2024-2025学年黑龙江省八年级（上）期末数学试卷（含答案）

2024.2025学年黑龙江省八年级（上）期末数学试卷

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（)

A.3,5,9B.4,6,12C.2,2,4D.5,6,8

2.（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一.鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，这一主

题在剪纸艺术中很受喜爱.以下关于鱼的剪纸图案中，是轴对称图形的是（）

A.

3.（3分）如图，在△N8C中，ZC=90°,8。是△/8C的角平分线.若CD=3cm,则点。到45的距

C.4cmD.5cm

4.（3分）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石

墨烯每两个相邻碳原子间的键长d=0.0000000142c%,将0.0000000142用科学记数法表示为（）

A.1.42X10-6B.1.42X10-7C.1.42X10-8D.1.42X10-9

5.（3分）等腰三角形的底角等于50°,则这个等腰三角形顶角的度数是（）

A.50°B.65°C.80°D.100°

6.（3分）下列计算结果正确的是（)

A.Q*Q2=6Z3B.（Q2）3=Q5C.~d~~CV^D.Q2+q3=q5

7.（3分）如果一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

11

8.（3分）定义一种新运算%（〃W0且a+6W0）.若2=三，则c的值为（）

az4-ab2

A.-2B.-1C.0D.1

1

9.（3分）计算（-2）2025X@2024的结果为（）

1

A.2B.--C.1D.-2

10.（3分）如图，在长方形4BCD中，连接/C,以点/为圆心，适当长为半径作弧，分别交48,/C于

1

点E,F,分别以点£和点厂为圆心，大于万石尸的长为半径作弧，两弧在/8/C内部交于点G,作射线

NG交8C于点若//CD=2a,则的度数为（）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

3

11.（3分）分式一；■有意义，x满足的条件为

x—1----------------

12.（3分）将一副三角尺按如图的方式拼摆，N3ED的度数为

13.（3分）把多项式3办2-3即2分解因式的结果是.

14.（3分）在△/5C中，NA4c=110°,的垂直平分线交2C于点。，/C的垂直平分线交8C于点

E,ZDAE的度数为.

A

BD\7EC

15.(3分)在等边△/8C中，点。在8c的延长线上，BC=6,。=2,点£在直线NC上，连接N。，

BE.当2E=4D时，/£的长为.

16.(3分)如图，一动点从(1,0)出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后

的路径与长方形的边所夹锐角为45°,第1次碰到长方形边上的点的坐标为(0,1),则第2025次碰

17.(8分)计算：

(1)x(3x-1)；

(2)(12a3-6a~+3a)+3a.

3%2—1

18.(8分)先化简，再求值.(1——TG)+—的值，其中x=2.

19.(8分)如图，在平面直角坐标系中，ZX/BC的顶点坐标分别是/(-2,2),5(-4,1),C(-1,-

1).

(1)将△48C向左平移3个单位长度，得到△4SQ,画出△小SG(其中点小，Bi，G分别是点

A,B,C的对应点)；

(2)将A/BC沿着y轴翻折，得到△/282C2，画出△A82C2(其中点42，B2,C2分别是点/，B,C

的对应点)；

(3)在x轴上找一点。，使得△CDAg△ABC,则点。的坐标为.

yjk

20.（8分）第九届亚冬会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对

可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”.某商场销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品.若用1500元购买“滨

滨”纪念品的数量比用1800元购买“妮妮”纪念品的数量多5个，且一个“妮妮”纪念品的价格是一

个“滨滨”纪念品价格的1.5倍.求“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是多少元.

“滨滨”“妮妮”

21.（8分）阅读下列材料：

1112223

关于X的分式方程X+—=C+—的解是X1=C,x--;x+-=C+—的解是X1=C,X9=-；x+--c+

XC2CXCCX

33

一的解是X1=C,X2=—•

cc

请观察上述方程与解的特征，解决下列问题：

mm

（1）直接写出关于X的方程x+^=c+W（加W0）的解为；

11

（2）直接写出关于x的方程x+—7=2025方工的解为

x—12024-----------------------------------

22.（8分）如图，点B,E,C,方在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF.

（1）如图（1）,求证：/A=/D；

（2）如图（2）,//=70°,ZB=40°,FG平分NDFE交AC于点、G,求/CG尸的度数.

（1）（2）

23.（8分）数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片.甲种纸片是边长为。的正方形，乙

种纸片是边长为6的正方形，丙种纸片是长为6、宽为。的长方形.

【观察发现】

用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形.观察图（2）的面积关系,

写出正确的等式：.

【操作探究】

若要拼出一个面积为（a+6）（a+26）的长方形，则需要甲种纸片张，乙种纸片张，

丙种纸片张.（所拼图形不重叠无缝隙）

【拓展延伸】

两个正方形43。、/EFG如图（3）摆放，边长分别为x,y,连接CE,DF.若/+廿=52,DG=2,

求图中阴影部分的面积.

H

(1)⑵

24.（8分）如图，在△/BC中，/4CB=9Q°,AC=BC,直线血W经过点C,ADLMN于点、D,BELMN

于点E.

（1）如图（1）,当/、3两点在直线血W的同侧时，请直接写出线段AD、3E和DE的数量关系

为;

（2）如图（2）,当/、2两点在直线的两侧时，请写出线段40、和的数量关系，并说明

理由;

(3)如图(3),在(2)的条件下，点K在的延长线上，连接/K,使//K3=135°,连接CK,

AE.若△8CK的面积为16,△/££)的面积为6,求EK的长.

25.(8分)如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点/在y轴的正半轴上，点8在第二象限，△

/。2为等边三角形，点2的横坐标为-4,过点8作8。，/3交y轴于点C.

(1)如图(1),求线段的长；

(2)如图(2),点尸为x轴正半轴上一点，点。在2c上，连接4P,/Q,使/尸/0=60°,设点尸

的横坐标为/(0<t<8),线段C。的长为〃，用含/的式子表示“；

(3)如图(3),在(2)的条件下，连接。。，当NQ+OQ取最小值时，在平面直角坐标系中取一点

连接。尸，DQ,使DP=DQ,S.ZPDQ=3ZBAQ,请直接写出此时f的值及点。的坐标.

⑴⑵⑶

2024-2025学年黑龙江省八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

题号12345678910

答案DABCCABBDD

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（）

A.3,5,9B.4,6,12C.2,2,4D.5,6,8

【解答】解：A.V3+3<9,

不能组成三角形，故此选项不符合题意；

B.V4+6<10,

不能组成三角形，故此选项不合题意；

C.：2+2=4,

不能组成三角形，故此选项不合题意；

D.V5+6>8,

能组成三角形，故此选项符合题意.

故选：D.

2.（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一.鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，这一主

【解答】解：/是轴对称图形，B,C,。不是轴对称图形，

故选：A.

3.（3分）如图，在△NBC中，NC=90°,AD是△/3C的角平分线.若CD=3cm,则点。到48的距

C.4cmD.5cm

【解答】解：如图，过点。作。于点E,

VZC=90°，

：.DCLBC,

,.・8。是△45C的角平分线，CD=3cm,

DE—DC—?>cm，

即点。到N8的距离为3cm,

4.（3分）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石

墨烯每两个相邻碳原子间的键长d=0.0000000142c%,将0.0000000142用科学记数法表示为（）

-6-8-9

A.1.42X10B.1.42X10-7C.1.42X10D.1.42X10

【解答】解：0.0000000142=1.42X10-8.

故选：C.

5.（3分）等腰三角形的底角等于50°,则这个等腰三角形顶角的度数是（）

A.50°B.65°C.80°D.100°

【解答】解：：等腰三角形的底角等于50°,

，180°-50°-50°=80°,

等腰三角形的顶角为80°,

故选：C.

6.（3分）下列计算结果正确的是（）

A.a*a2=a3B.（a2）3=tz5C.a3^a=aiD.a2+a3=a5

【解答】解：A.a-a2=a3,故此选项符合题意；

B、（a2）3=a6,故此选项不符合题意；

C、a3-i-a=a2,故此选项不符合题意；

D、层与03不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；

故选：A.

7.（3分）如果一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【解答】解：•••多边形的内角和等于它的外角和，多边形的外角和是360。，

•••内角和是360°,

•••这个多边形是四边形.

故选：B.

11

8.（3分）定义一种新运算a区6=2,.QW0且。+6#0）.若2集。=7；,则c的值为（）

+ab2

A.-2B.-1C.0D.1

11

【解答】解：由题意可得了工元=万，

解得：C=-1,

经检验，C=-1是分式方程的解，

故选：B.

1

9.（3分）计算（—2）2°25*5）2。24的结果为（）

1

A.2B.--C.1D.-2

1

【解答】解：原式=（-2）X（-2）2024X（-）2024

1

=-2X（-2X-）2024

=-2X1

--2.

故选：D.

10.（3分）如图，在长方形N5CD中，连接/C,以点/为圆心，适当长为半径作弧，分别交48,/C于

1

点、E,F,分别以点E和点尸为圆心，大于/F的长为半径作弧，两弧在NA4C内部交于点G,作射线

则N4砂的度数为（

C.45°+aD.90°-a

【解答】解：由作法得47/平分NA4C,

・・・/BAH=/CAH,

・・,四边形48CQ为矩形,

・・・N5=90°,AB//CD,

/BAC=NACD=2a.,

：./BAH=CL,

：・NABH=90°-a.

故选：D.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

3

11.（3分）分式一；有意义，x满足的条件为xWl.

x—1

【解答】解：由分式有意义的条件可知：X-1^0,

•WL

故答案为：xWl.

12.（3分）将一副三角尺按如图的方式拼摆，N3ED的度数为75°.

【解答】解：•••图中是一副直角三角板,

:./DAB=30°,/ABE=45°,

:.NDAB+/4BE=30°+45°=75°,

故答案为：75。.

13.(3分)把多项式3ax2-3ay2分解因式的结果是3a(x+y)(x-y).

【解答】解：3"2-3即2

=3a(x2-y2)

=3a(x+y)(x-y),

故答案为：3a(x+y)(x-y).

14.(3分)在△48C中，ZBAC=UO°,N8的垂直平分线交8C于点D,/C的垂直平分线交2c于点

E,ZDAE的度数为40°.

BD\/EC

【解答】解：•.•/A4C=110°,

AZB+ZC=180°-NBAC=70°,

,:AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,

:.DA=DB,EA=EC,

:.NDAB=/B,ZEAC=ZC,

；.NDAB+NEAC=NB+NC=70°,

AZDAE=ABAC-(ZDAB+ZEAC)=110°-70°=40°,

故答案为：40°.

15.(3分)在等边△NBC中，点。在8C的延长线上，BC=6,CD=2,点£在直线NC上，连接49,

BE.当2E=4D时，4E的长为8或2.

【解答】解：在等边△48C中，AC=BC=6,

分别过点4,2作/尸，3C,BGLAC,垂足分别为尸，G,

：.BF=CF=AG=CG=3,

：.AF=BG=4CG=3B

,:CD=2,

:.FD=CF+CD=5,

：.BE=AD=^AF2+FD2=427+25=麻，

因为点E在直线NC上，分两种情况画图：

如图1,当点£在NC延长线上时,

在Rt^BGE中，根据勾股定理得：GE=NBE2-BG2=452-27=闻=5,

.•./E=/G+GE=3+5=8；

综上所述：NE的长为8或2.

故答案为：8或2.

16.（3分）如图，一动点从（1,0）出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后

的路径与长方形的边所夹锐角为45°,第1次碰到长方形边上的点的坐标为（0,1）,则第2025次碰

到长方形边上的点的坐标为（7,0）.

4

3

2r

L

2345678%

【解答】解：根据题意，如图示:

4冰—r-刁।------1

3

?—r

2,..

J___L

0123456782

通过图片观察可知，每碰撞6次回到始点.

；2025+6=337…3,

.•.第2018次碰到长方形边上的点的坐标与第三次相同，即坐标为(7,0).

故答案为：(7,0).

三、解答题(本大题共9小题，共72分)

17.(8分)计算：

(1)x(3x-1)；

(2)(12-3-6(2+3〃)

【解答】解：(1)x(3x7)

=x*3x-x*l

=3x*12-x；

(2)(12病-6Q2+3Q)+3Q

=12滔4-3。-6Q24-3Q+3Q4-3Q

=4a2-2a+1.

3x2—1

18.(8分)先化简，再求值.(1一「7)+丁7的值，其中x=2.

%+2%+2

x+2—3尢+2

【解答】解:%+2*(%+l)(x-1)

%+1

当x=2时，原式=§.

19.(8分)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是Z(-2,2),5(-4,1),C(-1,

1).

(1)将△48C向左平移3个单位长度，得到△为与。1，画出△小从。(其中点小，Bi，Q分别是点

A,B,C的对应点)；

(2)将△N8C沿着y轴翻折，得到△，2当。2，画出△，2%。2(其中点的，B2,C2分别是点4B,C

的对应点)；

(3)在x轴上找一点。，使得△CDAg△ABC,则点。的坐标为(1,0).

【解答】解：(1)如图，△481Q即为所求;

(2)如图，△血&。2即为所求；

故答案为：(1,0).

20.(8分)第九届亚冬会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对

可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”.某商场销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品.若用1500元购买“滨

滨”纪念品的数量比用1800元购买“妮妮”纪念品的数量多5个，且一个“妮妮”纪念品的价格是一

个“滨滨”纪念品价格的1.5倍.求“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是多少元.

浜浜“妮妮”

【解答】解：设“滨滨”纪念品的单价是X元，则“妮妮”纪念品的单价是1.5X元,

15001800

由题意得：丁一宙=5,

解得：％=60,

经检验，％=60是原方程的解，且符合题意,

・・・1.5x=1.5X60=90,

答:“滨滨”纪念品的单价是60元，“妮妮”纪念品的单价是90元.

21.（8分）阅读下列材料：

1112223

关于的分式方程%+—=。+—的解是，一；％+—=+一的解是，一；x+-=c+

XXCX1=C12=CXCC11=C%2=CX

33

一的解是X1=c,一.

C%2=C

请观察上述方程与解的特征，解决下列问题：

mmm

（）直接写出关于的方程（加）的解为乃=。，士=不；

1xx+7X=c+7c#0——C

112025

（2）直接写出关于x的方程x+—7=20259工7的解为整=2025,如=不可.

x—12024--------------------2024——

mm

【解答】解（1）由题干中的方程及它们的解即可得关于X的方程x+爰=c+1（加=0）的解为修=

m

m

故答案为：Xi=C,X2=~；

11

（2）已知关于x的方程x+~=2025,

x—12024

11

变形得x-1+--=2024+TTT-,

x—12024

1

贝Ijx-1=2024或1

ZUZ41

2025

解得：修=2025，%2=.co/，

NUN4

2025

故答案为：xi=2025,X2=.

ZUZ4,

22.(8分)如图，点5,E,C,方在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF.

(1)如图(1),求证：NA=/D；

(2)如图(2),N4=70°，N5=40°，FG平分/DFE交AC于点G,求NCG厂的度数.

(1)(2)

【解答】(1)证明：I3E=CF,

:・BE+EC=CF+EC,

即BC=EF,

在△45。和△DE尸中,

(BC=EF

AB=DE,

AC=DF

•・•△ABD义ADEF(SSS),

・•・ZA=ZD；

(2)解：在△/BC中，ZA=70°,N5=40°,

・・・N/C5=180°-(N/+N5)=70°,

由(1)可知：AABD名ADEF,

:・NACB=/DFE=70°,

••,/^平分/0在交力^:于点G,

1

ACFG=~ZDFE=35°,

又・・・ZACB是△CFG的一个外角,

：./ACB=/CFG+ZCGF,

：.70°=35°+ZCGF,

：.ZCGF=35°.

23.（8分）数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片.甲种纸片是边长为。的正方形，乙

种纸片是边长为6的正方形，丙种纸片是长为方、宽为。的长方形.

【观察发现】

用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形.观察图（2）的面积关系,

写出正确的等式：。2+2。6+庐=（。+6）2.

【操作探究】

若要拼出一个面积为（a+b）（。+26）的长方形，则需要甲种纸片1张,乙种纸片2张,丙种

纸片3张.（所拼图形不重叠无缝隙）

【拓展延伸】

两个正方形48cD、/斯G如图（3）摆放，边长分别为x,连接CE,DF.若/+廿=52,DG=2,

求图中阴影部分的面积.

乙

回_____

ab

（1）⑵

【解答】解：【观察发现】

观察图形可知：图（2）的面积为：a2+b2+2ab,还可以表示为：（a+6）2

.•♦正确的等式为:a1+2ab+b2=（a+b）2,

故答案为：a~+2ab+b~=（a+b）2；

【操作探究】

（。+6）（a+2b）

=a2+2ab+ab+2b2

=a2+3ab+2b2,

需要甲种纸片1张，乙种纸片2张，丙种纸片3张,

故答案为：1,2,3；

【拓展延伸】

•；DG=AD-AG=2,AD=x,AG=y,

•»x-y^2,

(x-y)2=4,

x2+y2-2xy=4,

52-2,xy—~4r

2盯=48,

xy~24,

(x+y)2—x2+y2+2xy—52+48=100,

；.田^=10或-10(不合题意，舍去)，

阴影部分的面积

11

=x2—y2——x2y——x(x—y)

22121

=x—y—y——x+~xy

1

=(x+y)(x-y)-y--x(x-y)

1

=10X2—y——x-2

=10X2-y-x

=10X2-(x+y)

=20-10

=10.

24.(8分)如图，在△/2C中，N4CB=9Q°,AC=BC,直线血W经过点C,ADLMN于点,D,BELMN

于点E.

(1)如图(1),当/、2两点在直线MN的同侧时，请直接写出线段40、2E和DE的数量关系为AD

=4D+BE；

(2)如图(2),当N、8两点在直线的两侧时，请写出线段AD、BE和DE的数量关系，并说明

理由；

(3)如图(3),在(2)的条件下，点K在2E的延长线上，连接/K,使N4KB=135°,连接CK,

AE.若△3CK的面积为16,△/££＞的面积为6,求£K的长.

M'M

M、。

C

Ei

B

D

(2)(3)

【解答】解：(1)如图1,线段BE和。£的数量关系为：DE=AD+BE,理由如下:

图1

■:AD1MN,BE1MN,

：.ZADC=ZCEB=90°,

AZACD+ZCAD=90°,

VZACB=90°,

AZACD+ZBCE=90°,

；・NCAD=/BCE,

•：/CAD=NBCE,/ADC=/CEB,AC=BC,

•••△ACD名dCBE(AAS)f

：.AD=CE,CD=BE,

•：DE=CE+CD,

：.DE=AD+BE；

故答案为：DE=AD+BE；

(2)如图2,线段和。E的数量关系为：DE=BE-AD,理由如下:

VZADC=ZCEB=ZACB=90°,

AZCAD+ZACD=ZACD+ZBCE=90°,

:・/CAD=/BCE,

又•：AC=BC,NCEB=/ADC=90°,

:•△ACDQXCBE(AAS),

：.AD=CE,BE=CD,

：.DE=CD-CE=BE-AD；

(3)如图3,过点K作KQL4D于0,

■:ADLMN,BELMN,

：.AD//BE,即4D〃5K,

:.NAKB+/KAD=180°,

VZAKB=U5°,

：.ZKAQ=45°,

VZAQK=90°,

•••△40K是等腰直角三角形，

・"O=K0,

设40=x,Q