第4单元 曲线运动

考点13曲线运动运动的合成与分解

考点名片

考点细研究：本考点考查要点：（1）运动类型的分类分析；（2）运动

轨迹与合外力的关系；（3）小船渡河模型；（4）关联速度问题。其中考查

到的如：2015年全国卷II第16题、2015年广东理综第14题、2014

年四川理综第4题、2013年海南物理第8题、2014年四川理综第8（1）

题等。

备考正能量：运动的合成与分解，主要以选择题形式，结合曲线

运动内容考查，特别是应用运动合成和分解思想，对一般曲线运动进

行分析。

第口步狂刷小题•练基础

一、基础与经典

1.下面说法中正确的是（）

A.做曲线运动的物体速度方向必定变化

B.速度变化的运动必定是曲线运动

C.加速度恒定的运动不可能是曲线运动

D.加速度变化的运动必定是曲线运动

答案A

解析做曲线运动的物体速度大小不一定变化，但速度方向必定

变化，A项正确。速度变化的运动可能是速度大小在变，也可能是速

度方向在变化，不一定是曲线运动，B项错误。加速度恒定的运动可

能是匀变速直线运动，也可能是匀变速曲线运动，C项错误。加速度

变化的运动可能是变加速直线运动，也可能是变加速曲线运动，D项

错误。

2.（多选）关于做曲线运动的物体，下列说法中正确的是（）

A.它所受的合外力一定不为零

B.它所受的合外力一定是变力

C.其速度可以保持不变

D.其动能可以保持不变

答案AD

解析物体做曲线运动，其速度方向一定改变，故物体的加速度

一定不为零，合外力也一定不为零，合外力若与速度始终垂直，如匀

速圆周运动，动能可以保持不变，故A、D正确，B、C错误。

3.若已知物体运动的初速度5的方向及它受到的恒定的合外力

尸的方向，图中V、N、P、。表示物体运动的轨迹，其中正确的是（）

答案B

解析物体运动的速度方向与运动轨迹一定相切，而且合外力尸

的方向一定指向轨迹的凹侧，故只有B正确。

4.光滑平面上一运动质点以速度0通过原点。。与*轴正方向

成a角（如图所示），与此同时对质点加上沿x轴正方向的恒力E和沿

d轴正方向的恒力耳，贝！1（）

A.因为有尸.质点一定做曲线运动

B.如果4>外，质点向丁轴一侧做曲线运动

C.质点不可能做直线运动

D.如果K</yana,质点向x轴一侧做曲线运动

答案D

解析若Fy=Fxt^a,则氏和4的合力/与。在同一条直线上,

此时物体做直线运动。若与VFxtana,则网、鸟,的合力厂与x轴正方

向的夹角/?<”,则物体向x轴一侧做曲线运动。故正确选项为D。

5.质量为1kg的物体在水平面内做曲线运动，已知互相垂直方

向上的速度图象分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是（）

，q./(m•s-1)

4-----------------

2-

012"s

乙

A.质点初速度的方向与合外力方向垂直

B.质点所受的合外力为3N

C.质点的初速度为5m/s

D.2s末质点速度大小为7m/s

答案A

解析质点初速度的方向沿/轴正方向，初速度为4m/s,合外

力方向沿x轴正方向，质点初速度的方向与合外力方向垂直，选项A

正确，选项C错误；由图甲斜率知物体运动的加速度a=1.5m/s2,

由牛顿第二定律，质点所受的合外力为1.5N,选项B错误；2s末质

点沿x轴方向分速度为3m/s,沿y轴方向分速度为4m/s,合速度大

小为5m/s,选项D错误。

6.（多选）小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度（即

静水速度）大小不变、船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已

知小船的运动轨迹如图所示，贝！1（）

A.越接近河岸水流速度越小

B.越接近河岸水流速度越大

C.无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短

D.该船渡河的时间会受水流速度变化的影响

答案AC

解析由船的运动轨迹可知，小船渡河过程是先做加速运动后做

减速运动。河流的中心水流速度最大，越接近河岸水流速度越小，故

A正确，B错误；由于船头垂直河岸，则这种方式过河的时间最短，

C正确；船过河的时间与水流速度无关，D错误。

7.小船过河时，船头偏向上游与水流方向成“角，船相对静水

的速度为其航线恰好垂直于河岸。现水流速度稍有增大，为保持

航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是（）

A.增大a角,增大船速0

B.减小a角，增大船速0

C.减小a角，保持船速v不变

D.增大a角,保持船速。不变

答案A

解析保持航线不变，且准时到达对岸，即船的合速度大小和方

向均不变，由图可知，当水流速度0水增大时，要求a增大，。也增

大，故选A。

8.如图所示，两次渡河时船相对于静水的速度大小和方向都不

变。已知第一次实际航程为/至8位移为不，实际航速为口，所用

时间为介。由于水速增大，第二次实际航程为4至C,位移为电，实

际航速为。2,所用时间为公则（）

BC

A

A.v=~LvB.t2>t\,

2XiiX2

C.tz=t\,T）z=~~V\D.=02=^01

Xi

答案D

解析由于两次渡河船相对于静水的速度大小、方向均不变，则

船垂直于岸的分速度以不变，设河宽为，，则渡河时间，=卷，与水

速无关，所以Eif；根据，1=9「真可得%=?%，故选D项。

9.如图所示，套在竖直细杆上的轻环/由跨过定滑轮的不可伸

长的轻绳与重物6相连。由于5的质量较大，故在释放B后，/将

沿杆上升，当/环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速

度0W0,若这时5的速度为02,贝!1()

A.v2=ViB.v2>ViC.v2<0D.%=0

答案D

解析轻环上升过程中其速度为可分解为两个分速度。〃和。工，

如图所示，其中0〃为沿绳方向的速度，其大小等于重物5的速度外；

以为绕定滑轮转动的线速度。则02=O1COS仇夕为力与0〃间的夹角。

当A上升至与定滑轮的连线水平的位置时，夕=90。，cose=0,此时

%=0。故选项D正确。

10.如图所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运

动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从/点运

动到七点的过程中，下列说法中正确的是()

A

B

E

9D

A.质点经过。点的速率比O点的大

B.质点经过4点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90。

C.质点经过。点时的加速度比5点的大

D.质点从3到上的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大

后减小

答案A

解析质点做匀变速曲线运动，所以加速度不变，故C错误。由

于在。点速度方向与加速度方向垂直，则在/、B、。点时速度方向

与加速度方向的夹角为钝角，所以质点由。到。速率减小，所以。

点速率比O点大，故A正确，B错误。从B到E的过程中加速度方

向与速度方向的夹角一直减小，故D错误。

二、真题与模拟

11.[2015•全国卷II]由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发

射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨

道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同

步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1X103m/s,某次发射

卫星飞经赤道上空时的速度为1.55X103m/s,此时卫星的高度与同步

轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30。，如图所示。发

动机给卫星的附加速度的方向和大小约为（）

N

A.西偏北方向，L9Xl()3m/s

B.东偏南方向，1.9X103m/s

C.西偏北方向，2.7XUpm/s

D.东偏南方向，2.7X103m/s

答案B

解析由题设条件可知，卫星在转移轨道经赤道上空时速度为

=1.55X103m/s,同步卫星的环绕速度0=3.1X103m/s,设发动机给

卫星的附加速度为火，由平行四边形定则，三个速度间关系如图所示,

由余弦定理可得200ICOS3OO=1.9X1()3m/s,方向：东

偏南，选项B正确。

12.[2015•安徽高考]图示是a粒子(氯原子核)被重金属原子核散

射的运动轨迹，M.N、P、。是轨迹上的四点，在散射过程中可以认

为重金属原子核静止不动。图中所标出的a粒子在各点处的加速度方

向正确的是()

Q

p

•一•

为重金属原子核

A."点B.N点C.P点D.。点

答案C

解析a粒子在某点时的加速度方向，应沿该点和重金属原子核

所在位置的连线，且指向轨迹的内侧，选项C正确。

13.[2015•山东高考]距地面高5m的水平直轨道上/、B两点

相距2m,在5点用细线悬挂一小球，离地高度为如图所示。小

车始终以4m/s的速度沿轨道匀速运动，经过/点时将随车携带的小

球由轨道高度自由卸下，小车运动至5点时细线被轧断，最后两球同

2

时落地。不计空气阻力，取重力加速度的大小g=10m/s0可求得。

等于（）

AB

。Tt

h

A.1.25mB.2.25mC.3.75mD.4.75m

答案A

解析小车由4到5经历的时间A，=^=0.5s,对4处小球有:

==

gtAH9得。=1s,因此。=以-A，=0.5s,h^StB~~1-25m,A正

确。

14.[2014•四川高考]有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为

。的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回

程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为A,船在静

水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为（）

答案B

解析设河岸宽度为〃，去程时，1=亮，回程时，「业」2

又丁=队得v静二4"ZZ^，B正确。

<2

15.[2017•黄山模拟]由消防水龙带的喷嘴喷出水的流量是0.28

m3/min,水离开喷嘴时的速度大小为16小m/s,方向与水平面夹角

为60°,在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的

高度和水量分别是（重力加速度g取10m/s2）（）

A.28.8m1.12XIO-2m3

B.28.8m0.672m3

C.38.4m1.29X10-2m3

D.38.4m0.776m3

答案A

解析本题考查曲线运动的规律，意在考查考生利用物理规律解

决实际问题的能力。将初速度正交分解，得竖直方向上的分速度卬

=001160。=24m/s,水在竖直方向上做竖直上抛运动，水柱的高度。

=£=28.8m,水柱上升的时间，="=2.4s,故水柱的水量＞=0=

gg

-23

1.12XIOmo

16.[2017•海口测试]（多选）关于物体所受合外力的方向，下列说

法正确的是（）

A.物体做速率逐渐增大的直线运动时，其所受合外力的方向一

定与速度方向相同

B.物体做变速率曲线运动时，其所受合外力的方向一定改变

C.物体做变速率圆周运动时，其所受外力的方向一定指向圆心

D.物体做匀速率曲线运动时，其所受合外力的方向总是与速度

方向垂直

答案AD

解析物体做速率逐渐增大的直线运动时，加速度与物体速度同

向，又因为合外力与加速度同向，故A正确。物体做变速率曲线运动

时，所受合外力的方向不一定改变，如平抛运动，B错误。物体做变

速率圆周运动时，所受合外力沿半径方向的分力提供向心力，合外力

垂直半径方向的分力改变物体的速率，所受合外力一定不指向圆心，

C错误。物体做匀速率曲线运动时，合外力只改变速度的方向，不改

变其大小，故总与速度方向垂直，D正确。

17.[2016•北京朝阳区二模]如图所示，长为L的直棒一端可绕

固定轴转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度。匀速上升，当棒

与竖直方向的夹角为a时，棒的角速度为（）

vsinavrcosav

A.jB.y;C.jD.y

LZsinaLZcosa

答案B

解析棒与平台接触点的实际运动即合运动方向是垂直于棒指

向左上方，如图所示，合速度0实=/上，沿竖直向上方向上的速度分

77

量等于V,即coLsina=v,所以。所以A、C、D均错，B

正确。

18.[2016•黑龙江哈师大附中月考]如图所示，一轻杆两端分别

固定质量为帆”和mB的两个小球/和刀(可视为质点)。将其放在一个

光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球/与球形

容器球心等高，其速度大小为外，已知此时轻杆与水平方向成夕=30。

角，6球的速度大小为力，贝！1()

A.。2=乃1B.。2=20

C.02=。1D.

答案c

解析球/与球形容器球心等高，速度0方向竖直向下，速度

分解如图所示，有rn=risin30°=|ri,球B此时速度方向与杆成a

o

=60。角，因此v2i=v2cos60=^y2,沿杆方向两球速度相等，即小

=0山解得。2=%，C项正确。

19.[2016•奉贤区二模]趣味投篮比赛中，运动员站在一个旋转较

快的大平台边缘上，相对平台静止，向平台圆心处的球筐内投篮球。

则如图（各俯视图）篮球可能被投入球筐（图中箭头指向表示投篮方向）

的是（）

答案C

解析当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿篮筐方

向，球就会被投入篮筐。故C正确，A、B、D错误。

第母步精做大题•练能力

一、基础与经典

20.如图为一次洪灾中，德国联邦国防军的直升机在小城洛伊宝

根运送砂袋。该直升机/用长度足够长的悬索(重力可忽略不计)系住

=

一质量m=50kg的砂袋B,直升机/和砂袋B以r010m/s的速度

一起沿水平方向匀速运动，某时刻开始将砂袋放下，在5s时间内，B

2

在竖直方向上移动的距离以『=*(单位:m)的规律变化，取g=10m/so

求在5s末砂袋B的速度大小及位移大小。

答案10^/2m/s25书m

解析砂袋在水平方向上做匀速直线运动，为=10m/s,

在竖直方向上砂袋的位移：y=t2,即砂袋在竖直方向上做初速度

为零的匀加速直线运动，加速度”=2m/s2,

砂袋5s末在竖直方向上的速度为vy=at=10m/s,

合速度0=N*+/=1O啦m/s,

竖直方向上的位移y=^at2=25m,

水平方向上的位移x=bo，=5Om,

22

合位移l=y]x-\-y=25^/5mo

21.一小船渡河，河宽4=180m,水流速度%=2.5m/s。

(1)若船在静水中的速度为%=5m/s,求：

①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时

间？位移是多少？

②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位

移是多少？

(2)若船在静水中的速度02=L5m/s,要使船渡河的航程最短，船

头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

答案（1）①垂直河岸方向36s90小m②与垂直河岸方向

成30。角偏向上游24小s180m（2）应朝上游与河岸成53。方向

150s300m

解析（1）若02=5m/s。

①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂

直河岸时，如图1所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为02=5m/So

/=—=—d=—180

v±v25

om/s,

x=v合，=9（h巧mo

②欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向。船头应朝

图2中的火方向。

垂直河岸过河要求。水平=0,如图2所示，有%sina=%,得a=

30°o

图2

所以当船头与上游河岸成60。时航程最短。

x=</=180mo

dd180r-

t—Vs_—02cos300—u5r-s—24yV3So

(2)若力=L5m/So

与(1)中②不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设

合速度方向与河岸下游方向夹角为a,则航程x=就;。欲使航程最短,

需a最大，如图3所示，由出发点工作出力矢量，以为矢量末端为

圆心，巧大小为半径作圆，/点与圆周上某点的连线即为合速度方向,

欲使。合与水平方向夹角最大，应使0合与圆相切，即0合_1_02。

.z-

sina——#Ba—37°o

所以船头应朝上游与河岸成53。方向。

_d_d_180

。2cos37。—1.2s=150So

v4—^icos37°=2m/s,合，=300m。

22.如图所示，在竖直平面的xO伊坐标系中，2P竖直向上，Ox

水平。设平面内存在沿％轴正方向的恒定风力。一小球从坐标原点沿

Qy方向竖直向上抛出，初速度为。o=4m/s,不计空气阻力，到达最

高点的位置如图中Af点所示(坐标格为正方形，g取lOm/金，求：

(1)小球在"点的速度0；

(2)在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位

置N；

(3)小球到达N点的速度为的大小。

答案(1)6m/s(2)见解析图(3)4710m/s

解析(1)设正方形的边长为立。

竖直方向做竖直上抛运动：列=勖,2*=墨1,

水平方向做匀加速直线运动：3s()=果1,

解得0i=6m/So

(2)由竖直方向的对称性可知，小球再经过。到x轴，水平方向做

初速度为零的匀加速直线运动，所以回到x轴时落到M=12处，位置

(3)到N点时竖直分速度大小为%=4m/s,水平分速度2="水平

tN=2vx=12m/s,故。2=/1+*=外加m/s。

二、真题与模拟

23.[2017•桂林十校质检]一艘小船从河岸的工处出发渡河，小船

保持与河岸垂直方向行驶，经过iomin到达正对岸下游120m的C

处。如果小船保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成a角方向行驶，

如图所示，则经过12.5min恰好到达正对岸的5处，求河的宽度。

答案200m

解析解决这类问题的关键是画好速度合成的示意图，画图时首

先要明确合运动和分运动。对本题来讲，/C和48是两个不同运动

过程中船相对于岸的实际运动方向，那么AB和AC就是速度合成平

行四边形的对角线。一旦画好平行四边形，剩下的工作就是根据运动

的等时性以及三角形的边角关系列方程求解了。

设河宽为乙河水流速为。水，船速为。船，船两次运动的速度合

成如图甲和图乙所示。

第一次渡河与第二次渡河在垂直河岸的方向上位移相等即为河

宽，则。船，产。船sinaZ2o①

第一次渡河沿水流方向上位移为反\则蔗水，0②

由图乙可得船的合速度：v=v*tana,所以河的宽度4=次2=。水

tanaZ2o③

4

由①式得sina=0.8,故tana=§,

由②式得v水=12m/mino

4

代入③式可得河宽d=12X§X12.5m=200m。

24.[2016・黄山三校联考]如图，质量m=2.0kg的物体在水平外

力的作用下在水平面上运动，物体和水平面间的动摩擦因数"=0.05,

x=3.0*m)

已知物体运动过程中的坐标与时间的关系为g取10

j=0.2*(m)

2

m/so根据以上条件求:

(l)Z=10s时刻物体的位置坐标；

(2"=10s时刻物体的速度的大小、方向；

⑶，=10s时刻水平外力的大小。

4

答案(1)(30,20)(2)5m/s与x轴正方向夹角a=arctan2

(3)1.7N

解析(1)设物体的位置坐标(x,y)

显然：x=3.0，=30m,

y=0.2/=20m,

，=10s时刻物体的位置坐标(30,20)。

(2)由运动过程中的坐标与时间的关系知：

x轴物体做匀速运动："=3m/s,

7轴物体做匀加速运动：加速度a=0.4mH,

10s时：vy=at=4m/s,

，=10s时刻物体的速度的大小：v=yjvi+vy=5m/s,

方向：与x轴正方向夹角a=53。。

(3)如图所示。

滑动摩擦力：，Ff="mg=1.0N,

x轴物体做匀速运动：Fx=FfC0sa=Q.6N,

y轴物体做匀加速运动：由牛顿第二定律得：

Fy-f-sina=ma,解得：FX=Q.6N,Fy=1.6N,

故t=lQs时刻水平外力的大小：♦[6+£=.OK?+1.6?

N^1.7No

考点14抛体运动的规律

考点名片

考点细研究：本考点是物理教材的基础，也是历年高考必考的内

容之一，其主要包括的考点有：（1）平抛运动的基本规律及其应用；（2）

生活中平抛运动实例分析；（3）类平抛运动的问题等。其中考查到的如：

2016年江苏高考第2题、2016年浙江高考第23题、2015年全国卷I

第18题、2015年浙江高考第17题、2014年全国卷II第15题、2014

年浙江高考第23题、2013年江苏高考第7题、2013年北京高考第19

题等。

备考正能量：近三年来对平抛运动的考查一直是高考中的重点，

计算题偏多，选择题中也有少量该知识内容，试题难度中等或中等偏

上，预计今后高考将以生活实例为背景，综合力学中的其他知识考查

对平抛运动规律的理解与应用。

第屈步狂刷小题•练基础

一'基础与经典

1.对于做平抛运动的物体，以下说法中正确的是（）

A.抛出速度越大，飞行的时间越长

B.抛出点位置越高，飞行的时间越长

C.抛出点位置越高，飞行的水平距离越大

D.抛出速度越大，飞行的水平距离越大

答案B

2

解析由平抛运动规律可知，h=^gt,x=vot,解得飞行时间t

=\廿，所以抛出点位置越高，飞行时间越长，A项错误，B项正确；

飞行的水平距离栏可知，飞行的水平距离由抛出速度和抛出

高度决定，C、D两项错误。

2.物体做平抛运动时，下列描述物体速度变化量大小随时间

，变化的图象，可能正确的是（）

解析根据平抛运动的规律可得与/成正比，与

，的关系图线是一条过原点的倾斜的直线，选项D正确。

3.如图所示，在同一平台上的O点水平抛出的三个物体，分别

落到“、。、C三点，则三个物体运动的初速度〃、Vb、0c的关系和三

个物体运动的时间小tb、4•的关系分别是（）

A.Va>Vb>Vc

==

B.Va<Vb<Vctatbtc

C.Va<Vb<Vct„>tKc

D.〃>%>〃tstdc

答案C

解析三个物体落地的高度儿叫〉〃c，根据知ta>tb>tc，

大Xa<Xb<Xc，根据X，知，”的水平位移最短，时间最长，则速度最

小；C的水平位移最长，时间最短，则速度最大，所以有Va<Vb<VcO

故C正确，A、B、D错误。

4.(多选)“套圈圈”是小孩和大人都喜爱的一种游戏，游戏规则

是：游戏者站在界外从手中水平抛出一个圆形圈圈，落下后套中前方

的物体，所套即所得。如图所示，小孩站在界外抛出圈圈并套取前方

一物体，若大人也抛出圈圈并套取前方同一物体，贝！1()

A.大人站在小孩同样的位置，以小点的速度抛出圈圈

B.大人站在小孩同样的位置，以大点的速度抛出圈圈

C.大人退后并下蹲至与小孩等高，以大点的速度抛出圈圈

D.大人退后并下蹲至与小孩等高，以小点的速度抛出圈圈

答案AC

解析“套圈圈”可视为平抛运动。由于大人较高，抛出圈圈时

离地面较高，落地时间较长，大人站在小孩同样的位置，所以以小点

的速度抛出圈圈，选项A正确、B错误。大人退后并下蹲至与小孩等

高，落地时间相同，水平位移较大，要以大点的速度抛出圈圈。选项

C正确、D错误。

5.如图所示，某同学为了找出平抛运动物体的初速度之间的关

系，用一个小球在。点对准前方的一块竖直放置的挡板，。与/在同

一高度，小球的水平初速度分别是历、。2、。3,打在挡板上的位置分

别是5、。、D,且48：BC：CD=1：3：5。则口、巧、力之间的正

确关系是（）

A.0：为：S=3：2：1B.%：为：6=5：3：1

C.%：外：%=6：3：2D.0：%：S=9：4：1

答案C

解析根据平抛运动规律可知，小球在竖直方向上做自由落体运

动，由于4B：BC：CD=1：3：5,贝Uji：及："=1：4：9,又因为

x=vQt,贝!!『=号，即01：02：。3=『：『:『=6：3：2,选项C

20。Wi-\]yiVP3

正确。

6.如图所示，4B为半圆环NC5的水平直径，。为环上的最低

点，环半径为出一个小球从4点以速度内水平抛出，不计空气阻力,

则下列判断正确的是（）

A.0o越大，小球落在圆环时的时间越长

B.即使如取值不同，小球掉到环上时的速度方向和水平方向之

间的夹角也相同

C.若为取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环

D.无论巧取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环

答案D

解析本题考查平抛运动的规律，意在考查考生应用运动的合成

与分解解决平抛运动问题的能力。小球落在环上的最低点C时时间最

长，所以选项A错误；物取值不同，位移与水平方向夹角不同，因速

度与水平方向夹角正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，所以

小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角不相同，选项B错

误；要使小球垂直撞击半圆环，设小球落点与圆心的连线与水平方向

夹角为仇根据平抛运动规律，0o，=A（l+cos。），tan。

=gt/v0,联立解得，co4=l,即垂直撞击到半圆环，这是不可能的，

所以选项D正确，C错误。

7.（多选）如图所示，水平地面上不同位置的三个小球斜上抛，沿

三条不同的路径运动最终落在同一点，三条路径的最高点是等高的，

若忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是（）

123

A.沿路径1抛出的小球落地的速率最大

B.沿路径3抛出的小球在空中运动时间最长

C.三个小球抛出的初速度竖直分量相等

D.三个小球抛出的初速度水平分量相等

答案AC

解析根据运动的合成与分解，将初速度分解为竖直方向和水平

方向的分速度，设初速度方向与竖直方向的夹角为0,故有小球沿竖

直方向的速度分量。竖=0oCOS。，因为三个小球上升高度相同，所以三

个小球沿竖直方向的分速度相同，根据竖直上抛运动特点可知，三个

小球在空中运动时间相同，所以B错误、C正确；而仇＞仇＞%，故得

知/1＞。02＞。03，落地时重力做功为零，所以落地时的速率与初速度的

大小相同，所以A正确；小球沿水平方向的速度分量。水=%运动时

间相同所以可知沿路径1抛出的小球水平速度分量最大，所以D错误。

8.（多选）以列的速度水平抛出一物体，当其水平分位移与竖直

分位移相等时，下列说法正确的是（）

A.瞬时速度的大小是修Q

B.运动的时间是智

C.竖直分速度的大小等于水平分速度的大小

D.运动的位移是蛙匹

答案ABD

解析由M=0O，，^=某『和x=y,可知，=管，故B正确，代入

2

vy=gt,结合s=\）x+y,可知选项A、D正

确,C错误。

9.（多选）如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网

正上方距地面以处，将球以速度。沿垂直球网的方向击出，球刚好落

在底线上。已知底线到网的距离为A,重力加速度取g,将球的运动

视作平抛运动，下列表述正确的是（）

球的速度。等于隔

A.

球从击出至落地所用时间为'设

B.

C.球从击球点至落地点的位移等于L

D.球从击球点至落地点的位移与球的质量有关

答案AB

解析球做平抛运动，则其在竖直方向做自由落体运动，由8=

某/得，B正确。球在水平方向做匀速直线运动，由七=必

得A正确。球从击球点到落地点的位移S=\IH2+L2,

与球的质量无关，C、D错误。

10.（多选）在一次体育活动中，两个同学在同一条直线上相向站

立，从距离水平地面相同高度处，分别沿水平方向抛出两个小球/和

B,两个小球的运动轨迹如图所示，不计空气阻力。要使两个小球在

空中恰好发生碰撞，必须（）

A.先抛出/球，后抛出B球

B.同时抛出两球

C./球抛出速度大于5球抛出速度

D.相遇时6球速度大于/球速度

答案BC

解析两球相遇时，竖直高度相同，因此必须同时抛出，A错误,

B正确。由可知。（必c选项正确。由于竖直方向速度相

同，因此相遇时合速度内＞独，D错误。

二、真题与模拟

11.[2016•江苏高考]有4、5两小球，5的质量为/的两倍。现

将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力。图中①为/的运

动轨迹，则B的运动轨迹是（）

A.①B.②C.③D.@

答案A

解析由于不计空气阻力，因此小球以相同的速度沿相同的方向

抛出，竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方

向的初速度相同，加速度为重力加速度，水平方向的初速度相同，因

此两个球的运动情况完全相同，即5球的运动轨迹与/球的一样，也

为①，A正确。

12.[2015•全国卷I]一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。

水平台面的长和宽分别为〃和心，中间球网高度为人发射机安装于

台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓

球，发射点距台面高度为3〃。不计空气的作用，重力加速度大小为g,

若乒乓球的发射速率。在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒

乓球落到球网右侧台面上，则。的最大取值范围是（）

/(4亢+后应

V6h

/(4Z；+Z^

V6。

答案D

解析发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都是平抛运动。

当发射机正对右侧台面发射，乒乓球恰好过网时，发射速度最小。由

平抛运动规律，勺=0必2。=/,联立解得：。1=今\屈当发射机

乙/\fl

正对右侧台面的某个角发射，乒乓球恰好到达角上时，发射速度最大。

由平抛运动规律,2,联立解得：02

■J团曾如。即速度。的最大取值范围为〈制

/（4亢+丘）g

V6〃选项D正确，选项A、B、C错误。

13.[2015•浙江高考]如图所示为足球球门，球门宽为L。一个球

员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下

方死角（图中尸点）。球员顶球点的高度为肌足球做平抛运动（足球可

看成质点，忽略空气阻力），贝!1（）

A.足球位移的大小3=造二

B.足球初速度的大小列=\/野+£

C.足球末速度的大小辑+s\+4gk

D.足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tanO=2

答案B

解析足球做平抛运动，平抛运动的高度为h,平抛运动的水平

位移为"二42唱\足球的位移为再孑，A项错误；足球

运动的时间，=、竹，足球的初速度为0（）=4=y呆4+£,B项正

确；根据运动的合成得：足球末速度的大小0=迎+逮=

Y船+，+2g队C项错误；足球初速度的方向与球门线夹角的正

切值为tanO="关D项错误。

LL

2

14.[2014•全国卷II]取水平地面为重力势能零点。一物块从某一

高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等。不计空气阻力。

该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为（）

7T7T7T57r

A,6B,4C,3D12

答案B

解析设抛出点的初动能为落地时的动能为MW4,根据机

2

械能守恒定律得%1犬+加颜=；机02且mgh=^mvx，v=2vl，v=y[2vx,

结合cosa=字可得夕=£,选项B正确。

15.[2017•广东广州综合测试]如图，窗子上、下沿间的高度8=

1.6m,墙的厚度4=0.4m,某人在离墙壁距离L=1.4m、距窗子上

沿〃=0.2m处的P点，将可视为质点的小物件以。的速度水平抛出,

小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g=10mH。则。的取值

范围是（）

A.v>7m/sB.v<2.3m/s

C.3m/s<r<7m/sD.2.3m/s<r<3m/s

答案c

解析小物件做平抛运动，可根据平抛运动规律解题。若小物件

恰好经窗子上沿，则有L=Viti,得0i=7m/s,若小物件恰

好经窗子下沿，则有L+d=v2t2,得力=3m/s,所以3

m/s<r<7m/s,故只有C项正确。

16.[2016•台州模拟]（多选）如图所示，相距/的两小球/、B位

于同一高度以/、〃均为定值），将/向B水平抛出的同时，5自由下

落。/、5与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、

方向相反。不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，贝!1（）

O->o

“”B

h

A./、3在第1次落地前能否相碰，取决于力的初速度

B./、5在第1次落地前若不碰，此后就不会相碰

C./、5不可能运动到最高处相碰

D./、B一定能相碰

答案AD

解析力的竖直分运动是自由落体运动，故与5的高度始终相同。

/、5若能在第1次落地前相碰，必须满足内，>/,又，=\隹，即4、

5第1次落地前能否相碰取决于力的初速度，A正确。若/、B在第

1次落地前未相碰，则由于/、5反弹后的竖直分运动仍然相同，且工

的水平分速度不变，/、5一定能相碰，而且在5运动的任意位置均

可能相碰，B、C错误，D正确。

17.[2016•长春二模]平抛运动任意时刻速度的方向与水平方向

的夹角定义为速度的偏向角，某物体做平抛运动的时间与速度偏向角

正切值之间函数关系如图所示（图中的X、7为已知量，重力加速度为

g）,则下列说法中正确的是（）

A.平抛的初速度大小为有

B.y时刻物体的速度大小为xyg

C.y时间内物体的位移大小为ylx2+y2

D.y时间内物体位移的方向与水平方向夹角的正切值为:

答案D

解析根据平抛运动规律可得tane=^=9,所以kJan仇

即图象斜率为k=^,所以如=烟=长，故A项错误；y时刻的速度

大小为故B项错误；由平抛运动规律可知，J时间

内位移大小为故c项错误；设平抛运动的位移与

、A2g?gt1

水平方向的夹角为少，则tan/?=而■=2%=宗乱11&D项正确。

18.[2016•呼和浩特阶段考试]（多选）横截面为直角三角形的两个

斜面如图紧靠在一起，固定在水平面上，两个三角形全等，且竖直边

长是底边长的一半。小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平

抛，最后落在斜面上，其中三次的落点分别是“、b、C,贝！）（）

A.落在“点的小球飞行时间最长

B.落在c点的小球抛出时的初速度最小

C.无论小球抛出时初速度多大，落到两个斜面上时都不可能与

斜面垂直碰撞

D.落在〃点的小球飞行过程中速度变化最快

答案AC

解析根据平抛运动规律，下落高度决定飞行时间，所以落点在

“点的小球飞行时间最长，选项A正确；由00=%秒，落在c

点小球水平位移最大，运动时间最短，则抛出的初速度最大，选项B

错误；因为平抛运动可等效为从水平位移中点处做直线运动，故小球

不可能垂直落到左边的斜面上；如图所示，假设小球落在右边斜面处

的速度与斜面垂直，则tanO=W=；,因*=如，尸;卯=如，则需x

=丁，由于两斜面的竖直边是底边长的一半，故小球不可能垂直落在

右边的斜面上，选项C正确；由于三个小球均为平抛运动，速度变化

快慢相等，都是重力加速度，选项D错误。

19.[2017•邯郸月考]侈选）如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿

竖直方向。图中画出了从y轴上沿X轴正向抛出的3个小球“、〃和C

的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，贝！）（）

A.”的飞行时间比b的长B.〃和c的飞行时间相同

C.”的水平速度比〃的小D.〃的初速度比c的大

答案BD

解析根据平抛运动规律。=看，，得，=\借，可知平抛物体在

空中飞行的时间仅由高度决定，又叫〈心=心，故勿＜勿=右，A错误，

B正确。由*=次，乂＞/＞乂得〃＞%＞〃，C错误，D正确。

20.[2016•银川二中统考]如图所示，一长为啦上的木板，倾斜放

置，倾角为45。，今有一弹性小球，自与木板上端等高的某处自由释

放，小球落到木板上反弹时，速度大小不变，碰撞前后，速度方向与

木板夹角相等，欲使小球恰好落到木板下端，则小球释放点距木板上

端的水平距离为（）

45°

答案D

解析设小球释放点距木板上端的水平距离为〃，由几何关系可

知，下落高度也为〃，故平抛运动的初速度0=4访，设平抛运动的

水平位移和位移分别为x和y,因夕=45。，故x=_p,由平抛运动规律

x=vt,联立解得x=4A,由题意可知4啦〃+啦。=&£,解

得选项D正确。

第以步精做大题•练能力

一、基础与经典

21.如图为网球场长度示意图，球网高为〃=0.9m,发球线离网

的距离为x=6.4m,某运动员在一次击球时，击球点刚好在发球线上

方8=1.25m高处，设击球后瞬间球的速度大小为%=32m/s,方向

水平且垂直于网，试通过计算说明网球能否过网？若过网，试求网球

的直接落地点离对方发球线的距离L?（不计空气阻力，重力加速度g

取10m/s2）

一〃。

；网

h

XX|

发球线发球线

答案能3.2m

解析网球在水平方向通过网所在处历时为，1=今=0.2s。下落

高度〃尸;M=0.2m。因加—〃=0.35m,故网球可过网。网球到

落地时历时t=,水平方向的距离s=0°，=16m,所求距

离为L=s~2x=3.2mo

22.国家飞碟射击队用如图所示装置进行模拟训练，训练的队员

在高H=2Qm的塔顶,在地面上距塔水平距离为x处有一个电子抛靶

装置，圆形靶以速度勿竖直抛出，当靶被抛出的同时立即用特制手枪

沿水平射击，子弹速度0=100m/s。不计人的反应时间、抛靶装置的

高度及子弹在枪膛中的运动时间，且忽略空气阻力及靶的大小包取10

2

m/s)o

=

V\

口

口

口

(1)当X取值在什么范围时，无论为何值都不能击中靶？

(2)若x=100m,02=20m/s。试通过计算说明靶能否被击中？

答案(l)x>200m(2)能，计算过程见解析

解析(1)子弹的水平射程而代入数据有x=200m。

故x>200m时，无论勿为何值，均不能击中靶。

(2)若x=100m,则子弹做平抛运动的时间为r=x/0=100/100s

i(i、

=1So子弹在竖直方向的离地高度为h=H-^gt2=[20-^X10Xl2

m=15mo此时靶子的离地高度为h'；g*=15m,故恰好击

中。

二、真题与模拟

23.[2016•浙江高考]在真空环境内探测微粒在重力场中能量的

简化装置如图所示。尸是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、

初速度不同的微粒。高度为〃的探测屏竖直放置，离P点的水平

距离为A,上端/与P点的高度差也为九

h

A

h\

二L------

(i)若微粒打在探测屏/B的中点，求微粒在空中飞行的时间；

(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；

(3)若打在探测屏/、6两点的微粒的动能相等，求L与h的关系。

答案⑴然(3)2啦"

解析(1)打在探测屏中点的微粒下落的高度

|〃=配①

(2)打在B点的微粒初速度必=1；③

同理，打在/点的微粒初速度

能被屏探测到的微粒初速度范围：

L恭E2h°⑥

(3)由功能关系+mgh=^mvj+21nglt⑦

将④⑤式代入⑦式得L=2y]2ho

24.[2017•石家庄教学质检]如图所示，在水平地面上固定一倾

角夕=37。、表面光滑的斜面，物体/以初速度历沿斜面上滑，同时

在物体力的正上方，有一物体3以初速度%=2.4m/s水平抛出，当

力上滑到最高点时，恰好被B物体击中。/、B均可看作质点，sin37。

=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g=10mH。求：

(1)物体/上滑时的初速度历；

(2)物体/、3间初始位置的高度差〃。

答案(1)6m/s(2)6.8m

解析(1)物体/上滑过程中，由牛顿第二定律得机gsinO=AMa,

设物体/滑到最高点所用时间为。由运动学公式0=01—内，由几何

关系可得水平位移x=；0"cos37。，物体3做平抛运动，如图所示，其

水平方向做匀速直线运动，则x=02，，联立可得。i=6m/s。

(2)物体5在竖直方向做自由落体运动，则生=宠”，

物体/在竖直方向比1=；为，sin37。，如图所示，由几何关系可得

h=hA+hB,联立得力=6.8m。

25.[2017•衡水模拟]如图为“快乐大冲关”节目中某个环节的

示意图。参与游戏的选手会遇到一个人造山谷OAB,OA是高h=3m

的竖直峭壁，48是以O点为圆心的弧形坡，ZAOB=6Q°,5点右侧

是一段水平跑道。选手可以自。点借助绳索降到4点后再爬上跑道,

但身体素质好的选手会选择自。点直接跃上跑道。选手可视为质点，

忽略空气阻力，重力加速度g取10m//。

(1)若选手以速度内水平跳出后，能跳