第05讲 全称量词与存在量词（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

第05讲全称量词与存在量词【人教A版2019】·模块一全称量词与存在量词·模块二全称量词命题与存在量词命题的否定·模块三命题的否定与原命题的真假·模块四课后作业模块一模块一全称量词与存在量词1．全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”2.存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义.常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.【考点1全称量词命题与存在量词命题的理解】【例1.1】（2024高一·全国·专题练习）下列语句不是全称量词命题的是（

）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小【例1.2】（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（

）A．命题非p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题【变式1.1】（22-23高一上·江苏南京·期中）已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1.2】（23-24高一上·江苏·单元测试）下列命题中，存在量词命题的个数是（

）①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有x2A．0 B．1C．2 D．3【考点2全称量词命题与存在量词命题的真假判断】【例2.1】（23-24高一上·广东广州·期中）下列命题中的假命题是（

）A．∃x∈R,x=0 C．∀x∈R,x3>0【例2.2】（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）下列命题中为真命题的是（

）A．p1:∃x∈RB．p2:∀x∈RC．p3:∀x∈ZD．p4:∃x∈R【变式2.1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列三个命题中有几个真命题（

）①∃x∈R，x2−5x−6=0；②∀x∈R，x2A．0 B．1 C．2 D．3【变式2.2】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（

）A．至少有一个x∈Z，使得x2<3成立C．∃x∈R，x2=x D．对任意a，b∈R【考点3根据命题的真假求参数】【例3.1】（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“∀x∈R,ax2−2ax+12>0A．−∞,0∪12,+∞ B．−∞【例3.2】（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知“∃x∈R，a>x2−1”为真命题，则实数aA．a>−1 B．a>1 C．a<−1 D．a<1【变式3.1】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题p为“∃x∈[−2,1]，x2+2ax−3a≥0”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（A．a≥1 B．a>1 C．47<a<1 【变式3.2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题p：任意x∈1,2,x2−a≥0，命题q：存在x0∈R,A．−∞,−2 B．−∞,1 C．模块二模块二全称量词命题与存在量词命题的否定1．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．2．对全称量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)eq\o(→,\s\up7(改为))存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．3．对存在量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)eq\o(→,\s\up7(改为))全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．【考点1全称量词命题的否定】【例1.1】（2024高三·全国·专题练习）命题“∀x∈Z，x2≥0”的否定是（A．∃x∈Z，x2≥0 B．∃x∉ZC．∃x∈Z，x2<0 D．∃x∉Z【例1.2】（23-24高二下·浙江·期中）命题“∀x≥0,x2−x+1≥0A．∃x≥0,    x2C．∀x≥0,x2−x+1<0【变式1.1】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）命题“∀x∈0,1，x3<A．∀x∈0,1，x3>x2C．∃x0∈0,1，x03【变式1.2】（2024·内蒙古赤峰·一模）命题“∀x∈R，∃n∈N∗，n>xA．∀x∈R，∀n∈N∗，n≤x2 B．∃x∈RC．∃x∈R，∀n∈N∗，n≤x2 D．∃x∈R【考点2存在量词命题的否定】【例2.1】（23-24高一下·广东江门·阶段练习）命题“∃x0∈R,A．∀x∈R,x2+3x−2=0C．∃x∉R,x12【例2.2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知命题p：∃n∈N,2n−2A．∀n∉N,2n−2C．∃n∉N,2n−2【变式2.1】（23-24高一下·云南红河·开学考试）命题“∃x>0，x2+x+1≥0”的否定是（A．∀x≤0，x2+x+1<0 B．∀x≤0C．∀x>0，x2+x+1<0 D．∃x>0【变式2.2】（23-24高一下·四川眉山·开学考试）关于命题p“∃x0∈R，A．¬p：∀x∈R,x2−x+1>0，为假命题 C．¬p：∃x∈R,x2−x+1>0，为真命题 模块三模块三命题的否定与原命题的真假1．命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．2．命题否定的真假判断(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.【考点1命题否定的真假判断】【例1.1】（23-24高一上·山西长治·期末）已知命题p:∀x∈R,x(1)写出命题p的否定；(2)判断命题p的真假，并说明理由．【例1.2】（23-24高一上·新疆·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p:∀x∈R(2)p：有些三角形的三条边相等；(3)p：菱形的对角线互相垂直；(4)p:∃x∈N【变式1.1】（2023高一·江苏·专题练习）写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：(1)∃x∈R，x2(2)至少有一个实数x，使x3(3)∃x,y∈Z，2x+y=3【变式1.2】（23-24高一·湖南·课后作业）对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假：(1)∀x∈R，x(2)∃x∈Q，x(3)∃x∈R，x(4)∀x≠0，x+1(5)任意三角形都有内切圆；(6)任意两个直角三角形都是相似三角形．【考点2根据命题否定的真假求参数】【例2.1】（2024高一·江苏·专题练习）已知命题p:∃x∈R,m−x2+2x−5>0，若p【例2.2】（23-24高一·全国·课后作业）已知命题p:∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q:∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．【变式2.1】（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根；命题q：方程(1)若命题¬p为真，求实数m的取值范围；(2)若命题p，q中有且仅有一个为真一个为假，求实数m的取值范围.【变式2.2】（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）已知p：∀x∈R，mx2+1>0，q：∃x∈R（1）写出命题p的否定¬q；命题q的否定¬q；（2）若¬p和¬q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围．模块四模块四课后作业一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）下列正确命题的个数为（

）①∀x∈R，x2+2>0；②∀x∈N,x4≥1A．1 B．2 C．3 D．42．（23-24高二下·湖南·期中）已知命题p:∀x>0,ex+3x≤2，则¬pA．∃x≤0,ex+3x>2C．∃x>0,ex+3x≤23．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）下列命题中正确的是（）A．∃x∈R，x≤0B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数C．∃x∈{x|x是无理数}，x+5是无理数D．存在x∈R，使得4．（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（

）A．所有的素数都是奇数 B．∀x∈R，xC．有一个实数x，使x2+2x+3=05．（23-24高一上·安徽·期末）已知“∃x0∈R，2024x0A．a>−506 B．a≥−506 C．a≤−506 D．a<−5066．（23-24高一上·广西贺州·期末）下列结论中正确的个数是（

）①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；②命题“∀x∈R③命题“∃x∈R,x④命题“∀x∈ZA．0 B．1 C．2 D．37．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知命题p：∀x∈R，x2−x+2a>0，则“a≤0”是“¬p是真命题”的（A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（23-24高一上·上海松江·期末）设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为“取整函数”，如：1.6=1，−1.6=−2.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合A=x|x2A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题二、多选题9．（23-24高一上·吉林·阶段练习）下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（

）A．存在实数x，使xB．有一个无理数，它的立方是有理数C．存在一个实数，它的倒数是它的相反数D．每个三角形的内角和都是18010．（2023高三·全国·专题练习）已知命题p:∃m∈{m∣−1≤m≤1}，a2−5a+3<m+2，若p是假命题，则实数a的取值范围是（A．a≤0 B．a≥5C．a≥0 D．a≤5三、填空题11．（23-24高一上·云南昭通·期末）命题“∃x∈−1,1,x12．（22-23高二下·山东泰安·期末）若“∃x∈R，使得2x2−mx+1<0”是假命题，则实数m四、解答题13．（23-24高一·全国·随堂练习）判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词：(1)实数都能写成小数；(2)在实数集