2024-2025学年山东省部分学校高三（下）开学数学试卷+答案解析

2024-2025学年山东省部分学校高三(下)开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合JW={@L*3},N{J|J<2}，则V(C/j.V)=()

A.I-x,2)B.12.31C.{2.3}D.{1.2.3}

2.已知复数：「，，,L，；l-为纯虚数，则实数〃()

A.'B.-C.2D.-2

23

3.样本数据12,8,32,10,24,22,12,33的第60百分位数为()

A.8B.12C.22D.24

4.函数图象大致是（）

-1

5.已知加，〃是两条不同的直线，”，《是两个不同的平面，则下列结论正确的是()

A.若m「八，”贝!］「B.若"，>',贝！］八।

C.右…,।1■।।,则”，•D.右11•11,11।,则，>1

6.十一国庆期间，《749局》《志愿军：存亡之战》《浴火之路》《熊猫计划》引爆了电影市场，张三和他

的同学一行四人决定去看这四部电影.若张三要看《存亡之战》，则恰有两人看同一部影片的概率为()

7.若函数，“」的图像全部在x轴上方，则a的取值范围为()

A.(Ct.1)B.Il.-x.)C.I',+xID.|<.*x)

c

8.已知/,/二是椭圆与双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，且“7ri■,//的垂直平分线

经过点若椭圆的离心率为，，双曲线的离心率为，一，则?9的取值范围为()

212

33

A.(-2.4-x)B.(*xIC.|-2,--1D.|-I,4-x)

第1页，共19页

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.现有200根相同的钢管，若把它们堆放成正三角形垛，且使剩余的钢管尽可能的少，则下面说法正确的

是（）

A.堆放成正三角形垛后，没有剩余钢管

B,堆放成正三角形垛后，剩余钢管的根数为10

C.若再增加8根钢管，则所有的钢管恰好可以堆放成正三角形垛

D.若再增加10根钢管，则所有的钢管恰好可以堆放成正三角形垛

____工〉2

10.函数/，，是定义域为I-山Hl-x的奇函数，当.rII时，：，，，_下列

Ir1-2r4-2,0<X<2

结论正确的有（）

A.对…I.且.一…，恒有'n

JT|—J?J

B.对Vri，+、>恒有*士口）《丝丝幺包

C.函数V，与/一的图象共有4个交点

D.若当J———「时，/，」，的最大值为I,贝！二川

11.如图，在棱长为4的正方体,1/*'〃-中，E,尸分别是棱斗〃i，

的中点，G为底面上的动点，则下列说法正确的是（）

A.当G为/。的中点时，/<（.

B.若G在线段AD上运动，三棱锥.1.的体积为定值

C.存在点G,使得平面EFG截正方体所得的截面面积为I2v3

D.当G为的中点时，三棱锥/73的外接球表面积为午

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知丁」，「，写出/，，的一个解析式.

13.已知，:2,.'i,,<-…，，,、缶,若；,则W在石上的投影向量的坐标为.

14.己知/,/:是椭圆丁|的左、右焦点，M点是在第一象限椭圆E上一动点，若•,是

（i2

锐角，则椭圆E在M点处的切线的斜率的取值范围是.

第2页，共19页

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题12分）

在锐角中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且，“"一1,'，

（1）求证:4=28；

L若/的角平分线交于。，且，3求〃面积的取值范围.

16.।本小题12分।

如图，在四棱锥/AbCO中,平面/BCD,4D11（,,A/LLBC，E为尸。的中点.

⑴若£A=£C，证明：，//平面ZCP；

已知1，B（2，,1/；I，斜线网和平面/BCD所成的角的正切值为2,求平面NCE和平面

PCD的夹角的余弦值.

17.（本小题12分）

过坐标原点。作圆C：＞，2-J的两条切线，设切点为P0,直线尸。恰为抛物线E：，,」「，।

的准线.

I求抛物线£的标准方程；

⑵设点T是圆C的动点，抛物线E上四点4,B,M,N满足：/iJ/u,//}?/、'，设48中点为

D.

「,求直线ZD的斜率；

I，“设/1〃面积为S,求S的最大值.

18.（本小题12分）

在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，

保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质

量管理，不定时抽查口罩质量.该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成

以下五组：[100以））.[110.120）.口20.130）」130,140）.[1皿150],得到如图频率分布直方图.规定:口罩的质

量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的

第3页，共19页

为一级口罩.

|「将上述质量检测的频率视为概率，现从该工厂此类口罩生产线上生产出的大量口罩中，采用随机抽样方

法每次抽取1个口罩，抽取8次，记被抽取的8个口罩中一级口罩个数为L若每次抽取的结果是相互独立

的，求£的方差；

,现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为"，

求”的分布列及数学期望；

131在2023年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加48两

店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由，““2.”个该型号口罩构成.假定甲、乙两人在4,B

两店订单“秒杀”成功的概率分别为'，记甲、乙两人抢购成功的口罩总数量为X,求当X的数

n

学期望A，，取最大值时正整数n的值.

19.।本小题12分，

若有穷数列卜：',\且".!I满足it.-11,.।-a.-n,.।-1.2,■■.ti-2,则称|为M数列.

U判断下列数列是否为初数列，并说明理由；

①1,2,4,；

②4,2,8,:

-已知M数列上：中各项互不相同.令人.”一।5,1.2.b,求证：数列）是等差

数列的充分必要条件是数列■；（.（是常数列；

「已知M数列｝是….「且，，，5个连续正整数1,2,-,%的一个排列.若

m-1

',MlI29求冽的所有取值.

第4页，共19页

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：因为vf.1.1-2},

所以C,',\1.1.1,

又因为集合M-{04,2,3）,

故\!C?,VI,?.1；，rr2I："

故选：（二

利用补集和交集的概念求出答案.

本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：…•事，I,“+2-”1,为纯虚数，

则解得°=-2.

故选：/.»,

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：样本数据12,8,32,10,24,22,12,33,按从小到大排序为8,10,12,12,22,24,32,

33,

由、.山\1>,得样本数据的第60百分位数为升序排列的第五个数，即2上

故选：「

根据给定条件，利用第60百分位数的定义求解即得.

本题主要考查百分位数的求解，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：定义域为。”■新弋2（丁）-,

-11-fr1

故该函数为偶函数，故可排除3、D,

当Tr时，有〃二句U：I）,故可排除J.

故选：，,

第5页，共19页

通过判断函数的奇偶性与有无零点，借助排除法即可得.

本题考查根据函数解析式确定函数图象，考查运算求解能力，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：由…得-「，或故/错误；

由，-，，，，，得，，与“相交或,，L故B错误；

由得…，或…h故C错误；

由…八，…/,得，，I,故。正确.

故选：〃

结合空间线面的位置关系及平行与垂直的判定与性质定理对各个选项分别进行判断即可.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题.

6.【答案】B

【解析】解：十一国庆期间，《749局》《志愿军：存亡之战》《浴火之路》《熊猫计划》引爆了电影市场,

张三和他的同学一行四人决定去看这四部电影，

张三要看《存亡之战》，

样本空间的样本点个数为11,1

在张三看《存亡之战》的情况下，恰有两人看同一部影片，分以下两种情况讨论：

〔，张三和其中一人同时看《存亡之战》，另外两人看剩余三部电影中的两部，

此时样本点个数为(1.、，概率为“

'6132

「，观看《存亡之战》的只有张三一人，只需将剩余三人分为两组，

再将这两组人分别看剩余三部电影中的两部，

IK(>

此时样本点个数为，7」.、，概率为

6132

综上所述，恰有两人看同一部影片的概率为'*♦””

323216

故选：B

先求样本空间中样本点的个数，结合条件分张三和其中一人同时看《存亡之战》，观看《存亡之战》的只

有张三一人两种情况利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

7.【答案】C

【解析】解：若函数/I"，"「的图像全部在x轴上方，

则任意rwR，均有」恒成立，

第6页，共19页

所以任意JL/?,均有“恒成立,

1

令"UI—二，r-R,

gr

、e-eX1一工

93=―—=，

〃」)<

令”『二1］得J1,

所以在IX.11上，/」I),U一单调递增,

在II.-〜上，一单调递减，

所以中」"i9lI।，

所以“1,

所以。的取值范围为VL

故选：「.

根据题意可得任意j三"，均有“J-j”恒成立，即任意了三/?,均有",恒成立，只需“

即可得出答案.

本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：不妨设双曲线的实轴为x轴，中心为原点，

根据题意，可得椭圆和双曲线在同一直角坐标系中的大致位置，如图.

.•尸网的垂直平分线经过点打，r.IPB=R，|=2c.

记椭圆长半轴长为,，2,双曲线实半轴长为"一，

由椭圆的定义得|PFi|十|P-」，，，/》「」,，2c；

由双曲线的定义得，/：PIL,/7」，

.-2(-2“_,.V-2“1,

第7页，共19页

由函数Ur•在山」I单调递减，可得，一

X白

£|202.,3、

2e22t|'2'

故选：B

由/,/的垂直平分线经过点/•，可得十月—氏/；=2,•，再利用椭圆和双曲线定义，可得到,“2«1；

故'：'*,-2I,利用对勾函数性质求出？的范围.

2*j2112，？

本题考查椭圆与双曲线性质的应用，属于中档题.

9.【答案】BD

【解析】解：因为把200根相同的钢管堆放成正三角形垛，所以正三角形垛从上到下每■层的钢管根数组

成首项为1,公差为1的等差数列，

所需钢管总根数为£,=1+2+3-…I)

令S,=解得“-1”，此时、:IMO,由此可得剩余钢管有10根，故/错误，8正确；

2

当’”时，'':'

故再增加10根钢管，则所有的钢管恰好可以堆放成正三角形垛、故C错误，。正确.

故选：BD.

根据等差数列的定义可得，1.2.5.•〃即可结合选项逐一求解.

2

本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题.

10.【答案】BCD

【解析】解：对于选项，，函数,的定义域为।\1」.、，函y"

数是奇函数,

当r“时，!

2x+2,O<r

作出函数小门的大致图象，如图所示.

结合图象可知函数在上单调递减,

函数小，，在［-1.山上单调递减,

不妨设I・r।,II,J：・1,

结合图象可得，U,II,此时2/……(I,

第8页，共19页

"I/l?:.II,ll选项错误;

*1-Xi

对于选项5,对「「，，-XI,

I1_______2

X|-1Jr,-111+g_•

~~2

=________3=量________,

（X|-I）（XJ—1）（X1+工？-2）

由叫-l>0,iTj-1>0,Z|+xj-2>0,（工|一埒’30，

可知j-f,一「-n,

22

从而"'’「….成立，“选项正确；

八2-9

对于选项C,结合图象，可得函数"「"与"，的图象共有4个交点，

，,选项正确；

对于选项。，当JI时，，I-1；

当工,？时，令一--1,解得」-3,

X-1

函数八，为奇函数，,1:;I,

要使得当.一，；.山时，Jr「的最大值为-1,

可得3-I；-I,即“,；「，"选项正确.

故选：BCD.

利用函数的图象与性质以及函数的单调性、图象的“凹凸”性，函数的值域，逐项判定,即可求解.

本题考查函数的图象的应用，分段函数的应用，函数的零点与方程根的关系，是中档题.

11.【答案】ACD

【解析】解：对于/,以2为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系，

第9页，共19页

则/12.11.I.,/ill2-,CHI.UI）,（；\1.2.0）,

所以//—2,1.2),C0-(1.--2.11M

因为“(2-I.I-2：,oIH所以/：7「，，，故/正确;

对于3,当点G与点2重合时，如图2所示，V.,,,,V,,

*I

当点G与点。重合时，如图3所示，

；,所以三棱锥」CE/一的体积不是定值,故5错误;

对于C,当G为8C中点时，平面所G截正方体所得的截面为正六边形EK7田G/,如图4所示,

其中H,J,K为相应边的中点，则正六边形EKFHGJ的边长为2、2，

所以该截面的面积为6..壮1人J，故存在点G,符合题意，故C正确;

对于。，当G为/。的中点时，如图5所示，

第10页，共19页

由题意知/'L"平面】二（；，

因为I,/1（；八7/（；八一＞，所以由余弦定理的推论得:

所以、In/1(.

FG2^210^2r~

设…I/7；的外接圆半径为心则J'„；1/J/；'：/~;J，所以,

73

设三棱锥//（；的外接球半径为七则,1

299

所以三棱锥I-的外接球的表面积为I-”「’「，故。正确.

故选：

对于/,以5为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明/1」■（；；对于3,当点G与点3重

合时，求出「，，,,，,•V；i,,；・：・；.；.1；,当点G与点。重合时，求出

I；,I,M,：,-'-1.2-2:,从而得到三棱锥.13/U的体积不是定值；对于C,当G为

323

2。中点时，平面EFG截正方体所得的截面为正六边形EKFZ7GJ,由此推导出存在点G,使得平面斯G截

正方体所得的截面面积为1入J;对于。，当G为/。的中点时，尸I3平面1I利用余弦定理、三角

形外接圆、三棱锥外接球能求出结果.

本题考查正方体的结构特征、截面面积、余弦定理、三角形外接圆、三棱锥外接球等基础知识，考查空间

想象能力、运算求解能力、化归与转化的思想，落实直观想象、数学运算核心素养，是中档题.

12.【答案】八"—答案不唯一

3

【解析】解：设…：，，则”，、，，

故」」的一个解析式为答案不唯一

故答案为：/in=答案不唯一

由已知函数的导函数结合基本初等函数的求导公式得答案.

本题考查基本初等函数的导函数，是基础题.

13.【答案】I2sinW.

第11页，共19页

【解析】解：由题意，了3-in”H,

则请在石上的投影向量为”.

Ib

弋工+2。•v。+COB*9■(

\shr0+ooei?e

K2y/2X(---)T■-21■(2td口仇一2cos©)

故答案为：I2..-H\.

根据投影向量的定义即可求解.

本题考查投影向量的概念，考查数量积的坐标运算，属基础题.

14.【答案】I*上,

3

【解析】解：由八，几是椭圆/..「♦'/I的左、右焦点，可得

62

居(-2,01,

设八I-O.i/-III,满足'+"=|①，

(i2

当V"\<1时，可得：匕JJ-2I+/=0②，

①②联立，可得“一；—I,

所以当［是锐角时，“：v：i，

再由「-I,得到“，?开方得第一象限曲线解析式为“=

(>23V*3

求导可得：』=\>'」，当,「、，时，」',，即此点处的切线斜率为一5’；

-3\333

结合图象可知：圆£在河点处的切线的斜率的取值范围是।x

'3'

故答案为：Ix._''|

i3

根据题意，先求出当A/"Ml时，点m的坐标，从而可得当.月、/a是锐角时，点M横坐标的范围,

再利用导数的知识求出11"时在点M处切线的斜率，数形结合即可得解.

本题主要考查直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题.

15.【答案】证明：(11，2ba»A^b,

由正弦定理可得，H11C2HU.17."；,

.1+4+(,

第12页，共19页

.sinlA•HI-bin(，

*III2、in/TcosA・血4€0^8+“4.1sin/6-2sin.1>inIf,

.MU.1lh-If,

A6C为锐角三角形,

.1匚“：l,/?E川，

22

71,在।,J上单调递增,

.14=4，即.1一28；

口解：；.1_2〃，

在中，/ABC=Z.BA

AOAB2

由正弦定理可得,

sinHsin(ir-2B)mn2/?

S-ABD>xADxwinB—・>inHlan〃，

COB£>

」/〃'为锐角三角形,

0<£i<—

2

\U’2”,解得,〃,‘，

2(>I

0<jr-3D<-

2

c■瓜x

tan11l.1•,

•9

.•.A4B0面积的取值范围为J；IL

【解析】I根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变换，即可求证；

根据已知条件，结合正弦定理，推得m>[,再结合三角形的面积公式，以及角3的取值

范围，即可求解.

本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题.

16.【答案】解：I-证明：因为/>」平面A8C£>,AD,\1'平面48cD,

可知rPA1CD，

在RtZiP.40中，E为尸。的中点，则Pl\PD,

・>

第13页，共19页

因为£▲=«?，所以EC=E。一PE，则./(二—”/£，.DCELCDE^

在APCD中,ZPCE+CPI>Z.DCE+ZCDE180°>

即.''I1H!1MI,

所以.”。'iif,即'<I),

又因为ri/¥•r，。八，二平面NCP二平面NCP,

所以，i)平面

2由题意可知：。八，平面/BCD,

所以是斜线网在平面48CD上的射影，即八〃」为PB和平面48CD所成的角,

P4

在即，，」〃中，UliZPAB=-2,所以/＞」2＞

又因为I”\1),故N5,AD,/尸两两垂直，

以/为坐标原点，以AD,/P所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

可得HI.2.|n.l.J,ih,i'1)_II.；,2i，＜7)।1,2.II,

设平面NCE的法向量为了=I./；,i/i.：iI，

则则|就三=。,即I"；.，

|访1P讥.1广=。I，-2幼=0

可取广⑵1.2i；

设平面尸CD的法向量为了I;.(，一，

可取12.I.2i；

从而可知|coe»

Mil•阿|"+1

所以平面ACE和平面PCD的夹角的余弦值为‘

第14页，共19页

【解析】III分别证明，I」•“，再根据线面垂直的判定定理即可得证;

「，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求两个平面的夹角.

本题考查线面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题.

17.【答案】解：口设直线尸。与x轴交于山,

由几何性质易得：与相似,

所以制:;

即：'•22,解得：〃=1.

所以抛物线E的标准方程为：y3

I由题意，TA中点M在抛物线£上，即I'.*'''।2，

**

♦

又析—2」.，将./—1代入得：八-2O山力♦I」।-iv*IH

同理：-如也+I」％-元=0,

有I就+的:2*此时0点纵坐标为!=

I1/1胱=5-M）2

所以直线7Z）的斜率为0；

I⑴因为工，J二「，/'5二,J_?小门力广;

2—i一।一丁

所以点"I配,一

此时、:/C川一1^1,

\TD\—|—%—--hl=31M—2"'回—同=（Wi+㈤一川的=,8（端—2-to）.

所以S■当?•J（磋-H尸）

又因为点T在圆。上，有因力+2尸+忌3,即垢-LTD-1,代入上式可得:

c3^2「9IZTJ3v^2h~~"e.2q

、.]y•I〉。11\'•「"+3，4、，

由-2-\二：＜•，-/11*-2-\3.

第15页，共19页

所以，，」时，S取到最大值八\74

2

所以S的最大值为卜

【解析】设直线PQ与X轴交于/力由几何性质易得：（P-（l\C（＞\,带入数据即可求

解〃的值，从而求出抛物线的方程；

⑵设/：Jii.9ib.Il.1|/!）,，

,中，由于"中点M在抛物线E上，得（号处）2=2.四产，将川小姐），伙」二,%I,代入联立得。

点纵坐标为","如，即可解决；

*9~

由得点a蜕卢,加），s*.版_al.苧.‘（睛_2r“户，又点7在圆C上，得

疝—i,:,可得：S=./-（工明+3）'+瞰即可解决•

本题考查了抛物线的方程、直线与抛物线的综合问题，考查了圆锥曲线中的最值求解，属于中档题.

18.【答案】解：1由题知，抽到一级口罩的频率为i--2711,

故。⑹8x0.25x0.751.5；

」按分层抽样抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为"Hl；.In|..|||.；,.in.s（i,

（0.02+0.006）x10x8=2,

故，/可能的取值为0,1,2,

5

*m-fn℃15。、CiC?_3

f,的分布列为：

F>012

515J

P

U28诋

5■15c33

£(加=0x—+1x—>+2x—=—.

〃1428284

由设甲乙抢购成功的订单总数量为匕由题知，y可能的取值为o,1,2,

T2cxM--2COB-2x<XJ»-

PiY-0)=(1--,："：!-------I=1-二+-----———1，

Mnn7nn3

Kit

2con-—2CO8-力2<x)«-4雷CO8.

P(Y1)-三“I-----u二t-----«-----

n*nn*nnn**

2XCOK—

P\Y2：i—

第16页，共19页

2OM-2ircw-200H.4ircx»-

E(Y)=0x(”二V———fl+——a)-FlX£T+——-------—S)+2x—=三1r

n2nMri'rtrnn3n1

因为、”Y,所以/,\\「，-'

n2nnn

令，',111.।.设hri2…-f，-，，则/।.\iff,

ny

因为/‘IfI:-2二、I“;，-vin-,r।,

2

所以当.，•；“'时，fih当f・J1时，fifi-u,

662

所以：,在HL上单调递增，在JJ上单调递减，

6ti2

故当f—1,即”5时，/，取最大值，

所以\:;♦一,所以/「\，取最大值时，正整数I，(>

utex66

【解析】1由题知，抽到一级口罩的频率为且；不、「一1,根据二项分布的方差公式，计算即

可；

」「根据题意可知，9可能的取值为0,1,2,计算对应概率，写出分布列和期望即可；

口|设甲乙抢购成功的订单总数量为匕由题知，y可能的取值为0,I,2,计算对应概率，求出/，｝I,结

合X求出/」、，，最后利用利用导数，找出最大值，求解即可.

本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题.

19.【答案】解：1①因为」1「」，所以该数列不是M数列，

②因为|1-2•|2-、-N-11,所以该数列是M数列.

证明：iL先证必要性：

若数列是等差数列，设公差为力

则儿，—〃「-.।—/,

所以数列4」是常数列，

再证充分性：

若数列;卜是常数列，

则除一以*1(”；*1