2024-2025学年湖南省新邵县高一年级上册第一次联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年湖南省新邵县高一上学期第一次联考数学检测试题

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.）

1.已知集合/=集合N={T0,1,2},则》

A{-1,0,1}B.{0,1,2）

C.1x|-l<x<21D.|x|-l<x<2}

2已知命题p：DxwR,〉1,命题q:Hx>0,/=%，贝ij（）

A.2是真命题，q是假命题B.2是假命题，乡是真命题

C.P和都是真命题D.夕和都是假命题

3.使一<9成立的一个充分不必要条件的是（）

A.x<3B.0<x<3C.-3WxW3D.x>0

4.下列命题为真命题的是（）

A.若a>6,贝!JB.若贝!

什皿11,,,八e6+1b

C.右a>b,则一<一D.右。〉b>0,则---->一

aba+ia

5.设集合M,N,P均为R的非空真子集，且MUN=R,McN=P,则Mc（0P）=

（）

A.MB.NC.D.”

6.已知集合A满足{1,2}。/{1,2,3,4,5},且3e/,则满足条件的集合A有（）

A.2个B.4个C.8个D.16个

7.已知正实数满足。+6=3°6,则a+46的最小值为（）

8

A.9B.8C.3D.-

3

1〃1

8,已知集合5=〈1％=加+—€Z>,P-\xx=—+一,neZ\,

'12J[312

k1

Q—<xx————^keZ>,则S,P,0之间的关系是（）

A.S^P^QB.S^P=Q

C.S=P^QD.P=Q=S

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.已知不等式办2+bx+c<0的解集为{x|xVT或x23},则下列结论正确的是（）

A.a>0

B.a+b+c>0

C.4a-2b+c<0

D.ex2-bx-\-a<0的解集为<xxV或x>1>

10.已知Q〉0,b>0,且。+26=2,则下列说法正确的是（）

2

C./+〃的最小值为1D.&+J苏<2

11.对任意A,B项R,记={x|xeZeB},并称为集合A,8的对

称差.例如：若/={1,2,3},5={2,3,4},则4\6={1,4}.下列命题为真命题的是（）

A.若/={x|x>0},5={x|x<2},则AAB={x|x>2^x<0}

B.若ZuR,且/△{l,2,3}qZ,则NQ{1,2,3}

C.若A,BjR,则/△翩=R（AAB）

D.若A,B,CcR,贝=

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.已知集合/={4,一2加},5={4,加2},且N=5,则加的值为.

13.若命题：“VxeR,不等式Y+（a—2）x+；>0成立”为假命题，则实数。的取值范围是

14.设集合/={x|O<xK0}，5={X||X2-^|<2},若ZU8=3,则实数°的取值范围

是.

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.已知集合尸={x|a+lWxV2a+1},Q={x]-2<x<5},其中实数a>0.

(1)若a=3,求集合(<P)nQ；

(2)若？。。=0,求实数a的取值范围.

16.已知集合/={1,2}和非空集合8={H/—2ax+a=0},C=1x|x2-wx+3>O1.

(1)若命题都有xe4"为真命题，求实数a的取值；

(2)若“xeC”是“xe/”的必要条件，求实数加的取值范围.

17.如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为C,有两条与圆形景观相切

且互相垂直的道路.最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建

议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿

化地中增建一条与圆。相切的小道N5.设点A到道路2的距离为a米，点B到道路1的距离

为力米.

道路21一_、

O\A道路1

(1)当a=8,求6的值；

(2)求V/05面积的最大值，并求此时a,6的值.

18.已知函数y=ax2-(a+l)x+l,<7eR.

(1)若a=2,当x>l时，求—2x+10的最小值;

x-1

(2)求关于x的不等式a/一(a+i)x+l>0(a>0)的解集；

(3)当a<0时，已知/=卜|一2<xV-1},5={x[y+a>0},若/口5,求a的取值范

围.

19.已知二次函数ynaV+bx+l,对X/xeR,都有＞之0,且当x=—2时，j=0.

(1)求a,b的值；

(2)存在feR,对任意xe{x|/Wx＜加+4，都有yKxT+1,求正实数加的最大值;

(3)若％=。见2+笈,+1«=1,2),是否存在正整数西＜》2,使得秘匚为正整数？

%一必

2024-2025学年湖南省新邵县高一上学期第一次联考数学检测试题

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.）

1.已知集合/=集合N={T0,1,2},则》

A.{-1,0,1}B.{0,1,2）

C.{x|-l<x<21D.{x|-l<x<2}

【正确答案】A

【分析】利用交集的定义直接求解即可.

【详解】因为M={H—2<X<2},JV={-l,0,l,2},

所以McN={—1,0,1},故A正确.

故选：A

2.已知命题p：Vx£R,〉1,命题^:改>0,x3=x则（）

A.2是真命题，9是假命题B.2是假命题，9是真命题

C.）和^都是真命题D.P和乡都是假命题

【正确答案】B

【分析】举出反例得到夕为假命题，举出实例得到^为真命题.

【详解】对于命题夕：当x=o时，k+i|=i,故夕为假命题；

对于命题q：当x=i时，x3=1=%>故q为真命题.

故选：B.

3.使/<9成立的一个充分不必要条件的是（）

A.x<3B.0<x<3C.-3WxW3D.x>0

【正确答案】B

【分析】首先解不等式/<9得到-3<x<3,根据题意找到{#3<x<3}的一个真子集即

可.

【详解】由/<9得—3<x<3,

对于A,因为｛43<x<3｝是｛#<3｝的真子集，所以x<3是—3<x<3的必要不充分条

件，故A错误；

对于B,因为｛x|0<x<3｝是｛N—3<x<3｝的真子集，所以0<x<3是—3<x<3的充分不

必要条件，故B正确；

对于C,因为｛巾3<》<3｝是｛H—3WXV3｝的真子集，所以-3Wx《3是—3<x<3的必要

不充分条件，故C错误；

对于D,因为｛可-3<x<3｝与｛巾〉0｝不是包含关系，所以x>0是—3<x<3的既不充分

也不必要条件，故D错误.

故选：B.

4.下列命题为真命题的是()

A.若,则/B.若贝

C.若则工〈工D.若Q〉b〉O,则^

ab。+1a

【正确答案】D

【分析】对A,B,C举反例说明，对D,作差法求解判断.

【详解】若。>6,取。=0,b=-\,则/</,故A错误；

若a>b,当。=0时，则故B错误；

若Q〉6,取。=1,b=—l,则故C错误；

ab

b+1b0+l)Q—(Q+l)ba-b八，

若a>b>0,贝！Jr=--------7-----：------=-----37〉°,故D正确.

Q+1a矶Q+1)矶Q+1)

故选：D.

5.设集合M,N,P均为R的非空真子集，且MUN=R,McN=P,则Mc(\P)=

A.MB.NC.QRMD.6RN

【正确答案】D

【分析】利用文氏图，表示集合的关系，求解

【详解】如图，中间的阴影和左边的空白是集合中间的阴影和右边的空白表示集合N,

如图，备尸表示两边空白区域，则表示集合河的空白区域，即表示为6&N

P

N

故选：D

6.已知集合A满足｛1,2｝7/｛1,2,3,4,5｝,且3e/，则满足条件的集合人有（）

A.2个B.4个C.8个D.16个

【正确答案】B

【分析】根据子集和真子集的概念求解即可.

【详解】由题意可知，集合A中一定包含元素1,2,一定不包含元素3,

且A是｛1,2,3,4,5）的真子集，所以/=｛1,2｝或｛1,2,4｝或｛1,2,5｝或｛1,2,4,5）,

即满足条件的集合A有4个.

故选：B.

7.已知正实数满足。+6=3他，则a+43的最小值为（）

8

A.9B.8C.3D.-

【正确答案】C

【分析】利用“1”的代换,结合基本不等式进行求解即可

【详解】由条件知4+工

=3,

ab

z+4b=；（a+4b）L小+*卜1+2居

当且仅当a=26=1时取等号.

故选：C

1〃1

8,已知集合5=〈工工=加+一GZ>,P=<xx=—+一.n€Z>,

12J[312

ki

Q=<xx=§—W#£Z>,则S,P,0之间的关系是（）

A.S^P^QB.S^P=Q

C.S=P^QD.PJQJS

【正确答案】B

【分析】先将集合结构化为一致，然后根据集合关系即可判断.

12m+l-4x3〃+l_

【详解】丁5==m+—.m€Z><xx=-----€Z><xx--------,nGZ>

121212

…一〃eZ

12

A-"〃eZ，

Q=\xx=---,keZ>=xX¥=

341212

:.S^P=Q

故选：B.

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.已知不等式a?+bx+cWO的解集为卜,<-1或x»3},则下列结论正确的是（）

A.a>0

B.a+b+c>0

C.4a-2b+c<0

D.cx2—bx+a<0的解集为<敢〉1〉

【正确答案】BC

【分析】根据题意，由条件可得a<0,b=—2a,c=-3a,即可判断ABC,将不等式化简

可得3f—2x-1<0,求解即可判断D.

a<0,

【详解】由不等式"2+bx+cVO的解集为1或X23},得<

-1x3=-,

所以6=-2。，c=—3a,故A错误；

a+6+c=—4Q>0,故B正确；

4。一26+。=5。<0,故C正确；

因为ex?-bx+a<o,所以一3ax2+2。1+。<0,

则3必一2%一1<0，解得一;<x<l,故解集为<x—；<x<1-，故D错误.

故选：BC.

10.已知a>0,b>0,且a+26=2,则下列说法正确的是（）

,111c

A.ab>—B.—+—>2

2a2b

2

c./+〃的最小值为《D.4a+41b<2

【正确答案】BD

【分析】根据基本不等式及其变形可判断A；利用常值代换可判断B；利用消元法可判断C；

根据重要不等式2ab<a2+b-得到a+b<,2（出+7）,代入即可判断D.

【详解】对于A,a.2b<（^^]=1，即的<,，

当且仅当a=26,即a=l,6=工时等号成立，故A错误;

2

因为:+:=]_/2bQ)

对于B,(a+2b)=-2+>2,

221a2bJ

当且仅当a=23,即。=1,6=工时等号成立，故B正确;

2

对于C,因为。+26=2,所以。=2-26,

2-26>0

因为a>0,b>0,所以〈，八，则0</?<1,

b>Q

2

44

所以/+b2=(2-2b^+b2=5b2-8b+4=5\b+一，

5

44

当6时，/+〃取最小值《，故c错误；

对于D,由2乃4/+/得（°+6）2<2（/+62）,即a+小［2（/+/）,

所以JZ+J为<J2(a+2b)=2

当且仅当JZ=叵，即a=l,6=（时等号成立，故D正确.

故选：BD.

11.对任意A,B项R,记22\3={》,€/。8,工£2门3},并称/为集合A,8的对

称差.例如：若/={1,2,3},3={2,3,4},则={1,4}.下列命题为真命题的是（）

A.若/={乂x>0},5={乂x<2},则AAB={x|x»2或X〈O}

B.若N=R,且/△{1,2,3}口/,则2={1,2,3}

C.若A,BjR,则2△翻=R（AAB）

D.若A,B,CcR,贝i］（NA8）4C=/4（84C）

【正确答案】ACD

【分析】A选项，求出根据定义得到A正确；B选项，举出反例；CD选项,

可利用韦恩图进行说明.

【详解】A选项，ZuB=R,/nB={x[0<x<2},故/△B={x|xN2或x<0},A正

确；

B选项，/△{1,2,3仁],不妨设/={1,2,3,4},

则43L2,3}={L2,3,4},4C0,2,3}={L2,3},故/《1,2,3}={4}口3,

但不满足幺口{1,2,3},B错误;

C选项，当且A与B不是包含关系时，如图1,

①为集合{x|xeZ且xe/c8},②为集合{x|xe5且xe/c8},

③为集合{x|xeZCB},④为集合{x|xe4（Zu8）},

表示集合①④的并集，表示集合①③④的并集，

为集合①，故/为集合③④的并集，

/为集合①②的并集，故％(NAB)为集合③④的并集，故24底8=R(NA8)；

当/C5=0时，如图2,①为集合{x|xe4(/u8)},6KB表示集合①和集合A的并集,

表示集合①和集合A的并集，为集合A,故/为集合①，

4△2为集合48的并集，故％(ZAB)为集合①，R(ZA8)；

如图3,当/口5时，表示集合①，4c8KB为集合0,

故为集合①和集合A的并集，

/为集合48的并集去掉48的交集，即集合②部分，

故％(NAB)为集合①和集合A的并集，故Z△雇3=R(ZA3)；

如图4,当时，②为{x|xe/且xe/cB},①为{x|xe'(ZuB)},

表示集合①和②的并集，=

表示集合②，故为集合①和集合3的并集，

/为集合48的并集去掉48的交集，即集合②部分，

故%(/AB)为集合①和集合8的并集，故N△底8=R(NAB).

综上，C正确；

D选项，画韦恩图，如下：

①为｛x|xeZ且xgZClB且xe/c。｝,

②为｛x|xe8且xgZClB且xeBcC｝,

③为｛x|xeZcB且xe/cBcC｝,④为｛x|xe4(/uBuC)｝,

⑤为｛X]X62门(7且工e/八5门0｝,⑥为｛x|xeNcBcC｝,

⑦为｛x|xeBcC且xeZcBc。｝,⑧为｛x|xeC且xgZPlC且xeBcC｝,

4AB表示集合①⑤②⑦的并集，故(/△B/C表示集合①②⑥⑧的并集，

BAC表示集合②③⑤⑧的并集，AA(BAC)表示集合①②⑥⑧的并集，

故(/ABbC=,

当43,C满足其他关系时，经检验，也满足(4△B)AC=/4BAC),故D正确.

故选：ACD.

方法点睛：当集合之间的关系较为复杂或解决容斥原理的题型时，常常使用韦恩图来进行求

解，其直观易懂，可减少思维量.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)

12.已知集合/={4,一2加},8={4,加2},且/=5，则加的值为.

【正确答案】0

【分析】根据集合相等，列出关于m的方程，结合集合元素的互异性，即可得答案.

【详解】因为N=5,所以加2=-2加，解得加=0或—2,

当m=-2时，m2=—2m=4>

而集合的元素具有互异性，故加2,所以〃7=0,

故0

13.若命题：“VxeR,不等式Y+(a—2)x+；>0成立”为假命题，则实数。的取值范围是

【正确答案】{a|a<l或a»3}

【分析】由题可知命题的否定为真命题，根据一元二次不等式在R上恒成立求解即可.

【详解】由题意得：3xeR,不等式必+(”2)x+；<0成立为真命题，

?1

所以△之0,即(a—2)，—4x^20,解得a<l或a23.

所以实数a的取值范围是{。|。<1或。》3}.

故{a|a<l或a之3}.

14.设集合/={x|O<xW0}，B=^\x--ax<2,若ZU8=3,则实数a的取值范围

是.

【正确答案】{«|0<a<2V2}

【分析】由ZU8=5可知因此当0<x〈血时，不等式N-办|42恒成立,分类

讨论并数形结合求解即可.

【详解】由ZU5=8知/

即当0<x«行时，不等式恒成立,

设y=卜2_蜀,

①当a<0时，”/一词的大致图象如图1所示，因为0<x<J5,

③当a>0时，y=,-。耳的大致图象如图2所示,

因为0<x<

所以爪=（码-ax42=42a-2<2,得2VL矛盾;

当孩〈血<a,即8〈a<20时，因为0<x〈近，所以

<272；

a<V2.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.己知集合尸={x[a+lWxV2a+1},Q=[x\-2<x<5],其中实数a>0.

（1）若a=3,求集合（二尸）PlQ；

（2）若PnQ=0,求实数。的取值范围.

【正确答案】(1)(\P)nO={x1—2Wx<4}

(2){a\a>4}.

【分析】（1）根据集合的交集和补集运算求解；

（2）根据集合的交集的定义及空集的概念求解.

【小问1详解】

当a=3时，集合尸={x|4WxW7},、尸={x|x<4或x>7},

又集合Q={引—2〈X〈5},所以（\P）n0={x|—2Wx<4}.

【小问2详解】

因为a>0,所以a+l<2a+l,则集合尸非空，

因为所以a+l>5或2a+l<-2,

....3一

解得。>4或—，又a〉0,所以。>4,

2

故实数a的取值范围是M。>4｝.

16.已知集合/=｛1,2｝和非空集合8=｛小2-2ax+a=0｝,C=1x|x2-/nx+3>01.

(1)若命题P:“Vxe5,都有xe4"为真命题，求实数a的取值；

(2)若“xeC”是“xe/”的必要条件，求实数加的取值范围.

'7'

【正确答案】(1)1(2)<mm<—\.

2

【分析】(1)由题意得到分台=｛1｝或｛2｝或｛1,2｝三种情况，得到方程，求出a=l；

(2)由题意得到从而得到不等式，求出加的取值范围.

【小问1详解】

由命题P:“VxeB,都有xe/,“为真命题知3口/,

因为集合3非空，所以佳=律或｛2｝或息2｝.

1—2a+a=0,

当3=｛1｝时，\,解得a=l；

(-2«)-4a=0,

4-4a+a=0,

当5={2}时，\2，无解；

i)[(-2a=-4a=0,

l-2a+a=0,

当5={1,2}时，＜4—4a+a=0,,无解.

(-2a)--4a〉0,

综上，实数。的取值是1.

【小问2详解】

因为“xeC”是“xe/”的必要条件，所以

l-m+3>0,

所以4CO八，

4-2m+3>0,

7

解得m<-.

2

[7、

故实数加的取值范围是〈加m<-\.

2

17.如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为C,有两条与圆形景观相切

且互相垂直的道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建

议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿

化地中增建一条与圆。相切的小道N5.设点A到道路2的距离为。米，点B到道路1的距离

为力米.

（1）当a=8,求6的值；

（2）求V/05面积的最大值，并求此时a,6的值.

【正确答案】（1）Z?=—

3

（2）最大值为300—200&平方米，a=b=2O—lO0米.

【分析】（1）根据题意分别设出切点坐标，利用切线长定理和勾股定理得到关系式

ab+200=20（a+b）,将a=8代入即可求出b的值；

（2）利用（1）中得到的关系式仍+200=20（a+»结合基本不等式求出仍的范围即可求

出面积的最大值以及此时a,b的值.

【小问1详解】

设圆C与道路1、道路2、直线42的切点分为E,F,连接CD,CE,CF,

由切线长定理可知BE=3/，AF=AD,则8£+4D=48,

由题知ODOE且OD=OE=10,OA=a,OB=b,

SP(10-tz)+(10-Z))=AMr+67-化简得a6+200=20(a+方).①

把a=8代入①，解得6="；

3

【小问2详解】

由题有0<。<10,0<6<10,

因为a+6所以ab+200=20(a+Z))240石3，

令1=痴(0<1<10),则户+200240/,解得0<Y20-10夜，

所以0<仍4600-400夜，

当且仅当a=6时等号成立，即/+200=40a，

解得a=6=20_10VI，止匕时0<a<10，0<Z?<10,

贝！1S/M\/CivJBD=-fit&<300-200V2，

所以V405的面积的最大值为300-200拒平方米，此时a=6=20-10夜米.

18.已知函数>=办2-(a+l)x+l,aeR.

(1)若a=2,当x>l时，求z=^—2x+l。的最小值;

x—1

(2)求关于x的不等式a/—(a+l)x+l>0(。>0)的解集；

(3)当a<0时，已知N=卜|一2<xW-1},B={x\y+a>0},若,求a的取值范

围.

【正确答案】(1)7(2)答案见解析

3八

(3)<a——<a<0>.

7

【分析】(1)变形后，利用基本不等式求出最小值；

(2)因式分解，得到y=(ax—l)(x—1),分工＞1,工＜1和4=1三种情况，得到不等式的

aaa

解集;

(3)>+a>0化为ox?—(。+1)》+1+。>0,根据/7台，转化为函数不等式恒成立问题,

结合二次函数的开口方向，得到不等式，求出答案.

【小问1详解】

当Q=2时，

y-2x+10_2X2-5X+11_2(x-l)2-(x-l)+8

x—1x—1x—1

Q

当且仅当2(n-1)=不工，即x=3时取等号,

故当X>1时，—2X+11的最小值为7.

x—1

【小问2详解】

由题知V-(Q+1)X+1=(QX—1)(X—1),

当工〉1,即0<〃<1时，解原不等式得或x<l,

aa

当!<1,即。>1时，解原不等式得x<1或x>l,

aa

当工=1,即。=1时，解原不等式得XW1.

a

综上，

当4>1时，原不等式解集为｛X|X<1或X>1｝;

a

当0<。<1时，原不等式解集为｛x|x<l或x〉L｝；

a

当4=1时，原不等式解集为｛HXW1｝.

【小问3详解】

不等式y+Q>0可化为ax?-(Q+1)X+1+Q〉0,

因为4=5,所以不等式ax?—(Q+1)X+1+Q〉0在—2<x«—1时恒成立,

4a+2(a+l)+l+a>0

,3

又。＜0,结合二次函数图象知，＜a+(a+l)+l+a>0，解得—<a<0.

7

a<0

故。的取值范围是--<o<0>.

7

19.已知二次函数yuaV+bx+l,对VxeR,都有＞之0,且当x=—2时，j=0.

(1)求a,b的值；

(2)存在/eR,对任意xe{x|/Wx＜加+1},都有＞＜x7+l,求正实数加的最大值;

(3)若％=ax；+bx,+l«=