江苏省苏州市震泽中学2025届高考冲刺模拟数学试题

江苏省苏州市震泽中学2025届高考冲刺模拟数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则；其中真命题的个数为（）A． B． C． D．2．半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．3．命题“”的否定是（）A． B．C． D．4．已知函数（）的最小值为0，则（）A． B． C． D．5．已知集合，则集合的非空子集个数是（）A．2 B．3 C．7 D．86．已知符号函数sgnxf（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]＝sgnx B．sgn[g（x）]＝﹣sgnxC．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]7．函数（）的图像可以是（）A． B．C． D．8．过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（）．A． B． C． D．9．已知复数z满足，则z的虚部为（）A． B．i C．–1 D．110．如图，在直三棱柱中，，，点分别是线段的中点，，分别记二面角，，的平面角为，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．11．设，，，则，，三数的大小关系是A． B．C． D．12．已知双曲线的一条渐近线方程是，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如果函数（,且,）在区间上单调递减,那么的最大值为__________．14．已知数列为正项等比数列，，则的最小值为________.15．若、满足约束条件，则的最小值为______.16．已知向量，，若满足，且方向相同，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设椭圆：的右焦点为，右顶点为，已知椭圆离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线斜率的取值范围.18．（12分）已知非零实数满足．（1）求证：；（2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由19．（12分）已知矩阵，，若矩阵，求矩阵的逆矩阵．20．（12分）(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)证明：()；(Ⅲ)证明：.21．（12分）某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD，家长猜测的序号依次为yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（xA﹣yA）2+（xB﹣yB）2+（xC﹣yC）2+（xD﹣yD）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．22．（10分）已知向量，.（1）求的最小正周期；（2）若的内角的对边分别为，且，求的面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.【详解】如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线平行于平面与平面的交线时也有，，故②错误；若，则垂直平面内以及与平面平行的所有直线，故③正确；若，则存在直线且，因为，所以，从而，故④正确.故选：C.【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.2、D【解析】

根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.【详解】如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，该几何体的体积为，故选：D.【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.3、D【解析】

根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可.【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题“,”的否定是：，．故选D．【点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.4、C【解析】

设，计算可得，再结合图像即可求出答案.【详解】设，则，则，由于函数的最小值为0，作出函数的大致图像，结合图像，，得，所以.故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.5、C【解析】

先确定集合中元素，可得非空子集个数．【详解】由题意，共3个元素，其子集个数为，非空子集有7个．故选：C．【点睛】本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有个元素的集合其子集个数为，非空子集有个．6、A【解析】

根据符号函数的解析式，结合f（x）的单调性分析即可得解.【详解】根据题意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的减函数，当x＞0时，x＜ax，则有f（x）＞f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此时sgn[g（x）]＝1，当x＝0时，x＝ax，则有f（x）＝f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此时sgn[g（x）]＝0，当x＜0时，x＞ax，则有f（x）＜f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此时sgn[g（x）]＝﹣1，综合有：sgn[g（x）]＝sgn（x）；故选：A．【点睛】此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.7、B【解析】

根据，可排除，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果.【详解】由题可知：，所以当时，，又，令，则令，则所以函数在单调递减在单调递增，故选：B【点睛】本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题.8、A【解析】过圆外一点，引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为，故选．9、C【解析】

利用复数的四则运算可得，即可得答案.【详解】∵，∴，∴，∴复数的虚部为.故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念，考查运算求解能力，属于基础题.10、D【解析】

过点作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【详解】解：因为，，所以，即过点作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，0，，，1，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，同理可求平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量．，，．．故选：D．【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．11、C【解析】

利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将a，b，c与，比较即可.【详解】由，，，所以有.选C.【点睛】本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等价转化.12、D【解析】双曲线的渐近线方程是，所以，即，，即，，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、18【解析】

根据函数单调性的性质,分一次函数和一元二次函数的对称性和单调区间的关系建立不等式,利用基本不等式求解即可.【详解】解:①当时,,在区间上单调递减,则,即,则.②当时,,函数开口向上,对称轴为,因为在区间上单调递减,则,因为,则,整理得,又因为,则.所以即,所以当且仅当时等号成立.综上所述,的最大值为18.故答案为:18【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的单调性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.14、27【解析】

利用等比数列的性质求得，结合其下标和性质和均值不等式即可容易求得.【详解】由等比数列的性质可知，则，.当且仅当时取得最小值.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，涉及均值不等式求和的最小值，属综合基础题.15、【解析】

作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得目标函数取得最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案为：.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想的应用，属于基础题.16、【解析】

由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同．【详解】∵，∴，解得或，时，满足题意，时，，方向相反，不合题意，舍去．∴．故答案为：1．【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由题意可得，，，解得即可求出椭圆的C的方程；（Ⅱ）由已知设直线l的方程为y=k(x-2)，(k≠0)，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF,解得.由方程组消去y，解得，由,得到,转化为关于k的不等式，求得k的范围.【详解】（Ⅰ）因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为3，所以，因为椭圆离心率为，所以，又，解得，，，所以椭圆的方程为；（Ⅱ）设直线的斜率为，则，设，由得，解得，或，由题意得，从而，由（Ⅰ）知，，设，所以，，因为，所以，所以，解得，所以直线的方程为，设，由消去，解得，在中，，即，所以，即，解得，或.所以直线的斜率的取值范围为.【点睛】本题考查在直线与椭圆的位置关系中由已知条件求直线的斜率取值范围问题，还考查了由离心率求椭圆的标准方程，属于难题.18、（1）见解析（2）存在，【解析】

（1）利用作差法即可证出.（2）将不等式通分化简可得，讨论或，分离参数，利用基本不等式即可求解.【详解】又即即①当时，即恒成立（当且仅当时取等号），故②当时恒成立（当且仅当时取等号），故综上，【点睛】本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想，属于基础题.19、．【解析】试题分析：，所以．试题解析：B．因为，所以．20、(Ⅰ)见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】

运用数学归纳法证明即可得到结果化简，运用累加法得出结果运用放缩法和累加法进行求证【详解】（Ⅰ）数学归纳法证明时，①当时，成立；②当时，假设成立，则时所以时，成立综上①②可知，时，（Ⅱ）由得所以；；故，又所以(Ⅲ)由累加法得：所以故【点睛】本题考查了数列的综合，运用数学归纳法证明不等式的成立，结合已知条件进行化简求出化简后的结果，利用放缩法求出不等式，然后两边同时取对数再进行证明，本题较为困难。21、（1）（ⅰ）（ⅱ）分布表见解析；（2）理由见解析【解析】

（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有种等可能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率．

（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X的分布列．

（2）假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P（X＜4）=P（X=0）+P（X=2）=，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为，这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解．【详解】（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为xA，xB，xC，xD为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序xA，xB，xC，xD为1423的情况，