新高考数学二轮复习 专题03 空间几何 解答题题型分类提升讲与练（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第第页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题03空间几何解答题考法一平行【例1-1】（2023春·河北邯郸）如图，在三棱柱中，G，O，H，M分别为DE，DF，AC，BC的中点，N为GC的中点.

(1)证明：平面ABED.(2)证明：平面平面BCFE.【解析】（1）证明：如图，连接BG.∵M为BC的中点，N为GC的中点，∴.∵平面ABED，平面ABED，∴平面ABED.

（2）∵G，O分别为DE，DF的中点，∴.∵平面BCFE，平面BCFE，∴平面BCFE.∵且，∴四边形OFCH是平行四边形，∴.∵平面BCFE，平面BCFE，∴平面BCFE.又，∴平面平面BCFE【例1-2】（2023·青海）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心，证明：平面ABC.【解析】延长EG交AB于N，连接NC,因为G为△ABE的重心，所以点N为AB的中点，且,因为,故,所以,故，故,而平面ABC，平面ABC,故平面ABC；【变式】1．（2023春·浙江金华）在正方体中，分别是和的中点，求证

(1)(2)平面．(3)平面平面．【解析】（1）连接，因为底面是正方形，且点是中点，所以，即点也是中点，又因为点是中点，所以由三角形中位线定理可得；（2）由（1），因为平面，平面，所以平面；（3）连接，因为分别是和的中点，所以由正方体的性质可知：，所以四边形是平行四边形，所以有，而，所以，因为平面，平面，所以平面，而平面，所以平面平面.

考法二垂直【例2-1】（2023秋·海南海口）已知三棱锥中，底面，，分别为，的中点，于．

(1)求证：平面；(2)求证：平面平面．【解析】（1）∵底面，底面，∴；又，为的中点，∴，又∵平面，，∴平面，平面，∴，又，平面，，∴平面；（2）由平面知，；又分别为的中点，∴是的中位线，∴，∴，即，由平面可知，，，为平面与平面的二面角，又，∴平面平面．【例2-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，，均为等边三角形，，O为AB中点，点D在AC上，满足，且面面ABC．证明：面POD．

【答案】证明见解析【解析】证明：由条件、为等边三角形，为的中点，则，，，由余弦定理得从而在中，，得为直角三角形，且，又面面，面面，且，面，则由面面垂直的性质定理可得面，由面,所以因此由，，，平面，所以平面，即面POD.【变式】1．（2023秋·山东）如图所示，在正方体中，为棱的中点，N为棱上的点，且，求证：.

【解析】连接，设，则，，，又，∴.

∴，又，∴，即，又平面，平面，所以，平面，所以平面，平面，∴.考法三空间角之向量法【例3-1】（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【解析】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、，则，易知平面的一个法向量为，则，故，平面，故平面.（2）解：，，，设平面的法向量为，则，取，可得，.因此，直线与平面夹角的正弦值为.（3）解：，，设平面的法向量为，则，取，可得，则，因此，平面与平面夹角的余弦值为.【变式】1．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点．

(1)证明：；(2)求二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）在四边形中，，取中点，连接，由，得，则四边形是平行四边形，又，因此是矩形，即有，有，，从而，即，而平面，平面，则，又平面，于是平面，而平面，所以.

（2）由（1）知两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，依题意，，，设平面的一个法向量，则，令，得，设平面的一个法向量，则，令，得，因此，显然二面角的平面角为钝角，所以二面角的平面角的余弦值为.考法四空间角之几何法【例4】（2023秋·四川遂宁）如图，多面体中，四边形为平行四边形，，，四边形为梯形，，，，，平面(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）由四边形是平行四边形，得，而平面，平面，则平面，由，平面，平面，得平面，又，平面，因此平面平面，而平面，所以平面.（2）由平面，平面，得，连接，则，在平面内过作于，连接，显然，而平面，于是平面，则为直线与平面所成的角，又，则，因此，所以直线与平面所成角的正弦值为.【变式】1．（2023春·福建宁德）四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面，已知，，，．

(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）作，垂足为，连接，由侧面底面，侧面,且侧面底面，得底面．因为，所以，又，故为等腰直角三角形，，且平面，所以平面，又因为平面，所以,即.（2）证明：由（1）知，依题，故，由，，，又，作，垂足为，侧面底面，平面,且侧面底面，得平面，连接,所以为直线与平面所成的角，所以，即直线与平面所成角的正弦值为．

考法五空间距离之向量法【例5】（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体中，四边形是边长为4的正方形，，△ABC是正三角形．

(1)若为AB的中点，求证：直线平面；(2)若点在棱上且，求点C到平面的距离．【答案】(1)证明见详解(2)【解析】（1）连接，设，由题意可得为的中点，连接，因为分别为的中点，则//，平面，平面，所以直线平面.

（2）由题意可得：，，平面，所以平面，取的中点，连接，因为△ABC是正三角形，则，又因为平面，平面，则，，平面，所以平面，如图，以为坐标原点，为轴，轴，建立空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量，则，令，则，即，所以点C到平面的距离.

【变式】1．（2023·天津北辰·校考模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.

(1)求证：平面；(2)求直线PB与平面所成角的正弦值；(3)求点到PD的距离.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【解析】（1）如图，取中点，连接

因为为中点，，，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，因为为中点，为中点，则，又平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，又平面，故平面．（2）

根据题意，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，由条件可得，，则，设平面的法向量为，则，解得，取，则，所以平面的一个法向量为，设直线PB与平面所成角为，则.所以直线PB与平面所成角的正弦值为.（3）由（2）可知，，所以点到PD的距离为.考法六空间距离之几何法【例6】（2023·江西景德镇·统考三模）如图，等腰梯形ABCD中，，，现以AC为折痕把折起，使点B到达点P的位置，且.

(1)证明：平面平面；(2)若M为PD的中点，求点P到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）在梯形ABCD中取AD得中点N，连接CN，

则由BC平行且等于AN，可知ABCN为平行四边形，所以，由可得C点在以AD为直径的圆上，所以.又，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）取AC得中点O，连接PO，OD，由得，

由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又M为PD的中点，所以，因为平面，平面，所以，，又M为PD的中点，所以，则，所以，，，所以，由余弦定理得，所以，所以，所以，因为平面，所以点到平面的距离CD是点到平面距离的2倍，即点M到平面PAC的距离为1，，设点P到平面的距离为，因为，所以，解得.【变式】1．（2023·江西景德镇·统考三模）如图，等腰梯形ABCD中，，，现以AC为折痕把折起，使点B到达点P的位置，且.

(1)证明：平面平面；(2)若M为PD的中点，求点P到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）在梯形ABCD中取AD得中点N，连接CN，

则由BC平行且等于AN，可知ABCN为平行四边形，所以，由可得C点在以AD为直径的圆上，所以.又，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）取AC得中点O，连接PO，OD，由得，

由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又M为PD的中点，所以，因为平面，平面，所以，，又M为PD的中点，所以，则，所以，，，所以，由余弦定理得，所以，所以，所以，因为平面，所以点到平面的距离CD是点到平面距离的2倍，即点M到平面PAC的距离为1，，设点P到平面的距离为，因为，所以，解得.考法七折叠问题【例7】（2023秋·山东泰安）如图1，四边形为矩形，，E为的中点，将、分别沿、折起得图2，使得平面平面，平面平面．

(1)求证：平面；(2)若F为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）在图2中，取、的中点M、N，连接、、，在图1中，，且E为AB的中点，则，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理，平面，所以.又因为，所以四边形为平行四边形，所以，而平面，平面，所以平面.（2）在图1中，，，.以点E为坐标原点，，所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，

设，则，向量，设平面的法向量为由，得，令，得平面的一个法向量为，又，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．【变式】1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）长方形中，，点为中点（如图1），将点绕旋转至点处，使平面平面（如图2）．

(1)求证：；(2)点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见详解(2)【解析】（1）证明：在长方形中，，为中点，，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，平面.（2）

如图，取的中点，的中点，连接，由题意可得两两互相垂直，以为坐标原点，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，则，设平面的一个法向量为，则，，令，得，，又平面，是平面的一个法向量，，令，解得或（舍）.即为的靠近的三等分点时，二面角的平面角为，平面，且，到平面的距离为，又四边形的面积为3，四棱锥的体积考法八动点【例8】（2023春·山西运城·高一统考期中）如图，正三棱柱中，E、F、G分别为棱、、的中点．

(1)证明：∥平面；(2)在线段是否存在一点，使得平面∥平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；N为的中点，证明见解析【解析】（1）证明：取的中点，连接，，在中，因为E、M分别为、的中点，所以且．又为的中点，，所以且，即且，故四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．

（2）当N为的中点时，平面平面．证明：连接，．因为N，F分别是和的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为，，所以．因为平面，平面，所以平面．又因为平面，平面，，所以平面平面．

【变式】1．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．【答案】(1)证明见解析；(2)1【解析】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，又不在同一条直线上，.（2）设，则，设平面的法向量，则，令，得，，设平面的法向量，则，令，得，，，化简可得，，解得或，或，.考点九外接球【例9】（2023湖南）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.（1）求证：平面；（2）若直线与底面所成的角的余弦值为，求三棱锥的外接球表面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）在四边形中，，，，，为等腰直角三角形，即，平面平面，，平面平面，平面，又平面，，，平面，平面.（2）平面，平面，，，又，，，即，，平面，平面，平面，，即，均为直角三角形，且公共斜边为，中点到三棱锥四个顶点的距离相等，三棱锥的外接球半径；平面，为直线与底面所成的角，，又，，三棱锥的外接球表面积.【变式】1．（2023·全国·高三专题练习）如图矩形中，，沿对角线将折起，使点A折到点P位置，若，三棱锥的外接球表面积为．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)M为的中点，点N在边界及内部运动，若直线与直线与平面所成角相等，求点N轨迹的长度．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【解析】（1）证明：设O为矩形对角线的中点，∴．即．∴O为三棱锥外接球的球心．又∵三棱锥外接球表面积为，∴外接球半径为2．即．过P点作，垂足为E，过点C作，垂足为F，则，，，，∴而，在中，满足∴为直角三角形，∵，，∴平面．又∵平面，∴平面平面．（2）以E为坐标原点，所在直线分别为x轴、z轴，以平面内过E且垂直于的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可知：且设平面的法向量为，得，取，则，设平面的法向量为，得，取，则设平面与平面夹角为，则所以平面与平面夹角余弦值为是．（3）由（2）中空间直角坐标系可设N为，，，，取平面法向量为．∵直线与直线与平面所成角相等，∴得：整理得：，即∵N点在边及其内部，∴N的轨迹为圆落在边及内部的部分．∴轨迹长度为半径为1的圆周长为．得∴N点轨迹长度为．专题03空间几何解答题巩固练习1.（2023秋·云南）如图，四棱锥的底面为平行四边形．设平面与平面的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．

(1)求证：平面平面；(2)求证：．【解析】（1）因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形，所以，，又平面，平面，则平面，同理平面，平面，可得平面，又，平面，所以平面平面.（2）因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.2.（2023湖北）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，是线段的中点，是线段靠近点的四等分点，点在线段上，求证：【解析】由题意，在直三棱柱中，，不妨设，则，由余弦定理可得，因为，可得，又由是线段的中点，所以，且，因为平面，平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以,在直角中，，因为是线段靠近点的四等分点，可得，所以,可得，又由且平面，所以平面，因为平面，所以.3.（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．

(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【解析】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，因为，，所以与均为等边三角形，，从而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）不妨设，，．，，又，平面平面．以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设，设平面与平面的一个法向量分别为，二面角平面角为,而，因为，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，从而．所以二面角的正弦值为．4．（2023秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点.

(1)证明：；(2)若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2).【解析】（1）连接AF，则，又，，∴，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴，又平面PAF，∴平面PAF，又平面PAF，∴；（2）平面，是与平面所成的角，且．，∵平面PAF，∴，，∴为平面PFD与平面CFD所成锐角，∴，故二面角的余弦值为.5．（2023·江西景德镇·统考三模）如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

(1)证明：面面；(2)若为上的一点，点到面的距离为，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）在梯形中，取中点，连接，

，，四边形为平行四边形，，，；，，平面，平面，平面，平面平面.（2）分别取中点，连接，，为中