2024-2025学年下学期高二数学第五章A卷

第五章A卷

.选择题(共8小题)

1.已知函数/(x)与/(无)的图象如图所示，则函数丫=等(

/2

A.在区间(-1,2)上是减函数

B.在区间(―|,当上是减函数

C.在区间(0,2)上是减函数

D.在区间(-1,1)上是减函数

2.已知函数/(X)=/+如2+苫+1有两个极值点，则机的取值范围为()

A.(-V3,V3)B.(-V2,V2)

C.(―8,—V2]U[V2+8)D.(―00，—V3)U+8)

3.已知曲线C；y=#—2上一点P(L-|),则曲线C在点尸处的切线的倾斜角为()

A.30°B.45°C.60°D.120°

4.己知函数/(x)=2》，则.，(2+y)=()

5.已知可导函数/(%)的部分图象如图所示，/(2)=0,f(x)为函数f3的导函数，下列结论不

一定成立的是()

2345T

A.f'(1)</(1)B.f'(5)<f(5)

C.f(2)=/(2)D.f(3)<f(4)<f(5)

6.函数/(x)=竺誓U的大致图象是(

A.(x+19=l+或1

1

B.[Zn(2x+1)]A=2^+1

C(丝y=e%(x+l)

D.(xsinx)'=sinx+%cosx

8.函数/(%)=多"(2%)在久=*处的切线与直线y=3%+5垂直，则a=()

二.多选题(共4小题)

(多选)9.如图是函数y=/(x)的导函数y=/(x)的图象，则以下说法正确的为(

A.-2是函数y=/(x)的极值点

B.函数y=/(x)在x=l处取最小值

C.函数y=/(x)在x=0处切线的斜率小于零

D.函数y=/(x)在区间(-2,2)上单调递增

1

(多选)10.已知函数/(%)=/—3%+4,%E[2/2],则下列选项中正确的是(

A.函数/(x)在区间g,2］上单调递增

B.函数/(x)的值域为［2,6］

C.函数/(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-3尤+4

D.关于x的方程/(%)=。有2个不同的根当且仅当a6［2,

(多选)11.已知二项式(a/+3"(其中flGR)的展开式中存在常数项，且展开式的项数不超过9,则

下列说法正确的是()

A.n的所有取值组成的集合中有且仅有3个元素

B.若当〃取最大值时常数项为30,贝卜=土近

C.若当〃取最小值时函数/(%)=(a/+》71的图象在点a,/(D)处的切线与x轴平行，贝!］a=：

D.若二项展开式中的所有项的系数和为0,则。=-1

(多选)12.已知函数/(x)=sin2x,贝lj()

A.f'(x)=cos2x

B.%=提/(工)的一个极值点

C./(x)在［0,勺上的平均变化率为1

D./(%)在x=0处的瞬时变化率为2

三.填空题(共5小题)

13.曲线y=(2x-1)/-2x+2在点(0,I)处的切线方程为.

14.函数/(x)=x3-ajr+lx-1有极值，则实数a的取值范围是.

1一

15.已知曲线y=嬴一必支与直线y=ax+4(aCR)相切，则〃=.

Qsina+cosa

16.若曲线y=/(%)=)%+5%在冗=2处的切线的倾斜角为a,则一-------=________.

zsina-cosa

17.函数/(x)=/+/总的图象在点(1,1)处的切线的斜率为.

四.解答题(共5小题)

18.已知二次函数/(x)=X2+3X-a,aER.

(I)若〃=4时，求不等式/(%)<0的解集；

(II)若函数/(x)在区间［。，。+1］上具有单调性，求实数〃的取值范围；

(III)解关于x的不等式/(x)>ax+2a.

19.设函数/(%)=&%+ax.

(1)证明：曲线＞=/(%)关于点(0,1)对称.

(2)已知/(%)为增函数.

①求〃的取值范围.

②证明：函数g(%)=1ax2+2x-a-2ln(ex+1)存在唯一的极值点.

③若不等式/(-%/)4/(m-2^x)V2对x€[-4,2]恒成立，求机的取值范围.

20.已知函数/(x)=J?-4lnx.

(I)求曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线方程；

(II)求函数/(x)的单调区间.

21.已知函数/(x)=J?-2x+alnx,(〃CR).

(1)若〃=1,求函数/(x)在点(1,/(1))处的切线；

(2)若对任意的羽，X2E(0,+8),X1WX2,有(%1_%2)._‘("2))〉0恒成立,求实数4的取值

X1x2

范围.

22.已知函数/(x)=J?-(A+3)x+Xlnx.

(1)若入=-3,求/(%)的单调区间；

(2)若/(x)既有极大值，又有极小值，求实数人的取值范围.

第五章A卷

参考答案与试题解析

题号12345678

答案BDBABDDB

选择题（共8小题）

1.已知函数/（x）与/（无）的图象如图所示，则函数丫=晋（）

A.在区间（-1,2）上是减函数

B.在区间（-|,今上是减函数

C.在区间（0,2）上是减函数

D.在区间（-1,1）上是减函数

【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间.

【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】B

【分析】求出函数y的导数，结合图象求出函数的单调区间即可求解.

【解答】解：因为y，=/（#（%）,

Q1

由图象知，一2<%<2时，于'（X）<0,y'<0,

即丫=辔在（一］》上单调递减,

1

当54<3时，f（x）-f（x）>0,y'>0,

即丫=管在&，3）上单调递增，所以选项A、C和D错误，选项3正确.

【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题.

2.已知函数/(X)ni+ffld+X+l有两个极值点，则机的取值范围为()

A.(-V3,V3)B.(-V2,V2)

C.(―8,--\/2]U[V2^+8)D.(―8,—u(y[3,+8)

【考点】利用导数研究函数的极值.

【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】D

【分析】根据函数有两个极值点，转化为导数有两个不等零点即可得解.

【解答】解：因为(x)—Sx2+2mx+1,

且函数/(尤)=/+〃11r2+x+l有两个极值点，

所以/(无)=0有两个不等实根，

所以A=4:后-12>0,解得小>百或百，

即机的取值范围是(-8,-V3)U(V3，+8).

故选：D.

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题.

3.已知曲线C：y=#-2上一点P(l,-1),则曲线C在点尸处的切线的倾斜角为()

A.30°B.45°C.60°D.120°

【考点】导数与切线的斜率.

【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】B

【分析】结合导数的几何意义，求出切线的斜率，再结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解.

【解答】解：y=f(x)=|x2-2,

则/(x)=x,

故/(1)=1,

倾斜角的范围为［0，n),

曲线C在点P处的切线的倾斜角为45°.

故选：B.

【点评】本题主要考查导数与切线的斜率，属于基础题.

4已知函数i则如严+笔-叱=()

4ln21

A.41n2C.—

ln222ln2

【考点】变化率的极限与导数的概念.

【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，以及导数的定义，即可求解.

【解答】解：函数/(x)=2\

则了(无)=2x/n2,

故lim/(2+合)—f(2)=f(?)=4ln2.

zx-oJ

故选：A.

【点评】本题主要考查导数的求导法则，以及导数的定义，属于基础题.

5.己知可导函数f(x)的部分图象如图所示，/(2)=0,f(无)为函数/(%)的导函数，下列结论不

一定成立的是()

A./(1)</(1)B.f'(5)</(5)

C.f(2)=/(2)D.f(3)<f(4)<f(5)

【考点】导数及其几何意义.

【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学抽象.

【答案】B

【分析】根据题意，由导数的几何意义，结合函数的图象依次分析选项，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,由导数的几何意义，f(1)<0,由图可知，/(1)>0,所以了(1)</(1),故A成立;

对于8,由图可知，f(5)>0,f(5)>0,但不确定/(5)与/(5)的大小关系，故8不一定成

立；

对于C,由图可知，f(2)=f(2)=0,故C成立；

对于。，由图可知，函数在区间［2,+8)上单调递增，且增长速度越来越快，所以，(3)<f(4)

<f'(5),故D成立.

故选：B.

【点评】本题考查导数的几何意义，注意切线斜率的分析，属于基础题.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解.

【答案】D

【分析】利用导数判定单调性即可得出选项.

【解答】解：，(久)=丝箸4,定义域为国尤W1},

3

令Af(x)>0=>xG(-8,0)U+8),

3

所以/(%)在(-8,0)和+8)上单调递增，排除A、C,

当x<0时，2%-lVO,X-1<0,所以/(%)>0,排除艮

故选：D.

【点评】本题主要考查了函数图象的判断，函数的导数的应用，属于基础题.

7.下列求导正确的(

11

A.(%+*=l+7

1

B.[Zn(2x+l)]z=2^1

C(竺),=e«x+l)

D.(xsinx)'=siiu'+尤cosx

【考点】简单复合函数的导数.

【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解.

【解答】解：对于A,。+夕=1—5，故A错误；

7

对于3,[①(2久+1)]/=2%+]，故8错误；

对于C,(?)'=竺裳D,故C错误；

对于。，(xsiiix)'=sinx+xcosx,故。正确.

故选：D.

【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题.

8.函数f(%)=三"(2%)在久=*处的切线与直线y=3x+5垂直，则〃=()

1111

A.-NB.-TTTTC.1D.

612612

【考点】导数与切线的斜率.

【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】B

【分析】求出/(X)导数，//8)=4a,利用函数/(%)在％=4处的切线与直线y=3x+5垂直，列出

方程，即可求出实数〃的值.

【解答】解：函数/(%)=求导得f/(%)=-也几(2%)

//8)=_~~2仇(2xI)+~~2=4a，

⑥G)

又/(x)在久=2处的切线与直线y=3x+5垂直，

一1

所以3X4〃=-1,解得a=一诵.

故选：B.

【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.

多选题(共4小题)

(多选)9.如图是函数y=/(x)的导函数y=/(x)的图象，则以下说法正确的为()

A.-2是函数y=/(x)的极值点

B.函数y=/(x)在x=l处取最小值

C.函数y=/(x)在x=0处切线的斜率小于零

D.函数y=/(x)在区间(-2,2)上单调递增

【考点】导数及其几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值.

【专题】计算题；数形结合；数形结合法；综合法；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】AD

【分析】根据导函数图像判断函数的单调性，再根据选项逐一判断即可.

【解答】解：根据导函数y=/(x)的图象，

可知当在(-8,-2)时，/(x)<0,xe(-2,+8)时，f(尤)20且仅当x=l时，f(无)=0,

故函数在(-8,-2)上函数f(x)单调递减；在(-2,+8)函数f(x)单调递增，

所以-2是函数y=/(x)的极小值点，所以A正确；

其中尤=1两侧函数的单调性不变，则在x=l处不是函数y=/(%)的最小值，所以B不正确；

由图像可知/(0)>0,所以函数y=/(x)在x=0处的切线的斜率大于零，所以C不正确；

由y=/(x)图象可得，当xC(-2,2)时，/(尤)》0,

所以函数y=/(x)在xe(-2,2)上单调递增，所以。正确，

故选：AD.

【点评】本题主要考查了导数的几何意义和函数的单调性与极值，考查了数形结合思想，属于基础题.

(多选)10.已知函数/(久)=*一3X+4,%£2],则下列选项中正确的是()

A.函数/(x)在区间g,2］上单调递增

B.函数/(x)的值域为［2,6］

C.函数/(%)在点(0,f(0))处的切线方程为>=-3尤+4

D.关于x的方程/(x)=。有2个不同的根当且仅当a6［2,券］

【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解曲线在某点上的切线方程.

【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】BC

【分析】根据已知条件，对函数/(x)求导，结合导数的几何意义，即可求解.

1

【解答】解：函数/(%)=一3%+4,xe(2/2］,

求导可得，f(x)=3/-3,

令f(%)=3/-3=0,解得x=l(负值舍去)，

1

当5<%VI时，f(x)<0,当1〈尤W2时，f(x)>0,

1

故/(x)在5，1)上单调递减，在(1，2］上单调递增，故A错误；

/(%)在x=l处取得极小值，也为最小值，

又「/⑵、=6,/(-1)=令21,

故函数/G)的值域为［2,6］,故5正确；

f(0)=-3,/(0)=4,

故函数/(x)在点(0,4)处的切线方程为y-4=-3(x-0),即y=-3x+4,故C正确；

由AB选项可知，关于尤的方程/(无)=。有2个不同的根当且仅当a6(2,兽］,故。错误.

故选：BC.

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值，属于基础题.

(多选)11.已知二项式(aJ+mn(其中aER)的展开式中存在常数项，且展开式的项数不超过9,则

下列说法正确的是()

A.n的所有取值组成的集合中有且仅有3个元素

B.若当力取最大值时常数项为30,贝必=±近

C.若当“取最小值时函数/(%)=32+》的图象在点(1,/(1))处的切线与x轴平行，贝必另

D.若二项展开式中的所有项的系数和为0,则。=-1

【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；二项式定理的应用.

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解.

【答案】BCD

【分析】先根据展开式的项数不超过9,得到1W〃W8,并利用二项式定理写出二项展开式的通项，再

根据展开式中存在常数项求出”的所有取值，即可判断A；当"取最大值时求出“，上的值，根据二项

展开式的通项即可求出常数项，进而可判断&当〃取最小值时可得了(x)的解析式，然后利用导数的

几何意义求出。的值，最后进行检验，即可判断C；令x=l可得二项展开式中的所有项的系数和，进

而得到。的值，即可判断D

【解答】解：因为底+1=C^ax2)n-k-(i)k=所"53k且依N),

因为展开式的项数不超过9,所以“+1W9,所以1W/W8,

因为展开式中存在常数项，所以2”-3%=0有解，即卜=等有解，所以“能被3整除，因此〃=3或"

=6.

选项A：显然”的所有取值组成的集合中有且仅有2个元素，故A错误.

选项8：当w取最大值时，〃=6,此时左=4,故a2盘=15a2=30,解得a=±&，故3正确.

选项C当〃取最小值时，〃=3,此时/(%)=(a%2+》3,

则/(1)=(a+1)3,/7(x)=3(ax2+^)2(2ax—由，(1)=3(。+1)2(2〃-1)=0,解得

a=-1或a=2-

当a=-1时，/(1)=0,

函数图象在点(1,/(D)处的切线与x轴重合，不符合题意，

当a=4时,f(x)=(#+33,则/(1)=.所以函数在点(1,/⑴)处的切线为y=符合题

意，故C正确.

1

选项。：对于(。％2+.)"，令冗=1,贝U(a+1)”=0,解得〃=-1,故。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查二项式定理的应用，属中档题.

(多选)12.已知函数/(x)=sin2x,则()

A.f(%)=cos2x

B.x-百是f(x)的一个极值点

C./(x)在［0,勺上的平均变化率为1

D./(%)在x=0处的瞬时变化率为2

【考点】基本初等函数的导数.

【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】BD

【分析】利用复合函数的导数、极值点的概念及平均变化率、瞬时变化率的算法逐项求解即可.

【解答】解:函数/(x)=sm2x,

则/(无)=(sin2x)'=cos2x,(2r)'=2cos2无，所以A错误；

因为(x)=2cos2x,当乂=与时，/z(J)=2cos(2XJ)=2cosJ=0,

-TTT［TCTC

且。时，f>(x)>0,I4〈尹f'(x)<0,故I为极大值点，所以2正确;

sin(2x^)-sin0

汗/(-)-/(0)14

由丁⑴在［0,勺上的平均变化率为—=亓=一，所以C错误;

4—471

因为(x)=2cos2x,当x=0时，f(0)=2cos(2X0)=2cos0=2,

故了(%)在尤=0处的瞬时变化率为2,

所以D正确.

故选：BD.

【点评】本题主要考查导数的应用，属于基础题.

三.填空题(共5小题)

13.曲线y=(2尤-1)产-2尤+2在点(0,1)处的切线方程为x+y-1=0

【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程.

【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】x+y-1=0.

【分析】由导数的几何意义即可求解.

【解答】解：,.>=(2x-1)/-2x+2,

'.y'—(2x+l)，-2,当尤=0时，y，|x=o=T,

...曲线在点(0,1)处的切线方程为y=-x+1,即尤+y-l=0.

故答案为：x+y-1=0.

【点评】本题考查利用导数求函数的切线，属基础题.

14.函数/（无）=苫3-办2+2x-1有极值，则实数°的取值范围是（—8,—V^）u（癖，+8）

【考点】利用导数研究函数的极值.

【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】（一8,—76）U（V6,+oo）.

【分析】由题意知/（无）有变号零点，根据A>0求出答案.

【解答】解：f（尤）=3x2-2ax+2,由题意知/（%）有变号零点，

A=（-2a）2-4X3X2>0,

解得a>乃或aV—灰.

故答案为：（一8,—V6）U（V6/+8）.

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题.

1

15.已知曲线丫=嬴一）比与直线y=ax+4（a£R）相切，贝！Ja=-2e.

【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程.

【专题】方程思想；转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】-2e.

【分析】根据题意建立方程，即可求解.

【解答】解：：丫'=一当—之设切点为（xo,yo）,

ex乙x，

贝底。+4=击-）3。二一熹一4,

.2

ITLXQ+3----=0,

exo

91

易知/（%）=济％+3-赢在区间（0,+8）上单调递增，且9=0,

,_1

•,xo—才

故答案为：-2e.

【点评】本题考查利用导数研究函数的切线问题，方程思想，属基础题.

Qsina+cosa

16.若曲线y=/（%）=）%+5%在％=2处的切线的倾斜角为a,则一--------=3.

乙sina-cosa

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；导数与切线的斜

率.

【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的概念及应用；三角函数的求值；运算求解.

【答案】3.

【分析】根据题意，求出，(x),由导数的几何意义可得tana=f(2)=2,进而由三角函数恒等变

形公式分析可得答案.

【解答】解：根据题意，/(x)=lnx+lx,其导数/(x)=i+1,

又由该函数在％=2处的切线的倾斜角为a,则tana=/(2)=2,

r,sina+cosatana+1

则---------=--------=3.

sina-cosatana-1

故答案为：3.

【点评】本题考查导数的几何意义，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题.

17.函数/(X)=/+/我的图象在点(1,1)处的切线的斜率为3.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数与切线的斜率.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解.

【答案】3.

【分析】根据题意，求出函数的导数，再利用导数的几何意义可求出所求切线的斜率.

【解答】解：根据题意，/(x)=x2+Znx,其导数f'(久)=2x+],

则，(1)=3.

故函数/(x)的图象在点(1,1)处的切线的斜率上=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，属于基础题.

四.解答题(共5小题)

18.已知二次函数/(x)=/+3尤-a,A£R.

(I)若。=4时，求不等式/(无)<0的解集；

(II)若函数/(%)在区间a+1]上具有单调性，求实数a的取值范围；

(III)解关于x的不等式/(%)>ax+2a.

【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间.

【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】(I){x|-4<x<l}；

qa

(II)—,或―2*

(Ill)a=-3时，解集为{x,W-3},

当a>-3时，解集为｛x|x>a或尤<-3｝,

当a<-3时，解集为｛x|x>-3或x<a｝.

【分析】(/)把a=4代入函数解析式，然后结合二次不等式的求法即可求解；

(II)结合二次函数的单调性即可求解；

(III)结合二次不等式的求法对。的范围进行分类讨论即可求解.

【解答】解：(I)当。=4时，f(x)=/+3x-4<0,

解得-4<x<l,

故不等式的解集为｛x|-4<x<l｝；

(II)若函数/(%)在区间［〃，〃+1］上具有单调性，则〃+14—|或心一|,

解得—.或cC>—.

故a的范围为—2或a~—2卜

(III)由/(x)=7+3%-可得(％-。)(x+3)>0,

当〃=-3时，解得xW-3,

当a>-3时，解得x>a或x<-3,

当a<-3时，解得x>-3或x<a,

故〃=-3时，解集为-3｝,

当〃>-3时，解集为｛小>〃或xV-3｝,

当a<-3时，解集为｛x|x>-3或xV〃｝.

【点评】本题主要考查了二次不等式的求解，还考查了二次函数单调性的应用，属于基础题.

19.设函数/(%)=入廷+

(1)证明：曲线>=/(%)关于点(0,1)对称.

(2)已知/(x)为增函数.

①求。的取值范围.

②证明：函数g(%)=-^ax2+2x-a-2ln(ex+1)存在唯一的极值点.

③若不等式/(-％/)4/(加-2/)V2对花［-4,2］恒成立，求机的取值范围.

【考点】利用导数求解函数的极值；利用导数求解函数的最值；不等式恒成立的问题.

【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑思维.

【答案】(1)证明见详解.

(2)①g,+8)；

②证明见详解；

③(-8，-6

【分析】(1)根据函数对称性定义判断；

(2)①由题可得/(x)20恒成立，分离参数转化为最值问题解决；

②求g'(x),判断屋(尤)的单调性，结合零点存在性定理判断g'(x)的正负，进而得证；

③根据题意可得h(x)=/(无)-1为奇函数，增函数，可将不等式恒成立转化为hCm-2^)<-h

(-x/)=h(xF),即得MW+2",XE[-4,2],构造函数p(x)=xex+2ex=(x+2)利用导数

求出最值得解.

【解答】解：(1)证明：由于/■(x)+/(—%)=&^+。％+言万—61乂=^^+含3=笔笄=2，

因此函数y=/(x)关于点(0,1)对称.

2e%

(2)①由于函数/(x)为增函数，因此导函数f/。)=a—2>。恒成立，

(e%+l)

所以aZ2"恒成立,

(ex+l)z

2ex221

由于，,、？=——i—WI——=一，当且仅当"=1,即X=0时，等号成立，

0+1)2期专+22月+22

2ex1

那么,支，、2的最大值为:？

(ex+l)22

因此a斗，所以实数a的取值范围是g,+8).

ox7

②证明：由于导函数g/(%)=。％+2-瓯pa=a%+百万=/(%),因此导函数屋(X)为增函数，

又因为g/(-4)—4a,因为羡不V2，而4〃三2,所以屋(-4)<0,

g'(0)=1>0,因此导函数(x)在(-4,0)上存在唯一的零点xo,

当x>xo时，导函数屋(x)>0,函数g(x)单调递增；

当xVxo时，导函数/(九)<0,函数g(x)单调递减，

因此g(x)存在唯一的极值点.

③根据第一问知，y=/(x)关于点(0，1)对称，因此函数/z(x)=f(x)-1为奇函数，

根据/(-+于(m-2/)<2,xE[-4,2],得/(-x/)-l+f(m-2/)-l<0,

所以。(-x/)+h(m-2d)<0,所以h(m-2F)<-h(-x/)—h(xeD,

由于函数/(%)为增函数，因此用(x)=f(x)-1为增函数，所以m-2/Vx/,

所以mVx/+2",xE[-4,2],

设p(x)=xex+2ex=(x+2)那么导函数p'(x)=(x+3)xE[-4,2]

当x>-3时，导函数p'(x)>0,p(x)单调递增，当x<-3时，导函数p'(x)<0,p(x)单

调递减，

所以〃(x)在[-4,-3]上单调递减，在(-3,2]上单调递增，

]

故mVpQOmm=Pt-3)=一次，

所以根的取值范围为(一8,-妥).

【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题.

20.已知函数/(x)=x2-4lnx.

(I)求曲线y=/(x)在点(1,/(D)处的切线方程；

(II)求函数/(x)的单调区间.

【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解曲线在某点上的切线方程.

【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；运算求解.

【答案】(I)2尤+y-3=0；(II)单调递增区间为(VI,+8),单调递减区间为(0,V2).

【分析】(I)利用导数的几何意义求解即可；

(II)利用导函数与函数单调性的关系求解即可.

【解答】解：(I)/z(x)=2x-p

则/(1)=-2,

又/⑴=1,

则所求切线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0；

(II)函数的定义域为(0,+8),f'(x)=2x—9=在尹=义士空红©,

令，(无)>0,解得%>企,令，(x)<0,解得

则函数了(无)的单调递增区间为(/，+8),单调递减区间为(0,V2).

【点评】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题.

21.已知函数/(x)=J?-2x+alnx,(Q€R).

(1)若〃=1,求函数/(x)在点(1,/(1))处的切线；

(2)若对任意的XI,(0,+8),X1WX2,有(久1一冷)・(△'•-曲))〉。恒成立，求实数a的取值

X1x2

范围.

【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解曲线在某点上的切线方程.

【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑思维.

【答案】⑴y=x-2.

(2)响0,2e3].

【分析】(1)求导，可得切点处的斜率，即可由点斜式求解直线方程，

(2)将不等式变形为9,构造函数G(x)=卒=x_2+且?，利用单调性与导数之间的

关系，分离参数即可求解，或者利用分类讨论，求解导函数的正负求解.

【解答】解：(1)/z(x)=2x-2+p

当〃=1时，/(1)=-1,f(X)=1,

故切线方程为：y+l=x-1,即y=x-2；

(2)不妨设0V%i〈x2,则根f(xi)-x\f(x2)<0,

同除以X1X2得-----<------，

XrX2

所以G(x)=写=%—2+萼在(0,+8)单调递增，

所以G，(x)=1+吧-严一0,

X乙

①若。=0,G'(%)>0恒成立，符合题意；

1ITLX—1

②若。>0,则一2-5一恒成立，

ax乙

令90)=以沪，则尸，(%)=一3”,

令F'(久)=3-2产>0,贝ijo<x<J,

33

所以尸(x)在(0,e2)单调递增，在(e2,+8)单调递减，

1—1

所以一>F(e2)=—,所以ae(0,2e3]；

a

1ITIX—A.

③若。<0,同理，一w—丁恒成立，

ax乙

由②可知，当xf0+时，F(%)--8,

所以不存在满足条件的。.

综上，实数a的取值范围是。日0,2e3].

【点评】本题考查导数综合应用，属于难题.

22.已知函数/（无）=/-（入+3）x+Xbvc.

（1）若）=-3,求/（无）的单调区间;

（2）若于（x）既有极大值，又有极小值，求实数人的取值范围.

【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的极值.

【专题】综合题；对应思想；综合法；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】（1）单调递减区间为（0,苧），单调递增区间为（苧，+00）；

（2）（0,+8）.

【分析】（1）由题意，将入=-3代入函数解析式中，对函数进行求导，利用导数即可得到函数的单调

性；

（2）对函数/（x）进行求导，将问题转化成方程2x2-（入+3）/入=。有两个不同的正根，再进行求解

即可.

【解答】解：（1）当入=-3时，/（无）—X1-3lnx,函数定义域为（0,+8）,

可得//（久）=2%-3=27-3_（痘》+店）（7^%一病）,

当0<xV苧时，f（无）<0；当尤>孚时，f（尤）>0,

所以/G）的单调递减区间为（0,乎），单调递增区间为（乎，+8）;

（2）易知f'（x）=2%—（4+3）+[=2/-空）%+',

令f（x）=0,

若/（X）既有极大值，又有极小值，

此时方程2*-（入+3）x+X=O有两个不同的正根，

（4=（2+3）2-82>0

所以卜+3>0,

U>o

解得人>0.

故实数人的取值范围为（0,+8）.

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力，属于基础题.

考点卡片

1.由函数解析式求解函数图象

【知识点的认识】

函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线.

利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线.

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性

等）.

其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线.

【解题方法点拨】

1、画函数图象的一般方法

（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根

据这些函数或曲线的特征直接作出.

（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作

出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变

换单位及解析式的影响.

（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较准确的图

象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.

2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法

知式选图：

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

③从函数的奇偶性，判断图象的对称性.

④从函数的周期性，判断图象的循环往复.

利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项.

注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口.

【命题方向】

识图的方法

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的

信息，解决这类问题的常用方法有：

①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特

征来分析解决问题；

②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；

③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.

函数f（久）=芸笋的图象大致是（）

D.I

解：..•函数〃久）=密算的定义域为R,且对于任意X6R,有f（—x）=黄胃=一/（久）,

3

...函数为奇函数，故排除C,D,又/（兀）=4中＞0,.♦.排除艮

故选：A.

2.导数及其几何意义

【知识点的认识】

1、导数的定义

如果函数尤）在（a,b）中每一点处都可导，则称/（x）在（a,b）上可导，则可建立了（X）的导函数，

简称导数,记为了（X）；

如果/（x）在（a,b）内亘导，且在区间端点。处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称/（x）在闭

区间团，61上可导,f（x）为区间［a,切上的导函数，简称导数.

2、导数的几何意义

函数/（%）在x=xo处的导数就是切线的斜率左.例如：函数/（无）在犹处的导数的几何意义：左切线=/'

/(比+△》)一/'Oo)

(xo)=%->0=%T0△y

Um△%Um△x

【解题方法点拨】

（1）利用导数求曲线的切线方程.求出>=/（无）在无o处的导数/（X）；利用直线方程的点斜式写出切

线方程为丁-州可'（xo）（尤-尤o）.

（2）若函数在尤=尤0处可导，则图象在（xo,f（xo））处一定有切线，但若函数在x=xo处不可导，则图象

在（X0,尤o））处也可能有切线，即若曲线y=/（无）在点（xo,/（xo））处的导数不存在，但有切线，则

切线与x轴垂直.

（3）注意区分曲线在尸点处的切线和曲线过尸点的切线，前者尸点为切点；后者尸点不一定为切点，P

点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，

（4）显然/（xo）>0,切线与无轴正向的夹角为锐角；/（xo）<0,切线与x轴正向的夹角为钝角；f

（尤0）=0,切线与无轴平行；f'（尤o）不存在，切线与y轴平行.

【命题方向】

题型一：根据切线方程求斜率

典例1：已知曲线丫=卷-3"久的一条切线的斜率为5，则切点的横坐标为（）

1

A.3B.2C.1D.-

2

解：设切点的横坐标为（xo,yo）

2i

曲线y=4r■-3"久的一条切线的斜率为

.•4=解得犹=3或加=-2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3

zx0z

故选A.

题型二：求切线方程

GY?+bx-I-r.Y>一1

{"2；〈一］其图象在点（1，/（D）处的切线方程为y=2x+l,则它

在点（-3,/（-3））处的切线方程为（）

A.y=-2x-3B.y=-2x+3C.y=2x-3D.y=2x+3

解：・・,图象在点（1,/（l））处的切线方程为y=2x+l

：.f（1）=2+1=3

（-3）=/（3-2）=/（l）=3

（-3,f（_3））即为（-3,3）

在点（-3,/（-3））处的切线过（-3,3）

将（-3,3）代入选项通过排除法得到点（-3,3）只满足A

故选A.

3.变化率的极限与导数的概念

【知识点的认识】

导数的概念：

函数/（X）在x=xo处时的瞬时变化率是函数y=/（X）在彳=无0处的导数，记作/（xo）或y'|X=AO,即

/(配+'(a)

(xo)=%-»0=%-»0△y

Um△XUmAX

【解题方法点拨】

导函数的特点：

①导数的定义可变形为：f'（无）=△X70/（^-AX）-/（%）.