山东省泰安市2025届高三下学期3月一轮检测试题（泰安一模）数学 含解析

高三一轮检测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出，根据交集定义即可得【详解】由题意得，，所以，故选：A2.已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法运算化简复数，再利用纯虚数的概念，即可得答案；【详解】因为，所以，解得.故选：B.3.已知为空间中两条直线，为平面，，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由线面垂直的判定定理，及充分必要性的定义判断.【详解】由线面垂直的判定定理可得，直线要垂直于平面内相交的两条直线才能得到，所以是的必要不充分条件.故选：B4.已知向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由两边平方可得，再结合向量夹角的计算可得.【详解】，所以，两边平方可得，又，所以，所以.故选：D5.若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（）A. B. C.60 D.240【答案】C【解析】【分析】由二项式系数性质求出，由二项展开式通项公式可求得常数项．【详解】由题意，解得．展开式通项为，由得，解得，∴常数项为．故选：C．6.已知，则（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得，然后根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案.【详解】依题意，，解得，.故选：B7.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，可得，，则由题意可得，再利用的单调性即可得解.【详解】由题意可得，则，即，令，在上单调递增，则，，即，故，即.故选：D.8.已知直线与圆交于两点，若成等差数列，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设数列公差为d，结合等差数列通项公式分析可知直线过定点，再根据圆的性质可知当时，弦长最小，此时最小，进而运算求解.【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，因为成等差数列，所以设，则可化为，即，令，可知直线过定点，且，所以在圆C内部，当时，弦长最短，此时最小，又，所以，所以，又，所以，故选:C【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（）A.若随机变量，则B.若根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，认为变量与不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05C.若随机变量，且，则D.数据的第75百分位数是9【答案】ABD【解析】【分析】根据二项分布的方差公式、百分位数、正态分布、独立性检验等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】对于A，若随机变量，则，故A正确；对于B，因为，所以能根据作出判断，认为变量与不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05，故B正确；对于C，对称轴为，则，因为，所以，所以，故C错误；对于D，数据从小到大排列为1，1，2，2，3，3，3，9，11，12，所以，所以第75百分位数为9，故D正确.故选：ABD.10.瑞士数学家欧拉在解决柯尼斯堡七桥问题时提出了欧拉回路的定义，即：在一个图中，经过图中每一条边且每条边仅经过一次，并最终回到起始顶点的闭合路径.通俗的讲，在图中任选一个点作为起点，笔尖不离开图形可以完全不重复的走完图形所有边回到起点.下列图形存在欧拉回路的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】标注每一个点，根据题意作出一笔能完成的路径判断即可.【详解】解决这类题有一结论，过一点的线有奇数条的点至多有两个，其余均为偶数条的点构成的图形可一笔完成；对于A，均为偶数条线的点，具体方法为：，故A符合；对于B，无论从那个点为起点，均不能一笔完成，解决这类题有一结论，过一点的线有奇数条的点至多有两个，其余均为偶数条的点构成的图形可一笔完成，B选项有4个过一点的线有奇数条的点，故B错误；对于C，均为偶数条线的点，具体方法为：，故C正确；对于D，均为偶数条线的点，具体方法为：，故D正确.故选：ACD.11.已知无穷数列，若对，都有，则称与“伴随”，则下列选项正确的是（）A.若，则与“伴随”B.若的前项和为，则与“伴随”C.若的前5项为与“伴随”，设集合，则中元素个数为4或5D.若是公差为的等差数列，且所有的“伴随”数列都是递增数列，则【答案】BCD【解析】【分析】赋值法可判断A；利用定义可得，可判断B；对于C，计算的范围，考虑相等的情况可判断C；由已知可得，结合单调性可得，计算即可.【详解】对于A，当时，，故与不是“伴随”，故A错误；对于B，因为，所以，所以，所以与“伴随”，故B正确；对于C：因与“伴随”，故，故，因为的前5项为，所以，，，，，故可能和相等，和相等，但不能同时成立，与不相等，故中元素的个数为4或5，故C正确；对于D，是公差为的等差数列，所以，因为与“伴随”，故，故，又因为数列都是递增数列，所以，所以，，所以，解得，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：解题的关键是正确理解数列的新定义，利用新定义计算求解即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.抛物线上与焦点的距离等于6的点的横坐标为__________.【答案】4【解析】【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.【详解】依题意，，根据抛物线的定义可知.故答案为：413.从名同学中选择人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有__________种安排方法（用数字作答）【答案】【解析】【分析】先从人中选人，将人分成三组，再进行全排，即可求解.【详解】第一步，从人中选人，共有种取法，第二步，将人分成三组，共有种分法，再进行全排有种排法，由分步计算原理知，共有种安排方法，故答案为：.14.已知函数的最小正周期为在上的图象与直线交于点，与直线交于点，且，则__________.【答案】【解析】【分析】先确定函数的解析式，再数形结合，利用函数图象的性质列式求值即可.【详解】因为.又函数最小正周期为，且，所以.所以.当时，，所以.做函数，的草图如下：函数图象关于直线对称设，则，.，所以，，解得或（舍去）.所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键在于设，根据题意列出，坐标，根据纵坐标的关系列式，求出的值，再求点纵坐标.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，内角所对的边分别为.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意及正弦定理可得，根据两角和的正弦可得，根据诱导公式和内角和定理计算即可；（2）由（1）的结论结合余弦定理列方程组求解即可；【小问1详解】由题意得即，.，，，，；【小问2详解】由（1）可得，，，又，，由得或，16.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点.（1）求证：平面；（2）若，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，取的中点E，连接，即可证明四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理即可证明；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及平面夹角的公式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】取中点，连接中，分别为中点，且，又正方形中，为中点，，且，四边形为平行四边形，，平面平面，平面；【小问2详解】取中点中点为，连接，中，，，平面平面平面，平面平面，平面，又四边形为正方形，，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，设平面的法向量为，则即，取，则，，设平面的法向量为，则即，取，则，，设平面与平面的夹角为，则.17.为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人组成.比赛要求每轮两局，每局比赛两队需派不同机器人多赛，每局比赛获胜得1分，否则得0分.设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲队机器人每局比赛获胜的概率分别为.（1）设前两轮比赛中甲队得3分为事件A，前两轮比赛中机器人得2分为事件，求；（2）受机器人电池蓄航能力影向，本次比赛最多进行10轮，规定当一队得分比另一队得分多2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了轮，求的数学期望.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据独立事件互斥事件的概率公式可得，然后利用条件概率公式求解即可；（2）根据独立事件的概率公式和期望公可得，然后利用错位相减数列求和公式求解即可【小问1详解】设前两轮比赛中得分为事件得分为事件，，，由题意，各轮比赛，各局比赛结果互不影响，与互斥，，，；【小问2详解】由题意，，设第轮两队比分为为事件，各局比赛互不影响，，，由题意，时，，时，事件“”，各轮比赛互不影响，，，，设，，，，，.18.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且.（1）求椭圆方程；（2）已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点.（i）设的面积分别为，若，求的最大值；（ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根据题目所给的条件，求出即可；（2）（i）设，由已知可得，根据点在椭圆上，可得，可求得最大值；（ii）设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由题意可得，设直线的方程为：，联立方程组，由根与系数的关系可得，求解即可.【小问1详解】由题意知，，椭圆方程为，【小问2详解】（i）设，则，，，，，又在椭圆上，，，，即，，，，；（ii）设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，，直线的倾斜角为，，，又，，由题意的斜率不为0，设直线的方程为：，由，得，设，则，又，，即，整理得，，，的方程为.19.已知函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）答案见解析（3）或【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可；（2）对函数求导，需要对参数进行分类讨论，确定导函数正负，进一步确定原函数的增减；（3）由题意得有两个不同实根,令，对进行分类讨论，确定函数的零点个数，从而求得的取值范围.【小问1详解】由题意的定义域为当时，，，，又，在处的切线方程为，即【小问2详解】，，当，即时，，在上单调递减，当，即时，在上，，在上，在上单调递减，在上单调递增，综上，时，在上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递增.【小问3