《备考指南一轮 数学》课件-第5章 第1讲

第五章第1讲[A级基础达标]1．(2019年济宁期末)已知α＝－eq\f(35π,3)，则下列4个角中与角α终边相同的是()A．eq\f(4π,3) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(π,3) D．－eq\f(π,3)【答案】C【解析】与α＝－eq\f(35π,3)终边相同的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β＝－\f(35π,3)＋2kπ，k∈Z)))).取k＝6时，β＝eq\f(π,3).所以与角α终边相同的是eq\f(π,3).故选C．2．若α是第一象限的角，则eq\f(α,2)所在的象限是()A．第一象限 B．第一象限或第二象限C．第一象限或第三象限 D．第一象限或第四象限【答案】C【解析】因为α是第一象限的角，所以2kπ＜α＜2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，则kπ＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(π,4).故eq\f(α,2)是第一象限或第三象限角．故选C．3．(2020年芜湖月考)若角θ是第四象限角，则eq\f(3π,2)＋θ是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】因为角θ是第四象限角，所以－eq\f(π,2)＋2kπ＜θ＜2kπ(k∈Z)，则π＋2kπ＜eq\f(3π,2)＋θ＜eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，故eq\f(3π,2)＋θ是第三象限角．故选C．4．(2019年杭州期末)已知扇形中60°的圆心角所对的弦长是2cm，则这个圆心角所对的弓形面积是()A．eq\f(π,3)－eq\r(3) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(π,3) D．eq\f(2π,3)－eq\r(3)【答案】D【解析】如图所示，扇形中60°的圆心角所对的弦长是2cm，所以△AOB为等边三角形，其面积为eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3).又扇形的面积为eq\f(1,6)×π×22＝eq\f(2π,3)，所以弓形面积为eq\f(2π,3)－eq\r(3).故选D．5．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是()A．sinα＋cosα＜0 B．tanα－sinα＜0C．cosα－tanα＜0 D．tanαsinα＜0【答案】B【解析】α是第三象限角，sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，所以A，C，D成立，B不成立．故选B．6．设a＝sineq\f(17π,4)，b＝coseq\f(π,5)，c＝taneq\f(4π,3)，用“＜”把a，b，c排序________．【答案】a＜b＜c【解析】a＝sineq\f(17π,4)＝sineq\f(π,4)＝coseq\f(π,4)＜b＝coseq\f(π,5)＜1＜c＝taneq\f(4π,3)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，所以a＜b＜c.7．(2019年本溪模拟)已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与射线y＝2x(x≤0)重合，则cosθ＝________.【答案】－eq\f(\r(5),5)【解析】因为角的终边与射线y＝2x(x≤0)重合，所以在终边上取一点P(－1，－2)，则r＝|OP|＝eq\r(－12＋－22)＝eq\r(5)，则cosθ＝－eq\f(1,\r(5))＝－eq\f(\r(5),5).8．(2020年白银月考)已知扇形的圆心角为eq\f(3,2)，半径为2，则圆心角所对的弧长为________．【答案】3【解析】扇形的圆心角为eq\f(3,2)，半径为2，则圆心角所对的弧长l＝eq\f(3,2)×2＝3.9．(2020年宁波月考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，则y＝________.【答案】－8【解析】因为sinθ＝eq\f(y,\r(42＋y2))＝－eq\f(2\r(5),5)，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.10．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ＋cosθ的值．【解析】因为角θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，所以tanθ＝－eq\f(1,x).又tanθ＝－x，所以x2＝1，所以x＝±1.当x＝1时，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2)，因此sinθ＋cosθ＝0；当x＝－1时，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝－eq\f(\r(2),2)，因此sinθ＋cosθ＝－eq\r(2).11．已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB．【解析】设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，(1)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6，))所以α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或α＝eq\f(l,r)＝6.(2)方法一：因为2r＋l＝8，所以S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l＋2r,2)))2＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2＝4，当且仅当2r＝l，即α＝eq\f(l,r)＝2时，扇形面积取得最大值4.所以圆心角α＝2，弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.方法二：因为2r＋l＝8，所以S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，当且仅当r＝2，即α＝eq\f(l,r)＝2时，扇形面积取得最大值4.所以弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.[B级能力提升]12．(2020年长春模拟)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为eq\f(\r(5)－1,2)时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为()A．(3－eq\r(5))π B．(eq\r(5)－1)πC．(eq\r(5)＋1)π D．(eq\r(5)－2)π【答案】A【解析】由题意知，S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设S1与S2所在扇形圆心角分别为α，β，则eq\f(α,β)＝eq\f(\r(5)－1,2).又α＋β＝2π，解得α＝(3－eq\r(5))π.故选A．13．(2019年河南模拟)已知点(3，a)和(2a,4)分别在角β和角β－45°的终边上，则实数a的值是()A．－1 B．6C．6或－1 D．6或1【答案】B【解析】当a＜0时，两个角的终边落在了第四象限和第二象限，夹角不可能为45°，排除A和C．当a＝1或a＝6时，如图可知a＝1不合题意．故选B．14．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝eq\f(1,3)，则sinβ＝________.【答案】eq\f(1,3)【解析】方法一：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P1(2eq\r(2)，1)，其关于y轴的对称点(－2eq\r(2)，1)在角β的终边上，此时sinβ＝eq\f(1,3)；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P2(－2eq\r(2)，1)，其关于y轴的对称点(2eq\r(2)，1)在角β的终边上，此时sinβ＝eq\f(1,3).综合可得sinβ＝eq\f(1,3).方法二：令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sinβ＝sinα＝eq\f(1,3).方法三：由已知可得sinβ＝sin(2kπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝eq\f(1,3)(k∈Z)．15．在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，哪一种方案最优？【解析】因为△AOB是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，所以A＝B＝30°＝eq\f(π,6)，AM＝BN＝1，AD＝2.方案一：扇形的弧长＝2×eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)，扇形的面积＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(π,6)＝eq\f(π,3).方案二：扇形的弧长＝1×eq\f(2π,3)＝eq\f(2π,3)，扇形的面积＝eq\f(1,2)×1×1×eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3).综上，两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．[C级创新突破]16．(多选题)(2019年沾化区校级月考)已知α是第三象限角，则eq\f(α,2)可能是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】BD【解析】因为α是第三象限角，所以2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，所以kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，当k为偶数时，eq\f(α,2)是第二象限角；当k为奇数时，eq\f(α,2)是第四象限角，故选BD．17．(多选题)已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，下列选项正确的有()A．圆的半径为2 B．圆的半