若⊙O半径为1，BC＝4，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共5小题）16．（2025•新乡模拟）图1是清明上河园中供人们游玩的中国古代的马车，彰显了古代人们的智慧．图2是马车的侧面示意图，AC为过圆心O的车架，且AC与⊙O交于点B，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BDC＝∠A．（2）小李测出车轮的直径为1米，CD为6米，求BC的长度．17．（2025•碑林区校级二模）如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，DE是⊙O的切线，交BC的延长线于点E．（1）求证：DE∥AC；（2）若tanA=1218．（2025•合肥一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CE交AB的延长线于点E，过点B作BD⊥CE交AC的延长线于点D，垂足为点F．（1）求证：C为AD的中点；（2）若AB＝10，AC＝221，求BE的长．19．（2025•乌鲁木齐一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，在△ABC外侧作∠CAD＝∠CAB，过点C作CD⊥AD于点D，交AB延长线于点P．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）用无刻度的直尺和圆规作出∠ACB所对弧的中点F．（不写作法，保留作图痕迹）（3）在（2）基础上连接CF，交AB于点E，连接BF，若BF＝52，tan∠20．（2025•官渡区校级模拟）如图，AC为⊙O的直径，∠ADC的平分线交⊙O于点B，PA为⊙O的切线，PA•CB＝AB•AC，连接PB．（1）求∠ACB的度数；（2）求证：PB+BC＝PC；（3）若DB=22DA

2025年中考数学三轮复习之圆参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CBCBDCACCA一．选择题（共10小题）1．（2025•天心区校级一模）如图，正方形边长为a，点E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，连接CE．给出四个结论：①AE+CE≥2a；②CE≤5-12a；③∠BCE的度数最大值为60°；A．①② B．①③ C．①④ D．①③④【考点】圆周角定理；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】①以AB为直径作⊙O，连接AC，BD交于点H，连接OE，OC，则点H，点E都在⊙O上，由勾股定理得AC=2a，根据“两点之间线段最短”得AE+CE≥AC，则AE+CE≥2②由OB＝OA＝OE=a2，得OC=5a2，根据“两点之间线段最短”得CE+OE≥OC，则③依题意得当CE与⊙O相切时，BCE的度数为最大，连接OE，证明Rt△OEC和Rt△OBC得CE＝BC＝a，∠OCE＝∠OCB，进而得tan∠OCE=OECE=12，则∠OCE≠30°，继而得∠BCE④证明OC是线段BE的垂直平分线，由此可得出∠ABE＝∠BCO，在Rt△BCO中根据正切函数的定义得tan∠BCO=OBBC=12，则tan∠ABE＝tan∠【解答】解：①以AB为直径作⊙O，连接AC，BD交于点H，连接OE，OC，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，且边长为a，∴AB＝BC＝CD＝AD＝a，∠ABC＝90°，∠AHB＝90°，∴点H在⊙O上，∵∠AEB＝90°，∴点E也在⊙O上，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=A根据“两点之间线段最短”得：AE+CE≥AC，即AE+CE≥2当点E与点H重合时，等号成立，故结论①正确；②∵AB为⊙O，点E在⊙O上，∴OB＝OA＝OE=a在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC=B根据“两点之间线段最短”得：CE+OE≥OC，∴CE≥OC﹣OE=5当点O，E，C在同一条直线上时，等号成立，故结论②不正确；③当CE与⊙O相切时，BCE的度数为最大，连接OE，如图2所示：∴∠OEC＝90°，OE＝OB，在Rt△OEC和Rt△OBC中，OE=∴Rt△OEC≌Rt△OBC（HL），∴CE＝BC＝a，∠OCE＝∠OCB，∴OE＝1/2CE，在Rt△OEC中，tan∠OCE=OE∵tan30°＝√3/3，∴∠OCE≠30°，∴∠BCE≠60°，∴∠BCE的度数最大值不是60°，故结论③不正确；④当CE＝a时，则CE＝BC＝a，如图3所示：∴点C在线段BE的垂直平分线上，∵点E在⊙O上，∵OB＝OE，∴点O在线段BE的垂直平分线上，∴OC是线段BE的垂直平分线，∴∠ABE+∠BOC＝90°，又∵∠BOC+∠BCO＝90°，∴∠ABE＝∠BCO，在Rt△BCO中，OB=12∴tan∠BCO=OB∴tan∠ABE＝tan∠BCO=1故结论④正确，综上所述：正确结论是①④．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．2．（2025•秦都区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，连接OC、BD、CD，若∠OCB＝58°，则∠D的度数为（）A．38° B．32° C．29° D．28°【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质．【答案】B【分析】根据∠OCB＝58°，OB＝OC，得到∠BOC，再根据同弧所对圆周角等于圆心角一半求解即可得到答案．【解答】解：∵∠OCB＝58°，OB＝OC，∴∠BOC＝180°﹣2×58°＝64°，∵BC=∴∠D故选：B．【点评】本题考查圆周角定理及等腰三角形内角和运用，掌握其性质是解题的关键．3．（2025•长沙模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥CD交AD于点E．若∠AEB＝75°，则∠ABC的度数为（）A．95° B．100° C．105° D．110°【考点】圆内接四边形的性质；平行线的性质．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】C【分析】根据平行线的性质求出∠ADC，再根据圆内接四边形的性质求出∠ABC．【解答】解：∵BE∥CD，∠AEB＝75°，∴∠ADC＝∠AEB＝75°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣75°＝105°，故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4．（2025•天心区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H．若AB＝10，CD＝8，则OH的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】根据垂径定理由CD⊥AB得到CH＝CD＝4，再根据勾股定理计算出OH＝3．【解答】解：∵CD⊥AB，∴CH＝DH=12CD=12∵直径AB＝10，∴OC＝5，在Rt△OCH中，OH=OC故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．5．（2025•金安区校级一模）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝35°，∠APD＝80°，那么∠B度数为（）A．55° B．60° C．65° D．45°【考点】圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】D【分析】根据圆周角定理求出∠D的度数，再由三角形外角的性质求出∠B的度数即可．【解答】解：∵∠A＝35°，∴∠D＝∠A＝35°，∵∠APD＝80°，∴∠B＝∠APD﹣∠D＝80°﹣35°＝45°．故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键．6．（2025•长安区一模）如图，在边长为5的正五边形ABCDE中，点O是对角线AC上一点，连接OB，OD，OE后将正五边形分成了①、②、③、④、⑤这五个三角形，则下列能确定大小的是（）A．①与②的面积和 B．②与③的面积和 C．②与④的面积和 D．④与⑤的面积和【考点】正多边形和圆；全等三角形的判定．【专题】正多边形与圆；推理能力．【答案】C【分析】根据正五边形的性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定得到AC∥ED，再根据三角形面积公式计算即可．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AED＝∠EAB＝∠ABC=(5-2)×180°5=108°，BA∴∠BAC＝∠BCA=180°-108°2∴∠EAC＝108°﹣36°＝72°，∴∠AED+∠EAC＝108°+72°＝180°，∴AC∥ED，∴③的面积可以确定，∴②与④的面积和可以确定，而①与②的面积和、②与③的面积和、④与⑤的面积和都会随着点O的位置的变化而变化，其大小不能确定，故选：C．【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正五边形的内角的求法是解题的关键．7．（2025•长安区一模）⊙O是△ABC的外接圆，在弧BC上找一点M，使点M平分弧BC．对图中的三种作法，下列说法正确的是（）A．三种作法均正确 B．只有作法一和作法二正确 C．只有作法二和作法三正确 D．只有作法二正确【考点】三角形的外接圆与外心．【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．【答案】A【分析】根据垂径定理，圆周角定理一一判断即可．【解答】解：甲、由作图可知AM平分∠ABC，∴∠BAM＝∠CAM，∴BM=CM，故作法乙、由作图可知OM平分∠BOC，∵OB＝OC，∴OM⊥CB，∵OM经过圆心O，∴BM=丙、由作图可知OM垂直平分线段BC，OM经过圆心O，∴BM=故选：A．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的外接圆与外心，垂径定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．8．（2025•四川模拟）如图，AB是半径为6的⊙O的直径，BD是弦，C是弧BD的中点，AC与BD相交于点E．若E为AC的中点，则BD的长为（）A．42 B．6 C．82 D．【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】C【分析】先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据垂径定理得到OC⊥BD，DF＝BF，则可证明OF为△ABD的中位线，所以AD＝2OF，接着证明△ADE≌△CFE得到AD＝CF，所以CF＝2OF，则可计算出OF＝2，然后利用勾股定理计算出BF，从而得到BD的长．【解答】解：∵AB是半径为6的⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵C是弧BD的中点，∴OC⊥BD，∴DF＝BF，∵OA＝OB，∴OF为△ABD的中位线，∴AD＝2OF，∵E为AC的中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，∠D∴△ADE≌△CFE（ASA），∴AD＝CF，∴CF＝2OF，∵OC＝6，即OF+CF＝6，∴OF+2OF＝6，解得OF＝2，在Rt△OBF中，BF=OB2∴BD＝2BF＝82．故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理．9．（2025•武汉模拟）如图所示，在平面中⊙P和⊙Q分别与直线l1相切，⊙P的直径为4，⊙Q的直径为6，做直线l1与⊙P相切于点A且平行于直线l，直线l2与⊙Q相切于点B且平行于直线l，若线段AB与直线l1的夹角恰为30°，则两圆心PQ的距离是（）A．9 B．43 C．13 D．【考点】切线的性质．【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．【答案】C【分析】连接AP并延长交直线l于点C，连接BQ并延长交直线l于点D，过点A作AE⊥BD于点E，过点P作PE⊥BD于点F，连接PQ，则有APFE、ACDE是矩形，先根据正切的定义求出PF长，然后利用勾股定理求出PQ长解题．【解答】解：连接AP并延长交直线l于点C，连接BQ并延长交直线l于点D，过点A作AE⊥BD于点E，过点P作PE⊥BD于点F，连接PQ，根据题意可得∠PAE＝∠AED＝∠CFD＝∠FDC＝∠PCD＝90°，AC＝4，BD＝6，∴AC＝DE＝4，∴BE＝BD﹣DE＝6﹣4＝2，∵夹角恰为30°，∴AE=∴PF=又∵PC＝DF＝2，DQ＝3，∴QF＝1∴PQ=故选：C．【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，解直角三角形，正确进行计算是解题关键．10．（2025•西青区校级一模）如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上，若∠D＝26°，则∠A为（）A．38° B．30° C．64° D．52°【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】A【分析】先由圆周角定理得到∠AOC＝52°，由切线的性质得到∠ACO＝90°，即可利用三角形内角和定理求出∠A的度数．【解答】解：∵∠D＝26°，∴∠AOC＝2∠D＝52°，∵AC切⊙O于点C，∴∠ACO＝90°，∴∠A＝180°﹣∠ACO﹣∠AOC＝38°，故选：A．【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，利用圆周角定理求出∠AOC＝52°是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2025•浦口区校级模拟）如图，在▱ABCD中，过A，C，D三点的⊙O与AB相交于点E．若∠A＝104°，则∠BCE＝28°．【考点】三角形的外接圆与外心；平行四边形的性质；圆周角定理．【专题】多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】28．【分析】由平行四边形的性质得出∠A＝∠BCD＝104°，求出∠ECD＝180°﹣∠A＝76°，则可得出答案．【解答】解：∵四边形ACBD是平行四边形，∴∠A＝∠BCD＝104°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠A+∠ECD＝180°，∴∠ECD＝180°﹣∠A＝76°，∴∠BCE＝∠BCD﹣∠ECD＝104°﹣76°＝28°，故答案为：28．【点评】本题考查了平行四边形的性质、圆内接四边形的性质；熟练掌握以上知识是解决问题的关键．12．（2025•肇州县模拟）已知如图，AB是⊙O的直径，DB，DC分别切⊙O于点B，C，若∠ACE＝26°，则∠D＝52°．【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；几何直观；推理能力．【答案】52°．【分析】连接BC，由切线长定理证明∠DBC＝∠DCB，再求得∠BCD＝180°﹣90°﹣26°＝64°，最后由三角形的内角和定理求得∠D的度数．【解答】解：AB是⊙O的直径，DB，DC分别切⊙O于点B，C，如图，连接BC，∴∠ACB＝90°，BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB，∵∠ACE＝26°，∴∠BCD＝180°﹣90°﹣26°＝64°，∴∠DBC＝∠DCB＝64°，∴∠D＝180°﹣2×64°＝52°，故答案为：52°．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理．13．（2025•越秀区校级一模）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为6π，圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径为2．【考点】圆锥的计算；扇形面积的计算．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】2【分析】圆锥的母线长为R，根据扇形面积公式列关于R的方程并求解；设圆锥的底面圆的半径为r，根据弧长和圆的周长公式列关于r的方程并求解即可．【解答】解：设圆锥的母线长为R，则120360πR2＝6π解得R＝6或R＝﹣6（舍去）．设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=120360×2π解得r＝2，∴圆锥的底面圆的半径为2．故答案为：2．【点评】本题考查圆锥的计算、扇形面积的计算，掌握扇形面积计算公式、弧长和圆的周长计算公式是解题的关键．14．（2025•永寿县校级一模）如图，△ADE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OC∥AD交⊙O于点C，若∠BOC＝62°，则∠E的度数为28°．【考点】三角形的外接圆与外心；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】28．【分析】连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到∠BAD＝∠BOC＝62°，根据圆周角定理得到结论．【解答】解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥AD，∴∠BAD＝∠BOC＝62°，∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠DAB＝28°，∴∠E＝∠ABD＝28°，故答案为：28．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，平行线的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．15．（2025•苏州模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点，若⊙O半径为1，BC＝4，则图中阴影部分的面积为3-π【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；推理能力．【答案】3-【分析】根据切线的性质得到∠BAC＝90°，求出AC，AE的长，得出∠AOD＝120°，根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∴∠BAC＝90°，∵⊙O半径为1，∴AB＝2，∵∠BAC＝90°，BC＝4，∴∠C＝30°，AC=BC2∴∠B＝60°，∴∠AOD＝2∠B＝120°，又∵点E是AC的中点，∴AE=12AC∴图中阴影部分的面积＝2S△AOE﹣S扇形AOD＝2×12×故答案为：3-【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．（2025•新乡模拟）图1是清明上河园中供人们游玩的中国古代的马车，彰显了古代人们的智慧．图2是马车的侧面示意图，AC为过圆心O的车架，且AC与⊙O交于点B，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BDC＝∠A．（2）小李测出车轮的直径为1米，CD为6米，求BC的长度．【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明见解答过程；（2）2米．【分析】（1）如图，连接OD，根据切线的性质得到∠ODC＝90°，即∠BDC+∠ODB＝90°根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，即∠A+∠OBD＝90°根据等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠OBD，求得∠BDC＝∠A；（2）由（1）知∠BDC＝∠A，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC＝90°，即∠ODB+∠BDC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠A+∠OBD＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠BDC＝∠A；（2）解：由（1）知∠BDC＝∠A，又∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CDA，∴CD2＝CA•CB．∵⊙O的直径AB＝1，CA＝CB+1，CD2＝6，∴（CB+1）•CB＝6，解得CB＝2，CB＝﹣3（舍去）．答：BC的长度为2米．【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是证明△BDC∽△DAC，求出AC的长，从而求出AB、OA的长．17．（2025•碑林区校级二模）如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，DE是⊙O的切线，交BC的延长线于点E．（1）求证：DE∥AC；（2）若tanA=12【考点】切线的性质；解直角三角形；平行线的判定；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明过程见解答；（2）9．【分析】（1）连接OD，根据AC是⊙O的直径，可得∠ABC＝90°，由BD平分∠ABC，可得∠1＝45°根据圆周角定理可得∠DOC＝2∠CBD＝90°，再由DE是⊙O的切线，可得∠ODE＝90°，进而可以解决问题；（2）根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，得到tanA=BCAB=12，如图，过点C作CF⊥DE于F，设EF＝k，CF＝2k，根据勾股定理得到CE=5k＝5，求得CF＝25，求得AC＝【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝45°，∴∠DOC＝2∠CBD＝90°，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ODE＝∠DOC＝90°，∴DE∥AC；（2）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴tanA=BC如图，过点C作CF⊥DE于F，∵AC∥DE，∴∠ABC＝∠E，∴∠ECF＝∠BAC，∴tanA＝tan∠ECF=EF∴设EF＝k，CF＝2k，∴CE=5k＝5∴k=5∴CF＝25，∵∠COD＝∠ODF＝∠CFD＝90°，∴四边形ODFC是矩形，∵OC＝OD，∴四边形ODFC是正方形，∴OC＝CF＝25，∴AC＝2OC＝45，∵tanA=BC∴BCAC∴BC＝4，∴BE＝BC+CE＝4+5＝9．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握切线的性质．18．（2025•合肥一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CE交AB的延长线于点E，过点B作BD⊥CE交AC的延长线于点D，垂足为点F．（1）求证：C为AD的中点；（2）若AB＝10，AC＝221，求BE的长．【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）BE=【分析】（1）连接BC，OC．根据切线的性质得到OC⊥CE，由OC∥BD，得到OAOB=ACCD．得到AC＝CD，即（2）方法一：根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据勾股定理得到BC=AB2-AC2=102-(221)解法2：根据圆周角定理得到∠ACB＝∠BCD＝90°．根据勾股定理得到BC=【解答】（1）证明：连接BC，OC．∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∵BD⊥CE，∴OC∥BD，∴OAOB∵OA＝OB，∴AC＝CD，即C为AD的中点；（2）解：方法一：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，BC=∴∠A+∠OBC＝∠OCB+∠BCE＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠BCE＝∠A，∴sin∠∴BF=由（1）知OC∥BD，∴△BEF∽△OEC，∴BFOC∴85解得BE=解法2：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BCD＝90°．在Rt△ABC中，BC=∵C为AD的中点，∴BD＝AB＝10，∵BD⊥CE，∴∠BFC＝90°，∴△BCD∽△BFC，∴BCBF∴BF=由（1）知OC∥BD，∴△BEF∽△OEC，∴BFOC∴85解得BE=【点评】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．19．（2025•乌鲁木齐一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，在△ABC外侧作∠CAD＝∠CAB，过点C作CD⊥AD于点D，交AB延长线于点P．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）用无刻度的直尺和圆规作出∠ACB所对弧的中点F．（不写作法，保留作图痕迹）（3）在（2）基础上连接CF，交AB于点E，连接BF，若BF＝52，tan∠【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；应用意识．【答案】（1）（2）见解析；（3）103【分析】（1）直接证OC⊥DP即可；（2）过点O作OF⊥AB交⊙O于点F；（3）90°的圆周角被平分出现45°，继而推出等腰直角三角形，可求出半径，然后通过相似三角形的性质列方程求解即可．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠CAB，∵∠CAD＝∠CAB，∴∠CAD＝∠OCA，∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥DP，∵OC是圆半径，∴PC是⊙O的切线；（2）解：如图，点F即为所求；（3）解：∵∠ACB＝90°，CF平分∠ACB，∴∠BCF＝45°，∴∠BOF＝90°，∵OF＝OB，BF＝52，∴在Rt△OBF中，OB=BF2∵∠ACO+∠OCB＝∠PCB+∠OCB，∴∠ACO＝∠PCB，∴∠CAO＝∠PCB＝∠CAD，∵tan∠PBC=1∴tan∠CAO=12，tan∠CAD∴tan∠CAO=25=255∵AB＝10，∴AC＝AB•cos∠CAO＝10×255=45，AD＝AC•cos∠CAO＝∵AD∥OC，∴△OCP∽△ADP，∴，OCAD设BP＝x，则OP＝5+x，AP＝10+x，∴58=5+x∴BP=10【点评】此题属于圆的综合题，考查了切线的判定和性质，解直角三角形，解题关键是找出特殊角求边长，灵活使用勾股定理和相似三角形．20．（2025•官渡区校级模拟）如图，AC为⊙O的直径，∠ADC的平分线交⊙O于点B，PA为⊙O的切线，PA•CB＝AB•AC，连接PB．（1）求∠ACB的度数；（2）求证：PB+BC＝PC；（3）若DB=22DA【考点】圆的综合题．【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）∠ACB＝45°；（2）见解析；（3）22【分析】（1）根据直径所对的角为直角可得∠ADC＝90°，再利用角平分线的定义可得∠ADB＝∠BDC＝45°，然后根据同弧所对的圆周角相等即可求得答案；（2）先证明∠PAB＝∠ACB，结合PA•CB＝AB•AC可得△PAB∽△ACB，进而证明∠PBA＝∠ABC＝90°，即可得出P、B、C三点在同一直线上，即可证明结论；（3）过点A作AE⊥BD交BD于点E，在Rt△ADE中，DE=AD⋅cos∠ADE=22AD，再证明△ABE【解答】（1）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADB∵AB∴∠ACB＝∠ADB＝45°，（2）证明：∵AC为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，∴∠PAC＝∠PAB+∠BAC＝90°，∠ACB+∠BAC＝90°，∴∠PAB＝∠ACB，∵PA•CB＝AB•AC，即：PAAC∴△PAB∽△ACB，∴∠PBA＝∠ABC＝90°，∴P、B、C三点在同一直线上，∴PB+BC＝PC；（3）解：如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E，∵∠ABD＝45°，在Rt△ADE中，DE=∴DE=又∵DB=2∴BE＝BD﹣ED＝22DA-22DA∵AD=∴∠ABD＝∠ACD，又∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠ADC＝90°，∴△ABE∽△ACD，∴DCDA∴DCDA=322DA∴DBDC【点评】本题属于圆的综合题，主要考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

考点卡片1．平行线的判定（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．（3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．2．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．3．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．4．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．5．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．6．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．7．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．8．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．9．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．10．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角