2024-2025学年下学期高二数学第六章B卷

第六章B卷

选择题（共8小题）

1.小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖

葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（）

A.36种B.48种C.72种D.144种

2.若（ax+36的二项展开式中常数项为160,则实数a的值为（）

11

A.2B.-2C.-D.-4

22

3.在以“旅行丝绸路，研学在甘肃”为主题的甘肃研学旅行大会活动中，某学校有10名志愿者参加接待

工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，则第一天不同的排班种数为（）

A.Co艰短B.此。俏俏蜀

C比。吟篇g33

J人3^10^9

4.现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市

中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为（）

A.420B.660C.720D.1200

5.某电视台连续播放4个广告，现将2个环同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，

不同的播放方式有（）

A.10种B.20种C.30种D.60种

6.将98个不同的小球全部放入99个不同的盒子中，共有机种不同的方法，若加=100k+厂，其中依N,0

WrVlOO,贝r=()

A.99B.88C.12D.1

7.在二项式（正-分】。的展开式中，常数项为（）

A.180B.270C.360D.540

8.有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（）

A.24种B.48种C.72种D.144种

二.多选题（共4小题）

（多选）9.在（2代—5）6的展开式中，下列结论正确的是（）

A.二项式系数最大的项是第3项

B.所有的二项式系数和为26

C.系数最小的项是-192%2

D.所有奇数项的系数和为365

（多选）10.已知3名男生和2名女生参加两项不同的公益活动，下列说法正确的是（

A.活动前5人站成一排，甲在最左边，乙不在最右边，有18种不同的方法

B.5人依次进行自我介绍，甲和乙不相邻做介绍，有72种不同的方法

C.将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生，有24种不同的方法

D.活动后从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生，有9种不同的方法

（多选）11.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”

六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（）

A.从六门课程中选两门的不同选法共有20种

B.课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种

C.课程“礼”“书”排在相邻两天的不同排法共有240种

D.课程“乐”“射”“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种

（多选）12.关于（％—勺5的展开式的说法中正确的是（）

A.各项的系数之和为-1B.二项式系数的和为64

C.展开式中无常数项D.第4项的系数最大

三.填空题（共5小题）

13.（1+2久2）（久+白4的展开式中常数项为.（用数字作答）

14.若〃为一组从小到大排列的数1,2,4,6,9,10的第六十百分位数，则二项式（2乂+丧产的展开式

的常数项为.

15.已知（久5一*）（ax+5）5的展开式中各项系数的和是2,则展开式中X的系数为（用数字

作答）.

16.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨

辉三角”拓展而成的三角形数阵，记即为图中虚线上的数1,3,6,10,依次构成的数列的第〃项，则

1111

—+—+—+•••+—的值为.

ala2a3a100

1

11.

12V-

131

146.'141

15IO/,-1051

17.己知x8=ao+qi(%-1)+破(x-1)2+…+a8(x-1)8,则。2的值为.

四.解答题(共5小题)

71n

18.(2x—I)=%+a6+a2/+口3久3+—I-anx(neN*),若(2x-I)”的展开式中第4项与第8项

的二项式系数相等.

(1)求〃的值；

(2)求/的系数；

(3)求|。1|+陵|+|。3|+…+|加的值.

19.在(2x+》n的展开式中，.

给出下列条件：①二项式系数和为64；②各项系数之和为729；③第三项的二项式系数为15.试在是

三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：

(1)求"的值并求展开式中的常数项；

(2)求(1+/)(2久展开式中苫2的系数.

20.在(l+2x)8的展开式中，求；

(1)含/的项；

(2)各项系数和(用数字作答)；

(3)系数最大的项是第几项？

665432

21.设(2%—I)=a6x+a5x+a4x+a3x+a2x+a1x+a0,求：

(I)〃6+〃5+〃4+〃3+42+。1；

(II)Q6+44+〃2+〃0；

(III)64〃6+32。5+16〃4+8〃3+4〃2+2〃1+〃0.

22.(1)用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的五位数？

(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的六位数，若所有的六位数按从小到大的顺序组

成一个数列｛劭｝,则240135是第几项.

第六章B卷

参考答案与试题解析

题号12345678

答案CADBCDAC

选择题（共8小题）

1.小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖

葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（）

A.36种B.48种C.72种D.144种

【考点】部分元素不相邻的排列问题.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】C

【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合插空法求解.

【解答】解：小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制

作一串冰糖葫芦，

又要求两颗圣女果不相邻，

则不同的串法有心朗=72种.

故选：C.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了插空法，属中档题.

2.若（a久+号）6的二项展开式中常数项为160,则实数a的值为（）

11

A.2B.-2C.-D.—□

22

【考点】二项展开式的通项与项的系数.

【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】A

【分析】由二项式定理的运用，结合二项式展开式的通项公式求解.

【解答】解：若（ax+66的二项展开式中常数项为160,

贝心仙（办）3.6尸=160,

即a=2,

则实数。的值为2.

故选：A.

【点评】本题考查了二项式定理的运用，重点考查了二项式展开式的通项公式，属中档题.

3.在以“旅行丝绸路，研学在甘肃”为主题的甘肃研学旅行大会活动中，某学校有10名志愿者参加接待

工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，则第一天不同的排班种数为（）

A.C^OAIAIB.遇题

%C“

D.*医牖

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】D

【分析】首先从10人中选出3人上早班，从剩下的7人中选出3人上中班，再从剩下的4人中选出3

人上中班，即可得到答案.

【解答】解：已知某学校有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每

天最多值一班，

首先从10人中选出3人上早班，共有Cfo种，

从剩下的7人中选出3人上中班，共有小种，

再从剩下的4人中选出3人上晚班，共有盘种，

共有仁。的盘种；

也可以先从10人中选出9人，共有Cfo种，

再从9人中选出3人上早班，共有俏种，

从剩下的6人中选出3人上中班，共有偿种，

其余3人上晚班，

则共有Cfo穹/种排法.

故选：D.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题.

4.现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市

中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为（）

A.420B.660C.720D.1200

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】B

【分析】选择南昌的人数分为2人和3人进行分类讨论，按照分步乘法计数原理，根据平均分配和部分

平均分配的方法进行计算.

碧丘•“=120,

【解答】解:当有3人选择去南昌时，剩余3人的分配方式为1+1+1,选法种数为:C2

rlrlr2

当有2人选择去南昌时，剩余4人的分配方式为1+1+2,选法种数为：Cl--Al=540,

至少有2人选择南昌的选法种数为540+120=660.

故选：B.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

5.某电视台连续播放4个广告，现将2个环同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，

不同的播放方式有（）

A.10种B.20种C.30种D.60种

【考点】部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】C

【分析】根据题意，由分步乘法计数原理，代入计算，即可得到结果.

【解答】解：已知某电视台连续播放4个广告，现将2个环同的公益广告插入其中，保持原来的4个广

告播放顺序不变，

因为原来有4个广告，

所以这4个广告之间以及两端共有5个空位插入第一个公益广告，

则有5种方法；

插入第一个公益广告之后，此时包括原来的4个广告和已经插入的第一个公益广告，共5个元素，

它们之间以及两端共有6个空位可以插入第二个公益广告，

则有6种方法；

由分步乘法计数原理可得，将两个公益广告插入的方式有5X6=30种.

故选：C.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题.

6.将98个不同的小球全部放入99个不同的盒子中，共有机种不同的方法，若机=100/+广，其中在N,0

Wr<100,则r=()

A.99B.88C.12D.1

【考点】二项式定理的应用；分步乘法计数原理.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；二项式定理；运算求解.

【答案】D

【分析】由分步乘法计数原理可得加=9998,则机=9998=（100一1）98,再利用二项式定理求解即可.

【解答】解：将98个不同的小球全部放入99个不同的盒子中，则每个小球有99种选择，

所以"7=9998,

97197

又因为==9998=（100-1）98=喝10（）98X（-1）0+dsX100X（一1）1+…+淄X100X（-1）+

C患x100°x（一1）98

97961

=100[C^8x100x（-1）°+盘8x100x（-1）+•••+嘿x（-1）97]+1,

所以r=l.

故选：D.

【点评】本题主要考查了分步乘法计数原理的应用，考查了二项式定理的应用，属于中档题.

7.在二项式（《-御。的展开式中，常数项为（）

A.180B.270C.360D.540

【考点】二项展开式的通项与项的系数.

【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解.

【答案】A

【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果.

10-r,

【解答】解：根据二项式的展开式/+1=口0-（-2）「丁—-2『（『=0,1,2,3,10）,

令r=2,故常数项为C备•（-2）2=180.

故选：A.

【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

8.有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（）

A.24种B.48种C.72种D.144种

【考点】部分元素相邻的排列问题.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】C

【分析】由排列，组合及简单计数问题，结合插空法求解.

【解答】解：有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，

则不同的站法共有蜀幽=6X12=72种.

故选：C.

【点评】本题考查了排列，组合及简单计数问题，重点考查了插空法，属中档题.

二.多选题（共4小题）

（多选）9.在（2五一土＞的展开式中，下列结论正确的是（）

A.二项式系数最大的项是第3项

B.所有的二项式系数和为26

C.系数最小的项是-192?

D.所有奇数项的系数和为365

【考点】二项式定理的应用.

【专题】方程思想；定义法；二项式定理；运算求解.

【答案】BCD

【分析】由二项式系数的性质判定A&展开二项式，即可判断CZX

【解答】解：（2代-+）6的展开式中有7项，二项式系数最大的项是第4项，故A错误；

所有的二项式系数和为26,故8正确；

（2立一%）6=c式2y）6（一专）。+盘（2伪5（一身+一（2⑨好景+一（2份（一命3

+C黄2扃2（一套）4+瑞（2伪1（一意5+-（20。（一专）6

=64彳3-192x^+240%~160+--------d—□.

xX2X3

则系数最小的项是-192/,故C正确；

所有奇数项的系数和为64+240+60+1=365,故D正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，是基础题.

（多选）10.已知3名男生和2名女生参加两项不同的公益活动，下列说法正确的是（）

A.活动前5人站成一排，甲在最左边，乙不在最右边，有18种不同的方法

B.5人依次进行自我介绍，甲和乙不相邻做介绍，有72种不同的方法

C.将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生，有24种不同的方法

D.活动后从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生，有9种不同的方法

【考点】部分元素不相邻的排列问题；部分位置的元素有限制的排列问题.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】AB

【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及插空法逐一判断即可.

【解答】解：已知3名男生和2名女生参加两项不同的公益活动，

对于A，活动前5人站成一排，甲在最左边，乙不在最右边，

有玛质=18种不同的方法,

即A正确；

对于8,5人依次进行自我介绍，甲和乙不相邻做介绍，

有否幽=72种不同的方法，

即B正确；

对于C,将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生，

有废废+C拇=12种不同的方法，

即C错误；

对于。，活动后从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生，

有量©+第=7种不同的方法，

即。错误.

故选：AB.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理及插空法，属中档题.

（多选）11.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”

六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（）

A.从六门课程中选两门的不同选法共有20种

B.课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种

C.课程“礼”“书”排在相邻两天的不同排法共有240种

D.课程“乐”“射”“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】计算题；整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】BC

【分析】根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答.

【解答】解：对于A,从六门课程中选两门的不同选法有盘=15种，A不正确；

对于B,前5天中任取1天排“数”，再排其它五门体验课程共有5星=600种，B正确；

对于C,“礼”、“书”排在相邻两天，可将“礼”、“书”视为一个元素，不同排法共有2鹿=240种，C

正确；

对于D,先排"礼”、“书”、“数”,再用插空法排“乐”、射"、御"，不同排法共有幽幽=144种，D

不正确.

故选：BC.

【点评】本题考查了排列组合的知识，属于中档题.

（多选）12.关于（x-1）5的展开式的说法中正确的是（）

A.各项的系数之和为-1B.二项式系数的和为64

C.展开式中无常数项D.第4项的系数最大

【考点】二项式定理.

【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】AC

【分析】由题意，利用二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，逐一判断各个选项是否正确，从

而得出结论.

【解答】解：对于（久-刍5的展开式，

令x=l,得各项的系数之和为（1-2）5=-I,A正确；

二项式系数的和为25=32/64,B错误;

它的通项公式为5+1=CP（-2）r-x5-2r,

令5-2r=0,求得r=2.5£N,故其展开式中无常数项，C正确；

在（x-35的展开式，第1、3、5项的系数均为正，第4项的系数为/（-2）3=-80<0,。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查二项式定理及其应用，属于中档题.

三.填空题（共5小题）

13.（1+2/）2+§4的展开式中常数项为14.（用数字作答）

【考点】二项展开式的通项与项的系数.

【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解.

【答案】14.

【分析】结合二项式定理，即可求解.

【解答】解：。+64展开式的通项为图+1==或/-2乙

故（1+2x2）（x+的展开式中常数项为此+2CI=14.

故答案为：14.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题.

14.若"为一组从小到大排列的数1,2,4,6,9,10的第六十百分位数，则二项式Qx+5y1的展开式

的常数项为240.

【考点】二项式定理的应用；百分位数.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】240.

【分析】由题意，根据百分位数的定义可得见=6,再写出二项式的通项，可得常数项.

【解答】解：由6*60%=3.6,可知〃=6,

所以二项式为（2久+5）6.

其展开式的通项为j1=C＞（2x）6-r«（—）r=26r'C^x63r,

令6-3r=0,即r=2,

所以常数项为73=24-C^=240.

故答案为：240.

【点评】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，百分位数的应用，属于中档题.

15.己知（必一豕3+与）5的展开式中各项系数的和是2,则展开式中尤的系数为-200（用数字作

答）.

【考点】二项展开式的通项与项的系数.

【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解.

【答案】-200.

【分析】代入尤=1,解出。=-2,再利用二项展开式的通项公式进行合理赋值即可.

【解答】解：令尤=1,得（比5—当3+3）5的展开式中各项系数的和为（-2）X（a+1）5=2,

解得a=-2,

故该展开式的通项为底+1=C《（-2x）5-k久口=（-2）5-上.C&5-3k,

分别令％=3,k=l,可得展开式中x的系数为(一2)2磨一3x(-2＞己=-200.

故答案为：-200.

【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

16.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨

辉三角”拓展而成的三角形数阵，记期为图中虚线上的数1,3,6,10,依次构成的数列的第〃项，则

1111200

—+—+—+…+----的值为

ala2a3a100TOT

1

11.

12V

13y1

146/41

1510/1051

【考点】二项式定理的应用.

【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解.

200

【答案】

【分析】直接利用叠加法求斯，裂项相消法求出数列的和.

【解答】解：根据题意：。2-。1=2,43-42=3,…，an-an-\=n,

利用叠加法：dn-=2+3+4+~+〃,

由=1,ctn=1+2+3+4+…+九=―（「―

〜I111

所以工=2X（£—Q）,

111111111200

则—+—+—+—F------=2（1一―+一一一+…+---------）=---

。100223100101101

故答案为：职

【点评】本题主要考查数列求和，属于中档题.

17.已知工8=40+41（尤-1）+ai（X-1）2+…+48（尤-1）8,则CZ2的值为28

【考点】二项式系数的性质.

【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解.

【答案】28.

【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果.

【解答】解：式8=[(x-1)+l]8=ao+q](%-1)+a2(x-1)〜+…+制(无-1)*

根据[（X-1）+1]8的展开式〃+1=eg.（%一1）8-r。=0,1,2,3,4,5,6,7,8）,

当r=6时，a2=CQ=28.

故答案为：28.

【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

四.解答题(共5小题)

n23n

18.(2x—l)=a0+a1x+a2x+a3x+—I-anx(jieN*),若(2x-I)”的展开式中第4项与第8项

的二项式系数相等.

(1)求”的值；

(2)求/的系数；

(3)求团|+|<72|+|。3|+…+|即|的值.

【考点】二项展开式的通项与项的系数；二项式系数的性质.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】(1)"=10；

(2)180；

(3)310-1.

【分析】(1)应用已知条件利用二项式系数的性质求出加

(2)由(1)的结论，结合二项式定理求出42.

(3)由(1)的结论，利用赋值法求出所求式子的值.

【解答】解:(1)(2x-l)”的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则第=以，解得〃=10,

所以"=10.

(2)由(1)知，(2x-1)1°的展开式中X2项为：C/o(2久AJIT=180/,所以42=180.

(3)由(1)知，(2x-1)1°的展开式中，

当X=0时，470=1,

因为。2,。4,<76,as,aioG(0,+°°),a\,as,as,ai,age(-°°,0),

所以|。0|+|。1|+|。2|+|。3|+…+|mo|=ao-ai+ai-a3+'+aio,

1010

当x--1时，a0-+a2-a3+—I-a10—(-3)=3,

=10

所以la/+|a2|+I^31+…+|a?il3—1.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题.

19.在(2x+1)n的展开式中，.

给出下列条件：①二项式系数和为64；②各项系数之和为729；③第三项的二项式系数为15.试在是

三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题:

(1)求”的值并求展开式中的常数项；

(2)求(l+%2)(2x+mn展开式中/的系数.

【考点】二项式定理的应用.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】(1)"=6,展开式常数项为160；

(2)400.

【分析】(1)若选①利用二项式系数和公式先求%结合展开式通项公式可求常数项；若选②利用赋值

法先求”，结合展开式通项公式可求常数项；若选③利用二项式定理先求"，结合展开式通项公式可求

常数项；

(2)利用二项式定理及其展开式通项可求指定项系数.

【解答】解：二项式为：(2x+i)n,

(1)若选①，易知2〃=64,则”=6,此时(2%+》6的常数项为底(》3(2©3=160；

若选②，令x=l,则(2+力n=3皿=729,

则n=6,此时(2x+乎的常数项为碇$3(2X)3=160；

若选③，易知鬃=15,则n=6,此时(2x+J)6的常数项为服©)3(2久)3=160;

(2)由上可知不论选①②③，都有〃=6,

则问题为求(1+X2)(2x+展开式中尤2的系数，

所以(1+*2)(2%+36展开式中含f的项为：*6)2(2尤)4=240/,和160/，

而240尤2+160/=4007,所以其系数为400.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题.

20.在(l+2x)8的展开式中，求；

(1)含城的项；

(2)各项系数和(用数字作答)；

(3)系数最大的项是第几项？

【考点】二项展开式的通项与项的系数.

【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】(1)448?；

(2)6561；

(3)第6项和第7项.

【分析】(1)结合二项式展开式的通项公式求解；

(2)在(l+2r)8的展开式中，令》=1可得解；

「n>r-n-1nn-1

｛然后求解即可.

【解答】解：(1)在(l+2x)8的展开式中，

含d的项为;Cl(2尤)3=448x3；

(2)在(1+2%)8的展开式中，令尤=1,

则各项系数和(1+2X1)8=6561；

(3)设系数最大的项是第"+1项，

Cf-2">睹T-2nT

则

n九+

睹■2>Cj+i,21'

(2-8!、8!

Jn!-(8-n)!-(n-l)!-(9-n)!

人」j8!28!，

(川.(8f)!-(n+l)!-(7-n)!

即5W"W6,

即系数最大的项是第6项和第7项.

【点评】本题考查了二项式定理的运用，属中档题.

65432

21.设(2久—1)6=a6x+a5x+a4x+a3x+a2x+aIx+a0,求：

(I)。6+。5+。4+。3+。2+。1;

(II)。6+。4+。2+。0;

(III)64a6+32。5+16。4+8。3+4。2+2。］+ao.

【考点】二项式系数的性质.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】(1)0；

(II)365；

(III)729.

【分析】(I)取X=。算出00=1,取X=1算出所有项的系数和，进而求出。6+々5+。4+。3+。2+。1的值;

(II)分别取X=l、-1,得到关于。5+。3+。1与。6+44+02+0)的方程组，解之即可得到本题的答案.

(III)取x=2并化简，即可得至U64a6+32o5+16a4+8a3+4a2+2ai+ao的值.

665432

【解答】解：(I)对于(2%—I)=a6x+a5x+a4x+a3x+a2x+atx+a0,

取x=l,可得(2-1)6=a6+as+a4+a3+a2+ai+ao=1,

再取尤=0,可得(-1)6=ao,即ao=l,两式相减得°6+。5+。4+。3+。2+。1=0;

(II)由(I)得(16+。5+。4+。3+。2+。1+。0=1,即(。6+。4+。2+。0)+(。5+。3+。1)=1…①，

取x=-l,可得(-3)6=。6-。5+。4-。3+。2-。1+。0=729,即(a6+a4+a2+ao)-(a5+a3+ai)=729…

②.

由①②组成方程组，解得。6+。4+。2+。0=365;

665432

(IID对于(2久—I)=a6x+a5x+a4x+a3x+a2x+arx+a0,

取x=2,得(2X2-1)6=a6・26+a5・25+a4・24+a3・23+a2・22+ai・2i+ao=729,

整理得64。6+32。5+16a4+8a3+4a2+2ai+ao=729.

【点评】本题主要考查运用赋值法求系数和、二项式定理等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属

于中档题.

22.(1)用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的五位数？

(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的六位数，若所有的六位数按从小到大的顺序组

成一个数列｛板｝,则240135是第几项.

【考点】数字问题.

【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】(1)600；(2)193.

【分析】(1)根据题意，先排首位，再排其它位置，进而结合分步计数乘法原理得到答案；

(2)根据所给数字，考虑首位数字是1和2两种情况，当首位数字为1时都比240135小，当首位数字

为2时考虑比240135小的数字，进而根据排列数公式和分类加法计数原理得到答案.

【解答】解：(1)由于是五位数，首位数字不能为0,

首位数字有星=5种排法，

其它位置有盥=120种排法，

所以用0,1,2,3,4,5可以组成5X120=600个无重复数字的五位数.

(2)由于是六位数，首位数字不能为0,

首位数字为1有福个数，

首位数字为2,万位上为0,1,3中的一个有3题个数，

所以从小到大排列，240135是第福+3能+1=193个，

即所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列｛沏｝,240135是数列的第193项.

【点评】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，考查运算求解能力，属于中档题.

考点卡片

1.百分位数

【知识点的认识】

百分位数的定义：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数pe（0,1）,总体的°分位数有这样的

特点，总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.

四分位数：25%,50%,75%分位数是三个常用的百分位数.把总体数据按照从小到大排列后，这三个百

分位数把总体数据分成了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是》因此这三个百分位数也称为总体

4

的四分位数.

【解题方法点拨】

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，

且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值.计算一组"个数据的第p百分位数步骤如下：

①按从小到大排列原始数据；

②计算i="Xp%；

③若i不是整数，而大于，的比邻整数为则第p百分位数为第，项数据；若，是整数，则第p百分位数

为第i项与第（计1）项数据的平均数.

【命题方向】

理解连续变量的百分位数的统计含义，考察百分位数的计算，学会用样本估计总体的百分位数.

2.分步乘法计数原理

【知识点的认识】

1.定义：完成一件事需要分成两个步骤：做第1步有机种不同的方法，做第2步有〃种不同的方法，那

么完成这件事共有：N=mX〃种不同的方法.

2.推广：完成一件事需要分成几个步骤：做第1步有的种不同的方法，做第2步有“72种不同的方法，…，

做第〃步有加"种不同的方法，那么完成这件事共有：N=»J1X加2义…义〃讥种不同的方法.

3.特点：完成一件事的"个步骤相互依存，必须依次完成"个步骤才能完成这件事；

4.注意：与分类加法计数原理区别

分类加法计数原理分步乘法计数原理

相同点计算”完成一件事”的方法种数

不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘

每类方案中的每一种方法都每步依次完成才算完成这件

能独立完成这件事事情（每步中的每一种方法

不能独立完成这件事）

注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整

【解题方法点拨】

如果完成一件事情有〃个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤才能完成这件事，则

可使用分步乘法计数原理.

实现步骤：

（1）分步；

（2）对每一步的方法进行计数；

（3）用分步乘法计数原理求积；

【命题方向】

与实际生活相联系，以选择题、填空题的形式出现，并综合排列组合知识成为能力型题目，主要考查学生

分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想.

例：从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中

奇数的个数为（）

A.432及288C.216D.108

分析:本题是一个分步计数原理,先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共盘窗，再把4个数排列，

其中是奇数的共用“种，根据分步计数原理得到结果.

解答：•..由题意知本题是一个分步计数原理，

第一步先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共立第=18种，

第二步再把4个数排列，其中是奇数的共胆北=12种，

所求奇数的个数共有18X12=216种.

故选C

点评：本题考查分步计数原理，是一个数字问题，数字问题是排列中的一大类问题，把排列问题包含在数

字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏.

3.数字问题

【知识点的认识】

-数字问题涉及数字的排列组合、数字的特性以及数位的安排.例如：求解由数字构成的不同整数的数量、

分析某一数字在特定数位上的可能性、或求解满足特定条件的整数个数.

-数字问题通常涉及到计数原理在数字排列中的应用，以及整数的分配与组合.

【解题方法点拨】

-首先分析题目中的数字特性，如数字的范围、允许的重复次数等.

-使用排列数或组合数来计算数字的不同排列组合方式，必要时采用分类讨论的方式处理特殊情况.

-在涉及限制条件（如某些数位必须满足特定要求）时，先处理限制条件，再进行组合计算.

【命题方向】

-典型的数字问题命题包括：计算由给定数字组成的不同整数的数量，或者确定某一数位上特定数字出现

的频率.

-可能涉及到数字排列的特殊情况，如求解满足某些数位条件的整数个数，或计算某些数字在排列中的特

定组合数量.

-在更复杂的问题中，可能需要结合多种计数方法，如递推公式或生成函数来处理数字的排列组合.

4.部分位置的元素有限制的排列问题

【知识点的认识】

-部分位置的元素排列受限是指在排列问题中，某些元素只能出现在特定位置或区域.例如：特定元素只

能出现在排列的前几位或某些位置.

-这种问题通常要求考生在处理排列时，先考虑限制条件，再进行一般排列.

【解题方法点拨】

-处理此类问题时，首先对有限制的部分进行排列，将有限制的元素排好位置，然后对剩余元素进行排列

组合.

-使用乘法原理，将有限制的排列与剩余元素的排列相乘得到总数.

-对于较复杂的限制条件，可能需要分类讨论，并对每种情况进行单独计算.

【命题方向】

-常考察在特定位置或区域内元素的排列，如规定某些元素必须在前几位，或必须固定在某些位置的排列

问题.

-命题可能涉及多重限制条件的综合分析，要求考生灵活运用排列数公式.

5.部分元素不相邻的排列问题

【知识点的认识】

-部分元素不相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须保持不相邻.例如：在排列中，两个特定

元素不能排在一起.

-这类问题通常通过排除法、间隔法或插空法来解决.

【解题方法点拨】

-使用间隔法，首先将不受限制的元素排列，然后在排列间隙中插入受限制的元素，保证其不相邻.

-排除法是先计算不考虑相邻条件的排列总数，再减去相邻元素排列的情况.

-对于更复杂的排列问题，可以结合插空法或利用递推关系进行解题.

【命题方向】

-命题方向可能要求考生求解特定元素不相邻的排列总数，或者分析多个元素不相邻的组合情况.

-题目可能涉及多个不相邻条件的叠加，要求考生准确处理这些条件.

6.部分元素相邻的排列问题

【知识点的认识】

-部分元素相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须相邻排列.例如：在排列中，两个或多个元

素必须排在一起.

-这类问题通常通过将相邻元素视为一个整体来简化排列.

【解题方法点拨】

-通过将相邻的元素看作一个整体，然后对这个整体和其他元素一起进行排列.最后，再对这个整体内部

的元素进行排列.

-使用乘法原理，将整体的排列与内部元素的排列相乘，得到总的排列数.

-对于涉及多个相邻元素的问题，可以进行多重整体处理，逐层递进排列.

【命题方向】

-常见命题方向包括要求特定元素相邻的排列问题，或多组元素必须相邻排列的情况.

-题目可能涉及多个相邻条件的处理，要求考生灵活应用相邻元素排列的策略.

7.排列组合的综合应用

【知识点的认识】

1、排列组合问题的一些解题技巧：

①特殊元素优先安排；

②合理分类与准确分步；

③排列、组合混合问题先选后排；

④相邻问题捆绑处理；

⑤不相邻问题插空处理；

⑥定序问题除法处理；

⑦分排问题直排处理；

⑧“小集团”排列问题先整体后局部；

⑨构造模型；

⑩正难则反、等价转化.

对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分

步.对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：

①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.

2、排列、组合问题几大解题方法：

（1）直接法；

（2）排除法；

（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们

“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”；

（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元

素不相邻问题”；

（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置

的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解

题原则；

（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；

Jbi~~n

（7）平均法：若把加个不同元素平均分成左组，每组〃个，共有X：；

（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；

（9）定位问题：从〃个不同元素中每次取出4个不同元素作排列规定某厂个元素都包含在内，并且都排在

某r个指定位置则有幺：幺二:；

（10）指定元素排列组合问题：

①从"个不同元素中每次取出左个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内.先C后A

cYck-Yqkr/^tk-r

策略，排列C.Ch,Ng；组合C，Ck,；

②从w个不同元素中每次取出上个不同元素作排列（或组合），规定某厂个元素都不包含在内.先C后A

策略，排列组合。

③从“个不同元素中每次取出上个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元

素中的S个元素.先C后A策略，排列C；C*组合。

8.二项式定理

【知识点的认识】

二项式定理又称牛顿二项式定理.公式Q+6）"=£之。•从通过这个定理可以把